一阶微分方程

一阶微分方程

第二节 一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为

F (x ,y ,y ′)＝0

或

y ′=f (x ,y )，

其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．

一、 可分离变量的方程 形如

x

y

d d =f (x )g (y ) (10-2-1)

或

M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数．

方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得

将

2

1y -作为分母时丢失了两个特解．故所求

方程的通解为：

arcsin y ＝x +C （C 为任意常数）， 另外还有两个特解y ＝±1．

例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．

解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝p

x

x P d d ． 依题意，得

p

x

x P d d ＝-3P 3，

于是

x

x d ＝-3P 2d P ，

积分得

ln x =-P 3+C 1，

即

x =Ｃ3

P -e (C =1

C -e )．

由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为

x =3

P -e ．

例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与

广告支出x 之间有如下关系：

x

y d d ＝k (N -y ），

其中k ，N 都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y 0，0＜y 0＜N ，求净利润函数y =y (x )，

解 分离变量

y

N y -d =k d x ，

两边同时积分得

-ln ｜N -y ｜=kx +C 1 (C 1为任意常数)， 因N -y ＞0，所以

ln ｜N -y ｜=ln(N -y )，

上式经整理得

y =N -C e -kx (C =1

C -e ＞0）．

将x =0，y =y 0代入上式得C =N -y 0，于是所求的利润函数为

y =N -(N -y 0)e -kx ．

由题设可知x

y d d ＞0，这表明y (x )是x 的单调递增函数；另一方面又有)(lim x y x ∞

→=N ，即随着广告

支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y =N ．因此，参数N 的经济意义是净利润的最大值．

二、 齐次微分方程 1． 齐次微分方程 形如

x

y d d =⎪⎭

⎫ ⎝⎛x

y f （10-2-3） 的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．

对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换

u =x y

将方程化为可分离变量的方程来解．具体过

程如下：

令 u =x y

(或y =ux )，

其中u 是新的未知函数．

对y =ux 两端关于x 求导，得

x

y

d d =u +x x

u

d d ． 代入(10-2-3)得

u +x x

u d d =f (u )． 分离变量并积分得

⎰

-u

u f u )(d =⎰x x d ，

即

Φ(u )=ln|x |+C (C 为任意常数)，

其中Φ(u )是⎰-u u f u )(d 的一个原函数，再将u =x

y

代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解

Φ(x y

)＝ln|x|+C ．

上面的推导要求f (u )-u ≠0，如果f (u )-u =0，

也就是⎪⎭

⎫ ⎝⎛x y f ＝x

y

．这时，方程(10-2-3)为 x y

d d ＝x y ．

这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y =Cx ．

例4 求微分方程xy x

y d d =x 2+y 2

满足条件y |x =e

＝2e 的解．

解 原方程可化为x y d d = y x +x

y

，这是一个齐次方程．作代换u =x y

，即y =ux ，则

x

y

d d ＝u +x x

u

d d ． 代入前一方程得

u +x x u d d =u 1+u 即 x x u d d =u

1

， 分离变量并积分得

u 2=2ln ｜x ｜+2C (C 为任意常数)，

将u 替换为x y

，便得原方程的通解：

y 2=2x 2ln ｜x ｜+2Cx 2，

再将初始条件代入通解得

4e 2=2e 2·ln e +2C e 2，

求得 C =1， 于是，所求的特解为

y 2=2x 2(ln ｜x ｜+1）．

例 5 设甲、乙两种商品的价格分别为

P 1,P 2，且价格P 1相对于P 2的弹性为2

1

d d P P P P 1

2

=1

2

1

2

P

P P P +-，求价格P 1与P 2的函数关系．

解 将所给方程整理为

2

1

d d P P =

2

12121

11P P P P P P +-

．

这是齐次方程．令u =2

1

P P ，即P 1＝uP 2，则2

1

d d P

P

＝u +P 22

d d P

u ，代入上式得 u +P 22

d d P u ＝u

u

+-11·u ． 整理得

⎪⎭

⎫ ⎝⎛--211u u d u ＝22

2d P P

．