魅力数学-美哉数学

分形几何
• 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意 义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一 棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什 么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似 关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备 这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因 记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样 放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边 到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述 大自然的几何学。 • 用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅 精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为"分形艺术"。"分 形艺术"以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该 艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。
视觉游戏--“曲线正方形”
• 曲线正方形：这些是 完全的正方形吗？ • 【解析】正方形看起 来是变形了，但其实 它们的边线都是笔直 而彼此平行的。比 尔· 切斯塞尔创作了这 个曲线幻觉的视觉艺 术版本。
视觉游戏--“盒子幻觉”
• 盒子幻觉：看立方体外侧 面上的这个图形。哪条线 与竖线垂直？哪条线不与 竖线垂直？把立方体的边 线遮住，你将发现你的感 知发生了变化。 • 【解析】盒子幻觉的感知 提示为你确定图中心线段 的位置提供了一个背景。 离开盒子你的视觉系统就 必须使用其他背景。这就 是盒子幻觉。
现实中的数学之美
生物的螺线
斐波纳契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，……
现实中的数学之美
黄金分割点应用：生活方面
最好吃的馒头
发酵粉的量的10倍与面 粉的比值是0.618 二胡演奏中，“千金” 分弦的比符合0.618 当外界环境温度为人体 温度的0.618倍时。
最和谐悦耳的 音乐
最舒适的体温
生活中的数学美——对称之美
动物界的对称之美
植物的对称美学
建筑物中的对称之美
文学中的对称之美
大漠孤烟直，长河落日圆。
明月松间照，清泉石上流。 八卦炉中逃大圣，五行山下定心猿。
九九数完魔灭尽，三三行满道归根。
现实中的数学之美
黄金分割——和谐之美 黄金分割(GoldenSection)
是一种数学上的比例关系。黄金 分割具有严格的比例性、艺术性、 和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。 黄金比值一般取0.618。
人的两个指头担负了所有80%的劳动； 字典里20%的词汇可以应付80%的使用；
圆与方
80%的外出吃饭都前往20%的餐馆； 80%的讨论出自20%的讨论者； 80%的投诉针对20%的产品； 人类80%的智慧集中在20%的人身上； 80%的错误是20%的人所犯； …… 启示:把80%的资源花在关键20%的地方 少说废话，多做实事……
眼见未必为实
我们的感觉可靠吗？
视觉游戏--“黑林图形”
• 黑林图形：黑线看起来 是不是向外弯曲的？ • 【解析】黑线完全是笔 直而平行的。这种经典 幻觉由19世纪德国心理 学家艾沃德· 黑林首先 发现。
视觉游戏--“梯形幻觉”
• 梯形幻觉：哪条线显得长 一点，红线还是蓝线？ • 【解析】红线比蓝线显得 长一点，尽管它们的长度 完全相等。小于90°的角 使包含它的边显得短一些， 而大于90°的角使包含它 的边显得长一些。这就是 梯形幻觉。
图1
图3
图2
分 形 时 装 设 计
尘 埃 的 结 构
稳 定 的 固 态 型
Newton
树 枝 状 结 构
分 形
圆与方
方中有圆，面积揭示宇宙大法则
犹太人经济学家巴特莱 (Pateler) 提出了 “宇宙大法则”。 白色面积：红色面积
= : (4 ) 78 : 22
圆与方
自然中有许多这样的构成：
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的 旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反 映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学， 因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽， 而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类 社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和 公式描述世界的本质。 数学，有无穷的魅力！
数学的魅力
形式美妙
二八法则和我们的人生
20%的人成功-----------------------80%的人不成功 20%的人用脖子以上赚钱--------80%的人脖子以下赚钱 20%的人支配别人------------------80%的人受人支配 20%的人做事业---------------------80%的人做事情 20%的人有目标---------------------80%的人爱瞎想 20%的人在问题中找答案---------80%的人在答案中找问题 20%的人把握机会------------------80%的人错失机会 20%的人明天的事情今天做------80%的人今天的事情明天做 20%的人受成功的人影响---------80%的人受失败的人影响 20%的人状态很好-------------------80%的人状态不好 20%的人永远赞美、鼓励----------80%的人永远谩骂、批评 20%的人一直在坚持----------------80%的人一直在放弃 20%的人敢于面对困难-------------80%的人逃避现实
名人眼中的数学
展现在我们面前的宇宙， 像一本用数学语言写成的书， 若不掌握数学的语言符号， 就像在黑暗的迷宫里游荡， 什么也认识不清。 ——伽利略
名人眼中的数学
你的眼睛会欺骗你，你的 耳朵会欺骗你，你的经验会 欺骗你，你的想象力同样会 欺骗你。 但数学不会。 ———路西恩·伊文斯
数学的魅力
从混沌中找出秩序， 使经验升华为规律， 将复杂还原为基本。 • 庄子：判天地之美， 析万物之理。
"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的 创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975 年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有" 破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot发现整个宇 宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见 图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无 限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受 限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图 3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当 你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新 的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段 海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折 而不光滑，即连续不可微。
A
C
B
若AC:AB=BC:AC，则C是AB的黄金分割点.
现实中的数学之美
黄金分割点应用： 艺术审美方面
1 最完美的身体
肚脐到脚底的距 离/头顶到脚底 的距离=0.618
现实中的数学之美
2最漂亮的脸庞 眉毛到脖子的距 离/头顶到脖子的 距离=0.618
现实中的数学之美
3 最高雅的建筑 巴黎圣母院的正 立面的宽度和高 度之比为0.618
栅 格 火 花 错 觉
点你 是看 不到 是了 在什 放么 射？ 火那 花些 ？交 叉
动
与
静
动
与
静
• 请不要总是相信自己的眼睛，也许你
已被看到的东西欺骗了。 • 我们可能从来都没有看到过事物的真 实面貌，让我们保持怀疑精神吧！ • 通过测量、计算、推理获得结论
空气中的氮、氧之比；


人体中的水分与其它物质之比；
地球表面水陆之比。
圆与方
意大利经济学家曾据此大法提出一个 近似原理（叫二、八法则） ： 事物中琐碎的多数与重要的少数之比适 合80:20，即事物的80%的价值集中于20% 的组成部分中。
圆与方
社会中有许多这样的例子：
世界上80%的财富集中在20%的人手上；
再看看这个对称式
1x1=1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321
1
魅 数 学
力
你喜欢数学吗？
• 数学，为什么使一些人垂头丧气， 又让一些人如痴如醉? • 抽象，是数学难懂难学的根源， 还是数学威力巨大的武器?
人类离不开数学
• 一个人不识字可以生活，但是若不识数， 就很难生活了。 • 一个学科，只有当它成功地运用数学的时 候，才算达到了成熟的程度。 • 一个国家科学的进步，可以用它消耗的数 学来度量。
视觉游戏--“米勒· 莱尔幻觉”
• 米勒· 莱尔幻觉：哪条 红线更长？ • 【解析】信不信由你， 两条红线完全等长。 透视的运用大大地增 强了传统的米勒· 莱尔 幻觉版本的效果。相 形之下，传统的米 勒· 莱尔版本逊色不少。
视觉游戏--“曲线幻觉”
Βιβλιοθήκη Baidu
• 【解析】当你的视网 膜把边缘和轮廓译成 密码，幻觉就偶然地 现在视觉系统发生。 这就是曲线幻觉。
The Beauty of Mathematics
美哉！数学
1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321
功通强大
什么是数学
名人眼中的数学
任何一门科学，只有当它用到 数学时，才能得到真正完善的发展。 ——Karl Marx
数学是打开科学大门的钥匙。 ——Roger Bacon
名人眼中的数学
音乐能激发或抚慰情怀， 绘画使人赏心悦目，诗歌能 动人心弦，哲学使人获得智 慧，科学可改善物质生活， 但数学能给予以上的一切。 ——克莱因