归纳推理之数学猜想优秀课件
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2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明 3 数学归纳法 (2)课件 新人教B版选修2-2
以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待 定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确,即:
由(ⅰ)(ⅱ)可知，n∈N*时，不等式
成立.
【规律方法】运用数学归纳法证明问题时应注意的四个问题
(1)由假设n=k成立证n=k+1时,要推导详实,并且一定要运用
n=k成立的结论.
(2)要注意n=k到n=k+1时增加的项数.
(3)n=n0时成立.要弄清楚命题的含义.
(4)对于不等式在证明由n=k变化到n=k+1时,除了应用综合法
所以当n=k+1时命题成立,由①,②可知对任何n∈N且n≥3,命题 恒成立.
【易错警示】关于几何问题的变化情况
本例(2)中由n=k变换到n=k+1时,对角线条数不会求,或根
本看不清其变化情况导致错解.
【规律方法】证明整除性与几何问题的关键
(1)证明整除问题的关键——“凑项” 证明整除问题的关键是“凑项” ,即采用增项、减项、拆项和因式 分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设 使问题获证. (2)证明几何问题的关键——“找项” 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”, 即几何元素从 k个 变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助 于几何图形来分析;事实上,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然 后作差, 即可求出增加量 , 这也是用数学归纳法证明几何问题的一 大技巧.
4.4数学归纳法 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 思考：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言描述它？
经分析：可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：
第k块骨牌倒下
第k+1块骨牌倒下.
这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能相继倒下.
事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所
4.4 数学归纳法
问题的提出
在数列的学习过程中，我们知道若等差数列{an}的首项为a1，公差
为d，通过定义an－an-1=d(n≥2)，逐一列举a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d，…… 归纳得到其通项公式为an=a1+(n－1)d(n∈N*).
但当时并没有给出严格的数学证明. 那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个 正整数n都是成立的呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法.
第二步假设n=k(k∈N*)时等式成立，则当n=k＋1时应得到( B )
A. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=k2
B. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋1)2
C. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋2)2 D. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋3)2
(3)利用假设是核心：在第二步证明n=k＋1成立时，一定要利用归纳假设， 即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k＋1时命题成 立”，在书写P(k＋1)时，一定要把包含P(k)的式子写出来，尤其是P(k) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数 学归纳法.
…….
所以，对于任意正整数n，猜想都成立，
即数列{an}的通项公式是an=1 (n∈N*).
经分析：可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：
第k块骨牌倒下
第k+1块骨牌倒下.
这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能相继倒下.
事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所
4.4 数学归纳法
问题的提出
在数列的学习过程中，我们知道若等差数列{an}的首项为a1，公差
为d，通过定义an－an-1=d(n≥2)，逐一列举a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d，…… 归纳得到其通项公式为an=a1+(n－1)d(n∈N*).
但当时并没有给出严格的数学证明. 那么，对于这类与正整数n有关的命题，我们怎样证明它对每一个 正整数n都是成立的呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法.
第二步假设n=k(k∈N*)时等式成立，则当n=k＋1时应得到( B )
A. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=k2
B. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋1)2
C. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋2)2 D. 1＋3＋5＋…＋(2k＋1)=(k＋3)2
(3)利用假设是核心：在第二步证明n=k＋1成立时，一定要利用归纳假设， 即必须把归纳假设“n=k时命题成立”作为条件来导出“n=k＋1时命题成 立”，在书写P(k＋1)时，一定要把包含P(k)的式子写出来，尤其是P(k) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数 学归纳法.
…….
所以，对于任意正整数n，猜想都成立，
即数列{an}的通项公式是an=1 (n∈N*).
归纳推理公开课优质课比赛获奖课件
互动游戏1：小毛的爸爸有4个儿子，大儿子 叫大毛，二儿子叫二毛，三儿子叫三毛，那 小儿子叫什么名字呢？
游戏2：猜猜猜：教师拿一不透明袋子，里面 装东西若干,教师每次从中不放回取出一件由 学生来猜. 教师第一次拿出一支白粉笔， 第二次拿出一支白粉笔， 第三次拿出一支白粉笔， 则下一次拿出的是什么？（A猜白粉笔） 结果：第四次是红粉笔. 教师提示，不是白粉笔，有没有可能都是粉笔呢？ 第五次拿出红粉笔，（ A猜是粉笔） 第六次拿出一块黑板擦，，，，（学生凌乱了）
感悟数学发展史中数学 家不畏艰辛的探究精神 和勇于突破的创新精神， 了解数学文化，培养学 习数学的兴趣.加强推理 方法的引导，使学生会 用数学眼光观察世界， 会用数学思维思考世界 ，会用数学语言表达世 界
二、教学目标
教学重点：
通过实例掌握推 理过程，能利用归 纳进行简单的推 理． 研究问题的方 法渗透.
猜想：凸n边形内角和为_______
思维导图
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结 论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、 由个别到一般
的推理
观察、分析
哥德巴赫猜想:
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5,
一教材分析
（二）学情分析
知识层面： “熟悉的陌生人” 能力层面：学生只是挖出了我们“埋好的金子”. 情感层面：归纳推理的猜想都经历了不平凡的过程
二、教学目标
知识与技能
过程与方法
情感态度价值观
了解推理过程，进而能 利用归纳进行简单的推 理.掌握归纳推理的一 般性步骤
培养学生分析问题的 能力和抽象概括能力， 体会从特殊到一般的认 识规律感知归纳推理的 价值和意义.
游戏2：猜猜猜：教师拿一不透明袋子，里面 装东西若干,教师每次从中不放回取出一件由 学生来猜. 教师第一次拿出一支白粉笔， 第二次拿出一支白粉笔， 第三次拿出一支白粉笔， 则下一次拿出的是什么？（A猜白粉笔） 结果：第四次是红粉笔. 教师提示，不是白粉笔，有没有可能都是粉笔呢？ 第五次拿出红粉笔，（ A猜是粉笔） 第六次拿出一块黑板擦，，，，（学生凌乱了）
感悟数学发展史中数学 家不畏艰辛的探究精神 和勇于突破的创新精神， 了解数学文化，培养学 习数学的兴趣.加强推理 方法的引导，使学生会 用数学眼光观察世界， 会用数学思维思考世界 ，会用数学语言表达世 界
二、教学目标
教学重点：
通过实例掌握推 理过程，能利用归 纳进行简单的推 理． 研究问题的方 法渗透.
猜想：凸n边形内角和为_______
思维导图
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结 论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、 由个别到一般
的推理
观察、分析
哥德巴赫猜想:
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5,
一教材分析
（二）学情分析
知识层面： “熟悉的陌生人” 能力层面：学生只是挖出了我们“埋好的金子”. 情感层面：归纳推理的猜想都经历了不平凡的过程
二、教学目标
知识与技能
过程与方法
情感态度价值观
了解推理过程，进而能 利用归纳进行简单的推 理.掌握归纳推理的一 般性步骤
培养学生分析问题的 能力和抽象概括能力， 体会从特殊到一般的认 识规律感知归纳推理的 价值和意义.
2024-2025学年高中数学选择性必修第一册(湘教版)配套课件第1章-1.4数学归纳法
分析 因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明 = 1时命题成立.第
二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果 = 时, ①式正确的，那么 = + 1时①式也是正确的.
高中数学
选择性必修第二册
湖南教育版
证明：（1）当 = 时，左边= 1 ，右边= 1 +0 × = 1 ,①式成立.
=
+2
2(+1)
=
+1
1− 9 (1-16)…(1-2)= 2 .
(+1)+1
.
2(+1)
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.
高中数学
选择性必修第二册
湖南教育版
课堂小结
1.知识清单：
数学归纳法的步骤.
2. 易错提示：
利用数学归纳法时，一定验证第一项成立.在用第项推证第 + 1项时，一定要用上第项成立的
2 −1
猜想an= −1 .下面证明猜想正确:
2
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
2 −1
(2)假设当n=k时猜想成立,则有ak= 2−1 ,
1
1
当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=2[2(k+1)-Sk]=k+1-2
所以,当n=k+1时,等式也成立.
那么当n=k+1时,
1
1
1
1
1
1-2 + 3 − 4+…+2−1 − 2 +
二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果 = 时, ①式正确的，那么 = + 1时①式也是正确的.
高中数学
选择性必修第二册
湖南教育版
证明：（1）当 = 时，左边= 1 ，右边= 1 +0 × = 1 ,①式成立.
=
+2
2(+1)
=
+1
1− 9 (1-16)…(1-2)= 2 .
(+1)+1
.
2(+1)
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.
高中数学
选择性必修第二册
湖南教育版
课堂小结
1.知识清单：
数学归纳法的步骤.
2. 易错提示：
利用数学归纳法时，一定验证第一项成立.在用第项推证第 + 1项时，一定要用上第项成立的
2 −1
猜想an= −1 .下面证明猜想正确:
2
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
2 −1
(2)假设当n=k时猜想成立,则有ak= 2−1 ,
1
1
当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=2[2(k+1)-Sk]=k+1-2
所以,当n=k+1时,等式也成立.
那么当n=k+1时,
1
1
1
1
1
1-2 + 3 − 4+…+2−1 − 2 +
高中数学课件-2 3数学归纳法(1)
倒下。
也成立。
根据（1）和 （2）， 根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨 知对任意的正整数n， 牌，都能全部倒下。 猜想都成立。
什么是数学归纳法？
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的
方法来证明它的正确性： 1.先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成 立，证明当n=k+1时命题也成立。
证明（：1）当n=1时左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 那么 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
12 22 32 k 2 (k 1)2
ak
1 k
,那么当n=k+1时猜
1
事实上,
ak 1
ak 1 ak
k 1
1
1 k 1
k
即n=k+1时猜想也成立.
你能得到哪些启示？
多米诺骨牌游戏原理 通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下1）当n=1时，猜想成立
（2）若第k块倒下时，2）假设当n=k时猜想
则相邻的第k+1块也 成立，当n=k+1时猜想
=2×2k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何 n∈N*都成立。
【课堂练习】
1、用数学归纳法证明：1 a a2 an1 1 an2
C 1 a
(a 1)，在验证n＝1时，左端计算所得项为_____ .
A、1
B、1 a
新教材高中数学第4章4.4数学归纳法课件苏教版选择性必修第一册
【解析】①当 n＝1 时，左边＝1，右边＝1×22 2＝1，等式成立．
②假设当 n＝kk∈N*，k≥1
时等式成立，即 13＋23＋33＋…＋k3＝[ k(k 1)]2 . 2
那么当 n＝k＋1 时，13＋23＋33＋…＋k3＋(k＋1)3＝[ k(k 1)]2 ＋(k＋1)3 2
＝(k＋1)2·k42＋k＋1
＝11× 11k+1+122k－1 ＋133×122k－1. 由归纳假设可知 11× 11k+1+122k－1 ＋133×122k－1 能被 133 整除，即11k＋2 ＋
122k＋1 能被 133 整除．所以 n＝k＋1 时结论也成立， 综上，由①②得，11n＋1 ＋122n－1能被 133 整除．
C．3k1＋1
D．3k1＋3
【解析】选 B.当 n＝k(k∈N*)时，所假设的不等式为 1 k＋1
＋1 k＋2
＋…＋31k
5 ≥6
，
当 n＝k＋1 时，要证明的不等式为 1 k＋2
＋1 k＋3
＋……＋31k
＋1 3k＋1
＋1 3k＋2
＋
1 3k＋3
5 ≥6
，
故需添加的项为 1 3k＋1
＋1 3k＋2
(n∈N*) .
【解析】①当 n＝1 时，11n＋1 ＋122n－1＝112＋12＝133 能被 133 整除，所以 n＝1 时结 论成立，
②假设当 n＝k(k∈N*) 时，11k＋1 ＋122k－1 能被 133 整除，
那么当 n＝k＋1 时，
11k＋2 ＋122k＋1 ＝11k＋1 ×11＋122k－1 ×122 ＝11k＋1 ×11＋122k－1 ×11－122k－1 ×11＋122k－1 ×122
课件2 ：2.3 数学归纳法
1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
数学归纳法复习课件ppt
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
目录
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
思考探究 第一个值n0是否一定为1呢？ 提示：不一定，要看题目中对n的要求，如当n≥3时，第 一个值n0应该为3.
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考点3 归纳—猜想—证明 例3 (2013·南京模拟)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论．
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【方法提炼】 “归纳—猜想—证明的模式”，是不完 全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法 在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题 模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明 结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的 重要方式．
＝
2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1＝2n1＋1－2n1＋2，故选 D.
目录
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4．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋13－14＋… －n1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝ ________时等式成立． 解析：因为假设n＝k(k≥2为偶数)，故下一个偶数为k＋2. 答案：k＋2
数学归纳法及其应用PPT优秀课件
不完全归纳法
可能 错误， 如何 避免
穷 举 法 作业：
数 学 归 纳 法
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
P67 习题2.1 1，2
谢谢! 请多多指导!!
~ 完~
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
数学归纳法课件
( k 1)( k 2)( 2k 3) 6
这就是说，当n=k+1时等式也成立 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
n N 课堂练习：用数学归纳法证明:当 2 1 3 5 .......... (2n 1) n
证明：①当n=1时，左边＝1, 右边=1
12，
k2
。
2）假设n=k时命题成立，即
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
n N 例1 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6
2 2 2 2
3）当n=k+1时，命题的形式是
1 2 3 k
n5 Fn 4, 294,967, 297 6,700,417 641
归纳法
：由一系列有限的特殊事例得出一般结
论的推理方法
归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
对于数列an ,已知a1 1，an1 猜想其通项公式
一，数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。
作业: P 96
A组1，2
课堂练习2： P95 练习1、2；
由(1)(2)可知命题对从 n 0 开始的所有正整数n 都成立。
这种证明方法叫做 数学归纳法
n N 例1 用数学归纳法证明
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6 思
2 2 2 2
考 1）第一步应做什么？此时n0= 1 ，左= ？ 当n=k时，等式左边共有 k 项， 第k项是
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
2.3数学归纳法课件人教新课标1
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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2．3 数学归纳法
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
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自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
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数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
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数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时
第二章 推理与证明
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2．3 数学归纳法
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时
人教版高中数学选择性必修2《数学归纳法》PPT课件
典例分析
例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列, + , ( + ) , … ，
+ − ， … 的前项和为 ，试比较 与的大小，并用数学归纳
法证明你的结论.
>
证明: (1)当 =2时， 不等式显然成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ 且>1时,不等式成立,即 >
的推理，证明n取所有正整数
都成立？
情景引入
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放
骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若
前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒
下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致
第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可
导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有
多少块骨牌,都能全部倒下.
探究新知
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
高中数学
选择性必修第二册
RJ
RJA
4.4*数学归纳法
情景引入
我是
一毛
我是
二毛
我是
三毛
我不是
四毛！我
猜：
是小明！
四毛！
我是
谁？
不完全归纳： 从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
探究新知
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
n＝k＋1
推出“当__________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整
数n都成立．
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
高中数学：数学归纳法(一)课件新课标人教A版选修2-2
证明： (1)当n=1时a1 =1成立
1 (2)假设n=k时猜想成立即 a k k 1
则n=k+1时,a k+1 ak k 1 1 ak 1 1 k 1 k
即n=k+1时猜想也成立
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
练习：1、如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
思考：用数学归纳法证明:当 n N
证明：①当n=1时，左边＝
1 3 5 .......... (2n 1) n
证明 假设 当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 2. 当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 数学归纳法 。
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
例1：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
3
1 n(n 1)(n 2) 3
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
(k 1)(k 2)
利 用 假 设
1 ( k 1) (k 1)(k 2) 3
1 ( k 1)k 1 1k 1 2 = 3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
n N ，命题正确。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基
1 1 1 1 答案： 3K 2 3K 3 3K 4 K 1
数学归纳法及其应用优秀课件
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 22 33 4 n ( n 1 ) n 1 成立，那么
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
a a ( n 1 ) d n 1
a ( n 5 n 5 ) 2．数列通项公式为： n 1 , a 1 , a 1 , a 1 , 验证可知：a 1 ２ ３ ４
2 2
?
25 1 如a 5
2 2 对任何 n N , a ( n 5 n 5 ) 1 n
费尔马认为 2 1一定都是质数，并验证当 n=0，1，2，3，4时都是质数
2n
18世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认证明 2 1 =4294967297=6700417×641从而否定了费尔马的 猜想
25
实验问题
1、现在桌上立着许多小木块，我们当然可以一块一块地 把它们全部推倒，但现在只允许推倒一块，你有什么 办法做到使它们全部倒下吗？如果有办法，小木块应 怎样摆？应先推倒哪一块？
2、小木块全部倒下满足的条件：
B、假设n=k(k∈N )时，等式 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 22 33 4 n ( n 1 ) n 1 成立，那么
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
a a ( n 1 ) d n 1
a ( n 5 n 5 ) 2．数列通项公式为： n 1 , a 1 , a 1 , a 1 , 验证可知：a 1 ２ ３ ４
2 2
?
25 1 如a 5
2 2 对任何 n N , a ( n 5 n 5 ) 1 n
费尔马认为 2 1一定都是质数，并验证当 n=0，1，2，3，4时都是质数
2n
18世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认证明 2 1 =4294967297=6700417×641从而否定了费尔马的 猜想
25
实验问题
1、现在桌上立着许多小木块，我们当然可以一块一块地 把它们全部推倒，但现在只允许推倒一块，你有什么 办法做到使它们全部倒下吗？如果有办法，小木块应 怎样摆？应先推倒哪一块？
2、小木块全部倒下满足的条件：
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归纳推理之数学猜 想
数学教人 数学教人 数学教人
思考 严谨 智慧
认真观察下列等式:
4＝2＋2 、 6＝3＋3、 8＝3＋5、 10＝5＋5、 12＝7 ＋ 5、 14＝7＋7、 16＝13＋3、 18＝13＋5、
……
你有什么 猜想？
根据某类事物的部分对 象具有的某种性质，推出这
哥德巴赫猜想
类事物的所有对象都具有这
f m n (m, n)
m、n的最大公约数
陈景润（1933~1996）
国际著名数学家
1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过 多年潜心研究之后，成功地证明了"1＋2"，也就是 "任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个 素因子不超过2个的数之和"。 这是迄今为止， 这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗"数学王冠 上的明珠"仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动。 "1＋2" 也被誉为陈氏定理。
角线所穿越的小正方形个数 f 与 m、n 之间的存在怎 样的关系？
你能提出 一个问题吗？
4n
m5
合作探究
在由m×n个小正方形组成的矩形网格中，它的一
条对角线所穿越的小正方形个数 f 与 m、n 之间的 存在怎样的关系？
m
n
归纳猜想
在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中，
它的一条对角线所穿越的小正方形个数 f 与m、n之 间的关系为：
种性质的推理，叫做归纳推
"数学王冠上的明珠"
理。 归纳推理一般要通过观察、实验、
归纳、猜想、验证或证明等过程。
观察与思考
下图是4×5个小正方形组成的矩形网格图，它的一 条对角线所穿越的小正方形个数 f 是多少呢？
你能提出 一个问题吗？
4n
m5
观察与思考
在个m×n小正方形组成的矩形网格图，它的一条对
活动小结
Байду номын сангаас
仔
认
反
大
小
细
真
复
胆
心
观
思
试
猜
验
察
考
验
想
证
课外活动：
1.完成《数学综合实践活动评价报告》 2.完成课后练习
感谢专家指导！ 谢谢同学们合作！
数学教人 数学教人 数学教人
思考 严谨 智慧
认真观察下列等式:
4＝2＋2 、 6＝3＋3、 8＝3＋5、 10＝5＋5、 12＝7 ＋ 5、 14＝7＋7、 16＝13＋3、 18＝13＋5、
……
你有什么 猜想？
根据某类事物的部分对 象具有的某种性质，推出这
哥德巴赫猜想
类事物的所有对象都具有这
f m n (m, n)
m、n的最大公约数
陈景润（1933~1996）
国际著名数学家
1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过 多年潜心研究之后，成功地证明了"1＋2"，也就是 "任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个 素因子不超过2个的数之和"。 这是迄今为止， 这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗"数学王冠 上的明珠"仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动。 "1＋2" 也被誉为陈氏定理。
角线所穿越的小正方形个数 f 与 m、n 之间的存在怎 样的关系？
你能提出 一个问题吗？
4n
m5
合作探究
在由m×n个小正方形组成的矩形网格中，它的一
条对角线所穿越的小正方形个数 f 与 m、n 之间的 存在怎样的关系？
m
n
归纳猜想
在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中，
它的一条对角线所穿越的小正方形个数 f 与m、n之 间的关系为：
种性质的推理，叫做归纳推
"数学王冠上的明珠"
理。 归纳推理一般要通过观察、实验、
归纳、猜想、验证或证明等过程。
观察与思考
下图是4×5个小正方形组成的矩形网格图，它的一 条对角线所穿越的小正方形个数 f 是多少呢？
你能提出 一个问题吗？
4n
m5
观察与思考
在个m×n小正方形组成的矩形网格图，它的一条对
活动小结
Байду номын сангаас
仔
认
反
大
小
细
真
复
胆
心
观
思
试
猜
验
察
考
验
想
证
课外活动：
1.完成《数学综合实践活动评价报告》 2.完成课后练习
感谢专家指导！ 谢谢同学们合作！