最新两条相交直线的夹角

课题：两条相交直线的夹角(教案)

【教学目标】：

1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角；

2、理解两条直线垂直的充要条件.

3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力. 【教学重点】：两条相交直线的夹角. 【教学难点】：夹角公式的应用. 【教学过程】： 一、课题引入：

平面上两条直线有几种位置关系？ 相交、平行、重合．（垂直是相交的一种特殊情形） 下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究．（引出课题：两条直线的夹角） 二、新课讲授：

1. 两条直线的夹角：

平面上两条相交直线，它们构成四个角，是两对对顶角．如果一对是锐角，另一对是钝角，那么我们规定锐角作为它们的夹角．如果四个角都是直角，那么规定两直线夹角是直角，此时也称两条直线相互垂直．

平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．

规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为０．

所以，两条相交直线的夹角02

π

α≤≤

．

2. 夹角公式：

如果已知两条直线的方程分别为：

11112222:0

:0

l a x b y c l a x b y c ++=++=（其中11,a b 不同时为零，

22,a b 不同时为零）．系数确定，方程确定，直线确定，它们的夹角也就确定，那么如何根据方程来求1l 与2l 的夹角？

设12,l l 的方向向量分别为12,d d ，向量12,d d 的夹角为θ，直线12,l l 的夹角为α．将直线12,l l 的方向向量12,d d 平移至同一起点，构成四种情形，如图．

当02

π

θ≤≤

时，αθ=；当

2

θπ<≤时，απθ=-．于是，cos cos αθ=．

l

1d 2d

根据直线方程，可设它们的方向向量分别为：()()111222,,,d b a d b a =-=-．由夹角的计算公式得：1212

1

cos

d d d d a θ=

=

，

于是，两条直线的夹角公式为：cos α=

1212,,,a a b b 分别是直线一般式方程中,x y 前面的系数，已知这四个数就可以应用夹角公式求两直线夹角的余弦．因为余弦函数在0,2π⎡

⎤

⎢⎥⎣

⎦

上单调递减，所以此时角α是唯一确定的．

例1、已知两条直线的方程分别是：12:230,

:320l

x y l x y ++=-+=，求两条直线的

夹角α．

解：由题意：cos 2

α=

=

， 4

πα∴=

，即两直线的夹角为

4

π．

练习：求下列各组直线的夹角

.

（1）12:31,:340l y x l y x =-+-= 2π （2）12:20,30l x l y +=++=

6π

（3）12:10,:4l y x l y -+== 4

π

例2、已知直线10l

y +=与直线10kx y -+=，若直线1l 和直线2l 的夹角为60

，求k 的值. 1

2

=

得0k =. cos 0α=得两直线的夹角为

2

π，称两条直线相互垂直，是两直线相交的一种特殊情形，回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直（板书）的命题？

当12120a a b b +=时，cos 02

π

αα=⇒=

，此时，两直线相互垂直；反之，当两直线

垂直时，它们的方向向量()()111222,,,d b a d b a =-=-也相互垂直，所以

1212120d d bb a a =+=．两条直线垂直的充要条件是：12

120a a b b +=； 当12,k k 都存在时，两条直线垂直的充要条件是：12

1k k ⋅=-；

所以两条直线垂直的充要条件也可为：121k k ⋅=-或一条斜率不存在另一条的斜率为零．

例3、已知直线l

经过点(P -，

且与直线0:20l x +=的夹角为3

π

，求直线l 的方程．

解１：设直线l 的一个法向量为(),n a b =，则直线l 的点法向式方程为：

(

)(20a x b y ++=

整理得：20ax by a ++=，

21

2

a b =

⇒-=⇒= 当0b =时，直线方程为：20x +=；

当0b ≠

时，b =

，直线方程为：10x -=； 所以，直线l

的方程为：10x -=或20x +=．

注意：此处设直线的点法向式方程，而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向式方程可以表示所有直线．

解2：若直线l 的斜率存在，设直线l

的方程为：(2)y k x -=+.

1

2

=

，解得3k =-.

直线方程为：10x +-=.

若直线l 的斜率不存在，即方程为2x =-；则直线l 与直线0l 的夹角为

3

π

，满足题意. 所以，直线l

的方程为：10x +-=或20x +=． 解3：设直线l 的一般式方程为：0ax by c ++=（,a b 不同时为零）．

则由题意：(

)2012a b c ⎧⋅-+==，后解同解１．