应用数理统计练习试题及答案

应用数理统计复习题

1.设总体~(20,3)X N ，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率.

解：设两样本均值分别为,X Y ，则1

~(0,)2X Y N -

(||0.3)(0.424)(0.424)0.328

P X Y -<=Φ-Φ-= 2.

其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.

解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+

14(121)3

3

X =

++=

令EX X =，得5ˆ6

θ=.

（2）最大似然估计：

2256()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-

4

5

ln()10120d d θθθ

θ

=-=

得5ˆ6

θ=

3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望μ和方差2

σ均未知，抽查10件，测得重量为i X 斤10,,2,1 =i 。 算出

101

1 5.410

i i X X ==

=∑

10

2

1

() 3.6i i X X =-=∑

给定检验水平0.05

α=，若该厂产品的平均重量为5.0斤，是否合格？

附：t 1-0.025(9)=2.2622 t 1-0.025(10)=2.2281 t 1-0.05(9)=1.8331 t 1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为0|

|/

X T S m -=

将已知数据代入，得2t =

=

1/2

0.975

(1)(9)

2.26222

t n t

a -

-==> 所以接受0H 。

4. 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差

分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。

解：

0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的.

5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得

0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =.

（1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01

ˆˆˆy x ββ=+； （2）y 对x 回归系数1β做显著性检验（0.05α=）.

解：（1）1

25.5218ˆ84.39750.3024

xy xx

l l β==

=

01

ˆˆ35.2389y x ββ=-= 所以，ˆ

35.238984.3975y

x =+ （2）1ˆ2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy

Q l l β=-=-⨯= 2

278.4805

ˆ19.8915

2

14

e Q n σ

==

=- ˆ54.46

σ

==

10.4060t =

=

=

0.025(14) 2.1604t = 10.4060 2.1604t =>

拒绝原假设，故回归效果显著. 6.

（2） 找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3） 写出第4号实验的数据结构模型。 解：

（2） “算一算”的较优生产条件为221A B C （3） 4号实验的数据结构模型为

2214y a b c με=++++，2

4~(0,)N εσ

7.设总体1122~(,),~(,)p p G N G N μμ∑∑，样品为X .已知 11.02.25.4μ⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪

⎝⎭

， 2 4.25.56.8μ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1

2.30

0.250.470.250.600.040.470.04

0.60-⎛⎫ ⎪∑= ⎪ ⎪⎝⎭，123 1.83.67.0x X x x ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

== ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭ （1） 求线性判别函数()X μ；

（2） 对样品X 的归属做判别.

解：（1）1

12 2.300.250.47 3.28.8()0.25

0.600.04 3.3 2.80.470.04

0.60 1.4 2.5αμμ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=∑-=-=-

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2.6

3.96.1μ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

123()()8.8( 2.6) 2.8( 3.9) 2.5( 6.1)T

X X x x x μαμ=-=------；

（2）()8.8(0.8) 2.8(0.3) 2.50.9 5.630X μ=-⨯--⨯--⨯=> 所以，1X G ∈.

8.掷一枚硬币100次，观察到正面出现58次，能否认为该枚硬币是均匀的？(0.05)α= 解：设正面出现的概率为p ，则

0:0.5

H p = 2

2

2

(5850)

(4250)

2.5650

50

χ--=

+

=

2

0.05

(1)(1) 3.841r αχχ

-==

20.05

2.56(1)χ

<，故接受0H ，可以认为该枚硬币是均匀的.

9.设总体的密度函数(1)

(;),,0p x c x x c c θ

θθθ-+=>>，c 为已知参数，0θ>为未知参数.

当样本容量为n 时，求θ的C R -下界. 解：ln (;)ln ln (1)ln p x c x θθθθ=+-+

l n (;

)

1

l n l n p x c x θθ

θ

∂=

+-∂

2

2

2

ln (;)

1

p x θθ

θ

∂=-

∂

222

ln (;)1

()p x I E θθθθ

⎛⎫∂=-= ⎪∂⎝⎭. 所以，θ的C R -下界为

2

1()

nI n

θ

θ=

.