初中一元二次方程课件ppt课件
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方程的本质 1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
❖ 解：把x＝2代入原方程得： ❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 ❖ 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程
（m 1)x m 1 mx m2 1 0
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的 最高次数∣m∣+1＝2，
程 x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0
吗？
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
x b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
用配方法解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）化二次项系数为1 （2）移项
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (x m)2 n
形（式5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方
左边写成完全平方形式 ( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得: x 2, x 8
1
2
❖ 把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
❖配方的 作用是？
降 次
SUCCESS
THANK YOU
2021/4/16
X（X+6） = 16
整理得：X2+6X－16 = 0
怎样解这 个方程？
❖ 能把方程 x²+6x-16=0转化 成(mx+n)²=a 的形式吗？
x 2 6 x 16 0 移项
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x 2 6 x 32 16 32
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项
常数项
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－1x=5
解 : x2 b x c 0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c . aa
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2 b
x
b
2
b
2
c.
a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当b2 4ac 0时,
这种解一元二次方程的方法叫Baidu Nhomakorabea开平方法.
例1: 解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
用“配方法”解 一元二次方程
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式 法
一元二次方程的求根公式
❖ 解之得，m=1或m=－1， ❖ 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， ❖ 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________.
[答案] 2
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
❖ 同学们认真观察下列方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
x（x-1）＝56 （2）
（1）
特征（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
由此可得x2 25
x 5，
这种解法叫做什么?
x x 即 5， 5
1
2
直接开平方法
可以验证，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
移项得： x2 1 x 3
2
2
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
24
4
即 (x 1 )2 49 4 16
开平方得： x 1 7
44
∴原方程的解为：x1 2 ,
x2
3 2
❖用“公式法” 解
❖一元二次方程
公式法是怎样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
❖ 解：把x＝2代入原方程得： ❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 ❖ 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程
（m 1)x m 1 mx m2 1 0
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的 最高次数∣m∣+1＝2，
程 x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0
吗？
解:二次项系数化为1得：x2 1 x 3 0
x b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
用配方法解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）化二次项系数为1 （2）移项
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (x m)2 n
形（式5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方
左边写成完全平方形式 ( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得: x 2, x 8
1
2
❖ 把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
❖配方的 作用是？
降 次
SUCCESS
THANK YOU
2021/4/16
X（X+6） = 16
整理得：X2+6X－16 = 0
怎样解这 个方程？
❖ 能把方程 x²+6x-16=0转化 成(mx+n)²=a 的形式吗？
x 2 6 x 16 0 移项
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x 2 6 x 32 16 32
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项
常数项
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－1x=5
解 : x2 b x c 0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b x c . aa
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2 b
x
b
2
b
2
c.
a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
当b2 4ac 0时,
这种解一元二次方程的方法叫Baidu Nhomakorabea开平方法.
例1: 解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
用“配方法”解 一元二次方程
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式 法
一元二次方程的求根公式
❖ 解之得，m=1或m=－1， ❖ 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， ❖ 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m2 ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，
列方程10 6x2 1500
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________.
[答案] 2
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
❖ 同学们认真观察下列方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
x（x-1）＝56 （2）
（1）
特征（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
由此可得x2 25
x 5，
这种解法叫做什么?
x x 即 5， 5
1
2
直接开平方法
可以验证，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
移项得： x2 1 x 3
2
2
配方得：x2 1 x (1)2 3 (1)2
24
4
即 (x 1 )2 49 4 16
开平方得： x 1 7
44
∴原方程的解为：x1 2 ,
x2
3 2
❖用“公式法” 解
❖一元二次方程
公式法是怎样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?