等差数列典型例题及分析(必看)
等差数列经典试题(含答案) 百度文库
16．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 ，已知 ， ，且满足 （ ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人
A．225B．255C．365D．465
17．已知数列 满足 且 ，则 时，使得不等式 恒成立的实数a的最大值是（）
A．19B．20C．21D．22
故选：D．
【点睛】
方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.
12．C
【分析】
令 ， ，求出 ， ，进而求出 ， ，则 可得．
【详解】
令 ， ，
可得当 时， ，
，
当 ， ，符合 ，
故 ， ，
故 .
【点睛】
由 求 时， ，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解．
一、等差数列选择题
1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺
A． B． C． D．
2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（）
A．4B．5C．7D．8
25．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）
等差数列典型例题(含答案)
等差数列试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）62．已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．54．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8.已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分）11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a _____________.12．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）14．等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.15．已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
等差数列题目100道
等差数列题目100道一、基础概念类题目1. 已知数列{a_n}满足a_{n + 1}-a_n = 3，a_1 = 2，求数列{a_n}的通项公式。
- 解析：因为a_{n + 1}-a_n = d = 3（d为公差），a_1 = 2。
根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。
2. 在等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_{10}。
- 解析：首先求公差d，d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。
由a_3=a_1+(3 - 1)d，即7=a_1 + 2×2，解得a_1 = 3。
那么a_{10}=a_1+(10 -1)d=3+9×2 = 21。
3. 若数列{a_n}为等差数列，且a_2=5，a_6 = 17，求其公差d。
- 解析：根据等差数列通项公式a_n=a_m+(n - m)d，则a_6=a_2+(6 - 2)d，即17 = 5+4d，解得d = 3。
4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=-1，公差d = 2，求该数列的前n项和S_n的公式。
- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，将a_1=-1，d = 2代入可得S_n=-n+(n(n - 1))/(2)×2=n^2 - 2n。
5. 在等差数列{a_n}中，a_1 = 1，a_{10}=19，求S_{10}。
- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，这里n = 10，a_1 = 1，a_{10}=19，则S_{10}=(10×(1 + 19))/(2)=100。
二、性质应用类题目6. 在等差数列{a_n}中，若a_3+a_8+a_{13}=12，求a_8的值。
- 解析：因为在等差数列中，若m,n,p,q∈ N^+，m + n=p+q，则a_m + a_n=a_p + a_q。
6.2等差数列典型例题及详细解答
精心整理1．等差数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，往常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式假如等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项假如A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推行：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋*5．等差数列的前n项和公式设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n＝或S nna1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系S n＝n2＋n.数列{a n}是等差数列?S n＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．【思虑辨析】判断下边结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)等差数列{an}的单一性是由公差d决定的．(√)(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)(5)数列{an}知足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(×)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(此中p，q为常数)，则数列{an}必定是等差数列．(√)1．(2015重·庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()A．－1B．0C．1D．6答案B分析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－精心整理4＝0，选B.2．(2014福·建)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14答案C分析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，应选C.3．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A．58B．88C．143D．176答案B分析S11＝＝＝88.4．设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋＋a7等于()精心整理A．14B．21C．28D．35答案C分析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，a1＋a2＋＋a7＝7a4＝28.5．(2014·京北)若等差数列{a n}知足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．答案8分析{a n}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8因为数列＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{a n}中，若a1＝－2，且对随意的n∈N*有2a n＋1＝1＋2a n，则数列{a n}前10项的和为()精心整理A．2B．10C.D.(2)已知在等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于()A．100B．210C．380D．400答案(1)C(2)B分析(1)由2a n＋1＝1＋2a n得a n＋1－a n＝，所以数列{a n}是首项为－2，公差为的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋×＝.(2)因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，故S10＝10×3＋×10×9×4＝210.思想升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，而后由通项公式或前n项和公式转变成方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及精心整理前n项和公式，共波及五个量a1，a n，d，n，S n，知此中三个就能求此外两个，表现了方程的思想．(1)(2015课·标全国Ⅱ)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于()A．5B．7C．9D．11(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且知足－＝1，则数列{a n}的公差是()．1C．2D．3答案(1)A(2)C分析(1)∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，S5＝＝5a3＝5.应选A.(2)∵S n＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{a n}的公差为2.精心整理题型二等差数列的判断与证明例2已知数列{a n}中，a1＝，a n＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{b n}知足b n＝(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项和最小项，并说明原因．(1)证明因为a n＝2－(n≥2，n∈N*)，b n＝(n∈N*)，所以b n＋1－b n＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.所以数列{b n}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知b n＝n－，则a n＝1＋＝1＋.精心整理设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．所以当n＝3时，a n获得最小值－1，当n＝4时，a n 获得最大值3.引申研究例2中，若条件变成a1＝，na n＋1＝(n＋1)a n＋n(n 1)，研究数列{a n}的通项公式．解由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴a n＝n2－n.思想升华等差数列的四个判断方法精心整理(1)定义法：证明对随意正整数n都有a n＋1－a n等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对随意正整数n都有2a n＋1＝a n＋a n＋2后，可递推得出a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n＝a na n－1＝a n－1－a n－2＝＝a2－a1，依据定义得出数列{a n}为等差数列．(3)通项公式法：得出a n＝pn＋q后，得a n＋1－a n＝p对随意正整数 n恒建立，依据定义判断数列{a n}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出S n ＝An2＋Bn后，依据S n，a n的关系，得出a n，再使用定义法证明数列{a n}为等差数列．(1)若{a n}是公差为1的等差数列，则{a2n－1精心整理＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为()A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝答案(1)C(2)A分析(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知式＝＋可得－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的精心整理等差数列，所以＝n，即a n＝.精心整理题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015广·东)在等差数列{a n}中，若a3＋a4a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)10(2)60分析(1)因为{a n}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为精心整理S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n获得最大值，并求出它的最大值．解∵a1＝20，S10＝S15，10×20＋d＝15×20＋d，d＝－.方法一由a n＝20＋(n－1)×＝－n＋.得a13＝0.即当n≤12时，a n＞0，当n≥14时，a n＜0.∴当n＝12或13时，S n获得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.方法二S n＝20n＋·＝－n2＋n精心整理＝－2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12 S13＝130.引申研究例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其余条件不变，求当n取何值时，S n获得最小值，并求出最小值．解由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∴a13＝0.又a1＝－20，∴a12<0，a14>0，精心整理∴当n＝12或13时，S n获得最小值，最小值S12＝S13＝＝－130.思想升华(1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n}中，a m－a n＝(m－n)d?d(m≠n)，其几何意义是点(n，a n)，(m，a m)所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则a．S2n＝n(a1＋a2n)＝＝n(a n＋a n＋1)；b．S2n－1＝(2n－1)a n.(2)求等差数列前n项和S n最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S n精心整理an2＋bn，经过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a．当a1＞0，d＜0时，知足的项数m使得S n获得最大值S m；b．当a1＜0，d＞0时，知足的项数m使得S n获得最小值S m.(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当S n取最大值时，n的值是()A．5B．6C．7D．8(2)设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则S n取最大值时，n的值为()精心整理A．5B．6C．5或6D．11(3)已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为________．答案(1)B (2)C(3)110分析(1)依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{a n}是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起此后各项均为负数，于是当S n取最大值时，n＝6，选B.(2)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，S n最大，选C.(3)因为等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入乞降公式得，S n＝na1＋d＝20n－×2精心整理＝－n2＋21n＝－2＋2，又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，S n获得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n项和及其最值典例(1)在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于()A．45B．60C．75D．90(2)在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110 ________.(3)等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为()A．S4B．S5C．S6D．S7思想点拨(1)求等差数列前n项和，能够经过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也能够利用精心整理等差数列的性质：a1＋a n＝a2＋a n－1＝；(2)求等差数列前 n项和的最值，能够将S n化为对于的二次函数，求二次函数的最值，也能够察看等差数列的符号变化趋向，找最后的非负项或非正项．分析(1)由题意得a3＋a8＝9，所以S10＝＝＝＝45.(2)方法一设数列{a n}的公差为d，首项为a1，则解得所以S110＝110a1＋d＝－110.方法二因为S100－S10＝＝－90，所以a11＋a100＝－2，所以S110＝＝＝－110.精心整理(3)因为所以所以S n的最大值为S5.答案(1)A (2)－110(3)B温馨提示(1)利用函数思想求等差数列前n项和S n的最值时，要注意到n∈N*；(2)利用等差数列的性质求S n，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解相关等差数列的基本量问题时，可经过列关于a1，d的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；此外还能够用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判断一个数列是否为等差数列．精心整理3．等差数列性质灵巧使用，能够大大减少运算量．4．在碰到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a ＋d，a＋3d等，可视详细状况而定．[失误与防备]1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，a n为常数．2．公差不为0的等差数列的前 n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6精心整理＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案B分析由{a n}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，获得S9－S6＝2S6－3S3＝45，应选B. 2．(2015·京北)设{a n}是等差数列，以下结论中正确的是()A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0答案C精心整理分析设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2>0，a2a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，因为d正负不确立，因此a2＋a3符号不确立，应选项A错；若a1a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，因为d正负不确立，因此a1＋a2符号不确立，应选项B错；若0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，所以a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，所以a2>，应选项C正确；若a1<0，则(a2－a1)·(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，应选项D错．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C精心整理分析∵数列{a n}为等差数列，且前n项和为S n，∴数列也为等差数列．∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5，经查验为原方程的解，应选 C.4．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0B．3C．8D．11答案B设{b n}的公差为d，∵分析∵∵－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.∵b10∵∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.精心整理b1＋b2＋＋b7＝7b1＋d7×(－6)＋21×2＝0.又b1＋b2＋＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，a8＝3.应选B.5．已知数列{a n}知足a n＋1＝a n－，且a1＝5，设{a n}的前n项和为S n，则使得S n获得最大值的序号n的值为()A．7B．8C．7或8D．8或9答案C分析由题意可知数列{a n}是首项为5，公差为－的等差数列，所以a n＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所精心整理以S n获得最大值时，n＝7或8，应选C.6．已知数列{a n}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10 ________.答案分析由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝.7．已知递加的等差数列{a n}知足a1＝1，a3＝a－4，则a n＝________.答案2n－1分析设等差数列的公差为d，a3＝a－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.因为该数列为递加数列，故d＝2.∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.精心整理8．设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝________.答案130分析由a＝－∈N*知是以－为首项，n2n10(n)n8 {a}为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，a n≤0，当n＞5时，a n＞0，∴|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋＋a15)20＋110＝130.9．若数列{a n}的前n项和为S n，且知足a n＋2S n S n 1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n≥2时，由an＋2S nn－1＝0，S得S n－S n－1＝－2S n S n－1，所以－＝2，精心整理又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解由(1)可得＝2n，∴S n＝.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不合适上式．故a n＝10．等差数列{a n}中，设S n为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，S n最大？解方法一由S3＝S11得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.进而S n＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，S n最大．方法二因为S n＝an2＋bn是对于n的二次函数，由S3＝S11，可知S n＝an2＋bn的图象对于n＝＝7精心整理对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，S n 最大．方法三由方法一可知，d＝－a1.要使S n最大，则有即解得≤n≤，故当n＝7时，S n最大．方法四由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大．B组专项能力提高(时间：20分钟)11．设S n为等差数列{a n}的前n项和，(n＋1)S n＜精心整理nS n＋1(n∈N*)．若＜－1，则()A．S n的最大值是S8B．S n的最小值是S8C．S n的最大值是S7D．S n的最小值是S7答案D分析由条件得＜，即＜，所以a n＜a n＋1，所以等差数列{a n}为递加数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{a n}前7项均小于0，第8项大于零，所以S n的最小值为S7，应选D.12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－3，a k＋1＝，S k＝－12，则正整数k＝________.答案13分析S k＋1＝S k＋a k＋1＝－12＋＝－，又S k＋1＝精心整理＝＝－，解得k＝13.13．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对随意自然数n都有＝，则＋的值为________．答案分析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.14．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，b n＝，若对随意的n∈N*，都有b n≥b8建立，则实数a的取值范围为________．精心整理答案(－8，－7)分析依题意得b n＝1＋，对随意的n∈N*，都有b n≥b8，即数列{b n}的最小项是第8项，于是有≥.又数列{a n}是公差为1的等差数列，所以有即由此解得－8＜a＜－7，即实数a的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且知足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项a n；(2)求S n的最小值；(3)若数列{b n}是等差数列，且b n＝，求非零常数 c.解(1)因为数列{a n}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，所以a3＜a4，精心整理所以a3＝9，a4＝13，所以所以所以通项a n＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以S n＝na1＋×d＝2n2－n＝22－.所以当n＝1时，S n最小，最小值为S1＝a1＝1.(3)由(2)知S n＝2n2－n，所以b n＝＝，所以b1＝，b2＝，b3＝.因为数列{b n}是等差数列，精心整理所以2b2＝b1＋b3，即×2＝＋，所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0(舍去)，经考证c＝－时，{b n}是等差数列，故c＝－.。
等差数列的性质(完整版,配例题)
等差数列的性质等差数列通项公式：()d n a a n 11-+= 等差数列前n 项和公式：()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=等差数列的性质：（1）等差中项：如果c b a ,,成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项。
即：c b a ,,成等差数列22ca b b c a +=⇔=+⇔ （2）等差数列{}n a 中，当n 为奇数时，21121+=-+=-n a d n a S S 偶奇（中间项)； 21+⋅=n n a n S （项数与中间项的积）；11-+=n n S S 偶奇； 当n 为偶数时，d nS S 2=-奇偶； 2122++⋅=nn n a a n S ；122+=nna a S S 偶奇。
【例1】在等差数列{}n a 中， ① 已知154533,153a a ==，求30a ；总结：已知()，且同奇偶+∈N n m a a n m ,,，可求2n m a +。
② 已知16,1086==a a ，求13S ；总结：已知()+∈N n m a a n m ,,，可求1-+n m S 。
③ 已知163a =，求31S ；总结：已知()+∈N n a n ，可求12-n S ()()n n a n S 1212-=-。
④ （2007湖北理）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且3457++=n n B A n n ，则使得n n b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【练习1】等差数列{}n a 的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27:32，求公差d ；【练习2】在两个等差数列{}n a 和{}n b 满足327321321++=++++++++n n b b b b a a a a n n ，求55b a 。
（3）等差数列{}n a 中，()()+∈-=-N m n d m n a a m n ,；（4）如果c b a ,,成等差数列，则k mc k mb k ma +++,,也成等差数列()为常数k m ,； （5）等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（6）等差数列{}n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按照原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列。
等差数列试题
等差数列试题一、等差数列的概念与通项公式1. 已知数列{a_{n}}满足a_{n + 1}-a_{n}=3，a_{1}=2，求数列{a_{n}}的通项公式。
- 解析：因为a_{n + 1}-a_{n}=3，所以数列{a_{n}}是公差d = 3的等差数列。
根据等差数列通项公式a_{n}=a_{1}+(n - 1)d，已知a_{1}=2，d = 3，则a_{n}=2+(n - 1)×3=2 + 3n-3=3n - 1。
2. 等差数列{a_{n}}中，a_{3}=7，a_{5}=11，求a_{n}。
- 解析：首先求公差d，d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。
又a_{3}=a_{1}+2d，a_{3} = 7，d = 2，则a_{1}=a_{3}-2d=7-2×2 = 3。
所以a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=3+(n - 1)×2=2n + 1。
3. 若数列{a_{n}}的通项公式为a_{n}=4n - 3，证明{a_{n}}是等差数列。
- 解析：对于n≥slant1，a_{n + 1}=4(n + 1)-3=4n+1。
则a_{n + 1}-a_{n}=(4n + 1)-(4n - 3)=4（常数）。
所以数列{a_{n}}是公差为4的等差数列。
4. 在等差数列{a_{n}}中，a_{1}= - 5，d = 3，n = 10，求a_{n}。
- 解析：根据等差数列通项公式a_{n}=a_{1}+(n - 1)d，将a_{1}=-5，d = 3，n = 10代入，可得a_{10}=-5+(10 - 1)×3=-5 + 27 = 22。
5. 已知等差数列{a_{n}}中a_{2}=5，a_{6}=17，求a_{14}。
- 解析：设等差数列{a_{n}}的公差为d，则a_{6}-a_{2}=4d，即17 - 5=4d，解得d = 3。
三年级等差数列例题
三年级等差数列例题一、等差数列基础概念例题。
1. 例题：求等差数列3，7，11，15，…的第10项是多少？- 解析：- 我们要确定这个等差数列的首项a_1 = 3，公差d=7 - 3=4。
- 根据等差数列的通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。
- 当n = 10时，a_10=3+(10 - 1)×4=3 + 9×4=3+36 = 39。
2. 例题：等差数列2，5，8，11，…，29，这个数列共有多少项？- 解析：- 已知首项a_1 = 2，公差d = 5-2 = 3，末项a_n=29。
- 根据通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得到29 = 2+(n - 1)×3。
- 化简方程29=2 + 3n-3，即29=3n - 1。
- 移项可得3n=30，解得n = 10，所以这个数列共有10项。
3. 例题：在等差数列{a_n}中，a_1 = 5，d = 3，求前5项的和S_5。
- 解析：- 根据等差数列求和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，先求a_5。
- 由通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，当n = 5时，a_5=5+(5 - 1)×3=5+12 = 17。
- 再代入求和公式S_5=(5×(5 + 17))/(2)=(5×22)/(2)=55。
4. 例题：已知等差数列1，4，7，10，…，求这个数列的第20项与前20项的和。
- 解析：- 首项a_1 = 1，公差d = 4 - 1=3。
- 第20项a_20=a_1+(20 - 1)d=1+(20 - 1)×3=1+19×3=1 + 57=58。
- 前20项和S_20=(20×(1 + 58))/(2)=10×59 = 590。
5. 例题：等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_1和d。
- 解析：- 根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。
等差数列的前n项和·例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a 6=a 1＋5d ，也可以不必求出a n 而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a 2a 9d =28a 4d =25a 5d =36111⎧⎨⎩ 即a 6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3即＝＋ n N 213()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)．又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴ 两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d ①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212 由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1 ⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n () 12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++ 解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S=(a+a)n2n1n·×=-=-+=--+()()633232632 322123218222n nn n n∵n∈N，∴当n=10或n=11时，S n取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n－1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证⇒由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件．说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再 解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
小学奥数 等差数列计算题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解：知识点拨等差数列计算题23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．【例 1】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778+++++++= ⑵13578799++++++=⑶471013404346+++++++=【考点】等差数列计算题 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⑴根据例1的结果知：算式中的等差数列一共有76项，所以：34567677783787623078+++++++=+⨯÷=（）⑵算式中的等差数列一共有50项，所以：13578799(199)5022500++++++=+⨯÷=⑶算式中的等差数列一共有15项，所以：471013404346446152375+++++++=+⨯÷=（）【答案】⑴3078 ⑵2500 ⑶375【巩固】 1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。
等差数列与等比数列十大例题
等差数列与等比数列十大例题例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅，所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．（I ） 求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例3、 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n s 解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故 022=+q q又0≠q ，从而21－=q 5分 （Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a从而））（（）（））（（n nn 211382112114--=----=S 10分 例 4、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。
等差数列的前n项和例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a 6=a 1＋5d ，也可以不必求出a n 而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a 2a 9d =28a 4d =25a 5d =36111⎧⎨⎩ 即a 6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3即＝＋ n N 213()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)．又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴ 两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d ①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212 由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511由①，有(2n ＋1)d=1 ⑤由④，⑤，解得，d =111n =5∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n ()-12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n ab n n =+231100100，则等于[ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231 ∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++ 解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S =(a +a )n 2n 1n ·×=-=-+=--+()()633232632322123218222n n n n n ∵n ∈N ，∴当n=10或n=11时，S n 取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n－1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证⇒由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n∈N，a n＝2na＋b－a且a n－a n-1=2na＋(b－a)－2(n－1)a－b＋a＝2a(常数)∴{a n}是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件．说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再 解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩ 即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0∴S 13=169最大．解法四 根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n ． ∵{a n }是等差数列∴可设S n ＝An 2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
等差数列典型例题及详细解答
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明因为an＝2－ (n≥2，n∈N*)，
bn＝ (n∈N*)，
所以bn＋1－bn＝ －
＝ － ＝ － ＝1.
又b1＝ ＝－ .
所以数列{bn}是以－ 为首项，1为公差的等差数列．
(2)解由(1)知bn＝n－ ，
∴ 是以 ＝ 为首项，1为公差的等差数列，
.等差数列典型例题及详细解答
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1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ 或Sn＝na1＋ d.
2．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()
A．8B．10C．12D．14
答案C
解析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋ ×d＝12，
解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()
高中数学等差数列典型题型讲解(含解析)
高中数学等差数列典型题型讲解（含解析）一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．119．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．1910．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或718．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．17619．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．9524．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．10025．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为_________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为a n=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解答：解：∵为等差数列，，，∴∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8∵∴b8=a8﹣a1∵数列的首项为3∴2×8﹣8=a8﹣3，∴a8=11．故选D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，∴{a n}的公差d=3×4=12，∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n=12n﹣1≤302，即n≤25.5．又∵n∈N*，∴两个数列有25个相同的项．故选A解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，即3n+2=4m﹣1，∴n=m﹣1．又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤∵r∈N*从而有25个相同的项故选A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．11．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）A．B．C．D．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．∴公差d=；∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；∴；∴的前n项和，=两式相减得=∴故选B点评：求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．2专题：计算题．分析：由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0故选B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解答：解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，故选B．点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）A．4或5 B．5或6 C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n取得最小值时n的值．解答：解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，又n为正整数，所以当n=4时，S n取得最小值．故选C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）A．12 B．10 C．8D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，a2=4﹣4=0，d=0﹣（﹣2）=2，∴S4=4a1+=4×（﹣2）+4×3=4．故选D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）A．230 B．140 C．115 D．95考点：等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，解得d=3，把d=3代入①求得a1=﹣2，所以S10=10×（﹣2）+×3=115故选C．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前10项和S10 =运算求得结果．解答：解：等差数列{a n}中，a3+a8=5，∴a1+a10=5，∴前10项和S10 ==25，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前n项和公式的应用，求得a1+a10=5，是解题的关键，属于基础题．25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．解答：解：由S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1+d）2=a1（4a1+6d）．∵d≠0，∴d=2a1．∴===3．故选C点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项考点：等差数列的前n项和；二次函数的性质．专题：转化思想．分析：方法一：由a n，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．解答：解：方法一：由a n=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，则S n=19n+•（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，当n=﹣=10时，S n最大．所以数列{a n}从首项到第10项和最大．方法二：令a n=﹣2n+21≥0，解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，则数列{a n}从首项到第10项的和最大．故选A点评：此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n 的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|= 2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．解答：解：由于等差数列{an}的前n项的和，故a1=s1=5，∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．故前10项之和为a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为58．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将已知条件a3a6=55，a2+a7=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{a n}的通项公式（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{b n}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解（1）解：设等差数列{a n} 的公差为d，则依题设d＞0由a2+a7=16．得2a1+7d=16①由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55 ②由①得2a1=16﹣7d 将其代入②得（16﹣3d）（16+3d）=220．即256﹣9d2=220∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1所以a n=2n﹣1（2）令c n=，则有a n=c1+c2+…+c n，a n+1=c1+c2+…+c n﹣1两式相减得a n+1﹣a n=c n+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴c n+1=2，c n=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=＜BR＞于是S n=b1+b2+b3…+b n=2+23+24+…+2n+1=2+22+23+24+…+2n+1﹣4=﹣6，即S n=2n+2﹣6点评：求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．。
等差数列典型例题及详细解答
等差数列典型例题及详细解答(总1 3页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1■CAL■本页仅作为文档封面.使用请直接删除1. 等差数列的定义-般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母_g_表示.2. 等差数列的通项公式如果等差数列｛拐的首项为*公差为d,那么它的通项公式是a.,= a：+a-l）£・3. 等差中项如果A=~,那么月叫做a与b的等差中项.4. 等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n=（n—ai） d（n, mWN*）.⑵若｛<> 为等差数列，且1=m~\~n（k, m、”WN°）,则az+a』=ac+am（3）若｛%｝是等差数列，公差为"，贝9 ｛吐｝也是等差数列，公差为竺⑷若｛山，⑹是等差数列,贝!」｛皿+也｝也是等差数列.⑸若&｝是等差数列，公差为〃，则必，站”必口，…（匕 4）是公差为迢的等差数列.5. 等差数列的前n项和公式设等差数列｛““｝的公差为〃，其前“项和S”=^宁或必=“5+巴亍丄〃.6. 等差数列的前”项和公式与函数的关系数列｛"”｝是等差数列S…=An2+Bn（A. B为常数）.7. 等差数列的前”项和的最值在等差数列｛“”｝中，心0,（1<0,则&存在最大一值:若E<0, d>0,则S“存在最小值. 【思考辨析】判断下而结论是否正确（请在括号中打“ J ”或“ X ” ）（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（X ）⑵数列｛“”｝为等差数列的充要条件是对任意都有2如尸心+如2・（J）（3）等差数列｛心｝的单调性是由公差〃决定的.（J）（4）数列｛“”｝为等差数列的充要条件是其通项公式为"的一次函数.（X ）⑸数列｛"”｝满足“,小一"产”，则数列｛“”｝是等差数列.（X ）⑹已知数列｛⑷｝的通项公式是心=””+/苴中p,彳为常数），贝IJ数列｛““｝一立是等差数列.（V ）1. （2015•重庆）在等差数列｛如中,若他=4,心=2,则心等于（）A・一 1 B. 0 C・ 1 D・ 6答案B解析由等差数列的性质，得“6二如-"2二2X2 - 4二0 ,选B.2. （2014 •福建）等差数列｛血｝的前〃项和为几若t/i=2, 53=12,则心等于（）5-4 D 5-2 A. 8 B ・ 10 C ・ 12 D ・ 14答案C3X2解析由题意知⑵二2 ,由Sy = 3a\+—^Xd= 12 ,解彳导〃二2,所以“6二⑷+5d 二2 + 5X2二12,故选C ・3. 在等差数列｛“”｝中，已知心+心=16,则该数列前11项和S H 等于()A. 58 B ・ 88 C ・ 143 D ・ 176答案Blid] + 1 k/4 + “8解析 S|)二 ---- -- 二 ------ 二 8&4. 设数列｛“”｝是等差数列，若的+如+的=12,则他+卄・・+的等于()A. 14 B ・ 21 C ・ 28 D ・ 35 答案c解析 丁心十"4 +心=3心二12 # 6/4 = 4 ,/. U\ + U2 + ••• + = 7“4 = 2&5・(2014•北京诺等差数列仏｝满足⑷+曲+心>0,心+尙()<0,则当n= ______________ 时，仏｝的前〃项和最大. 答案8解析 因为数列｛"“｝是等差数歹I 」，且十"8 + "9 = 3"8 > 0 ,所以“8 > 0.又"7 + "10 = "8十Og < 0 ,所以的< 0.故当H 二8时，其前n 项和最大・例1⑴在数列仏｝中，若ai = -2,且对任意的nGN*有2如| = 1+2如 则数列｛如｝前10项的和为( )(2)已知在等差数列｛如中，"2=7,心=15.则前10项和Sg 等于()A. 100B. 210 C ・ 380 D ・ 400答案(1)C (2)B解析⑴由二1十如得⑷+】-如二* , 所以数列｛“”｝是首项为-2 ,公差为*的等差数列,10X10- 1 1 5所以510= 10X( - 2) + ----------- 5 ----- X 2 = 2・(2)因为 </2 = 7. a 4 = 15 .所以〃二 4,6/1 = 3,故 Sw 二 10X3 十10X9X4 二 210.思维升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项E 和公差d .然后由通项公式或前“项和公式转化为方 程(组)求解•(2)等差数列的通项公式及前"项和公式,共涉及五个呈山,m .d.n. S … ,知其中三个就能求另外 两个,体现了方程的思想•跟踪训练1 (1)(2015・课标全国II )设S “是等差数列｛“”｝的前“项和，若“|+“3+"5=3,则S5等于()A. 5B. 7C. 9D. 11⑵已知等差数列｛"”｝的前n 项和为S",且满足~y= 1,则数列⑺”｝的公差是()A.|B. 1C. 2D. 3答案(1)A (2)C解析 ⑴丁 ｛如为等差数列「."I 十“5二加3 ,a\ 十 “3 十"5 = 3"3 二 3 ,彳导"3 二 1 f5ai + as/. S5 二—5— - 5“3 二 5 •故选 A. nai + Un 如+。
等差数列经典试题(含答案)
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．1002．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．1393．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-45．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米6．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（ ）A ．350B ．351C ．674D ．6757．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11128．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n -=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．62279．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．53B ．2C ．8D ．1311．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10013．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．105 14．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9B ．5C ．1D ．5915．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13B ．26C ．52D ．5616．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．211n n -+ B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n +19．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ）A ．32B ．92 C ．2 D ．9 20．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16二、多选题21．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202223．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值24．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T >D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <26．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值27．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅28．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列29．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列30．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 2．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 3．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 4．A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.5．B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选：B. 6．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A. 【点睛】易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.7．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=.检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….故选：C 8．D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=， ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D 9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即21212k k b --=， 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B. 13．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 14．B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B 15．B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====.故选：B. 16．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】 解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=， 即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 17．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a +=1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选：B 18．C 【分析】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案． 【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 19．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 20．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A二、多选题21．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 22．BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 23．ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 24．BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD. 25．AC 【分析】将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 26．ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型. 27．ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项． 【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断． 28．ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212nn n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.29．BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 30．AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.。
初一等差数列试题及答案
初一等差数列试题及答案一、选择题1. 若等差数列{a_n}的首项a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）。
A. 9B. 11C. 13D. 15答案：C解析：根据等差数列的通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，将n=5，a_1=3，d=2代入公式，得到a_5 = 3 + (5-1)×2 = 3 + 8 = 11。
所以正确答案为C。
2. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5 = 30，S_10 = 100，则S_15的值为（）。
A. 210B. 270C. 330D. 360答案：B解析：根据等差数列的前n项和公式S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1)d)，可以得到S_5 = 5/2 × (2a_1 + 4d) = 30，S_10 = 10/2 × (2a_1 + 9d) = 100。
解这两个方程可以得到a_1和d的值，进而求出S_15 = 15/2 × (2a_1 + 14d) = 270。
所以正确答案为B。
二、填空题3. 等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，求a_10的值。
答案：29解析：根据等差数列的通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，将n=10，a_1=2，d=3代入公式，得到a_10 = 2 + (10-1)×3 = 2 + 27 = 29。
4. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3 = 12，S_6 = 36，则S_9的值为（）。
答案：72解析：根据等差数列的前n项和公式S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1)d)，可以得到S_3 = 3/2 × (2a_1 + 2d) = 12，S_6 = 6/2 × (2a_1 + 5d) = 36。
解这两个方程可以得到a_1和d的值，进而求出S_9 = 9/2 × (2a_1+ 8d) = 72。
数学等差数列试题答案及解析
数学等差数列试题答案及解析1.（本题满分14分）公差不为0的等差数列中，且成等比数列. （I）求的通项公式；（Ⅱ）设试比较与的大小，并说明理由.【答案】（I）an ＝n＋1（Ⅱ）bn＋1＞b n【解析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d．由已知得注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1．所以an＝n＋1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n ＝＋＋…＋，bn＋1＝＋＋…＋，因为bn＋1－b n＝＋－＝－＞0，所以bn＋1＞b n．2.（本题满分12分）已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有成等差数列；（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）已知（），求.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】设公比为，因为成等差数列，所以即解得 2分又，所以， 5分故. 6分（Ⅱ），7分10分. 12分【考点】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查“错位相减法”求和，意在考查考生的运算能力，逻辑思维能力．3.已知数列满足：，则__________.【答案】【解析】由题设知是等差数列，公差为1，所以.【考点】本题考查等差数列基础知识.4.已知等差数列｛｝的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1)求数列｛｝的通项公式；（2)设＝，求数列｛｝的前n项和.【答案】（1）an＝n＋1；（2）.【解析】(1)，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，化简得，d＝0(舍去)．∴，得a1＝2，d＝1.∴an ＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即an＝n＋1.（6分）(2)∵bn ＝2an＝2n＋1，∴b1＝4，.∴{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴.（12分）5.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为A．B．C．D．【答案】A【解析】由,得，所以，所以，又，选A.6.在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，-为公差的等差数列。
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第四章 数列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2ba +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.错解：（1）a n =3n+7;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。
错解： ① 34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ② nn n n n a n 21)1()1(122=-----++=错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S 1.正解： ①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =100.错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。
[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若),(27417+∈++=N n n n T S n n 求77b a ；错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.1110277417777=+⨯+⨯=∴b a 错因：误认为=n n T S nnb a 正解：79922713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴T S b b a a b a [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；错解：由a n ≥0得n ≤5∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝2)5)(520(--n n ∴ S n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤6,2)5)(520(5,50n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？解：理由如下：由题设： 31010=S 122020=S 得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n ∴3402=n（2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。
（02>n S ） 证明：依题意p a a n n =++1∵p a a a a n n n =+=++121 ∴npa a n S n n =+=2)(2212 ∵0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2=-np x ∴n S np x 2== （获证）。
四、典型习题导练1．已知nn n S a a 2311+==-且，求n a 及n S 。
2．设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 。
3.求和: n+++++++++++3211321121114.求和： )12()34()9798()99100(22222222-+-++-+- 5.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222,,依次成等差数列.6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。
A ．72B ．60C ．48D ．367. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。
8.已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 成等差数列，且713,61153-=-=a a ，求8a 的值。
§4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．3.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠-⋅-=--=⋅=)1(11)1()1(111q q qa a q q a q a n S n n n二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0.2.对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =a m q n-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a 1q n-1可改写为nn q qa a ⋅=1.当q>0，且q ≠1时，y=q x 是一个指数函数，而xq qa y ⋅=1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝的图象是函数xq qa y ⋅=1的图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：)1(111-=-=-=+++q aq aq aq S S a nn n n n n)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n nq a a nn =∴+1（常数） ∴{}n a 为等比数列，即B 。