华南理工大学 2012-13高等代数试卷A 2

（2） 有理数域上存在任意次的不可约多项式。
（3） 两个 n 阶的正定矩阵一定是合同的。
《
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 2 页 共 7 页
1 1 四. （10 分）求矩阵 A 0 -2
0 1 0 1
1 0 -1 0
-1 -2 1 0 列向量组的一个极大无关组。 0 1 0 1
1 )） k
学号
A， ( P（i,j(k)）) 1 = P（j,i(k)） ， C， ( P（i,j(k)）) 1 = P（i,j(-k)） ，
2. 若 A 为 m×n 矩阵，且 AA ' 可逆，则 A， m>n； B， m<n； C，
A ' A 也可逆，
《
D，
以上都不对。
姓名
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 1 页 共 7 页
n
_____________ ________
则 1
2
n=
2．设 A 是 m n 矩阵，B 是 m 维列向量，则方程组 AX B 有唯一解的充分必要
条件是：
学院
3．复数域上的多项式 f（x）没有重根的充分必要条件是： 4．设α=（-1，31，-2，-16,102） ，β=（2，13，1，0,37） 。则行列式| ' α|=
《
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 3 页 共 7 页
五、 （12 分）实数 a
源自文库
x1 ax2 a 2 x3 a 3 取何值时，方程组 ax1 a 2 x2 x3 a 4 2 5 a x1 x2 ax3 a
有无数多个解？用
基础解系表示其通解。
5. 如果 A 是 n 阶矩阵， AA ' 是正定二次型的矩阵的充分必要条件是 A 是：
二、 选择题（共 20 分） 1．如果将单位矩阵 E 的第 i 行乘 k 加到第 j 行得到的矩阵设为 P（j,i(k)） ，那
么 B，( P（i,j(k)）) 1 = P（j,i(-k)） D，( P（i,j(k)）) 1 = P（i,j(
《
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 7 页 共 7 页
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2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 4 页 共 7 页
六（8 分）证明一个秩为 r 的矩阵可以表示为 r 个秩为 1 的矩阵之和。
七．证明题（8 分）如果(f(x),g(x))=1,那么(f(x)g(x),f(x)+g(x))=1。
《
2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 5 页 共 7 页
( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… ……………………………
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华南理工大学期末考试（A 卷）
《 2012-13 高等代数 （上） 》试卷
座位号
5. 如果以 M 为系数矩阵的的齐次线性方程组有非零解，那么： A， M 的行向量线性相关， B，M 的列向量线性相关 C， M 的子式全为 0， D，矩阵 M 的行列式为 0 三、判断题（每小题 4 分，共 12 分） （要求说明理由或举出反例） （1） 已知 A,B 是 n 阶矩阵。如果 rank（A）=rank（B） ，那么 A，B 的列向量组 等价。
3. 若 A，B 为 n 阶可逆方阵，则以下命题哪一个成立 A， ( AB)' A ' B ' ， C， ( AB)1 A1B1 ， B， ( A B)' A ' B ' D， ( A B)1 A1 B1
4. 若 A 是 n 阶初等矩阵，则以下命题哪一个不成立： A，矩阵 A ' 为初等矩阵， C，矩阵 A1 为初等矩阵， B，矩阵 A* 为初等矩阵 D，以上都不对
八． （10 分）用非退化的线性替换化下列二次型为标准型，并写出该变换所对 应的矩阵：
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x12 +4 x1 x2 +2x2 -4 x1 x3 4x2 x3 2x3
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2012-13 高等代数 （上） 》试卷第 6 页 共 7 页
附加题： （10 分）设 A 是 m 行 n 列实矩阵，证明:r(A’A)=r(AA’)。
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 八 大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。
题 号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得 分 评卷人
专业
一、 填空题（共 20 分） 1．设 f(x)=a0+a1x+…+anx 为 n 次多项式， 1 , 2 , , n 是 f(x)的 n 个根，