华南理工大学2006年高等代数考研试题
06-07线性代数试题及解答
3．设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B 。
5、求向量ω=（1，2，1）在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标。
四、（12分）求方程组123451234512345223273251036x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）。
五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵22123122313(,,)22f x x x x x x x x x =++-六、证明题（6分）设0β≠，12,,,r ξξξ 是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是线性方程组AX β=的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。
《2006年线性代数A 》参考答案(2) λ12···λn 2 (3) r(A)=r(A,B)< n(4)t=-8(5)1,2,-3二选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D 三解答题(1) A·A *=|A|·E, |A|·|A*|=|A3||A *|=|A|2=|A·A’|=|A·A-1|=1(3)由AB=A-B，有AEABABEA1)(,)(-+==+，故{1α，2α，3α}为一个极大无关组令0543===x x x ,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：332211321),1,0,0,0,1(),0,1,0,1,2(),0,0,1,2,0(ηηηηηηηa a a +++-=-==通解为。
五．解：当11=λ时，由()03211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110当12λ=时，由()03212=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111 当13-=λ时，由()03213=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112若,UY =X 则2322212'y y y A -+=X X 。
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学真题数二
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （1）曲线xx xx ycos 25sin 4-+=的水平渐近线方程为______．【答案】51=y【考点】水平渐近线 【难易度】★★ 【详解】解析：，51cos 25sin 41lim cos 25sin 4lim lim =-+=-+=∞→∞→∞→xx x xx x x x y x x x 所以水平渐近线方程为51=y . （2）设函数⎪⎩⎪⎨⎧==/=⎰,,0,d sin 1)(023x a x t t x x f x在x ＝0处连续，则a ＝______．【答案】13【考点】函数连续的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：按连续性定义，313sin lim d sin lim)(lim )0(220320=====→→→⎰x x x t t x f f a x xx x ． （3）广义积分⎰+∞+022)1(d x xx ＝______．【答案】12【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★ 【详解】 解析：211121)1(d 21)1(d 02022222=+-=+=++∞∞+∞+⎰⎰x x x x x x（4）微分方程xx y y )1(-='的通解是______． 【答案】xy Cxe -=，C 为∀常数 【考点】变量可分离的微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得x xy y d )11(d -=. 积分得 1ln ln y x x C =-+，即1C x y ex e -=．因此，通解为xy Cxe -=，C 为∀常数． （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0|d d =x xy＝______． 【答案】e -【考点】隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】解析：在原方程中令0(0)1x y =⇒=．将方程两边对x 求导，并令0x =得y y y e xe y ''=--，(0)(0)y y e e '=-=-．（6）设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA ＝B ＋2E ，则B =______．【答案】2【考点】抽象型行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析：由BA ＝B ＋2E 得()2B A E E -=，两边取行列式，有4B A E ⋅-=．因为11211A E -==-，所以2B =． 二、选择题：7～14小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．（7）设函数y ＝f （x ）具有二阶导数，且x x f x f ∆>">',0)(,0)(为自变量x 在点x 0处的增量，∆y 与d y 分别为f （x ）在点x 0处对应的增量与微分，若∆x ＞0，则（ ） （A ）0＜d y ＜∆y ． （B ）0＜∆y ＜d y ． （C ）∆y ＜d y ＜0． （D ）d y ＜∆y ＜0． 【答案】（A ）【考点】函数单调性的判别；函数图形的凹凸性 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1：因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加()0,f x ''> 则()f x 是凹的又0x >V ，故0dy y <<V .方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--V V V0()()f x f x x ξ''=-V V0()()f x x ηξ''=-V 其中000,x x x x ξηξ<<+<<V由于()0f x ''>，从而0y dy ->V 又由于0()0dy f x x '=>V ，故选(A )（8）设()f x 是奇函数，除x ＝0外处处连续，x ＝0是其第一类间断点，则t t f xd )(0⎰是（ ）（A ）连续的奇函数． （B ）连续的偶函数．（C ）在x ＝0间断的奇函数． （D ）在x ＝0间断的偶函数．【答案】（B ）【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1（排除法）： 设 ()f x =1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩此()f x 满足题设条件，它是一个奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点.0()()0xxx F x f t dt xx >⎧==⎨-<⎩⎰当当并且0(0)()0F f t dt ==⎰即 0()()000xx x F x f t dt x x x >⎧⎪==>⎨⎪-<⎩⎰当当当 ()F x 是一个连续的偶函数，所以不选(A )、(C )、(D )，只能选(B ).方法2（论证法）：由题设条件，()f x 除0x =外，处处连续，在0x =处为第一类间断点，且()f x 为奇函数，从而知，(0)0f =，且00lim ()lim ()0x x f x A f x A A +-→→-≠存在记为，存在， 作函数 (),0)0,0(),0f x A x x x f x A x ϕ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩当（当当)x ϕ（为连续的奇函数,0()xt dt ϕ⎰为可导的偶函数.另一方面，00(),0()0,0(),0x x xf t dt Ax x t dt x f t dt Ax x ϕ⎧->⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩⎰⎰⎰当当当所以，00(),0()0,0(),0x xxt dt Ax x f t dt x t dt Ax x ϕϕ⎧->⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩⎰⎰⎰当当当 即()()xxf t dt t dt A x ϕ=+⎰⎰，所以0()xf t dt ⎰为连续的偶函数,故选(B ).（9）设函数()g x 可微，1()()g x h x e +=，(1)1h '=，(1)2g '=，则(1)g 等于（ ）（A ）ln3－1． （B ）－ln3－1．（C ）－ln2－1．（D ）ln2－1．【答案】（C ）【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★ 【详解】 解析：由1()()g x h x e +=两边对x 求导，得1()()()g x h x g x e+''=，再以1x =代入，并由已知数值得1(1)12g e+=，于是1(1)ln1ln 212g =-=--.故选(C ). （10）函数212x x xy C e C e xe -=++满足的一个微分方程是（ ）（A ）.e 32xx y y y =-'-" （B ）.e 32xy y y =-'-"（C ）.e 32xx y y y =-'+" （D ）.e 32xy y y =-'+"【答案】（D ） 【考点】线性微分方程解的结构定理；自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2，于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=对应的齐次微分方程为 -20y y y '''+= 所以不选(A )与(B )，为了确定是(C )还是(D )，只要将特解xy xe *=代入方程左边，计算得()()-23xy y y e ***'''+=，故选(D ).（11）设f （x ，y ）为连续函数，则r r r r f d )sin ,cos (d 14π0θθθ⎰⎰等于（ ）（A ）⋅⎰⎰-y y x f x x xd ),(d 21220（B ）⋅⎰⎰-y y x f x x d ),(d 210220（C ）.d ),(d 22012x y x f y y y⎰⎰- （D ）.d ),(d 210220x y x f y y ⎰⎰-【答案】（C ）【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★ 【详解】 解析：y x y x f r r r r f Dd d ),(d )sin ,cos (d 14π0⎰⎰⎰⎰=θθθ．D 的极坐标表示是：0≤r ≤1，4π0≤≤θ．见右图．现转换为先x 后y 的积分顺序． 原式x y x f y y yd ),(d 21220⎰⎰-=．因此选（C ）．（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且0),(=/'y x y ϕ．已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=． （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠． （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=． （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠．【答案】（D ）【考点】多元函数极值存在的必要条件；拉格朗日乘数法 【难易度】★★★ 【详解】解析：引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，有(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y f x y x y f x y x y x y λλϕλϕϕ'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩F =F =F =000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'Q 代入（1）得00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选D.（13）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（ ） （A ）若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关． （B ）若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关． （C ）若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关． （D ）若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关． 【答案】（A ）【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：若12,,,s αααL 线性相关,则存在不全为0的数12s ,,,k k k L 使得11220s s k k k ααα+++=L用A 左乘等式两边,得11220s s k A k A k A ααα+++=L于是12,,,s A A A αααL 线性相关. 方法2：因为：1.12,,,s αααL 线性相关⇔ 12(,,,)s r s ααα<L .2.()()r AB r B <. 所以有：矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα=L L ,因此1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤<L L由此可判断答案应为A .（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010011P ，则（ ） （A ）1C P AP -=． （B ）1C PAP -=．（C ）T C P AP =．（D ）TC PAP =．【答案】（B ）【考点】矩阵的初等变换；逆矩阵的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：将A 的第2行加到第1行得B ，即 110010001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=PA将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，即110010001C B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记 BQ因PQ =110010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E =，故1Q P -=从而 11C BP PAP --== ,故选(B ).三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本题满分10分）试确定常数A ，B ，C 的值，使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小．【考点】高阶无穷小；泰勒公式；洛必达法则 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得11021026B A C B B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩由此可解得13A =， 23B =-，16C =方法二：用洛必达法则．由23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，（0x →）⇒ )(记J0)1(e )1(lim 320=+-++-→x Ax Cx Bx x x ⇒ 203])1[(e 2limx Ax A Cx B x x +-++-→ （要求分子极限为0，即1＋B －A ＝0，否则J ＝∞）⇒ xAx A C J x x 6)12(e 2lim0--+=-→ （要求分子极限为0，即2A ＋2C －1＝0，否则J ＝∞），⇒ 06316)31(e lim0=-=+-=-→AAx A J x x ，即1－3A ＝0． 解 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=-+,031,0122,01A C A A B 得61,32,31=-==C B A ． （16）（本题满分10分）求.d e e sin arc x xx⎰【考点】不定积分的分部积分法；不定积分的第二类换元法 【难易度】★ 【详解】解析：x x xx x x x xx x x 2e1d e ee sin arc e de e sin arc d e e sin arc -+-=-=---⎰⎰⎰ 1)e (de e sin arc e 2---=---⎰x x xx其中，22sec tan sec sec ln sec tan ln ()1tan ()1x x x x x t te t dt tdt t t C e e C te -----===++=+-+-⎰⎰⎰因此，x x xd ee sin arc ⎰.|1e e |ln e sin arc e 2C x x x x +-+--=--- （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分⎰⎰⋅+++-=Dy x y x xyI d d 1122【考点】二重积分的计算；利用极坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：D 为右半单位圆，它关于x 轴对称，于是0d d 122=++⎰⎰y x y x xyD， 从而 ⎰⎰⎰⎰++=++=122221d d 2d d 11D Dy x yx y x yxI ． 又 {}10D D y =⋂≥，如图，作极坐标变换，cos x r θ=，sin y r θ=， 则 10,2π0:1≤≤≤≤r D θ．因此 2ln 2π)1ln(2πd 11d 21221022π0=+=+=⎰⎰r r r r I θ．（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin n n x x +=（1,2,n =L ）． （Ⅰ）证明n n x ∞→lim 存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.)(lim 211n x nn n x x +∞→【考点】函数极限与数列极限的关系；单调有界准则【难易度】★★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=≤ 说明数列{}n x 单调减少且0n x >.由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A递推公式两边取极限得 sin ,0A A A =∴=（Ⅱ）原式21sin lim(),n x n n nx x →∞=为∞"1"型 由于离散型不能直接用洛比达法则先考虑22011sin lim ln()0sin lim()t ttt t t t e t→→=用洛比达法则2323203311(cos sin )1110()0()lim 26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====g g（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++． 【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】证明：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0x π<<时,()f x 单调增加（严格）()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+ ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴ 单调减少（严格）又()cos 0f ππππ'=+=，故0()0()x f x f x π'<< >时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且)(22y x f z +=满足等式.02222=∂∂+∂∂yzx z （Ⅰ）验证;0)()(='+"uu f u f （Ⅱ）若1)1(,0)1(='=f f ，求函数()f u 的表达式． 【考点】多元复合函数的求导法；变量可分离的微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I）z zf fx y∂∂''==∂∂()22222z xf fx x y x y ∂'''=+∂++()()22322222x yf fx y x y '''=+++()() 22232 22222z y xf fy x y x y∂'''=+∂++同理222200()()0z zfx yf uf uu∂∂''+==∂∂'''∴+=代入得成立（II）令(),f u p'=于是上述方程成为dp pdu u=-，则dp ducp u=-+⎰⎰ln ln,()cp u c f u pu'=-+∴==22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||f c f u u c f c f u u'===+===由得，于是22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||f c f u u c f c f u u'===+==∴=由，（21）（本题满分12分）已知曲线L的方程为)0(4,122≥⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tttytx，（Ⅰ）讨论L的凹凸性；（Ⅱ）过点（－1，0）引L的切线，求切点（x0，y0），并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L（对应于x≤x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积．【考点】导数的几何意义；由参数方程所确定的函数的导数；平面图形的面积【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）4222,42,12dx dy dy tt tdt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dydd y dxtdxdx dt t t tdt⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<>⎪⎝⎭处∴曲线L （在0t >处）是凸.（Ⅱ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则 2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得 200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=Q点为（2，3），切线方程为1y x =+（Ⅲ）设L 的方程()x g y =, 则 ()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=±+解出t 得由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===-+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y =--⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-++-=+++13,1534,1432143214321bx x x ax x x x x x x x x有3个线性无关的解．（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求a ，b 的值及方程组的通解．【考点】非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：(Ⅰ)设123,,ααα是方程组的3个线性无关的解,则2131,αααα--是0Ax =的两个线性无关的解.于是0Ax =的基础解系中解的个数不少于2,即4()2r A -≥,从而()2r A ≤.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以()2r A ≥. 两个不等式说明()2r A =.(Ⅱ)对方程组的增广矩阵作初等行变换:[]A b = 1111|11111|14351|10115|3,13|1004245|42a b a a b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦由()2r A =,得出 2,a = 3b =-.代入后继续作初等行变换:1024|20115|3.0000|0-⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦得同解方程组 1342342-24-3-5x x x x x x =+⎧⎨=+⎩求出一个特解(2,3,0,0)T-和0Ax =的基础解系(2,1,1,0)T-,(4,5,0,1)T-.得到方程组的通解: 12(2,3,0,0)(2,1,1,0)(4,5,0,1)T T Tc c -+-+-，12,c c 任意.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)T α=--，2(0,1,1)Tα=-是线性方程组0Ax =的两个解．（Ⅰ）求A 的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ ＝Λ．【考点】矩阵的特征值的计算；矩阵的特征向量的计算；施密特正交化；相似对角矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：(Ⅰ) 由A 的每行元素之和为3，有(1,1,1)(3,3,3)T TA =故，0(1,1,1)Tα=是A 的特征向量,特征值为3.又12,αα都是0AX =的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于12,αα线性无关, 特征值0的重数大于1. 于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:0c α, c 0≠.属于0的特征向量: 1122c c αα+，12,c c 不都为0. (Ⅱ)将0α单位化,得0333(, , )333T η=. 对12,αα作施密特正交化,得122(0, , )22T η=-,2666( )366Tη=--. 作123(,,)Q ηηη=,则Q 是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0T Q AQ Q AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。
华南理工大学2006硕士研究生考试试卷(高等代数)
华南理工大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（试卷上作答无效，请在答题卡上作答，试后本卷与答题卡一同交回）科目名称：高等代数适用专业：计算数学，应用数学，运筹学与控制论1.设()f x ，()g x 是数域F 上的多项式. （满分15分） 证明： ()()f x g x 当且仅当对任意的大于1自然数n ，()()n n f x g x . 2.设A 是一个n 阶实矩阵.证明()()1E A E A --+是正交矩阵，当且仅当A 是反对称矩阵.（满分16分）3.求下面的矩阵A 的列空间在4R 中的正交补的一个标准正交基 （满分15分） 1111111111222211A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭4.设01,,....,n a a a 为数域F 上的互不相同的数而01,,...,n b b b 为数域F 上的任意的数.证明在F 上存在唯一的n 次多项式()f x 使得()i f a =i b ，0i n ≤≤. （满分15分）5.设A 为n 阶复矩阵.证明A 为对称矩阵的充分必要条件是存在n 阶复矩阵B ，使得'A B B =.这里'B 表示B 的转置矩阵. （满分14分）6.设A 为正定矩阵，则存在正定矩阵S 使得2A S =.由此证明每一个可逆实矩阵B 都可以表示为一个正交矩阵于一个对称矩阵的乘积. （满分10分）7. 设V 是欧氏空间而W 是V 的有限维子空间.证明W 在V 中一定有正交补.8.设V=()n M F 表示数域F 上的n 阶矩阵的向量空间.对于A V ∈,定义()'A A σ=.('A 是A 的转置矩阵.)（i ）证明σ是一个线性变换；(ii)求σ的全部特征子空间；（iii ）证明σ可以对角化. （满分20分）9.设()(),f x g x 是数域F 上的互素的多项式A 是F 上的n 阶矩阵.证明齐次线性方程组()()f x g x X O =的解空间是()f A X O =的解空间Y 与()g A X O =的解空间的直和.（其中X 表示n 维列向量） （满分14分）10.设()4321f x x x x x =++++.（1）将()f x 在实数域上分解因式；（2）证明()f x 在有不是有理数. （满分16分）理数域上不可约，由此证明cos(2/5)。
华南理工大学2006年考研分析化学试题
A.气态原子外层电子由基态到第一激发态的跃迁
B.气态原子外层电子由基态到所容许的较高的激发态的跃迁
C.气态原子外层电子由第一激发态返回基态的跃迁
D.气态原子外层电子由较高的激发态返回较低的或基态的跃迁
18.示差分光光度法与普通分光光度法的不同之处是：
A.选择的测定波长不同B.使用的光程不同
9.某有色溶液用1 cm吸收池时，其透光率为T；若改用2 cm吸收池，则透光率应为：
A. 2TB. 2lgTC. T1/2D. T2
10.分析宽沸程多组分混合物，多采用：
A.气相色谱B.气固色谱
C.毛细管气相色谱D.程序升温气相色谱
11.气相色谱中通用型检测器是：
A.热导池检测器B.电子捕获检测器
C.氢火焰离子化检测器D.火焰光度检测器
10.电位滴定中，以∆E/∆V~V作图绘制滴定曲线，滴定终点为曲线最高点所对应的体积。（）
四、简明回答（本题20分）
1.有一批试样需对其中的A组分进行定量测定，在各取同样量试样、采用吸光度法（分光光度法）在相同条件下对A组分进行预分析时，发现其中一个试样溶液的吸光度值大于1，根据本分析测试工作要求和预测定的情况，你打算如何进行正式测定？（本题3分）
2.气相色谱分析法中，影响分离度（R）大小的因素是什么？R值为多少时可认为分离效果好？（本题5分）
3.写出采用直接电位法测定末知溶液的pH值时，装置的主要构成部分和主要试剂。（本题6分）
4.在用ZnO作为基准物对EDTA溶液的浓度进行标定时，以铬黑T（EBT）为指示剂，pH=10缓冲溶液为介质，当用待标定的EDTA溶液滴定上述ZnO的标准溶液至溶液刚呈现纯蓝色时即为终点。简明阐述本测定中指示剂指示终点的原理。（本题6分）提示：写出主要的反应式来阐明，己知：①锌离子与EBT生成的配合物为红色；②下面是EBT在一定pH溶液中呈现颜色的示意：
华工2006-2007线性代数试题及解答
华南理工大学期末考试《 2006线性代数 》试卷A一、填空题（每小题4分，共20分）。
0．已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P +=1．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )=2．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n 3．4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=-85．231511523()5495827x D x xx -=-，则0)(=x D 的全部根为：1、2、-3二、 选择题（每小题4分，共20分）1．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ c ）。
DA ， 1，B ，-1C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ A ）。
A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。
则（ C ）。
DA ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ A ）。
DA ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。
A ，矩阵A T 为正交矩阵，B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。
华南理工大学考研专业课历年真题汇编之高等代数2007--2015年考研真题
f（α，β）=α β + α β。问 f 是否是一个内积，为什么？（10 分）
⎛1 2 ⎜ 0 2 三、 设A= ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎝ −1 − 2
4 11 ⎞ ⎟ 4 13 ⎟ ，X=（x1，x2，x3，x4） ，f（X）=XAX’。问f（X） 4 17 ⎟ ⎟ 0 7⎠
是否是一个正定二次型，为什么？（10 分） 四、 设线性方程组 x1 + x2 =0 x3 + x4=0 的解空间为 W。求向量(2，3，4，5)在 W 上的内射影以及到 W 的距离。 （15 分） 五、 设 P[x]为数域 P 上的多项式环, D 为 P[x]上的微分变换，即 D(f(x))=f’(x)。(i) 求 D 的所有的不变子空间; (ii)证明 D 在其所有的有限维的不变子空间上都不能 对角化。 （20 分） 六、 设 n 阶矩阵 A 对于任意的 n 维列向量 X 满足 X’AX=0。(i)证明当 A 为对称 矩阵时 A=0； （ii）如果矩阵 A 不是对称的，A 未必是零矩阵。 （15 分） 七、 设U为正交矩阵，f（x）=x2+2。证明（1）U的特征根的模为 1； （2）f（U） 可逆。 （15 分）
2
ɸ 2009 ¹ × « Ñ ÂÜÜÁ ¶ ¡½ ¢ÛÀ ¬ ¢Û¿¤À¥ ² ¡½ ¥ ¡ Ã℄ ¬£µ Þ Ù £ Þ , Þ , ´ ² ÞÈ ¦ , Þ , µ ¯ ² Æ ¾ º2 1. (15 ³) Ð f (x), g (x) Ø P [x] ²Î Õ¢ g(x) = sm(x)g1(x), ·Ê m ≥ 1, (s(x), g1 (x)) = 1, s(x) | f (x). º : « ¶ f1(x), r(x) ∈ P [x], r (x) = 0, ∂ (r (x)) < ∂ (s(x)) Ô
华南理工大学2006年部分考研真题(待续)
华南理工大学2006年硕士研究生入学考试半导体物理试卷一、解释下列概念：（20分）1、霍尔效应：2、共有化运动3、杂质补偿4、肖特基势垒5、非平衡载流子寿命二、简述硅和砷化镓能带结构的异同。
（10分）三、简述产生半导体激光的基本条件。
（10分）四、简述半导体光吸收的主要物理过程，并在能带示意图上定性表示之。
（10分）五、试述什么是简并、非简并半导体；给出非简并、弱简并及简并半导体的区分标准，并说明其含义。
（15分）六、请解释迁移率概念，并说明对于半导体硅而言影响其迁移率的主要因素。
（15分）七、请定性画出n-n型异质结平衡时能带图，并给予简要解释。
（15分）八、用n型Si衬底制成MOS电容，解释该结构在积累、耗尽、弱反型、强反型下的电容值变化规律，并画出高频、低频的C-V曲线。
（15分）九、在半导体硅材料中掺入施主杂质浓度ND = 1015/cm3，受主杂质浓度NA = 4×1014/cm3；设室温下本征硅材料的电阻率ri=2.2×105W.cm，假设电子和空穴的迁移率分别为mn =1350cm2/(V.S), mp = 500cm2/(V.S)，不考虑杂质浓度对迁移率的影响，求掺杂样品的电导率。
（20分）十、施主浓度ND = 1016/cm3的n型单晶硅片，求室温下功函数是多少？若忽略表面态的影响，当它同金属Al、Au、Mo接触时，分别形成何种接触？并定性画出该n型硅与金属Al接触前后的能带示意图。
已知硅的电子亲和能Xs =4.0eV，NC = 1019/cm3，设金属的功函数分别为Wal = 4.05 eV, WAu = 5.20eV, WMo = 4.21 eV。
（20分）华南理工大学2006年硕士研究生入学考试辩证唯物主义与历史唯试卷一、单项选择题：（在每小题的备选答案中选出一个正确答案，填在答题纸的相应题号的空格内。
每小题2分，共40分）1、哲学的基本问题是（）A.世界观和方法论的关系问题B.物质和运动的关系问题C.理论和实践的关系问题D.思维和存在的关系问题2、绝对真理是指（）。
06考研数一真题及答案
2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-______【分析】 本题为0未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.【详解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.（2） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是______【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e xy Cx -=.（1e CC =）（3）设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-=⎰⎰______【详解】 设1∑：221(1)z x y =+≤，取上侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰11d d 2d d 3(1)d d d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y x y z y z x z x y ∑+∑∑=++--++-⎰⎰⎰⎰.而1d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑+∑++-⎰⎰＝2116d 6d d d 2rVv r r z πθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1d d 2d d 3(1)d d 0x y z y z x z x y ∑++-=⎰⎰.所以d d 2d d 3(1)d d 2x y z y z x z x y π∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d =______【分析】 本题直接利用点到平面距离公式d =进行计算即可. 其中000(,,)x y z 为点的坐标，0Ax By Cz D +++=为平面方程.【详解】 2223241502345d ⨯+⨯+⨯==++.（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则 =B ______【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ Ａ ] 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）2212d (,)d x xx f x y y -⎰⎰. （B ）2212d (,)d x x f x y y -⎰⎰.(C)2212d (,)d y yy f x y x -⎰⎰. (D)2212d (,)d y y f x y x -⎰⎰. [ Ｃ ]【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则 原式2212d (,)d y yy f x y x -=⎰⎰.故选（Ｃ）. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取(1)nn a =-.故（Ｄ）项正确. （10）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）. （11）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.[ C ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,sA A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］ 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有(A) ()()P A B P A ⋃> (B) ()()P A B P B ⋃>(C) ()()P A B P A ⋃= (D) ()()P A B P B ⋃= [ B ]【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】 由题设，知 ()(|)1()P AB P A B P B ==，即()()P AB P A =.又 ()()()()()P A B P A P B P AB P A ⋃=+-=. 故应选(Ｃ).（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ D ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xyx y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （16）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n t x =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 23300001sin sin cos 1sin 1lim1lim lim lim 366t t t t t t t t t t t t t t →→→→---⎛⎫-====- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （17）（本题满分12分）将函数2()2xf x x x =+-展成x 的幂级数.【分析】 利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】 2()2(2)(1)21x x A Bf x x x x x x x===++--+-+，比较两边系数可得21,33A B ==-，即121111()3213112f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫=-=-⎪ ⎪-++⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 而1(1),(1,1)1n nn x x x ∞==-∈-+∑，01,(2,2)212nn x x x ∞=⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭-∑， 故120001111()(1)(1),(1,1)23232n n n n n n n n n n x f x x x x x x x ∞∞∞+===⎛⎫⎛⎫==--+=-+∈- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （18）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =，则((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂. 22()()z f u f u x ∂'''=+∂()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x yxy∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得()()0f u f u u'''+=. （II ） 令()f u p '=，则d d 0p p u p u p u'+=⇒=-，两边积分得 1ln ln ln p u C =-+，即1C p u =，亦即 1()Cf u u'=. 由(1)1f '=可得 11C =.所以有 1()f u u'=，两边积分得 2()ln f u u C =+， 由(1)0f =可得 20C =，故 ()ln f u u =. （19）（本题满分12分）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰.【分析】 利用曲线积分与路径无关的条件Q Px y∂∂=∂∂. 【详解】 2(,)(,)f tx ty tf x y -=两边对t 求导得3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y -''+=-.令 1t =，则 (,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-. ① 设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q Pf x y xf x y f x y yf x y x y∂∂''=--=+∂∂. 则由①可得Q Px y∂∂=∂∂. 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰.（20）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则 1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤.因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.（21）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T 300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （22）（本题满分9分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y(Ⅱ) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I ）设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时，(2()()Y F y P X y P X =<=<01d 4x x =+=⎰.3) 当14y ≤<时，(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<01011d d 242x x -=+=⎰. 4) 当4y ≥，()1Y F y =.所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤≤⎪⎪⎩其他.（II ） 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12111d 24x --==⎰. （23）（本题满分9分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数，求θ的最大似然估计.【分析】 先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算θ的最大似然估计.【详解】 记似然函数为()L θ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--， 令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-，解得N n θ=为θ的最大似然估计.。