空间向量知识点归纳(期末复习)

空间向量期末复习

知识要点:

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线

向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a

//。

当我们说向量a 、b 共线（或a b a b a b b 0 a b a b

共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数

,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数

,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作

,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，

显然有,,a b b a <>=<>；若,2

a b π

<>=

，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。

（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。 （3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。

（4）空间向量数量积的性质：

①||cos ,a e a a e ⋅=<>。②0a b a b ⊥⇔⋅=。③2

||a a a =⋅。 （5）空间向量数量积运算律：

①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。②a b b a ⋅=⋅（交换律）。 ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。 7.空间向量的坐标运算： (1).向量的直角坐标运算

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则

(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； (2).设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. (3).设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则

2||a a a =⋅=212121z y x ++

a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.

(4).夹角公式 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 则2

cos ,a b a <>=

(5)．异面直线所成角

cos |

cos ,|a b θ==

1212122222

2

2

1

1

1

222

||||||||

x x y y z z a b a b x y z x y z ++⋅=

⋅++⋅++.

(6).直线和平面所成的角的求法

如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝

|n·e|

|n||e|

.

(7). 二面角的求法

(1)如图①，AB ，CD 是二面角α ­l ­β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．

(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α ­l ­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．

2

12121,cos cos n n n n n n =><=θ

练习题：

1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a∥b ，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15

2

C ．x ＝3，y ＝15

D ．x ＝6，y ＝15

2

3．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →

，AC →

垂直，则向量a 为( )

A ．(1,1,1)

B ．(－1，－1，－1)

C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)

D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)

4．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________.