第二讲 数列计算
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【答案】48
【例 10】现在定义一种符号△，并满足a△b（a>b）是a 除以b的余数。已知a△4=a△6，那么a的最小值是（ ）
【考点】定义新运算，同余，最小公倍数
【解析】由新运算符号及所给条件知a应该大于6并且除以4和6同余 ，那么当a取4和6的最小公倍数12时，是满足条件的最小值， 除以4和6后都余零。 【答案】12
Ｃ、加减法——补数的概念与应用 补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后 所剩下的数。 例如：10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的 补数是9。
补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个 接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为 简单的加法运算等等。
【考点】基准数
【解析】选基准数380，得 380 7 9 7 3 5 4 6 8 2660 42 2702
【答案】2702
【检测4】计算： 1÷50＋2÷50＋……＋99÷50＝ （ ）。
【考点】除法的性质
【解析】直接计算 (1 2
99) 50 100 99 50 198
【答案】94
第四部分 课后作业
【作业 1】计算： 333333 333333
【考点】多位数的巧算 【解析】多位数的计算可利用999999，再凑整，可巧算得
111111 999999 111111000000 111111 111110888889
【答案】111110888889
【检测10】某同学在4次数学测试中，取得的平均分数是84分，他要使平均分 上升到86分，在下次测验中，他至少要得（ ）分？（按整分计算）
【考点】平均数，移多补少
【解析】前4次测试平均分要提高2分到86分，需要下次考试的分数 比86分至少高 2 4 8 分，这样才能把多出来的8分补给前4 次各2分。
【考点】新运算，多重运算
【解析】两重运算，先按照新运算计算括号3△4 =1，再算6△1=7
【答案】7
【检测7】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则 x=（ ）
【考点】新运算，多重运算
【解析】两重运算，先算括号4※1=10，再由结果逆推，x※10=7， 得x=9
【答案】9
，所以有4个奇数。 【答案】4
7 77 777 7777 77777 777777 【作业 4】 十位数字是___________.
的和的
【考点】位值原理
【解析】个位加起来42，十位加起来是35，最终十位数字是9
【答案】9
【作业 5】如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= .
【解析】观察，把数分拆后提取公因数，得 (35 1) 3535 35 3434 35 101 3535 0 或者直接利用重码数前一项可变换为34 35 101 35 3434 前后两项相同，做差为0. 【答案】0
【检测3】计算： 389＋387＋383＋385＋384＋386 ＋388＝（ ）。
Ｂ、平方速算 一、求11～19 的平方 底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以 个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：17 × 17 17 ＋ 7 = 24，7 × 7 = 49；即17 × 17=289。 参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘” 二、个位是5 的两位数的平方 十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。 例：35 × 35 （3 + 1）× 3 = 12，5 × 5 = 25；即35 × 35=1225。
【答案】345000000
6 4444 2222 3333 5555 【作业 3】巧算： 中有 （ ）个数字是奇数。
【考点】提取公因数
的得数
【解析】多位数计算，提取公因数，再利用9999凑整，
1111 1111 (48 15) 1111 1111 63 7777 9999 77762223
a1 (1 q n ) a1 an q q 1 Sn 1 q 1 q
第二部分 例题精讲
【例 1】计算11、14、17、20、……、95、98这 个等差数列的项数是（ ）
【考点】等差数列求项数
【解析】观察得公差为3，最后一项98比第一项11多87，即29个3， 有29个间隔，30个数。
【例 11】某小组有10人，他们的数学成绩分别是：87、91、 94、88、93、91、89、87、92、86，求这个组的平均成绩？
【考点】平均数，基准数
【解析】10个成绩都接近90，可采用基准数算法，总分是 90 20 3 1 4 2 3 1 1 3 2 4 90 20 2 那么平均成绩= 【答案】89.9
【答案】30
【例 5】将4按每次减去2，再加上5的顺序，依次不断重复计 算，一共要经过（ ）步运算，最后的结果恰好为100。
【考点】等差数列求项数
【解析】两步运算的结果是加3，100比4多96，即32个3，共64步。
检验可知，再往前几步运算结果都凑不出100.
【答案】64
【例 7】数列问题：第一层1个球，第二层3个球，前三层共10 个球，第四层有10个球，依此，前六层总共有几个球？
(90 20 2) 20 90 0.1 89.9 分
【例 12】某学生算六个数的平均数，最后一步应 除以6，但是他将“÷”错写成“×”，于是得错 误分析1800，那么，正确分析是__________。
【考点】平均数的概念，还原逆推
【解析】6个数的和是300，由平均数的数量关系式求得平均数就是 50
三、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘（首同尾十） 十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个 位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。 例：56 × 54 (5 + 1) × 5 = 30，6 × 4 = 24；即56×54 =3024。 四、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。（首十尾 同） 两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾 数 相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。 例：78 × 38 7 × 3 + 8 = 29，8 × 8 = 64；即78 × 38=2964。
【考点】定义新运算
【解析】由结果逆推得a=8
【答案】8
【作业 6】如果a△b表示（a－2）×b，例如：3△4＝（3－2） ×4＝4。那么当（a△2）△3＝18时，a等于（ ）？：
【考点】定义新运算
【解析】两重运算，逆推得括号的结果是8，再利用新运算得a=6。
【答案】6
【作业 7】柔柔参加了期中考试，语文、数学、科学的平均分 是分，英语成绩公布后，她的平均分提高了分，柔柔英语考了 多少分？：
【作业 2】计算：
345345 788 690 105606
【考点】提取公因数，重码数，逆用乘法分配律
【解析】观察有重码数345345，并且690与345有2倍关系，变形为
345 1001 788 345 211212 345 (788788 211212) 345000000
Ｄ、除法速算 一、某数除以5、25、125时 1、 被除数 ÷ 5 = 被除数 ÷ (10 ÷ 2) = 被除数 ÷ 10 × 2 = 被除数 × 2 ÷ 10 2、 = = 3、 = = 被除数 被除数 被除数 被除数 被除数 被除数 ÷ × × ÷ × × 25 4 ÷100 2 × 2 ÷100 125 8 ÷1000 2 × 2 × 2 ÷1000
三、21～50 的两位数的平方 在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的 两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。它们是 ：21 × 21 = 441 22 × 22 = 484 23 × 23 = 529 24 × 24 = 576 求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50 减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0 。 例：37 × 37 37 - 25 = 12，（50 - 37）² = 169 ；即37 × 37 = 1369 。 注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十 位和个位。
【答案】50
第三部分 课Βιβλιοθήκη Baidu检测
【检测 1】计算： （1＋3＋5＋…＋2017）－ （2＋4＋6＋8＋2016）＝（ ）。
【考点】分组计算 【解析】观察两个括号中数的特点，对应两两相减得1，共得1009个 1. 【答案】1009
34 3535 35 3434 【检测 2】计算：
【考点】重码数，提取公因数（逆用乘法分配律）
【解析】男生平均分比整体平均分少3分，女生平均分比整体平均分 多7分，根据移多补少原理，男生与女生的人数比是7:3，所 以总人数50分成10份，男女分别生占7份和3份，人数分别为 35人和15人，男比女多20人。
【答案】20
答题技巧总结：
1、 首先观察，找出题目中的内在规律；
2、 理清题目条件之间的关系，找到对应题型的思路切入点；
3、 在运算过程尽可能利用平常练习的速算技巧，与时间赛跑。
Ａ、乘法速算 一、十位数是1的两位数相乘（十几×十几） 乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与 被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：15×17 15 + 7 = 22，5 × 7 = 35；即15×17 = 255。 二、十位相同个位不同的两位数相乘（首同尾不同） 被乘数加上乘数个位，和与十位数相乘，积作为前积， 个位数与个位数相乘作为后积加上去。 例：43 × 46 （43 + 6）× 4 = 196，3 × 6 = 18；即43×46=1978。
【考点】数列求和
【解析】每层的个数是1,3,6,10,15,21 ，共有56个球。
【答案】56
【例 9】计算：
若a△b=(a+b)/(b-a)，请计算1△2+2△3+3△4+4△5+5△6+6△7=
【考点】定义新运算
【解析】新运算符号表示两数和除以两数差，得
3 5 7 9 11 13 48
【检测8】有一个数学运算符号 ，使下列算式成立： 2 4 8,5 3 13,3 5 11,9 7 25, 求7 3 ？
【考点】新运算，找规律
【解析】观察数的规律，第一个数的2倍加上第二个数得到结果，所 以 7 3 7 2 3 17
【答案】17
第二讲
数列计算
2、中项定理：对于任意一个项数为奇 数的等差数列，中间一项的值等于所 有项的平均数，也等于首项与末项和 的一半；或者换句话说，各项和等于 中间项乘以项数．
四、等比数列 如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，公比通常用q表示(q≠0)。 （或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同 的，这个数列就叫做等比数列。） 一般地，等比数列求和采用“错位相减法”。 （公比不为1）S n na1 (q 1)
在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用 速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。当然， 利用商不变性质有时也能起到很好的效果。
【考点】平均分，移多补少
【解析】英语比93分（91+2=93）多出6分，才能补给其他三科各2分 ，所以英语得99分
【答案】99
【作业 8】上外附小有50名学生参加学而思杯数学竞赛，平均 分是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70 分，那么上外附小参赛男同学比女同学多几人？
【考点】平均分，移多补少
【答案】198
【检测5】计算：
2009 20082008 2008 20092009
【考点】重码数
【解析】观察后直接利用重码数的特点， 2009 2008 10001 2008 2009 10001 0
【答案】0
【检测6】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△ （3△4）的值。
【例 10】现在定义一种符号△，并满足a△b（a>b）是a 除以b的余数。已知a△4=a△6，那么a的最小值是（ ）
【考点】定义新运算，同余，最小公倍数
【解析】由新运算符号及所给条件知a应该大于6并且除以4和6同余 ，那么当a取4和6的最小公倍数12时，是满足条件的最小值， 除以4和6后都余零。 【答案】12
Ｃ、加减法——补数的概念与应用 补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后 所剩下的数。 例如：10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的 补数是9。
补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个 接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为 简单的加法运算等等。
【考点】基准数
【解析】选基准数380，得 380 7 9 7 3 5 4 6 8 2660 42 2702
【答案】2702
【检测4】计算： 1÷50＋2÷50＋……＋99÷50＝ （ ）。
【考点】除法的性质
【解析】直接计算 (1 2
99) 50 100 99 50 198
【答案】94
第四部分 课后作业
【作业 1】计算： 333333 333333
【考点】多位数的巧算 【解析】多位数的计算可利用999999，再凑整，可巧算得
111111 999999 111111000000 111111 111110888889
【答案】111110888889
【检测10】某同学在4次数学测试中，取得的平均分数是84分，他要使平均分 上升到86分，在下次测验中，他至少要得（ ）分？（按整分计算）
【考点】平均数，移多补少
【解析】前4次测试平均分要提高2分到86分，需要下次考试的分数 比86分至少高 2 4 8 分，这样才能把多出来的8分补给前4 次各2分。
【考点】新运算，多重运算
【解析】两重运算，先按照新运算计算括号3△4 =1，再算6△1=7
【答案】7
【检测7】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则 x=（ ）
【考点】新运算，多重运算
【解析】两重运算，先算括号4※1=10，再由结果逆推，x※10=7， 得x=9
【答案】9
，所以有4个奇数。 【答案】4
7 77 777 7777 77777 777777 【作业 4】 十位数字是___________.
的和的
【考点】位值原理
【解析】个位加起来42，十位加起来是35，最终十位数字是9
【答案】9
【作业 5】如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= .
【解析】观察，把数分拆后提取公因数，得 (35 1) 3535 35 3434 35 101 3535 0 或者直接利用重码数前一项可变换为34 35 101 35 3434 前后两项相同，做差为0. 【答案】0
【检测3】计算： 389＋387＋383＋385＋384＋386 ＋388＝（ ）。
Ｂ、平方速算 一、求11～19 的平方 底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以 个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：17 × 17 17 ＋ 7 = 24，7 × 7 = 49；即17 × 17=289。 参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘” 二、个位是5 的两位数的平方 十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。 例：35 × 35 （3 + 1）× 3 = 12，5 × 5 = 25；即35 × 35=1225。
【答案】345000000
6 4444 2222 3333 5555 【作业 3】巧算： 中有 （ ）个数字是奇数。
【考点】提取公因数
的得数
【解析】多位数计算，提取公因数，再利用9999凑整，
1111 1111 (48 15) 1111 1111 63 7777 9999 77762223
a1 (1 q n ) a1 an q q 1 Sn 1 q 1 q
第二部分 例题精讲
【例 1】计算11、14、17、20、……、95、98这 个等差数列的项数是（ ）
【考点】等差数列求项数
【解析】观察得公差为3，最后一项98比第一项11多87，即29个3， 有29个间隔，30个数。
【例 11】某小组有10人，他们的数学成绩分别是：87、91、 94、88、93、91、89、87、92、86，求这个组的平均成绩？
【考点】平均数，基准数
【解析】10个成绩都接近90，可采用基准数算法，总分是 90 20 3 1 4 2 3 1 1 3 2 4 90 20 2 那么平均成绩= 【答案】89.9
【答案】30
【例 5】将4按每次减去2，再加上5的顺序，依次不断重复计 算，一共要经过（ ）步运算，最后的结果恰好为100。
【考点】等差数列求项数
【解析】两步运算的结果是加3，100比4多96，即32个3，共64步。
检验可知，再往前几步运算结果都凑不出100.
【答案】64
【例 7】数列问题：第一层1个球，第二层3个球，前三层共10 个球，第四层有10个球，依此，前六层总共有几个球？
(90 20 2) 20 90 0.1 89.9 分
【例 12】某学生算六个数的平均数，最后一步应 除以6，但是他将“÷”错写成“×”，于是得错 误分析1800，那么，正确分析是__________。
【考点】平均数的概念，还原逆推
【解析】6个数的和是300，由平均数的数量关系式求得平均数就是 50
三、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘（首同尾十） 十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个 位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。 例：56 × 54 (5 + 1) × 5 = 30，6 × 4 = 24；即56×54 =3024。 四、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。（首十尾 同） 两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾 数 相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。 例：78 × 38 7 × 3 + 8 = 29，8 × 8 = 64；即78 × 38=2964。
【考点】定义新运算
【解析】由结果逆推得a=8
【答案】8
【作业 6】如果a△b表示（a－2）×b，例如：3△4＝（3－2） ×4＝4。那么当（a△2）△3＝18时，a等于（ ）？：
【考点】定义新运算
【解析】两重运算，逆推得括号的结果是8，再利用新运算得a=6。
【答案】6
【作业 7】柔柔参加了期中考试，语文、数学、科学的平均分 是分，英语成绩公布后，她的平均分提高了分，柔柔英语考了 多少分？：
【作业 2】计算：
345345 788 690 105606
【考点】提取公因数，重码数，逆用乘法分配律
【解析】观察有重码数345345，并且690与345有2倍关系，变形为
345 1001 788 345 211212 345 (788788 211212) 345000000
Ｄ、除法速算 一、某数除以5、25、125时 1、 被除数 ÷ 5 = 被除数 ÷ (10 ÷ 2) = 被除数 ÷ 10 × 2 = 被除数 × 2 ÷ 10 2、 = = 3、 = = 被除数 被除数 被除数 被除数 被除数 被除数 ÷ × × ÷ × × 25 4 ÷100 2 × 2 ÷100 125 8 ÷1000 2 × 2 × 2 ÷1000
三、21～50 的两位数的平方 在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的 两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。它们是 ：21 × 21 = 441 22 × 22 = 484 23 × 23 = 529 24 × 24 = 576 求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50 减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0 。 例：37 × 37 37 - 25 = 12，（50 - 37）² = 169 ；即37 × 37 = 1369 。 注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十 位和个位。
【答案】50
第三部分 课Βιβλιοθήκη Baidu检测
【检测 1】计算： （1＋3＋5＋…＋2017）－ （2＋4＋6＋8＋2016）＝（ ）。
【考点】分组计算 【解析】观察两个括号中数的特点，对应两两相减得1，共得1009个 1. 【答案】1009
34 3535 35 3434 【检测 2】计算：
【考点】重码数，提取公因数（逆用乘法分配律）
【解析】男生平均分比整体平均分少3分，女生平均分比整体平均分 多7分，根据移多补少原理，男生与女生的人数比是7:3，所 以总人数50分成10份，男女分别生占7份和3份，人数分别为 35人和15人，男比女多20人。
【答案】20
答题技巧总结：
1、 首先观察，找出题目中的内在规律；
2、 理清题目条件之间的关系，找到对应题型的思路切入点；
3、 在运算过程尽可能利用平常练习的速算技巧，与时间赛跑。
Ａ、乘法速算 一、十位数是1的两位数相乘（十几×十几） 乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与 被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：15×17 15 + 7 = 22，5 × 7 = 35；即15×17 = 255。 二、十位相同个位不同的两位数相乘（首同尾不同） 被乘数加上乘数个位，和与十位数相乘，积作为前积， 个位数与个位数相乘作为后积加上去。 例：43 × 46 （43 + 6）× 4 = 196，3 × 6 = 18；即43×46=1978。
【考点】数列求和
【解析】每层的个数是1,3,6,10,15,21 ，共有56个球。
【答案】56
【例 9】计算：
若a△b=(a+b)/(b-a)，请计算1△2+2△3+3△4+4△5+5△6+6△7=
【考点】定义新运算
【解析】新运算符号表示两数和除以两数差，得
3 5 7 9 11 13 48
【检测8】有一个数学运算符号 ，使下列算式成立： 2 4 8,5 3 13,3 5 11,9 7 25, 求7 3 ？
【考点】新运算，找规律
【解析】观察数的规律，第一个数的2倍加上第二个数得到结果，所 以 7 3 7 2 3 17
【答案】17
第二讲
数列计算
2、中项定理：对于任意一个项数为奇 数的等差数列，中间一项的值等于所 有项的平均数，也等于首项与末项和 的一半；或者换句话说，各项和等于 中间项乘以项数．
四、等比数列 如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，公比通常用q表示(q≠0)。 （或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同 的，这个数列就叫做等比数列。） 一般地，等比数列求和采用“错位相减法”。 （公比不为1）S n na1 (q 1)
在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用 速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。当然， 利用商不变性质有时也能起到很好的效果。
【考点】平均分，移多补少
【解析】英语比93分（91+2=93）多出6分，才能补给其他三科各2分 ，所以英语得99分
【答案】99
【作业 8】上外附小有50名学生参加学而思杯数学竞赛，平均 分是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70 分，那么上外附小参赛男同学比女同学多几人？
【考点】平均分，移多补少
【答案】198
【检测5】计算：
2009 20082008 2008 20092009
【考点】重码数
【解析】观察后直接利用重码数的特点， 2009 2008 10001 2008 2009 10001 0
【答案】0
【检测6】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△ （3△4）的值。