华南理工大学 2012-13高等代数试卷A 2
华南理工大学高等数学统考试卷下2012
则 ，补线段
从而
另解原式
对于 ，
由于令 ,
则 在原点以外成立，从而该曲线积分与路径无关，可以改变积分路径，取容易积分的曲线 为积分路径
得
故原式
六、（本题8分）计算 ,其中 是球面 在平面 之上的部分
解由题意曲面为 ，
则
从而
七、（本题8分）计算曲面积分 ,其中 为 介于 与 之间的部分得的下侧.
华南理工大学2012年高等数学下册试卷
姓名：学院与专业：
学号：
一、填空题[共20分]
1. 3
2.设 ,则
3.曲面 在 处的切平面方程是
4.假设 ,则
5.设 为 上 与 之间的弧段，则
二、（本题8分）设函数 具有二阶连续偏导数,求函数 的混合二阶偏导数
解:
从而
同理（或由 连续）可得
三、（本题8分）求二元函数 在点 沿方向 的方向导数及梯度，并指出 在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向 的值不变。
解补平面区域 取上侧.两曲面形成封闭曲面的外侧,围成
由高斯公式
故原式
八、（本题7分）求微分方程 的通解
解设 ，则 ，原式即为 或
由 ，分离变量 ，两边积分 ，
即 ，从而 为通解（ 为任意常数）
注：如果看出 ，则计算过程会简单些！
九、（本题7分）求微分方程 的通解
解对应的齐次方程的特征方程为
对照非齐次项的标准形式 不是特征根，故
解
方向导数
沿梯度反方向减少得最快，即 方向，单位化为
沿垂直梯度的方向 的值不变，即 的 方向，解得
四、（本题5分）对于任何不自交的光滑闭曲面 ，设 是 上的单位外法向量， 是 所围成的区域，证明：三重积分 ,的面积
2012-2013年华南理工大学期末考试《工科数学分析》下 试卷(A)(1)
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2012—2013第二学期期末考试试卷（A ）1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下述函数中有可能成为二阶微分方程(,,'')0f x y y =的通解的是（ ）A ．120C x C y +=；B ．212e x yC C -=+；C ． 312eC xC y C =；D ．123ln y C x C x C =++．2．设(,)f x y 是可微函数，且(0,0)0,(0,0),(0,0)x y f f a f b ===，令()(,(,)t f t f t t ϕ=，则'(0)ϕ=（ ）A ．a ；B ．()a b a b ++；C ．1a +；D ．1ab-． 3．10d (,)d yy f x y x -⎰⎰交换积分顺序后，正确的结果是（ ）A ．0111101d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+⎰⎰⎰⎰； B ．1101d (,)d x f x y y ⎰⎰； C ．011d (,)d xx f x y y --⎰⎰； D ．111d (,)d xx f x y y -⎰⎰．4．设C 是右半圆周222,0,0x y a x a +=≥>，则曲线积分()d Cx y s +=⎰（ ）A ．0；B ．22a ； C ．2a ； D ．4a ． 5. 设2()(01)f x x x =≤<，而1()s i n π()nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin πd (1,2,)n b f x n x x n ==⋅⋅⋅⎰，则1()2S -=（ ）A ．12-；B ．14-；C ．14；D ．12．二、填空题（每小题3分，共15分）１. 微分方程2'''0yy y -=的通解为 ； ２. 设(1)arcsinx u x y y =+-，则(1,2)ux ∂=∂ ； ３. 设区域:0,0πD y x x ≤≤≤≤，则二重积分d Dx y = ；４. 已知曲线C 为22x y ax +=，则曲线积分s =⎰；５. 幂级数1(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 ． 三、计算题（每小题10分，共50分）１. 计算三重积分222()d I x y z V Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω：2222x y z z ++≤．2.设∑是锥面z =被平面0z =及1z =所截部分的外侧，计算第二类曲面积分2d d d d (2)d d I x y z y z x z z x y ∑=++-⎰⎰．3.求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的和函数，并据此求数项级数0212nn n ∞=+∑的值．4. 求,a b 的值，使得包含圆周22(1)1x y -+=在其内部的椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠有最小的面积．5. 求微分方程''2e x y y x -=的通解．四、证明题（本题10分）证明数项级数1sin(n ∞=∑条件收敛．五、应用题（本题10分）设某山峰可由曲面2252z x y =--表示。
2012-2013年理工线性代数考试A卷问题详解
《线性代数》考试A 卷答案及评分标准教课程类别必修N ］选修［］2012-2013学年第一学期线性代数（理科）试题 师考试方式填授课教师开卷［］闭卷N ］ 写 考试时间2013年1月日 姓 名试卷类别（A 、B 、・・•）［A ］共8页1.已知 A,〃均为三阶矩阵，且 A = （a"』），B = （a,0,5），及|A| = 2, \B\ = 3 ,则 \A + 2B\= 72 ・•设A,B 均为三阶矩阵,且|A| = 4, \B\ = -2 , A*为矩阵A 的伴随矩阵，则行列式(3B)F8= --------- •273 •设矩阵A = \ 2:E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足B4 = B + 2E ，则矩阵2 丿4•设矩阵A 满足宀―0,则（「科=扣+ 2E ） 5 •齐次线性方程组］2X 1+X 2 + X 3=0只有0解，则&应满足的条件是kx 2 + 3X 3 = 06 •设向量组a = (1,0,1几戸=(2,J = (一 1,1,-4)7 线性相关，则/c = _L得分评阅人填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7•设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式|4| = 0,则矩阵A的秩为2 . 8•设3阶矩阵A的特征值1,2,2,则行列式|4A" — E卜_J_・9・二次型/（兀[,兀2宀）=斗+2旺兀2+2玮的规形是 X +必-必・10 •当f满足Ovf <1时,二次型/（X],兀2,勺）=£ + X； +埒+ 2tx x x2为正定二次型。
二、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）（A）丿・=3,=5,此项为正（B） / = 此项为负（C） j = 5,k=3,此项为正（D）以上全不对2•若三阶行列式D的第三行的元素依次为X 2、3 ,它们的余子式分别为2、3、4 , 则行列式P=（ C ）（A） -8 （B）・20 （C） 8 （D） 203・已知向量组內,勺,再线性相关，色，函，函线性无关，则：（A ）（A）冏必能由02，。
解答-华南农业大学12年高代下
2011-2012学年第2学期 高等代数II 期末考试试卷（A 卷） 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 数域P 上n 维线性空间V 的零变换O 的值域及核的维数分别是( B ). A. 0,0 B. 0,n C. ,0n D. ,n n 分析：显然，零变换O 的值域为零子空间，维数为0；因此，核的维数为n. 2. 下列数域P 上的线性空间，与23P ⨯同构的有( D )个. (1) 32P ⨯ (2) 6[]P x (3) 数域P 上全体3级对称矩阵构成线性空间 (4) 数域P 上全体6级对角形矩阵构成线性空间 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列论断不正确的是( A ). A. 线性空间中同一个向量在不同基下的坐标一定不同； B. 线性空间中不同的向量在同一基下的坐标一定不同；C. 若线性空间V 的线性变换A 以0为一特征值，则A 不可逆；D. 有限维欧氏空间的不同基的度量矩阵是合同的.4. 下面命题正确的是( C )A. A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 唯一确定一个n 级矩阵;B. A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 关于任意基的矩阵是可逆的;C. 两个不同的矩阵可能是同一线性变换在不同基下的矩阵;D. 两个n 级矩阵相似当且仅当它们的秩相等.注意： 选项A,A 在一组基下唯一确定一个n 级矩阵;选项B,可逆线性变换在任一组基下的矩阵是可逆的；选项D,秩相等是相似的必要而不充分条件.5. 设12,αα是方阵A 的属于特征值0λ的两个不同的特征向量，则如下为A 的特征向量的是( D )A. 1k αB. 2k αC. 12αα+D. 12αα-注意：特征向量非零，选项A,B 如果k=0为零向量，C 也可能为零向量.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知123(1,2,1,2),(1,1,0,2),(1,3,2,6)ααα=-==-, 则由123,,ααα生成的子空间123(,,)L ααα注意：123(,,)L ααα的基就是生成元123,,ααα的极大无关组.2. 在线性空间22R ⨯中，1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭在基11000ε⎛⎫= ⎪⎝⎭，20100ε⎛⎫= ⎪⎝⎭， 30010ε⎛⎫= ⎪⎝⎭，40001ε⎛⎫= ⎪⎝⎭下的坐标为_____(1234)T ___. 3. 3P 中的线性变换12312231(,,)(2,,)A =-+x x x x x x x x , 那么A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵为______210011100-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭__________.4. 已知2B A A E =-+, 其中A 与1302⎛⎫ ⎪⎝⎭相似，则B =____3__. 5. 设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为212121212-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,则向量12ξαα=+的长度ξ注意：向量12ξαα=+在这组基下的坐标为110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，ξ=三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”）1. ( ⨯ )平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间.2. ( ⨯ )设A 是线性空间V 上的一个线性变换, 则A 的值域V A 的一组基与A 的核1(0)-A 的一组基合起来是V 的一组基.注意：dim(V A )+dim(1(0)-A )=n,但是两个空间的和V A +1(0)-A 不一定是空间v.3.( ⨯ )(1)n n >维欧氏空间V 可能有标准正交基，也可能没有标准正交基. 注意：欧氏空间一定存在标准正交基，而且(1)n n >时标准正交基不唯一.4. ( √ )n 维欧氏空间V 中的向量组121,,,,n n αααα+ 不是正交向量组.注意：n 维线性空间至多有n 个线性无关的向量； 同样，n 维欧氏空间至多有n 个线性无关的向量；也至多有n 个正交向量. 5. ( √ )对称变换在任意一组标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵. 四 、计算题（本大题共2小题，共33分） 1. (本题15分)已知3P 中线性变换A 在基)1,1,1(1-=η，)1,0,1(2-=η，)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭, 基)0,0,1(1=ε，)0,1,0(2=ε，)1,0,0(3=ε. 求: (1) 由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵; (2) A 在基321,,εεε下的矩阵; (3) 若向量α在基321,,ηηη下的坐标为(1,1,2)T -, 求α在基321,,εεε下的坐标. 解 (1) 因为()()123123110,,,,101111ηηηεεε-⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭，即由基321,,εεε到基321,,ηηη的过渡矩阵为110101111X -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭， (3分)从而由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵为11110111101011111101Y X -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5分)(2) 设A 在基321,,εεε下的矩阵为B ，则A 与B 相似, 且1B Y A Y -=1XAX -=， (8分)即110101111112101110011220111121101302B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (10分)(3) ()()123123123111012(,,)1,,1011,,1211120αηηηεεεεεε---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即向量α在基321,,εεε下的坐标为(2,1,0)T . (15分) 注意：上述解题过程可以用图分析2. (本题18分)已知二次型222123123121323(,,)22222f x x x x x ax x x x x x x =+++++，通过某个正交线性替换可化为标准形2221234f y y y =++. (1) 写出二次型f 的矩阵A ，并确定a 的值；(2) 求所用的正交线性替换.解 (1) 此二次型的矩阵21112111A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (2分)由已知，A 的特征值为1231,4λλλ=== (5分) 由112233123a a a λλλ++=++，即22114a ++=++得，2a =. (8分) 注意：这里也可以用114=42A a =⋅⋅⇒=(2) 当121λλ==时，解方程组()0E A x -=得其基础解系()()121,0,1,0,1,1T T αα=-=-. (10分)正交化得()()211122111(,)11,0,1,1,2,1.(,)2T T αββαβαβββ==-=-=-- (12分) 再在单位化得1212110,.T T ηηββ⎛==== ⎝(14分) 当34λ=时，解方程组(4)0E A x -=得其基础解系()31,1,1T α=，(15分)单位化得 331.Tηα== (16分) 令()1230T ηηη⎛ == ⎝，则T 是正交矩阵, 正交变换X TY =化二次型为标准型2221234.f y y y =++ (18分) 五、证明题（本大题共3小题，共27分） 1. (本题7分) 证明：如果21V V V ⊕=，12111V V V ⊕=，那么21211V V V V ⊕⊕=. 证明 显然，21211V V V V ++=. (2分)由21V V V ⊕=可得12dim dim dim V V V =+ (4分)同理，12111dim dim dim V V V += (5分)所以21211dim dim dim dim V V V V ++= (6分) 故21211V V V V ⊕⊕=. (7分)2. (本题7分)设V 是复数域C 上的n 维线性空间，A , B 是V 的线性变换，并且AB =BA .证明：如果0λ是A 的一个特征值，那么特征子空间0V λ是B 的不变子空间.证明 00{}V V λααλα=∈=A . (2分)0,V λξ∀∈有0ξλξ=A . (3分) 于是00()()()()()()ξξξξλξλξ=====A B AB BA B A B B (6分)可见0V λξ∈B ，故0V λ是B 的不变子空间. (7分)3. (本题13分) 设A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意V ξ∈, 有 ()(,). ,1V ξξλξαααα=-∈=A(1) 证明: A 是V 的一个线性变换.(2) 当λ取何值时, A 是V 的一个正交变换?解 (1) 对于,,,V k R ξη∀∈∀∈ 由()()(,)()(,)(,) [(,)][(,)]()(),ξηξηλξηααξηλξααληααξλξααηληααξη+=+-+=+--=-+-=+A A A (3分)以及()(,)[(,)](k k k k k ξξλξααξλξααξ=-=-=A A (5分) 所以A 是V 的一个线性变换. (6分)(2) 对于任意的,,V ξη∈如果A 是V 的一个正交变换，即有22((),())((,),(,))(,)(,(,))((,),)(,)(,)(,) (,)2(,)(,) (,)(,)(,)(,),ξηξλξααηληααξηλξηααλξααηλξαηαααξηληαξαλξαηαααξη=--=--+=-+=A A (9分) 那么由1α=，即(,)1αα=得2(2)(,)(,)0λλξαηα-= (10分) 于是由,V ξη∈的任意性(这当然包括ξηα==的情况)，所以220,λλ-= (12分) 所以2λ=或0λ=. (13分)。
华南理工大学线性代数 课后习题答案
n
0 0 0
0
0 0 0
解：D (1) n 1 0
习题一部分讲解
第 一 章 7 题 ： 求 A 2 和 A 2 n 1 , 其 中 1 1 A 1 1 1 1 2 解： A 1 1 4 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 4 0 0 0 1 4 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 1 1 1 1
T
a11 证： 设A a n1 c11 T 令AA C c n1
a1n ann c1n O cnn
n k 1
n k 1
n k 1
aik aik aik 2 =0 (i=1,2,...,n) cii aik aki 则 aik 0 (i 1, 2,..., n; k 1, 2,..., n) 0 0 所以，A O 0 0 第一章14 题： (E A)(E A A A ) E
（是方阵）
(2) (En uu )(En uu ) En ( (u u ) )uu En
T T T T
令
当u O, 矩阵uu T O, 则数( (u T u ) ) 0 当 u u 1 0，
T
uT u 1
第一章25题 ： 设 A为 n阶矩阵， x是每个元素都是1的 n维列向量。 证明：(1) 列向量 Ax的 第 i个 元 素等于 A的 第 i行 元素之和 ； 1 a11 a1n 证： 记 A , x a n1 ann 1 a11 a12 a1n 1 n a1 j A第1行 元素之和 a21 a22 a2 n j 1 Ax 1 n A第 n行 元素之和 a a 1 nj a a n2 nn n1 j 1 所以，列向量 Ax的第 i个元素等于 A的第 i行 元素之和
高数2-期末试题及答案
北京理 工 大学珠海学院2012 ～ 2013学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =分析：a ⨯b = 202340ij k-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8）2.设 u = 223x xy y ++.则 2ux y∂∂∂ =分析：u x ∂∂ = 22x y +, 则2u x y∂∂∂ = 2'(2)x y += 2y3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dy d σ+=⎰⎰___________分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，2(2)(2)8xxDy d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lx ds =⎰_________分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有112Lx ds xx ===⎰⎰⎰ 6.D 提示：级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）1.设2ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y ∂∂12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21z x y x y∂=+∂+ ， 则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y∂∂=+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求uy∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222100x y z xyz ++-=确定.求z y∂∂ 分析：由222100x y z xyz ++-=得，222(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =- 则2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fyy Fz z xy z xy-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值 提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分22,x y Ded σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤分析：依题意，得 21902ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩，即1302ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩则有，22223901()x y Ded de d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰6.求三重积分2xyz dV Ω⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，得0201y z ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩ 则有 3212203xyz dV dx dy xyz dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求Lydx xdy -⎰，L ：圆周229x y +=，逆时针分析：令P=y , Q= - x , 则1Q x ∂=-∂，1Py∂=∂ 由格林公式得()(2)LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{cos sin x r y r θθ== ，02θπ≤≤则20()(2)24LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑⎰⎰分析：由:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--则 13yx y z zz x ∂∂==-=-∂∂，z = 则有DxyDxyxdS xdxdy ∑==⎰⎰⎰⎰由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此113018xDxyxdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰3. 设∑是22z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求zdxdy ∑⎰⎰分析：依题意，可得0249z θπ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有92463054zdxdy zdz d d ππθρρ∑=-=-⎰⎰⎰⎰4.设∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
高数1（2）12级A卷+答案
⾼数1（2）12级A卷+答案学院数计出卷教师李刚(2013.5.10) 系主任签名制卷份数专业 2012级⼯科，本科 A 班级编号江汉⼤学 2012——2013 学年第 2 学期考试试卷课程编号：课程名称：⾼等数学Ⅰ（2）试卷类型：A、B 卷考试形式：开、闭卷考试时间：120 分钟⼀、选择题（本⼤题共5⼩题，每题3分，共15分）1. 微分⽅程xy 3dy —2[y+xy(1+lnx)]dx=0是 ( B ) A. 齐次⽅程 ; B. 可分离变量⽅程 ; C. ⼀阶线性齐次⽅程 ; D. ⼀阶线性⾮齐次⽅程 .2.设z=(3x f y +,若当y=-1时,z=x,则 ( A )A. z=3y +x+1;B. z=3y +x;C. z=3y --x--1;D. z= –3y +x+1. 3. 设平⾯区域D 由x=0,y=0,x+y=21,x+y=1围成,若I 1=??+Ddxdy y x 3)][ln(, I 2=+Ddxdy y x 3)(,I 3=??+Ddxdy y x 3)][sin(,则I 1,I 2,I 3之间的关系为 ( C ) A. I 1ds y x )(= ( B )A. –2;B.2; C. –1 ; D. 1.5. 下列级数中绝对收敛的有 ( D )A. ∑∞=+-121)1(n nn n ; B; ∑∞=-1!2)1(2n nn n ;C. ∑∞=-+-111)1(n n n n; D. ∑∞=--1312)1(n nn n .⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，每题3分，共21分） 1. 曲线满⾜⼆阶微分⽅程x y =" ,经过点M(0,1)且在此点与直线y=2x+1相切,则此曲线⽅程为y= 63x +2x+1.2. 过点(1, —1, —3)且与平⾯3x —2y+3z —1=0平⾏的平⾯⽅程为 3x —2y+3z+4=0 .3. 已知⼆元函数z=)1ln(y x +,则)1,1(dz = 21(dx-dy) . 4. 函数z xy x u --=23在点P(1, 1,0)处的梯度为 {2, —2,—1} . 5. I=10),(ydx y x f dy ,交换积分次序得I=101),(xdy y x f dx6. 设∑为锥⾯22y x z +=及平⾯z=1所围成的区域的整个边界曲⾯，则对⾯积的曲⾯积分∑+ds y x )(22= π221+ . 7. 函数f(x)=ln(1+x)展开成x-3的幂级数为f(x)= ln4+∑∞=---11)43(1)1(n n n x n . 三、计算题（本⼤题共6⼩题，每题8分，共48分）1. 求微分⽅程xxe y y y -=++32'3"的通解.解：特征⽅程0232=++r r 解为2,121-=-=r r ，对应齐次⽅程的通解为x x e c ec Y 221--+=1,3)(-==-λxxe x f 是特征⽅程的单根，故可设xe b ax x y -+=)(*，代⼈原⽅程得3,23-==b a , 特解x e x x y --=)323(2*，故所求通解为*y Y y +==x x e c e c 221--++x e x x --)323(2.2. 求直线241312-=-=-z y x 与平⾯2x+y+z －6=0的交点.解:将所给直线的参数⽅程t z t y t x 24,3,2+=+=+=代⼈平⾯⽅程，得06)24()3()2(2=-+++++t t t ，解得1-=t ，代⼈参数⽅程，故交点为（1,2,2）.3. 设u=f(x,yx),其中f 具有⼆阶连续导数,求y u ??,22y u ??.解: y u ??=―2yx 2'f22yu=…….='232f y x +22"42f y x .4. 计算I=Ω+dxdydz y x z 22,其中Ω是由抛物⾯z=1－x 2－y 2与z=0所围成的闭区域. 解: ⽤柱⾯坐标计算I=-?πθ201102r rdz zr dr d =π+-1642)2(dr r r r =……=1058π.5. 计算曲线积分?+L dy xy x )2(2,其中L 是椭圆11422=+y x 上由点A(2,0)经点C(0,1)到点B(―2,0)的⼀段弧.解: 补线路⽤格林公式计算. y P ??=0,xQ=2x+2yL=+BAL ―BA=+Ddxdy y x )22(―?+BAxy x )2(2dy =0+02-??Dydxdy =?--2241022x ydy dx =dx x )41(222?--=38.6. 求级数∑∞=+011n nx n 在收敛域内的和函数并求∑∞=+02)1(1n nn .解: nn n a a1lim +∞→=1收敛域为)1,1[-，令S(x)=∑∞=+011n nx n , xS(x)= ∑∞=++0111n n x n ,求导得 x x x xs n n -==∑∞=11)]([0'积分)1ln(11)()(00x xdx x xs x xs x x --=-==??，⼜s(0)=1,故=?-?--=01)1,0()0,1[)1ln(1)(x x x x x s ，)21(s =∑∞=+02)1(1n nn =)21ln(2-=2ln2四、应⽤题（6分）求原点到曲⾯1)(22=--z y x 上的最短距离.解:⽬标函数:d 2=x 2+y 2+z 2,约束条件为: ),,(z y x ?=(x ―y)2―z 2―1=0 作L(x,y,z,λ)= x 2+y 2+z 2+λ[(x ―y)2―z 2―1]=---==-==--==-+=01)(0220)(220)(2222z y x L z z L y x y L y x x L z y x λλλλ解得 (21,-21,0)或(-21,21,0), 故d 2=21,即d=2.五、证明题（5分）1. 设)(22y x yf z +=，f 为可导函数，证明：z yx x z y y z x =??-??. 证明：xz ??= '2xyf ，y z ??='2222)(f y y x f ++，代⼈左=z yx y x xf x z y y z x =+=??-??)(22=右 .六.综合题（5分）设曲线积分ydy x f dx y e x f Lxcos )(sin ])([--?与路径⽆关，其中f(x)具有⼀阶连续的导数，且f(0)=0,求f(x).解:y e x f y P x cos ])([-=??，y x f xQcos )('-=??，由已知y P x Q ??=??，即有x e x f x f =+)()('，通解为)21()()(222x xx x e c e dx e c e x f ?+=+=--，由f(0)=0，得21-=c ，于是2)(x x e e x f --=.注：将试题答案或解答过程写在答题纸上常⽤公式：1.)('"x f qy py y =++:)()(x P e x f m x λ=,可令特解xm k e x Q x y λ)(*=k=0,1,2；]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，可令特解]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ωωλ+=, k=0,1,{}n l m ,m ax =2. 拉格朗⽇乘数法：⽬标函数：),,(z y x f u =，条件：0),,(=z y x ?，求可能的极值点时，可作拉格朗⽇函数),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L λ?λ+=3. 第⼀类曲线积分：))((),(),(βαωψ?≤≤===t t z t y t x ，则dt t t t t t t f ds z y x f ?ωψ?ωψ?)()()()](),(),([),,(2'2'2'第⼀类曲⾯积分：dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f y x D xy),(),(1)],(,,[),,(''++=∑4. 格林公式：+=??-??L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(5.)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n，)11(,)1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x x n x n n n⾼等数学Ⅰ（2）A卷答题纸⼀、选择题（本⼤题共5⼩题，每题3分，共15分）Array1. （）2. （）3. （）4. （）5. （）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，每题3分，共21分）1. ；2. ；3. ；7. .三、计算题（本⼤题共6⼩题，每题8分，共48分）1.2.3.4.5.6.四、应⽤题（6分）五、证明题（5分）六、综合题（5分）。
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5. 如果 A 是 n 阶矩阵， AA ' 是正定二次型的矩阵的充分必要条件是 A 是：
二、 选择题（共 20 分） 1．如果将单位矩阵 E 的第 i 行乘 k 加到第 j 行得到的矩阵设为 P（j,i(k)） ，那
么 B，( P（i,j(k)）) 1 = P（j,i(-k)） D，( P（i,j(k)）) 1 = P（i,j(
n
_____________ ________
则 1
2
n=
2．设 A 是 m n 矩阵，B 是 m 维列向量，则方程组 AX B 有唯一解的充分必要
条件是：
学院
3．复数域上的多项式 f（x）没有重根的充分必要条件是： 4．设α=（-1，31，-2，-16,102） ，β=（2，13，1，0,37） 。则行列式| ' α|=
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 八 大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。
题 号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得 分 评卷人
专业
一、 填空题（共 20 分） 1．设 f(x)=a0+a1x+…+anx 为 n 次多项式， 1 , 2 , , n 是 f(x)的 n 个根，
《
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 3 页 共 7 页
五、 （12 分）实数 a
x1 ax2 a 2 x3 a 3 取何值时，方程组 ax1 a 2 x2 x3 a 4 2 5 a x1 x2 ax3 a
有无数多个解？用
基础解系表示其通解。
《
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 4 页 共 7 页
六（8 分）证明一个秩为 r 的矩阵可以表示为 r 个秩为 1 的矩阵之和。
七．证明题（8 分）如果(f(x),g(x))=1,那么(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1。
《
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 5 页 共 7 页
《
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 7 页 共 7 页
5. 如果以 M 为系数矩阵的的齐次线性方程组有非零解，那么： A， M 的行向量线性相关， B，M 的列向量线性相关 C， M 的子式全为 0， D，矩阵 M 的行列式为 0 三、判断题（每小题 4 分，共 12 分） （要求说明理由或举出反例） （1） 已知 A,B 是 n 阶矩阵。如果 rank（A）=rank（B） ，那么 A，B 的列向量组 等价。
（2） 有理数域上存在任意次的不可约多项式。
（3） 两个 n 阶的正定矩阵一定是合同的。
《
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1 1 四. （10 分）求矩阵 A 0 -2
0 1 0 1
1 0 -1 0
-1 -2 1 0 列向量组的一个极大无关组。 0 1 0 1
3. 若 A，B 为 n 阶可逆方阵，则以下命题哪一个成立 A， ( AB)' A ' B ' ， C， ( AB)1 A1B1 ， B， ( A B)' A ' B ' D， ( A B)1 A1 B1
4. 若 A 是 n 阶初等矩阵，则以下命题哪一个不成立： A，矩阵 A ' 为初等矩阵， C，矩阵 A1 为初等矩阵， B，矩阵 A* 为初等矩阵 D，以上都不对
1 )） k
学号
A， ( P（i,j(k)）) 1 = P（j,i(k)） ， C， ( P（i,j(k)）) 1 = P（i,j(-k)） ，
2. 若 A 为 m×n 矩阵，且 AA ' 可逆，则 A， m>n； B， m<n； C，
A ' A 也可逆，
《
D，
以上都不对。
姓名
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八． （10 分）用非退化的线性替换化下列二次型为标准型，并写出该变换所对 应的矩阵：
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12 +4 x1 x2 +2x2 -4 x1 x3 4x2 x3 2x3
《
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附加题： （10 分）设 A 是 m 行 n 列实矩阵，证明:r(A’A)=r(AA’)。
( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… ……………………………
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
Hale Waihona Puke 华南理工大学期末考试（A 卷）
《 2012-13 高等代数 （上） 》试卷
座位号