江西省百所名校2020届高三第四次联考数学试题数学(文科)试卷
江西省南昌市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析
江西省南昌市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln af x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x ax +，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．2．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x+my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则正实数m 的最小值是( )A ．13B ．3C D【答案】D 【解析】 【分析】设点()1,P my y -，由2PA PB =，得关于y 的方程.由题意，该方程有解，则0∆≥，求出正实数m 的取值范围，即求正实数m 的最小值.【详解】由题意，设点()1,P my y -.222,4PA PB PA PB =∴=Q ，即()()222211414my y my y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，整理得()2218120m y my +++=， 则()()22841120m m ∆=-+⨯≥，解得3m ≥或3m ≤-.min 0,3,3m m m >∴≥∴=Q .故选：D . 【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．4．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=， 所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人， 故选:D . 【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题. 6．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】 由11a ，31a ，41a 构成等差数列可得 31431111a a a a -=- 即13341413341422a a a a d da a a a a a a a ----=⇒=⇒=又()4111323a a d a a d =+⇒=+ 解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222n n n nS a n d d n d d n =+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 7．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，·22(2)0a b λ=+-=rr ，则1λ=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 8．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率21k ±==±-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．9．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-r r r ，若()a c b -⊥r r r，则n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-r r ，再由()a c b -⊥r r r，利用向量数量积等于0，从而求得n .【详解】由题可知(1,4)a c n -=-r r，因为()a c b -⊥r r r，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.10．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞U【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B U 和A B I ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目, 11．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.12．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A ．14种 B ．15种C ．16种D ．18种【答案】D 【解析】 【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起 【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种. 故选：D 【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年五省优创名校高三(全国Ⅰ卷)第四次联考文科数学试题及答案
2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,4,5A =，{}2,3,4,6B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}3,6 B ．{}1,3,6C ．{}2,6D ．{}2,3,4【答案】A【解析】先计算{} 1,3,6U A =ð，再计算()U A B I ð得到答案. 【详解】因为{} 1,3,6U A =ð，所以(){} 3,6U A B =I ð． 故选：A 【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生的计算能力.2．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力. 3．cos350sin 70sin170sin 20-=o o o o （ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-o o o o ，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==o o o o o o o o o ． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D【解析】判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．高考“33+”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【解析】计算选择物理的学生人数为20，再计算比值得到答案. 【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=． 故选：B 【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力.6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin 3b B C c =，则B =（ ） A ．6π或56πB ．4πC ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】根据正弦定理得到4sin cos sin 3sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =，∴3sin 2B =，∴23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 7．函数()()2ln1f x x x=+-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】判断函数为奇函数排除B ，C ，计算特殊值排除D ，得到答案. 【详解】∵()()()()()()222cos ln1ln 1ln 1x f x f x x xx xx x --====-⎡⎤+++--+--⎢⎥⎣⎦，∴()f x 为奇函数，排除B ，C ；又3022f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22ln 1ln1f πππππ==>+-++，排除D ；故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.8．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 9．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ）A ．73B C ．7D【答案】D【解析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A【解析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+，当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，n =______. 【答案】300【解析】直接利用分层抽样的比例公式计算得到答案. 【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为10， 则1004264n =++，解得300n =． 故答案为：300 【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力. 14．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 【答案】()0,3【解析】变换得到212x y =，计算焦点得到答案. 【详解】 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p =，所以焦点坐标为()0,3． 故答案为：()0,3 【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.15．已知偶函数()()R f x x ∈，其导函数为()f x '，当0x >时，()()210f x xf x x '++>，()1525f =，则不等式()21f x x >的解集为______. 【答案】()(),55,-∞-+∞U 【解析】令()()1g x xf x x=-，确定()g x 在()0,∞+上单调递增，()()155505g f =-=，解不等式得到答案.【详解】 令()()1g x xf x x =-，当0x >时，()()()210g x f x xf x x''=++>，()g x 在()0,∞+上单调递增．因为()f x 是偶函数，所以()g x 是奇函数． 因为()1525f =，所以()()155505g f =-=． 不等式()21f x x >等价于()0g x x >，所以()0,0x g x >⎧⎨>⎩或()0,0x g x <⎧⎨<⎩，解得5x >或5x <-．故答案为：()(),55,-∞-+∞U 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线123AC=，22MN=，所以其面积1222326 2S=⨯⨯=．故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题17．某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.表1：男生时长[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人数2816842表2：女生时长[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人数04121284（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）35；（2）填表见解析，没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【解析】（1）由题可知共有2615C =个基本事件，“运动达人”的可能结果为1142229C C C ⋅+=个，求得概率即可；（2）根据题意列出22⨯列联表，代入公式计算结果，然后判断即可. 【详解】（1）每周运动的时长在[20,25)中的男生有4人，在[25,30]中的男生有2人，则共有2615C =个基本事件，其中[25,30]中至少有1人被抽到的可能结果有1142229C C C ⋅+=个，所以抽到“运动达人”的概率为93155=； （2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人. 可得下列22⨯列联表：2280(26241416)40404238K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯20006 6.635399=<<， 所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题. 18．已知数列{}n a 满足123123252525253n n n a a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<． 【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =． 当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，22=PC ，23AB =，24AD BC ==，90DAB ABC o ∠=∠=，点E 为PD 的中点．（1）证明：CE AP ⊥．（2）求点E 到平面PAC 的距离． 【答案】（1）见解析（23．【解析】（1）取CD 的中点F ，连接,AF PF ，证明CE ⊥平面PAF 得到答案. （2）利用等体积法1133A PCE E PAC PAC PCE V V h S AF S --∆∆==⋅⋅=⋅⋅计算得到答案.【详解】（1）取CD 的中点F ，连接,AF PF ．在直角梯形ABCD 中，23AB =,24AD BC ==，90DAB ABC o ∠=∠=， 所以4AC AD CD ===．又因为F 为CD 的中点，所以AF CD ⊥． 因为PC ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， 所以PC AF ⊥，又因为PC CD C =I ， 所以AF ⊥平面PCD ，所以AF CE ⊥．在直角PCD ∆中，22=PC ，4CD =，,E F 分别为,PD CD 的中点， 因为22PC CF CD PC ==，所以PCD FCP ∆∆∽，所以CPF PDC ECD ∠=∠=∠， 所以CE PF ⊥．又因为,AF PF ⊂平面PAF ，AF PF F =I ， 所以CE ⊥平面PAF ，则CE AP ⊥．（2）设点E 到平面PAC 的距离为h ，由（1）可知AF ⊥平面PCD ， 所以1133A PCE E PAC PAC PCE V V h S AF S --∆∆==⋅⋅=⋅⋅， 整理得1232222314222PCEPACAF S h S ∆∆⨯⨯⋅===⨯⨯， 所以点E 到平面PAC 3． 【点睛】本题考查了线线垂直，点到平面的距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．已知函数()ln f x x x x =+，()xx g x e =． （1）若不等式()()2f xg x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值；（2）证明：()()1f x x g x +->． 【答案】（1）最小值为1e．（2）见解析 【解析】（1）化简得到ln 1x x a e +≤，令()ln 1xx m x e +=，求函数的最大值得到答案. （2）变换得到11ln x x x e+>，分别求表达式两边的最值得到答案. 【详解】（1）()()2f xg x ax ≤即()2ln x x x x x ax e +⋅≤，化简可得ln 1xx a e +≤． 令()ln 1x x m x e +=，()()1ln 1xx x m x e -+'=，因为1x ≥，所以11x≤，ln 11x +≥， 所以()0m x '≤，()m x 在[)1,+∞上单调递减，()()11m x m e≤=， 所以a 的最小值为1e． （2）证要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x xx x x e+>> 两边同除以x 可得11ln xx x e +>． 设()1ln t x x x =+，则()22111x t x x x x-'=-=， 在()0,1上，()0t x '<，所以()t x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增．所以()()11t x t ≥=． 设()1x h x e=，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=， 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->． 【点睛】本题考查了恒成立问题，表达式的证明，转化为函数的最值计算是解题的关键.21．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C交于,A B 两点，290AF B ∠=o，且2209F AB S ∆=． （1）求C 的方程；（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．【答案】（1）22154x y +=（2）45【解析】（1）不妨设2,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，计算得到2245a b =，根据面积得到a b ⋅=.（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】（1）由题意不妨设2,3A b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，则223b F A c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，223b F B c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ． ∵290AF B ∠=o，∴2222254099b F A F Bc a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =．又212202339F AB b S ∆=⨯⋅=，∴a b ⋅=∴a =2b =，故C 的方程为22154x y +=．（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴00MN y k x =-，设直线MN 的方程为()000y y x m m x =-+≠， 联立0022,1,54y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=．∵P 在C 上，∴22004520x y +=，∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-=．∴00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()220001212042225m y y mx y y x x m x -+=-++==， ()2200001212121220000y y y myy y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222220000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴()()()222222000102012012000255m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 22200025m x mx y -=()()()2222000102012012024m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴1020102045PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．【点睛】本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为9,x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为221613sin ρθ=+． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离．【答案】（1）221164x y +=．90x --=．（2． 【解析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程的公式计算得到答案.（2）曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩，设()4cos ,2sin P αα，计算点到直线的距离公式得到答案.【详解】 （1）由221613sin ρθ=+，得2223sin 16ρρθ+=， 则曲线C 的直角坐标方程为22416+=x y ，即221164x y +=．直线l的直角坐标方程为90x --=．（2）可知曲线C 的参数方程为4cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()4cos ,2sin P αα，[)0,2απ∈，则()2cos ,sin M αα到直线:90l x --=的距离为d ==≤所以线段OP 的中点M 到直线l． 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力. 23．设函数()121f x x x =++-． （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为a ，且x y z a ++=，求()()22212x y z ++++的最小值．【答案】（1）{1x x ≤-或}1x ≥（2）最小值为274． 【解析】（1）讨论1x <-，112x ≤≤-，12x >三种情况，分别计算得到答案. （2）计算得到32x y z ++=，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩当1x <-时，由33x -≥，解得1x <-； 当112x ≤≤-时，由23x -+≥，解得1x =-； 当12x >时，由33x ≥，解得1x ≥． 所以所求不等式的解集为{1x x ≤-或}1x ≥． （2）根据函数图像知：当12x =时，()min 32a f x ==，所以32x y z ++=． 因为()()212x y z ++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2221221212x y z x y x z y z =+++++++++++⎡⎤⎣⎦()()222312x y z ⎡⎤≤++++⎣⎦，由32x y z ++=，可知()()281124x y z ++++=⎡⎤⎣⎦， 所以()()22227124x y z ++++≥， 当且仅当32x =，12y =，12z =-时，等号成立． 所以()()22212x y z ++++的最小值为274．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.。
江西省百所名校2020-2021学年高三第四次联考数学(文)试题
【分析】
由题意可得 ，代入 并对其化简，再代入模长计算公式即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
从而 .
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.
3．A
【分析】
根据渐近线方程求得 关系式，结合离心率公式即可求得.
【详解】
因为 的渐近线方程为 ，所以 ，
故பைடு நூலகம்心率 .
故选：A.
【点睛】
A． B． C． D．
二、填空题
13．若非零向量 ，满足 ， ，则 与 的夹角的余弦值为______.
14．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为______.
15．已知高为 的正三棱柱的外接球的体积为 ，则该正三棱柱的底面边长为______.
三、双空题
16．在数列 中， ，前 项和 满足 .令 ，则 ______；若数列 满足 ， ，则 ______.
【详解】
因为原函数的定义域为 ，
且 ，知 为奇函数，所以排除A，
又因为 ，
当 时，函数为减函数，且 ，排除B、C.
A． B．
C． D．
7．下图是为了统计某班 名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中 表示第 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（）
A． B． C． D．
8．在正方体 中， 为 的中点， 为正方形 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
9．已知函数 的部分图象如图所示，为了得到函数 的图象，需要将函数 的图象向右平移 个单位长度，则 的最小值为（）
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
2020届江西省名校联盟高三第四次调研考试数学(理)试卷
2020届江西省名校联盟高三第四次调研考试数学试卷(理科)★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(1iz i i =-是虚数单位），则z 的共轭复数z = （ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A =，则集合B 可以是 （ ）A ．{}21xxB ．{}21x xC ．{}2log 1x xD ．{}1,2,33．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 ( )A.(3π-B.1)πC.1)πD.2)π4．设{}n a 是由正数组成的等比数列，且5681a a ＝，那么3132310log a log a log a ⋯＋＋＋的值是 ( ). A ．30B ．20C ．10D ．55．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A-⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为 （ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知定义域为[]4,22a a --的奇函数()32020sin 2f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不能确定8．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为12，约为0.618，这一比值也可以表示为a ＝2cos2︒＝ （ ）A.2B.1C.12D.149．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90︒，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中, x y R ∈，则35x y +的最大值为 （ ）B.5D.610．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 ( )A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>11．已知函数()y f x =，对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，其中()f x '是函数()f x 的导函数，则下列不等式成立的是 （ ）A 34f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数()()211e ,ln 2x f x g x x -==+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是 （ ）A.ln 212+- B.12C.ln(2e)2-12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知()()321233f x x mx m x =++++在R 上不是．．单调增函数，那么实数m 的取值范围是____．14．若关于x 的不等式112log (42)0x xλ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是___________15．设单调函数()y p x =的定义域为，值域为，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=__________．16．若关于x 的方程20x ax b ++=（,a b ∈R ）在区间[]13，有实根，则22(2)a b +-最小值是____．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<， q ：实数满足31x -<． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知函数()cos sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()21R x x +-∈. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.19. （本小题满分12分）已知函数2'()(4)(),,(1)0.f x x x a a R f =--∈-=且 （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.21．（本小题满分12分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数x 和y 不同时为零），当2x <时，有a b ⊥，当2x ³时，//a b ． （1）求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若对[)(,2]2,x ∀∈-∞-⋃+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数()22ln .f x a x x =-()1讨论函数()f x 的单调性；()2当0a >时，求函数()f x 在区间()21,e 上的零点个数.数学试卷参考答案1-5 DAABD 6-10 BACAB 11-12 CA13.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） 14.3λ≥- 15. 1 16. 92 17【解析】（1）由 得，当时，，即为真时，实数的取值范围是.由，得，即为真时，实数的取值范围是. 因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是；（2）由得， 所以，为真时实数的取值范围是.因为是的必要不充分条件，所以且所以实数的取值范围为：.18【答案】解：（1）()2cos sin 134f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭21cos sin 12x x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭，21sin cos 12x x x =--，11cos2sin2142x x +=-+-，1sin2cos2144x x =--， 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当236x ππ-=，即4x π=时， ()max 1131224f x =⨯-=-；当232x ππ-=-，即12x π=-时， ()()min 131122f x =⨯--=-.19(1) 函数),.,解得.则.,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，函数与的变化如下表：由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为，最小值为.20解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab+++-=，∴222a bc ab+-=，由余弦定理可知，222cos122a b cCab+-==，又∵(0,)Cπ∈，∴3Cπ=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin3a bA Bπ===，即,a Ab B==，∴2a b A B-=2sin()3A Aπ=-2cosA A A=--12cos cos )4sin()26A A A A A π=-=-=-， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则62A ππ<<即0A 63ππ<-<，所以，0sin()6A π<-<即04sin(-)6A π<<，综上2a b -的取值范围为(0,.21【解析】（（1）当2x <时，由a b ⊥得2(3)0a b x x y ⋅=--=，33y x x =-；（2x <且0x ≠），当2x ³时，由//a b . 得23xy x =--， ∴323,(22,0)(){.(2,2)3x x x x y f x x x x x --<<≠==≥≤--，（2）当2x <且0x ≠时，由2'330y x =-<，解得(1,0)(0,1)x ∈-⋃，，当2x ³时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>--， ∴函数()f x 的单调减区间为()1,0-和()0,1； （3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞U ， 都有230mx x m +-≥即2(3)m x x -≥-， 也就是23xm x ≥-， 对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞U 恒成立， 由（2）知当2x ³时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--∴函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增，又2(2)234f --==-，2(2)234f ==--， 当2x -≤时2()03xf x x =>-， ∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时， 有2()0f x -≤<， 综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞U ，()f x 取得最大值2；∴实数m 的取值范围为2m ≥.22【解析】解：（1） ()22ln f x a x x =-，∴ ()()22a x f x x='-，0x >当0a ≤时，()()220a x f x x-'=<，当0a >时，()()(222x x a x f x xx--=='，当0x <<()0f x '>；当x >()0f x '<∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x在(上单调递增，在)+∞上单调递减.（2）由（1）得()()max ln 1f x fa a ==-，当()ln 10a a -<，即0a e <<时，函数()f x 在()21,e 内有无零点；当()ln 10a a -=，即a e =时，函数()f x 在()0,+∞，又21e <=<，所以函数()f x 在()21,e 内有一个零点；当()ln 10a a ->，即a e >时，由于()110f =-<，()ln 10fa a =->，()()()()2244222ln 4f e a e e a e e e =-=-=，若20e <，即44e e a <<时，()20f e <，由函数单调性知(1x ∃∈使得()10f x =，)22x ∃∈使得()20f x =,故此时函数()f x 在()21,e 内有两个零点；若20e ≥22e ≥>()20f e ≥，且20fa e a e ==->，()110f =-<，由函数的单调性可知()f x 在(内有唯一的零点，在)2e 内没有零点，从而()f x 在()21,e 内只有一个零点综上所述，当()0,a e ∈时，函数()f x 在()21,e 内有无零点；当{}4,4e a e ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 在()21,e 内有一个零点；当4,4e a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在()21,e 内有两个零点．。
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学(理)试卷及解析
2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,(){}ln 1A x y x ==+,{}220B x x x =--<,则() U B A =（ ）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2- 【答案】B【解析】 根据已知条件先求出集合A 和集合B ,再求出集合A 的补集,再运用集合的并集运算即可. 【详解】因为{}1A x x =>-,{}12B x x =-<<, 所以{} 1U A x x =≤-,故(){} 2U B A x x ⋃=<.故选：B2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家,为数学界作出了巨大贡献,其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系,被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,则复数43i z iπ=的模为（ ）C. D. 2 【答案】B【解析】由题意可得4i e π=,代入43i z i π=+并对其化简,再代入模长计算公式即可.【详解】因为422i e π=+, 所以433112i z e i i i iπ==-++=-,从而5z =.故选：B3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表：AQI 指数值 [)0,50[)50,100 [)100,150 [)150,200 [)200,300 [)300,+∞ 空气质量优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（ ）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说,该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ,20天中AQI 指数值高于100,低于150的天数为5,即占总天数的14,故A 正确； 对于B ,20天中AQI 指数值有10天低于100,故B 正确；对于C ,20天中AQI 指数值有10天低于100,10天高于100,根据图可知中位数略高于100,故C 错误；对于D ,由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些,故D 正确.故选：C。
2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，则( )A. B. C. 5 D. 173. 函数，则( )A. B. C. 1 D. 24. 已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为2，焦距为，则( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量，，且，则向量的夹角是( )A. B. C. D.6.在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线BE与DF所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，，，x，已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为，则( )A. B. C. D.8. 设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是( )A. B. C. D.10. 已知函数，则( )A. 的最小正周期是B. 在上单调递增C. 的图象关于点对称D. 在上的值域是11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，则的取值范围是( )A. B. C. D.12. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______ .13. 已知是第二象限角，且，则______ .14. 已知是定义在上的减函数，且的图象关于点对称，则关于x的不等式的解集为______ .15. 已知抛物线：的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是______ .16. 国际足联世界杯，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事年卡塔尔世界杯共有32支球参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：求a的值，并完成列联表；少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷女球迷a总计若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.参考公式：，其中参考数据：17. 已知正项数列的前n项和满足求的通项公式；设，数列的前n项和为，证明：18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，，，，E是棱PB的中点.证明：平面ABCD；若F是棱AB的中点，，求点C到平面DEF的距离.19. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，E的离心率为，斜率为k的直线l过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点.若，，求椭圆E的标准方程；若，，，求k的值.20. 已知函数当时，求曲线在处的切线方程；若对任意的，恒成立，求a的取值范围.21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.22. 已知函数求的最小值；若，不等式恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，故选：解不等式求得集合B，由交集定义可求得结果．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，故选：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由，得，则故选：根据函数解析式，先求出，进而可求．本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，由题意可得，即有，又，，故选：求出双曲线的渐近线方程，可得，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，考查运算能力，属基础题．5.【答案】D【解析】解：，，，又，故选：由可求得，根据向量夹角公式可求得结果．本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：取等边的AC边的中点O，连接OB，则，过O作的平行线，则以O为原点，分别以OB、OC、Oz为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设等边的边长为2，则根据题意可得：，，，，，，，，异面直线BE与DF所成角的余弦值为，故选：取等边的AC边的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果．本题考查向量法求解异面直线所成角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．7.【答案】D【解析】解：因为平均数为，所以，因为方差为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以故选：先由平均数和方差分别得到和的值，再整体代入计算的值即可．本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：，，由“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，记，所以a的取值范围是函数的值域，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以，所以，即a的取值范围是故选：根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a的范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：将四块三角形区域编号如下，由题意可得总的涂色方法有种，若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种，故所求概率故选：根据古典概型概率的计算公式即可求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：，对于A，的最小正周期，A错误；对于B，当时，，此时单调递减，在上单调递增，B正确；对于C，令，解得，此时，的图象关于点对称，C错误；对于D，当时，，则，在上的值域为，D错误．故选：利用两角和与差的余弦公式、二倍角和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的图象与性质判断各选项即可．本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：，，由正弦定理得：，即，，或，解得或舍去，又为锐角三角形，则，，解得，，又，，，，即的取值范围故选：由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】9【解析】解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当取得最大值时，在y轴截距最大，由图形可知：当过点A时，在y轴截距最大，由得，即，故答案为：由约束条件作出可行域，将问题转化为在y轴截距最大值的求解，采用数形结合的方式可求得结果．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：是第二象限角，，，，故答案为：利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果．本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设函数，因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，故是定义在上的奇函数．因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数．由，得，即，即，则，解得，即不等式的解集为故答案为：构造函数，利用其单调性奇偶性解不等式即可．本题考查函数的性质，奇偶性，单调性，属于中档题．15.【答案】128【解析】解：不妨设直线的倾斜角为，，则直线的倾斜角为，对，设A到准线的距离为d，则根据抛物线的定义可得：，，同理可得，，同理可得，四边形ADBE面积为：，，当时，四边形ADBE面积取得最小值为，故答案为：根据抛物线的倾斜角的弦长公式，函数思想，即可求解．本题考查抛物线的倾斜角的弦长公式的应用，函数思想，属中档题．16.【答案】解：由题意可得，解得列联表如下：少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷100100200女球迷12080200总计220180400，因为，所以有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关．【解析】根据男、女球迷各200名，把表格填完整；直接代入公式计算即可．本题考查独立性检验，属于基础题．17.【答案】解：因为①，所以②，由②-①得，，即，因为，所以又由解得，故数列为等差数列，公差故；证明：因为，所以所以【解析】由，两式相减得，再由得，然后求出，说明数列为等差数列，进而求得通项公式；由先求出，然后利用裂项求和求出即可证明．本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基础知识，属于中档题．18.【答案】解：证明：连接BD，，，，又，，为棱PB中点，，又，，PC，平面PBC，平面PBC，又平面PBC，；在直角梯形ABCD中，取CD中点M，连接BM，，，又，，，四边形ABMD为正方形，，，，又，，，，BD，平面PBD，平面PBD，平面PBD，；，，，，又，BC，平面ABCD，平面，，，，由知：平面ABCD，，则点E到平面ABCD的距离，；，，，，F分别为棱PB，AB中点，，，，，，，，，由余弦定理得：，则，，设点C到平面DEF的距离为，，解得：，即点C到平面DEF的距离为【解析】由线面垂直判定可证得平面PBC，进而得到；利用勾股定理和线面垂直的判定得到平面PBD，从而得到；利用勾股定理可证得，由此可得结论；设点C到平面DEF的距离为，利用等体积转换的方式，由，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果．本题考查线面垂直的判定以及点到平面的距离求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：由，，可得，，椭圆E的方程化为：直线l的方程为，联立，化为，解得，；，，解得，椭圆E的标准方程为设，，直线l的方程为，，，，，，解得，，联立，化为，，，，又，解得，，，【解析】由，，可得，，椭圆E的方程化为：直线l的方程为，联立化为，解得点A，B坐标，利用两点之间的距离公式即可得出a，b，c，可得椭圆E的标准方程．设，，直线l的方程为，根据，，，及其椭圆的定义可得，，直线l的方程与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系即可得出m，本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相似三角形的性质、一元二次方程的根与系数的关系、转化方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，所以，所以，，所以所求切线方程为，即对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立．①当时，显然成立．②当时，不等式等价于设，所以设，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，又因为在中，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为【解析】根据切点处导函数值等于切线斜率，运用点斜式求切线方程即可；分，，两种情况解决，当时，参数分离得，设，得，设，求导讨论单调性，得在上单调递减，在上单调递增，即可解决．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：，①②得，根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：；由可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为为参数，代入曲线C的普通方程得，由韦达定理可知：，，所以【解析】曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，，当时，，当时，，综上，，由此可知由可知，解得，当时，欲使不等式恒成立，则，即，解得，即a的取值范围是值；本题主要考查不等式恒成立问题，函数最值的求法，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。
2020届 全国大联考 高三第四次联考数学(文)试题(解析版)
2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ； （2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。
江西省百所名校2020届高三第四次联考数学(理)试题(word版,有答案)
江西省百所名校2020届高三第四次联考数学（理）试题第I 卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.全集U=R ,A={x|y=ln 2(1),{|20}x B x x x +=--<,则()U B A ⋃=ð A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.∅D.(-1,2)2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家,为数学界作出了巨大贡献,其中就有欧拉公式:e ix =cosx+isinx(i 为虚数单位).它建立了三角函数和指数函数间的关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式,则复数432xi z e i=+的模为.3A.5B.22CD.23.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如表:如图所示的是某市11月1日~20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是A.这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B.这20天中空气质量为优和良的天数为10天C.这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D.总体来说,该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.已知5cos(),57πα-=则7cos 104tan 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5.7A -26.7B -26.7C5.7D 5.已知双曲线C 2222:1(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率k≥2，则C 的离心率的取值范围是5.(1,]2A5.[,)2B +∞.(1,5]C.[5,)D +∞6.右图是为了统计某班35名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图,其中i A 表示第i 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是A.i≤37?B.i≤36?C.i≤35?D.i≤34?7.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为AD 的中点,F 为正方形11B C CB 的中心，则异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为30.30A -3030B C.01.2D 8.已知函数()2sin()(0,)f x x ωϕωπϕπ=+>-<<的部分图象如图所示,为了得到函数f(x)的图象,需要将函数,22()2cos2sin 22xxg x ωω=-的图象向右平移m(m>0)个单位长度,则m 的最小值为.12A π.6B π.4C π.3D π9.已知函数y=f(x+1)是定义在R 上的偶函数,且满足f(3-x)=-f(3+x),且当-1≤x≤1时,f(x)=xln(x+2),则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=A.ln3B.-1n3C.4ln2-ln3D.4ln2+ln310.中国古典文学四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》和《红楼梦》的作者分别为罗贯中、施耐庵、吴承恩和曹雪芹.某次考试中有一道四大名著与作者的连线题,连对一个得一分,则同学甲随机连线得分为零的概率为1.3A1.4B3.8C1.24D 11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，圆22:(1)1F x y -+=,过F 作直线l,与上述两曲线自上而下依次交于点P,M,N,Q,当196||||PM QN +=时,直线l 的斜率为.3A -.3BC.1.3D 12.已知函数f(x)的定义域为(1,+∞),其导函数为(),(2)[2()()]()f x x f x xf x xf x ''++<对x ∈(1,+∞)恒成立,且14(5)25f =,则不等式2(3)(3)210x f x x ++>+的解集为 A.(1,2)B.(-∞,2)C.(-2,3)D.(-2,2)第II 卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.若非零向量a ,b ,满足|a |=3|b |,(3a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角的余弦值为____14.若实数x,y 满足约束条件<220240,34120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩则x+y 的最大值为____15.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若3cos )cos cos ,A A B C a c -=+=6,b=4,则△ABC 的面积为____16.在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,AP=2,点M 是矩形ABCD 内(含边界)的动点,且AB=1,AD=3,直线PM 与平面ABCD 所成的角为.4π记点M 的轨迹长度为α,则tanα=____;当三棱锥P-ABM 的体积最小时,三棱锥P-ABM 的外接球的表面积为_____.(本题第一空2分,第二空3分)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 满足93,,24n n a S 成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设31323log log log n n b a a a =+++L ,数列1{}n b 的前n 项和为,n T 证明:11.9n T <18.(12分)今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多,为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人,其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名,其中50岁以下的人占3.10(1)请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关;（2）为了研究新型冠状病毒的传染源和传播方式，从10名确诊人员中随机抽出5人继续进行血清的研究，X 表示被抽取的5人中50岁以下的人数，求X 的分布列以及数学期望。
【附15套精选模拟试卷】江西省八所重点中学2020届高三4月联考数学(文)试卷含解析
22．（10 分）如图，已知多面体 ABC A1B1C1 ， A1 A ， B1B ，C1C 均垂直于平面 ABC ，ABC 120 ，
A1A 4 ， C1C 1， AB BC B1B 2 .
），以坐标原点
O
为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C
的极坐标方程为
2 cos
.若
4
，求直线 l
的普
通方程及曲线 C 的直角坐标方程；若直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点，求 sin 的取值范围.
18．（12 分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 D 是棱 B1C1 的中点.
x2 y2
C
13．已知双曲线
:
a2
b2
1
a 0,b 0
的实轴长为 16，左焦点为 F , M 是双曲线 C 的一条渐近线上
的点，且 OM MF ， O 为坐标原点，若 SOMF 16 ，则双曲线 C 的离心率为__________．
1
14．先将函数 f x sin x 的图象上的各点向左平移 6 个单位，再将各点的横坐标变为原来的 倍(其中
A．3
B．2
21Βιβλιοθήκη C． 3 D． 28．已知函数
y
2
sin
2x 5 6
0
x
3 4
的图象与一条平行于
x
轴的直线有两个交点，其横坐标
分别为 x1 ， x2 ，则 x1 + x2 （ ）
4
2
A． 3 B． 3 C． 3 D． 6
9．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运
动服的概率为( )
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(江西卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（江西卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程：y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =- 锥体体积公式1212,n n x x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+== 13V Sh = 其中S 为底面积，h 为高第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数x yi +=（ ） A.2i -+ B.2i + C.12i - D.12i + 答案：B2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 答案：D3.若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2-答案：C4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e答案：A5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 答案：B7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A.e o m m x== B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175 175176177177则y 对x 的线性回归方程为A.y = x-1B.y = x+1C.y = 88+12x D.y = 176 C 线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni i ni ii x x y y x x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。
江西省抚州一中2020届高三数学文上学期第四次同步单元测试北师大版
抚州一中2020届高三数学文科第四次同步试题选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。
在每题所给的四个选项中，只有一个正确） 1．条件p ：1a ≤，条件q ：1a ≤，那么p ⌝是q ⌝的：（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若函数)(x f 的图象经过点（0，—1），则函数)4(+x f 的反函数图象必须经过点（ ）A ．（—1，4）B ．（—4，—1）C ．（—1，—4）D ．（1，—4）3．为了得到函数(2)y f x =-的图象,可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移,这个平移 是（ ）A ．沿x 轴向左平移12个B ．沿x 轴向右平移12个单位C ．沿x 轴向左平移1个单位D ．沿x 轴向右平移1个单位4．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值是（ ）A ． 10B ． 11C ． 12D ． 135．把()cos 2sin 22f x x x =-+的图象沿x 轴向左平移m 个单位(0)m >，所得图象关于178x π=对称，则m最小值是( )A ．8πB ．4πC ．38πD ．2π6．若规定bcad d c ba -=,则不等式1lg1x x<的解集是（ ）A．(1)-U B ．(1,0)(0,1)-U C ．(1,1)-D． w7．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ，则POQ ∠cos 的最小值是（ ）A ．22B ．23C ．21D ．08．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||OH FA 的最大值是（ ）A ．21B ．31C ．41D ．19．满足A ＝300，BC ＝10的△ABC 恰好有不同两个，则边AB 的长的取值范围是 ( )A ．(10, 20)B ．(5, 10)C ．(20，＋∞)D ．(5, 10)∪(20，＋∞) 10．已知函数f(x)＝m －2x ＋4x －2(m≠0)满足条件：f(x ＋a)＋f(a －x)＝b(x ∈R ，x≠2)，则a ＋b 的值是 ( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．－211．方程6)5)(2()4)(1(33=-++-+x x x x 的实数解的个数是（ ）A ． 1B ．0C ． 2D ．大于212．已知0442:0822:,402221=--+=+--<<k y k x l k y kx l k 和直线直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 值是 （ ）A ． 81B ． 41C ．21D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知ba xb a x +-=+则的两个根是方程,34)3(log 3log ,273= ． 14．若θ为曲线2323+++=ax x x y 的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为)2,4[ππ，则实数a 的值是 .15.已知 F1 、F2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上存在一点P ，使得12F PF S ∆=23b ，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．16.已知a,b 是不相等的正数，1212,,,,,,,,,,n n a x x x b a y y y b L L 成等差数列成等比数列则下列不等式：①2121()(2n x x x n +++>L ；② 2121()()2n a b x x x n ++++>L ; <④222a b +<-中,成立的有 .三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知函数2()(0).af x x x a R x =+≠∈，常数(1)当2a =时，解不等式()(1)f x f x --＞21x -； (2)讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由．18．（本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球． 求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率．19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <≤，222b bc a a bc +-=．(1)tan )1tan tan B A B A -=+，求内角A 的大小； (2)求sin cos y A B =+的最大值．20．（本小题满分12分）已知函数321()23f x x x =+-．(1)设{an}是正数组成的数列，前n 项和为Sn ，其中a1=3．若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y='()f x 的图象上，则点（n+1,Sn ）在y=g(x)的图象上,求y=g(x)的解析式． (2)求函数f(x)在区间（a-1,a ）内的极值．21.（本小题满分12分）已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点．(1)设1()2OR OP OQ =+u u u r u u u r u u u r（O 为原点），求点R(2)若直线l 的倾斜角为060，求11||||PF QF +的值．22．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足21=a ，).,2(22*11N n n a a n n n ∈≥+=+-(1)设n nn a b 2=，求证数列}{n b 是等差数列，并写出其通项公式；(2)数列}{n b 在（1）的条件下，且数列}{n c 满足12+=n c n ，且对于任意正整数n ，不等式 )11()11)(11(421n n c c c b a +⋅⋅⋅++≤+恒成立，求正数a 的取值范围 ．抚州一中2020届高三第四次同步 数学试题参考答案(文科)1-12:ＢＣＡＢＢＡ ＡＣＡＤＢＡ13．8110；14．4；15．)1,23[ 16．①④17解：（Ⅰ）当2a =时，22()f x x x =+，22(1)(1)1f x x x -=-+-，由2222(1)1x x x x +----＞21x -，得221x x --＞0，(1)x x -＜0 ，0＜x ＜1∴原不等式的解为 0＜x ＜1；（Ⅱ）()f x 的定义域为(0)(0-∞⋃∞，，+)， 当0a =时，2()f x x =，22()()()f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数． 当0a ≠时，2()()20(0)f x f x x x +-=≠≠， 2()()0af x f x x --=≠所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． 18解：（1）设取球次数为ξ，则()()11182211110101014141,255525C C C P P C C C ξξ=====⨯=⨯=．所以最多取两次的概率14952525P =+=……………………6分（2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次(取到2个白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯= …………12分19.解：（1）6π（2）9820． 解：(1)因为321()2,3f x x x =+-所以f ′(x)=x2+2x,由点211(,2)(N)n n na a a n+++-∈在函数y=f′(x)的图象上,又0(N),na n+>∈所以11()(2)0,n n n na a a a-+---=所以2 (1)32=22nn nS n n n-=+⨯+=(2)解:2()2(2)f x x x x x'=+=+,由()0,f x'=得02x x==-或．当x变化时,()f x'﹑()f x的变化情况如下表:注意到(1)12a a--=<,从而①当212,21,()(2)3a a a f x f-<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x无极小值；当10,01,()a a a f x-<<<<即时的极小值为(0)2f=-,此时()f x无极大值；当2101,()a a a f x≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值．21 解：①设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y=+⇒=+u u u r u u u r u u u r121222x xxy yy+⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩．．．．．．．．．．1’由22222212xx y y+=⇒+=，易得右焦点(1,0)F．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2’当直线l x⊥轴时，直线l的方程是：1x=，根据对称性可知(1,0)R．．．．．．．．3’当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为(1)y k x=-代入E有2222(21)4220k x k x k+-+-=x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗极大值↘极小值↗2880k ∆=+>2122421k x x k +=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5’ 于是(,):R x yx =21222221x x k k +=+ (1)y k x =-消去参数k 得2220x y x +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．7’②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ∆中'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m =由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-⋅⋅⋅m ⇒=．．．．．．．．．．．．．9’同理，在'QF F ∆，设||QF n =，则|'|QF m =由余弦定理得2220)222cos60n n n -=+-⋅⋅⋅n ⇒=．．．．．．．11’于是111111||||22PF QF m n +=+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12’22．（1）证明：由1122+-+=n n n a a 得),2(222*11N n n a a n n n n ∈≥+=--，因n nn a b 2=，所以).,2(2*1N n n b b n n ∈≥+=-又1211==a b Θ，∴}{n b 是以1为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为.12-=n b n…………………6分（2）由题意，即)11()11)(11(32121n c c c n a +⋅⋅⋅+++≤对任意正整数n 恒成立，记 =)(n f )11()11)(11(32121n c c c n +⋅⋅⋅+++，则)11(5232)()1(1++++=+ncnnnfnf115164161643242523222>++++=++⋅++=nnnnnnnn，所以)()1(nfnf>+，即)(nf单调递增，故,1554)1()]([min==fnf所以.15540≤<a…………………14分。
2020届江西省百所名校高三第四次联考数学(文)试题及答案
绝密★启用前2020届江西省百所名校高三第四次联考数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．全集U =R ，(){}ln 1A x y x ==-，()(){}120B x x x =+-<，则A B =（）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．∅D ．()1,2答案：D求得对数函数定义域和二次不等式，解得集合,A B ，再求交集即可. 解：要使得函数()ln 1y x =-有意义，则10x ->，故{}1A x x =>； 不等式()()120x x +-<，解得12x -<<，故{}12B x x =-<<； 所以()1,2A B ⋂=. 故选：D. 点评：本题考查集合交运算、二次不等式求解、对数函数定义域，属综合基础题.2．欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数43i z iπ=+的模为（）A B C ．D ．2答案：B由题意可得422ie iπ=+，代入43i z e i π=并对其化简，再代入模长计算公式即可. 解：因为422ie π=+， 所以433112i z e i i i iπ==-++=-，从而z =. 故选：B 点评：本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的方程为20x y -=，则C 的离心率为（）A B C ．32D 答案：A根据渐近线方程求得,a b 关系式，结合离心率公式即可求得. 解：因为C 的渐近线方程为12y x =±，所以12b a =，故离心率2e ==. 故选：A. 点评：本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.4．在递增的等差数列{}n a 中，212,a a 是方程26061x x -=-的两实数根，则公差d =（） A ．12B ．35C ．1D ．2答案：C求解一元二次方程，根据题意解得212,a a ，即可求得数列公差. 解：因为方程26061x x -=-的两实数根为2-和8，且{}n a 为递增数列， 所以22a =-，128a =，故公差122110a a d -==. 故选：C. 点评：本题考查等差数列基本量的求解，属基础题.5．空气质量AQI指数是反映空气质量状况指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[)200,300[)300,+∞空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI指数变化的折线图：下列说法不正确的是（）A．这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B．这20天中空气质量为优和良的天数为10天C．这20天中AQI指数值的中位数略低于100D．总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好答案：C根据已知条件对每个选项进行判断即可.解：对于A，20天中AQI指数值高于100，低于150的天数为5，即占总天数的14，故A正确；对于B，20天中AQI指数值有10天低于100，故B正确；对于C，20天中AQI指数值有10天低于100，10天高于100，根据图可知中位数略高于100，故C错误；对于D，由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些，故D正确.故选：C点评：本题考查了统计列表中的折线图来解决问题，属于较易题.6．函数()2222x xx xe ef xe e--+=-的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D由函数奇偶性、结合函数单调性，即可容易判断. 解：因为原函数的定义域为{}0x x ≠，且()()2222x x x x e e eef x f x ---+=-=-，知()f x 为奇函数，所以排除A ，又因为()222212111x x x x x x xe e ef x e e e e--++===+---， 当0x >时，函数为减函数，且()1f x >，排除B 、C. 故选：D. 点评：本题考查函数单调性、奇偶性的判断，涉及指数函数，属综合基础题.7．下图是为了统计某班35名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中i A 表示第i 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（）A ．37?i ≤B ．36?i ≤C ．35?i ≤D ．34?i ≤答案：C由题意可得到流程图的功能是求35位学生的平均学习时间，再根据流程图来判断循环结束条件即可. 解：读取流程图可知，当计算了前34位学生的学习时间的和后， 再执行1i i =+后，得35i =，此时应满足判断框的条件；当计算了前35位学生的学习时间的和后，再执行1i i =+后，得36i =， 此时应不满足判断框的条件.故应填入“35?i ≤”. 故选：C 点评：本题考查了循环结构的程序框图中的循环条件的判断，属于一般题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AD 的中点，F 为正方形11B C CB 的中心，则异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为（） A ．30 B 30C ．0 D ．12答案：B根据已知条件建立空间直角坐标系D xyz -，写出相关点的坐标，代入数量积的夹角公解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，建立空间直角坐标系D xyz -， 不妨设正方体的棱长为2，则()2,0,0A ，()1,2,1F ，()12,0,2A ，()1,0,0E ， 所以()1,2,1AF =-，()11,0,2A E =--， 故111130cos ,3065AF A E AF A E AF A E⋅-===-⨯.因为异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为3030.故选：B 点评：本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角，考查了学生的计算能力，属于一般题. 9．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+()0,ωπϕπ>-<<的部分图象如图所示，为了得到函数()f x 的图象，需要将函数()222cos2sin 22xxg x ωω=-的图象向右平移()0m m >个单位长度，则m 的最小值为（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π根据题中给的图像，可求出2ω=和3πϕ=，再根据三角函数的图像变换即可得.解： 由图可知43124T πππ=-=，即T π=， 所以2ππω=，2ω=，故()()2sin 2f x x ϕ=+， 因为2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()262k k Z ππϕπ+=+∈，因为πϕπ-<<，所以3πϕ=，即()2sin 22cos 22cos 23612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()222cos 2sin 2cos2g x x x x =-=，所以为了得到函数()f x 的图象， 需要将函数()g x 的图象向右平移12π个单位长度.故选：A 点评：本题考查了三角函数图像以及图像变换，属于一般题.10．已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且满足()()33f x f x -=-+，且当11x -≤≤时，()()ln 2f x x x =+，则()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++=（）A ．ln3B ．ln 3-C ．4ln 2ln3-D ．4ln 2ln3+答案：A根据函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数且满足()()33f x f x -=-+，可得到函数的周期，再计算出一个周期的和，即可得到答案. 解：因为函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称. 因为()()33f x f x -=-+，所以()y f x =的图象关于点()3,0对称， 所以()f x 是以8为周期的周期函数.又()10f -=，()00f =，()1ln3f =，()()200f f ==，()()310f f =-=，()()420f f =-=，()()51ln3f f =-=-，()()600f f =-=，所以()()()()101 (60)f f f f -++++=，故()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++ ()()()()()()101234ln3f f f f f f =-+++++=.故选：A 点评：本题考查了函数的性质：奇偶性，对称性，周期性，考查了学生的计算能力，属于一般题.11．定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有()()20xf x f x '+-≤，则不等式()22412236x x x x f ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（）A ．()4,+∞B ．()(),124,-∞+∞C ．()12,4-D ．(),12-∞-答案：C构造函数()()2g x x f x =，根据其单调性和奇偶性，求解不等式即可.解：令()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+，∵当0x ≥时，恒有()()20xf x f x '+≤，∴()0g x '≤， ∴()g x 在[)0,+∞上为减函数. ∵()f x 为偶函数，∴()g x 为偶函数.∵()22412236x x x f x f ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于22229366x x x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴236x x g g ⎛⎫⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于236x x <-， 即212x x <-，两边平方化简为()()4120x x -+<， 解得124x -<<，∴原不等式的解集为()12,4-. 故选：C. 点评：本题考查利用函数单调性解不等式，涉及函数奇偶性的判断、构造函数法，利用导数判断函数单调性，属中档题.12．已知抛物线2:2C y x =，过点(),0E a 的直线l 与C 交于不同的两点()11,P x y ，()22,Q x y ，且满足124y y =-，以Q 为中点的线段的两端点分别为,M N ，其中N 在x 轴上，M 在C 上，则PM 的最小值为（）A B ．C ．D ．答案：D设出直线l 方程，联立抛物线方程，根据韦达定理求得a ；设出PM 方程，利用韦达定理，将目标式转化为关于未知量的函数，求函数值域即可求得结果. 解：设l 的方程为x my a =+，代入C ，得2220y my a --=，所以122y y m +=，1224y y a =-=-，可得2a =. 设直线PM 方程为x ny b =+，()33,M x y ，同理得132y y n +=，132y y b =-，所以3132122y y y b b y y y a ===， 又Q 为中点，所以322y y =，即24b a ==.所以138y y =-，所以13PM y =-==4298y n n =++，令2n t =，则()298,0y t t t =++≥，其对称轴902-<， 故当且仅当20t n ==时取得最小值.故当0n =，即PM x ⊥轴时，PM最小，最小值为故选：D. 点评：本题考查抛物线中的最值问题，涉及韦达定理的使用，属压轴题. 二、填空题13．若非零向量,a b ，满足3a b =，()3a b b -⊥，则a 与b 的夹角的余弦值为______. 答案：19设a 与b 的夹角为θ，根据数量积的运算即可. 解：设a 与b 的夹角为θ，由()3b b a -⊥， 可得()233cos 0a a b b b b θ-⋅=-=，又因为3a b =， 所以229cos 0b bθ-=，解得1cos 9θ=. 故答案为：19点评：本题考查了数量积的运算，考查了向量垂直的转化，属于较易题.14．若实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为______.答案：10先由已知条件画出约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩可行域，根据可行域即可求出x y +的最大值. 解：因为实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则由题意可得当经过A 点时x y +有最大值， 联立22034120x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得46x y =⎧⎨=⎩，即()4,6A ，所以()max 10x y += 故答案为：10 点评：本题考查了简单的线性规划，利用可行域求目标函数的最大值，属于较易题. 15．已知高为2536π，则该正三棱柱的底面边长为______. 答案：3根据外接球体积求得半径，根据正三棱柱的几何性质，列方程求解即可. 解：因为正三棱柱的外接球的体积为36π，所以外接球的半径为3， 又因为正三棱柱的高为25()22352-=，设底面正三角形的边长为a ，由323a =，得23a =故答案为：23点评：本题考查棱柱外接球的问题，属中档题.三、双空题 16．在数列{}n a 中，11a =，前n项和n S 满足()()*1331230,,2n n x S x S x x n N +⎛⎫-=+≠≠-∈ ⎪⎝⎭.令()1n na f x a +=，则()f x =______；若数列{}n b 满足11n n b f b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，11b =，则2020b =______.答案：233x x+1347 利用,n n a S 的关系，即可容易求得()f x ；根据所求()f x ，容易得{}n b 是等差数列，根据基本量求解结果即可. 解：由题知，当1n =时，()()12131230x a a x a +--+=， 因为11a =，所以2233x a x +=，所以21233a x a x +=. 当2n ≥时，有()()131230n n x S x S +--+=，①()()131230n n x S x S ---+=，②①－②得()13230n n xa x a +-+=，即1233n n a x a x++=， 于是()233x f x x+=； 又因为11b =，11232133n n n nb b b b +⋅+==+⋅， 所以123n n b b +-=，即{}n b 是以1为首项，23为公差的等差数列，所以()121133n b b n d n =+-=+，所以20201347b =. 故答案为：233x x+；1347. 点评：本题考查利用,n n a S 的关系求数列的通项公式，以及等差数列通项公式的求解，属综合中档题.四、解答题17．今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占3.（1）试估计50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率；（2）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95％的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；参考表：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.答案：（1）740；（2）列联表见解析,有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关.（1）根据题意，计算出50岁及以上确诊人数，结合50岁及以上的全部人数，即可计算；（2）补充列联表，计算2K，结合参考数据，即可判断.解：（1）因为100人中确诊的有10名，50岁以下的人占3 10，所以50岁以下的确诊人数为3，50岁及以上确诊人数为7，因为50岁及以上的共有40人，所以50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的频率为7 40.（2）列联表补充如下：()2210075733325 4.167 3.841109040606K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关. 点评：本题考查频率的计算，2K 的计算，属综合基础题. 18．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为边BC 上一点sin B =，3cos 5BAD ∠=（1）求cos ADC ∠；（2）若3a =，D 为BC 的三等分点（靠近C 点），求b .答案：（1）5-（2）（1）利用()cos cos ADC BAD B ∠=∠+∠，结合余弦的和角公式即可求得结果； （2）利用正弦定理求得AD ，再用余弦定理求得b . 解：（1）由题知cos 5B =，故可得sin 5B =； 因为3cos 5BAD ∠=，则4sin 5BAD ∠=（锐角三角形）因为()cos cos cos cos sin sin ADC BAD B BAD B BAD B ∠=∠+∠=∠-∠=（2）由题知2BD =，1CD =，在ABD △中，由sin sin AD BDB BAD=∠，可得AD = 在ADC 中，因为2222cos b AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠5512518⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭,所以22b =. 点评：本题考查利用正余弦定理求解三角形，属综合中档题；涉及余弦的和角公式. 19．如图，在直五棱柱，11111ABCDE A B C D E -中，AB //ED ，AB AE ⊥，1AB ED ==，12AE AA ==，BC CD =，1BC C D ⊥.（1）证明：CD ⊥平面11BB C C ； （2）求四棱锥111C BEE B -的体积. 答案：（1）证明见解析；（2）2.（1）通过证明1,CD BC CD CC ⊥⊥，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）过1C 作11C F B E ⊥，证明1C F 是所求棱锥的高，再根据几何关系求得底面积和高，则问题得解. 解：（1）证明：因为五棱柱11111ABCDE A B C D E -为直五棱柱，所以1BC CC ⊥. 又1BC C D ⊥，且111CC C D C ⋂=， 所以BC ⊥平面1C CD .因为CD ⊂平面1C CD ，所以BC CD ⊥. 因为BC CD ⊥，1CD CC ⊥，1CC BC C ⋂=， 所以CD ⊥平面11BB C C .（2）过1C 作111C F B E ⊥，垂足为F ，因为五棱柱是直五棱柱，故可得1BB ⊥平面111C E B ，又1C F ⊂平面111C E B ， 故可得11C F BB ⊥，又111,B E BB ⊂平面11BEE B ，1111B E BB B =故1C F ⊥平面11BEE B ， 即1C F 是所求棱锥的高.连接11B D ，因为1111B C C D =，所以111B C D △是以1C 为直角顶点的等腰直角三角形. 因为AB //ED ，AB AE ⊥，1AB ED ==，12AE AA ==， 所以11112BC C D ==115B E =，从而1125BEE B S =. 又1111tan 2E B D ∠=，111tan 1D B C ∠=， 故111112tan 31112E B C +∠==-⨯，从而111310sin E B C ∠=. 在11B C F △中，11111135sin C F B C E B C =⋅∠=故四棱锥111C BEE B -的体积111111123C BEE B BEE B V S C F -=⨯⋅=. 点评：本题考查由线线垂直推证线面垂直，涉及棱锥体积的求解，属综合中档题.20．如图，设F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为左、右顶点，2AF =，离心率12e =，过点()8,0P -作直线l 与椭圆相交于不同的两点,M N .（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求MNF 面积的最大值.答案：（1）2211612x y +=；（2）33（1）根据AF 长度，以及离心率即可列方程求得,,a b c ，则椭圆方程得解； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理求得弦长，表示出三角形的高，构造面积关于参数的函数，利用均值不等式即可求得. 解：（1）因为2AF a c =-=，12c e a ==， 所以2c =，4a =， 所以2223b a c -=，故C 的标准方程为2211612x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为8x my =-，联立228,1,1612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，由()()()2224843414457640m m m =--+⨯=->△，解得2m >或2m <-， 且1224834m y y m +=+，12214434y y m =+， 2222124141m m MN m y y +⋅-=+-=. 又点F 到直线l 的距离222811d mm-==++所以2211223434 MNFS MN dm m=⋅=⨯=++△7216=≤=当且仅当=，即m=所以MNF面积的最大值为点评：本题考查椭圆方程的求解，涉及椭圆中三角形面积的最值问题，属综合中档题. 21．已知函数()2ln1af x xx=++的图象在()()22f,处切线与直线3420x y+=-平行.（1）求实数a的值，并判断()f x的单调性；（2）若函数()()21g x f x m=--有两个零点12,x x，且12x x<，证明121x x+>.答案：（1）1a=,()f x在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明见解析（1）利用导数的几何意义，即可求得参数a；对函数求导，根据导数的正负即可判断函数单调性；（2）根据题意，由对数运算，建立12,x x之间的关系，引入参数t，构造函数()()12ln01h t t t tt=--<<，利用导数判断其单调性，即可证明不等式.解：（1）函数()f x的定义域为()0,∞+，()22x af xx-'=，由()43244af-'==，解得1a=，所以()12ln1f x xx=++，()222121xf xx x x-'=-=，由()0f x'<，得12x<<，故()f x在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；由()0f x '>，得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）证明：()12ln 2g x x m x=+-，由12,x x 为函数()g x 的两个零点， 得111ln 2x m x +=，221ln 2x m x +=， 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=， 即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x x x x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=. 令12x t x =，由12x x <，知01t <<，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()22211210t h t t t t-=+-=>'， 所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()10h t h <=，即12ln t t t-<， 又ln 0t <，所以112ln t t t->，即121x x +>.点评：本题考查导数的几何意义，函数单调区间的求解，以及利用导数证明不等式，属压轴题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()1,0-，且斜率为12，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线,OM ON 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈.（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知直线OM 与直线l 的交点为P ，直线ON 与曲线C 的交点为O ，Q ，求OQ OP的值.答案：（1）4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；cos 2sin 10ρθρθ-+=（2）4OQOP=- (1)先把参数方程转化为普通方程，再由普通方程转化为极坐标方程即可；(2)把()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈代入对应的极坐标方程求出OP ，OQ 代入即可. 解：解：（1）∵曲线C的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩∴曲线C的普通方程为((224x y ++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，整理得0ρθθ-+=， 即曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵直线l 过点()1,0-，且斜率为12， ∴直线l 的方程为210x y -+=，∴直线l 的极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=. （2）当6πθ=时，142sincos66OP ππ==+-；当4πθ=-时，4cos 444OQ ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故4OQ OP ==-. 点评：本题考查了参数方程，普通方程转化为极坐标方程，极坐标方程的几何意义，属于一般题.23．已知函数()3131f x x x =-+-.（1）若()f x m ≤有解，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，实数m 的最小值为N ，若,,a b c 为正数，且a b c N ++=，证明：84222abcab a b c+≥++-. 答案：（1）[)2,+∞（2）证明见解析 (1)利用三角不等式即可；(2)利用分析法和基本不等式证明不等式. 解：21 （1）解：()()()313131312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当()()31330x x --≤，即113x ≤≤时取等号，所以()min 2f x =. 因为()f x m ≤有解，所以()min 2m f x ≥=，故m 的取值范围是[)2,+∞.（2）证明：由（1）可知，2N =，所以2a b c ++=， 将84222abc ab a b c +≥++-变形为84222abc ab a b c+--≥-， 即()()()2228a b c abc ---≥.因为2a b c -=+≥2b a c -=+≥2c a b -=+≥， 所以()()()2228a b c abc ---≥， 当且仅当23a b c ===时等号成立，所以84222abc ab a b c +≥++-. 点评：本题考查了三角不等式求最值，利用分析法和基本不等式证明不等式，属于一般题.。
【附加15套高考模拟试卷】江西省南昌市2020届高三数学第四次联考试题(文)含答案
江西省南昌市2020届高三数学第四次联考试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设21(0)()4cos 1(0)x x f x x x x π⎧+≥=⎨-<⎩，()()1g x kx x R =-∈，若函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．()23,4B ．(23,4⎤⎦ C ．1122,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1122,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 2．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将到这个整数中能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（ ） A ．B ．C ．D ．3．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54．已知函数()()1312,222,2,02x x x f x a x a R a x +-⎧+≤⎪⎪=⎨⎪->∈≠⎪-⎩，若()()()635f f f =-，则a 为（ ）A ．1B 3425C ．22D 345．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()2cos cos cos .C a B b A c += 1,3a b ==,则c =（ ） A ．3B ．2C 7D 66．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换，如果n 是奇数，则下一步变成31n +；如果n 是偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 的值为6，则输入的n 值可以为（ ）A ．5或16B ．16C ．5或32D ．4或5或327．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(20B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1- D ．{}0,1,28．已知函数1()xx f x e e=-，其中e 是自然对数的底数.则关于x 的不等式(21)(1)0f x f x -+-->的解集为（ ）A ．4,(2,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B ．(2,)∞C ．4,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)-∞9．已知()21tan ,tan tan 5444ππαββα⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么等于（ ） A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．1610．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M 在俯视图上的对应点为A ，三棱锥表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为（ ）A ．3．32．2D ．3311．在棱长为1的正方体中1111ABCD ABCD -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值12．我们把221(0,1,2)nn F n =+=⋅⋅⋅叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设()2log 1n n a F =-，1n =，2，⋅⋅⋅，n S 表示数列{}n a 的前n项之和，则使不等式21223122221200n nn n S S S S S S +++⋅⋅⋅+<成立的最小正整n 数的值是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省南昌市第二中学2020届高三第四次月考数学(文)试题Word版含答案
1 1 0 1 2南昌二中 2020 届高三第四次考试文科数学试卷一、单选题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）1．已知集合 A = {0 ，2}， B = {-2 ，- 1，0 ， ，2}，则 A B =A ． {0 ，2}2． 1 + 2i=1 - 2iB ． { ，2}C ． { }D ． {-2 ，- 1，0 ， ，2}4 3A ． - - i5 54 3B ． - + i5 53 4C ． - - i5 53 4D ． - + i5 53．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 354．若 sin α = 1 3，则 cos2α =A ． 8 9B ．7 9 C ． - 7 9 D ． - 895．已知平面向量 a , b 的夹角为135 ，且 a = 1， 2a + b = 2 ，则 b =A ． 2B ． 2C ． 3 - 1D ． 36．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为A ． 3 2 fB ． 3 22 fC ． 12 25 fD ． 12 27 f7．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x ∈ [-2，]，则输出的 y 值的取值范围是A.y≤-或y≥0B.-2≤y≤C.y≤-2或0≤y≤D.y≤-2或y≥⎪x+1,x≤0⎪log()b c3B．3C．162π224C．[2D．[,1)522223338.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a12+b12=A．322B．521C．123D．199⎧19.已知f(x)=⎨2，若存在三个不同实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c)，则⎩2019x,x>0abc的取值范围是A．(0,1]B．[-2,0)C．(-2,0]D．(0,1)10.设a，，分别是ABC的内角A,B,C的对边，已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA-sinC)，设D是BC边的中点，且ABC的面积为3，则AB⋅DA+DB等于A．2B．4C．-4D．-211.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//B C，AB=DC=AD=2，BC=P A=4，P A⊥面ABCD，则球O的体积为A．642π162πD．16π12.已知椭圆E:x2y2+a b2=1(a>b>0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点．若AF+BF=4，点M到直线的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是4 5，A．(0,33 ]B．(0,]二、填空题（每小题5分，共20分）14.已知α , β 为第二象限的角，cos(α - ) = - ,sin(β + ) =π s13.过点 (-2,4 )且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.4543 π 513，则 in （α + β）的值为_____.15.设函数 f (x )是定义在 R 上周期为 2 的函数，且对任意的实数 x ，恒 f (x )- f (-x ) = 0 ，当 x ∈ [-1,0]时， f (x ) = x 2．若 g (x ) = f (x )- log x 在 x ∈ (0, +∞) 上有且仅有三个零a点，则 a 的取值范围为_____.16. 已知实数 x ， y 满足 x 2 + y 2 ≤ 1，则 2 x + y - 4 + 6 - x - 3 y 的最大值是．三、解答题（共 5 小题，共 60 分）17.（12 分）2018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。
2020届江西省新余市高三上学期第四次段考数学(文)试题(解析版)
2020届江西省新余市高三上学期第四次段考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，则AB =（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B表示函数y =由函数的定义域、值域的求法，求出集合A 、B ，再求A B 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，则0y >，即()0,A =+∞，又y =x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即A B =10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选D. 【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 2．复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】A【解析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 3．若点22sin,cos 33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin 2α的值为（ ） A ．12BC ．12-D． 【答案】D【解析】根据三角函数的定义得到2sin cos 3απ==，2cos sin 3απ==，再由二倍角公式得到结果.【详解】 点22sin,cos 33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上,根据三角函数的定义得到2cos 21sin cos 32παπ====-，2sin 2cos sin 3παπ====.故sin22sin cos ααα== 故答案为D. 【点睛】这个题目考查了三角函数的定义，三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数值联系到一起，sin tan ya a a x===.知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标.4．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1C ．3D ．7【答案】B【解析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ．【详解】 解：{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-，13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．故选：B 【点睛】本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．若将函数2()sin cos f x x x x =+-(0)φφ>个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值是( ) A ．π12B ．π4C ．3π8D ．5π12【答案】D【解析】化简函数得()f x sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象向右平移φ个单位可得sin 223y x πφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所得函数的图象关于y 轴对称，得sin 213πφ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，即122k ππφ=--，k Z ∈，对k 赋值求解即可. 【详解】∵()2f x sinxcosx x 2=+-)1cos21sin222x x +=+1sin2sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ， 函数()f x 的图象向右平移φ个单位可得()sin 2sin 2233y x x ππφφ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ，所得图象关于y 轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y 轴处取得函数的最值，即sin 213πφ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，解得23πφ-+=2k ππ+，k Z ∈，所以122k ππφ=--，k Z ∈，且0φ>，令1k =- 时，φ的最小值为512π. 故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，三角函数的对称性的应用，属于中档题．6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若()1a f =-，142log b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项. 【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221log log 224-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 7．已知1cos21sin cos ααα-=，则1tan()3βα-=-，则tan(2)βα-=（ ）A ．﹣1B ．1C ．12D ．12-【答案】A【解析】先根据二倍角余弦公式化简条件得tan α，再利用两角差正切公式求解. 【详解】21cos22sin 111,tan sin cos sin cos 2ααααααα-=\==Q11tan()tan 32tan(2)1111tan()tan 1()32βααβαβαα----∴-===-+-+-⋅ 故选：A 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，113n n S a +=，则11a =（ ） A ．104 B ．834⨯C ．934⨯D ．17312⨯【答案】C【解析】先根据和项与通项关系得递推关系式，再根据等比数列定义（从第二项起）以及通项公式求结果. 【详解】11113(2)3n n n-n S a S a n +=∴≥=相减得11,11334(2)n n n n n a a a a n a ++=-∴=≥当1n =时12213133a S =a =a ∴=因此从第二项起{}n a 成等差数列，因此1129112434a a -=⋅=⋅ 故选：C 【点睛】本题考查和项与通项关系以及等比数列定义与通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=，所以cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C 【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2sin a B b C =，3b =，1cos 4B =，则ABC △的面积为（ ）A ．B ．16C D ．916【答案】B【解析】先由正弦定理得2a c =，再由余弦定理得,a c ，最后由1sin 2S ac B =求面积. 【详解】由sin 2sin a B b C =结合正弦定理可得2ab bc =，则2a c =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得()2219=2224c c c c+-⨯， 解得32c =，则3a =.又sin B ==，所以113sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故选B. 【点睛】本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积.已知关于三角形的边和角的正弦值的等式，一般由正弦定理化角为边或化边为角.已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式.11．在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-，2AB AC ==，E 、F 分别为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=（ ） A ．89B ．169C ．109D ．209【答案】B【解析】根据题意得出AB ⊥AC ，建立平面直角坐标系，表示出AE 、AF ，求出数量积AE •AF 的值． 【详解】△ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB •22AC AC AB +=-2AB •2AC AC +， ∴AB •AC =0， ∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A （0，0），B （0，2），C （2，0），E （23，43），F （43，23）， ∴AE =（23，43），AF =（43，23）， ∴AE •2433AF =⨯+4216339⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的计算问题，建立平面直角坐标系是解题的关键． 12．已知函数()ln t f x x x e a =+-，若对任意的[0,1]t ∈，()f x 在(0,e)上总有唯一的零点，则α的取值范围是（ ） A ．1,e e e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．[1,e 1)+C ．[e,e 1)+D ．1,1e e e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 函数()ln t f x x x e a =+-，可得()ln 1f x x '=+，所以由1()0ln 10f x x x e =⇒+=⇒='， 当1x e >时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，在坐标系中画出ln y x x =和e t y a =-的图象，如图所示，对任意的[01]t ∈，，()f x 在(0,)e 上总唯一的零点，可得0e e t a ≤-<， 可得e e e t t a ≤<+，可得e 1e a ≤<+，即[,1)a e e ∈+，故选C.二、填空题 13．已知向量()3cos75,cos75a ︒︒=，()0,sin75b ︒=，则|2|a b +=________．【解析】先求向量2a b +坐标，再根据向量模的坐标表示得结果. 【详解】()())|2||3cos75,cos75+0,sin 75|=|,cos752sin 75|a b ︒︒︒︒︒︒++=5=【点睛】本题考查向量模的坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.14．若变量,x y 满足111x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩______．【答案】2【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可． 【详解】x+y=1．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 15．已知等差数列{}n a 中，3547a a a +=+，1019a =，则数列{}cos n a n π的前2018项的和为________． 【答案】2018【解析】先根据条件求出首项与公差，再根据等差数列通项公式得n a ，最后利用分组求和法得结果. 【详解】3547a a a +=+，1019a =，11112437,919+d d d a a a a d ∴+=++=++，1019a =， 1117,9191,212(1)213n a a d a d a n n +d ∴=+=∴==∴=+-=-，所以数列{}cos n a n π的前2018项的和为123420172018a a a a a a -+-+--+1234201720182018()()()222220182a a a a a a =-++-+++-+=+++=⨯= 故答案为：2018 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.16．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞【解析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论． 【详解】 设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．三、解答题 17．已知数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的正整数的值。
2020届江西省名校联盟高三第四次调研考试数学(文)试卷
2020届江西省名校联盟高三第四次调研考试数学试卷（文科） ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝2{|+230}x x x -<，B ＝{|21}x x -<，则A B ⋃＝（ ） A ．{|3}x x >- B ．{x| x|x ＞1} C ．{|31}x x x >-≠且 D ．∅2.复数21(),2z i =-为虚数单位，那么z 的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知平面α和直线l ，下列命题中错误的是（ ）A ．若l 垂直α内两条直线，则l ⊥α；B ．若l 垂直α内所有直线，则l ⊥α；C ．若l 垂直α内两相交直线，则l ⊥α；D ．若l 垂直α内任一条直线，则l ⊥α．4.设命题()0:0,p x ∃∈+∞,001ln 1x x =-,则p ⌝为（ ） A ．()10,,ln 1x x x ∀∈+∞=- B ．()10,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-C ．()10,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．()10,,ln 1x x x∃∈+∞>-5.已知向量(,2),(21,3)a x b x ==-，若4//a b ，则x =A. 32或 2- B. 32C. 2-D. 2 6.若将函数()2sin(2)f x x ϕ=+ （其中||2πϕ<）的图象向右平移6π个单位后，所得新函数的图象关于原点中心对称，则()6f π= （ ） A ．1 B ．1- C．7.函数()221xf x x =-的大致图象为（ ）8.函数()sin()(0,0,)2f x A x b A πωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示，给出下列结论：①函数最小正周期为π ；②函数c 在1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增；③12b =；④()23f π=.则正确的结论个数为（ ）A.1B.2C.3 D .49. 已知三棱锥的三视图如图所示（网格中 每个小正方形边长为1），则该三棱锥的外 接球表面积为 （ ） A.14πB.6C.64πD.310.已知5270,cos(2)sin()126312ππααπα<<+=-+求的值为 （ ）A.12+B. 12+C. 12+D.1211.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.顶角为120的非等腰三角形D.顶角为120的等腰三角形主视图 左视图俯视图12. 已知()π3sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若()f x 在区间25π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的零点依次为()121121,,,,n n n n x x x x x x x x --<<<<,则()121122sin nn n i i x x x x x -=++++∑=( )A ．0B ．5π2-C. 2 D ．2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.=o o_____________.14. 已知向量,2,3,.a b a b a b →→→→→→==+=且a →在b →方向上的投影为 _______.15.已知向量,OA OB 满足2OA OB ==，点c 在线段AB 上，且OC 的最()tOA OB t R -∈的最小值为_____________.16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，满足()()11,f x f x -=+当[]1,1x ∈-时，()3sin 1f x x x =++，求()()()()12340f f f f ++++=……_____________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos cos b A a C c A =+.（1）求角A 的大小； （2）若3b =，4c =，2BD DC =，求AD 18.已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的最小正周期为π,最大值为2．（Ⅰ）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若()2Bf =，且b ＝4，a+c ＝5，求△ABC 的面积． 19．（12分）已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,2,ABC AB BC ACC A ︒∠===侧面为正方形， 1.P CC 为的中点(1)在平面11ABB A 内找到点R ,画出所有满足1//RC APB 面的点的曲线. (2)在(1)画出的曲线上任取一点Q ,求Q ABP -的体积. 20.（12分）设函数2()cos sin 2f x x a x a =-+++（a ∈R ）． （1）若不等式()0f x <在[0,]2π上恒成立，求a 的取值范围；（2）求函数()f x 在R 上的最小值；21.（12分）已知函数()2(23)3ln f x x a x a x =-++- （1）若1x =处取得极值，求a 的值（2）231,0,()22a x f x a <<<<>-当0证明22．已知曲线C ：2294360x y +-= ，直线l ：2(22x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数）． （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）已知点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l的距离的最大值及最小值．文科数学答案一、选择题二、1C.2A.3. A.4.B5.D6.C7.A8.C9.A10. D11.D 12.D 13.-1 14. 1 15.2 16.40 三、解答题 17．【解题思路】解：（Ⅰ）f （x ）的最小正周期是π，得，当时，，所以，此时f （x ）的值域为．（Ⅱ）因为，所以，∴b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ，16＝（a +c ）2﹣3ac ＝25﹣3ac ，ac ＝3，△ABC 的面积．18． 解析：11(1),,--------------5AA BB R S RS 取的中点分别为则满足题意的点所构成的图像为线段分()2RS R R ABP RS ABP RS -∴在线段选取点，求的体积（因为平行与平面，在线段任意选点都可以，体积都相同）11221--------------1233ARP R ABP B ARP ARP R AA ARP S AR RP V V S BH --∴∴=⨯===⨯⨯=为的中点为直角三角形分19.解析：（1）设A C a =，则AB =，sin AD a θ=，cos CD a θ=，由题意4ABC ACD S S ∆∆=，则114cos sin 22a a a θθ=⋅⋅，sin 2θ=. （2）由正弦定理，ABD ∆中，sin sin BD ABBAD ADB =∠∠，()sin sin 6BD πθ=-① BCD ∆中，sin sin BD BCBCD CDB=∠∠，2sinsin 33BD aππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭② ①÷②得：2sin 3sin 3πθθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，2sin θθ=，tan 2θ=20.解：（1）由题意可知，max ()0f x <，2()()1f x g t t at a ==+++，[0,1]t ∈的图象是开口向上的抛物线，最大值一定在端点处取得，所以有(0)10,(1)220,g a g a =+<⎧⎨=+<⎩故(,1)a ∈-∞-． （2）令sin x t =，[1,1]t ∈-，则2()()1f x g t t at a ==+++，对称轴为2a t =-． ①12a-<-，即2a >，min ()(1)2f x g =-=． ②112a -≤-≤，即22a -≤≤，2min ()()124a a f x g a =-=-++．③12a->，即2a <-，min ()(1)22f x g a ==+． 综上可知，2min 2,2;()1,22;422,2.a af x a a a a >⎧⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪+<-⎪⎩21. 解析：()()23-2(23)312+(23)=-------------11()(1)0---------21---------------------------3a x a af x x a x xx f x f a ++-'=-+-'=∴=∴=分是函数的极值点分分()22min 222min 21,02,()2()2--------------831,02,0,(),()2()=()(23)3ln 33ln 2--------------10 a x f x a f x a a x x a f x x a f x f x f a a a a a a a a a a a <<<<≥->-⎛⎫<<<<∈∈ ⎪⎝⎭∴=-++-=+->-（）当0要证明，只需证明分由(2)知0时时单调递减时单调递增只需证明恒成立分只22333ln 01ln 011()1ln ()101(0,1)()3()(1)=2()01,0,()2--------------122a a a a a a a g a a a g a a a a a ag a g g a a x f x a +-≥∴+-≥-'=+-=-=<<∴∈>∴>∴<<<<>-需证恒成立只需证恒成立令时g 单调递减恒成立 当0 分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。