一阶线性偏微分方程求解例题

一阶线性偏微分方程求解例题

CH1典型方程和定解条件

【内容提要】

方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程) 主要方法：微元法；

泛定方程:

波动方程(双曲型)：

弦振动方程：

传输线方程：

电磁场方程:

热传导方程/扩散方程（抛物型）:

导热杆（无热源），

导热片（无热源）

稳恒方程(椭圆型):

Poisson方程：

Laplace方程：

2.定解条件：初始条件及边界条件

边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet条件):

(2)第二类边界条件(Neumann条件):

(3)第三类边界条件(Robin条件):

3.定解问题的提法：

4.线性偏微分方程的基本性质

（1）.线性迭加原理

(2.)齐次化原理（冲量原理）

Duhamel原理：设是方程的解，

(是方程的解。

【典型习题】

1：长为的均匀杆，侧面绝缘,一端温度为零，另一端有恒定热流进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为），杆的初始温度分布是，试写出相应的定解问题

解：初始条件：，杆的初始温度分布是，

边界条件：由杆的一端温度为零

，杆的另一端有恒定热流q，）（Fourier实验定律

故定解问题为：

该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题

3：长为的弦两端固定，开始时在受冲量的作用，试写出相应的定解问题

解：设弦的两端为：，由题意有

弦的振动方程为

边界条件为：

初始条件为：

在点，取小段（是无穷小量），

由冲量定理有，(冲量=动量改变量)；

∴

于是，

故定解问题为

该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问。