空间误差分析协方差传播率及权

K
t ,n
DXX
n,n
KT n,t
§3-2 协方差传播率
问题2：设另有X的r个线性函数
Y1 f11X1 f12 X 2 f1r X r f10
Y2
f21X1 f22 X 2
f2r Xr
f 20
Yr fr1X1 fr2 X 2 frn X n fr0
§3-2 协方差传播率
令
Y1
Y
Y
2
t,1
Yr
f11 f12 f1n
F
f 21
f 22
f
2n
r,n
fr1
fr2
f
rn
f10
F0
r ,1
f
20
fr0
即
Y
r ,1
F
r,n
X
n,1
F0
r ,1
求：Y 的协方差阵DYY 和Y关于Z的协方差 DYZ
r,r
r ,t
§3-2 协方差传播率
σ3=1mm，求函数的中误差σX
§3-2 协方差传播率
❖ 例3.在测站A上，已知∠CAB=α，设无误差，而 观测角β1和β2的中误差为σ1= σ2 =1.4″，协方差 σ12= -1（秒2），求角x的中误差σx
C
A
β1
β2
x
B
§3-2 协方差传播率
❖三、多个观测值线性函数的协方差阵
问题1：若有的X的 t个线性函数
求：Z 的方差DZZ
DZZ KDXX K T
§3-2 协方差传播率
DZZ KDXX K T
（1）纯量形式
DZZ
2 Z
k12
2 1
k
22
2 2
k
n2
2 n
2k1k2 12
2k1k3 13
2k1kn 1n 2kn1kn n1,n
（2）当σij = 0 时（i ≠ j）
DZZ
2 Z
k1212
§3-2 协方差传播率
❖一、协方差传播率的作用
计算观测向量函数的方差——协方差阵，从而 评定观测向量函数的精度。
协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方 差运算规律，是描述观测值方差与观测值函数 方差之间的关系式。
§3-2 协方差传播率
❖二、观测值线性函数的方差
问题：设有观测值向量X ,其数学期望为μX， 协方差阵为DXX, 即：
t ,t
K
t,n
DXX
n,n
KT
n,t
§3-2 协方差传播率
DZZ
1,1
K
1,n
DXX
n,n
KT
n ,1
协方差传播率
DZZ
t ,t
K
t,n
DXX
n,n
KT n,t
DYZ
r ,t
F
r,n
DXX
n,n
KT
n,t
§3-2 协方差传播率
❖ 例4.设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内
角L1 , L2 , L3，其中误差为σ。试求将三角形闭合差平 均分配后的各角 L$1、L$2、的L$3协方差阵。
§3-1 数学期望的传播
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) 推广： E (X 1 X 2 … X n ) = E (X 1) E (X 2 ) … E (X n)
§3-2 协方差传播率
➢ 协方差传播率的作用 ➢ 观测值线性函数的方差 ➢ 多个观测值线性函数的协方差阵 ➢ 非线性函数的情况
K k21 k22
k
2n
t,n
kt1
kt2
ktn
k10
K0
t ,1
k20
kt0
即
Z
t ,1
K
t,n
X
n,1
K0
t ,1
求：Z 的协方差阵 DZZ
tt
DZZ
t ,t
K
t,n
DXX
n,n
KT
n,t
§3-2 协方差传播率
DZZ
1,1
K
1,n
DXX
n,n
KT
n ,1
DZZ
t ,t
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播率及权
❖§3-1 数学期望的传播 ❖§3-2 协方差传播率 ❖§3-3 协方差传播率的应用 ❖§3-4 权与定权的常用方法 ❖§3-5 协因数和协因数传播率
第三章 协方差传播率及权
❖§3-6 由真误差计算中误差及其实际应用 ❖§3-7 系统误差的传播 ❖小 结 ❖作 业
22
3
DLL
1
3
2
1
2
3
1 2
3
22
3
1 2
3
1 3
2
1 3
2
22
3
§3-2 协方差传播率
❖
例5.设有函数：Z t ,1
F1
t,n
X
n,1
F2
t,r
Y
r ,1
已知X和Y的协方差阵 D和XX ，DXYY关于Y的互协方差
n,n
r,r
阵为 ，求DXZY 的方差阵 和Z关D于ZZ X及Y的协方差阵
Z1 k11 X1 k12 X 2 k1n X n k10
Z
2 k
21 X 1
k22
X
2
k2n X n
k20
Zt kt1 X1 kt2 X 2 ktn X n kt0
§3-2 协方差传播率
令
Z1
Z
Z
2
t,1
Zt
k11 k12 k1n
k22
2 2
kn2
2 n
§3-2 协方差传播率
❖ 例1：在1：500的地图上，量得某两点间的距离
d=23.4mm，d的量测中误差σd=0.2mm。求实地距 离S及其中误差σS。
❖ 例2：设X为独立观测值L1,L2,L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
4 7
L3
已知L1、L2、L3的中误差为σ1=3mm，σ2=2mm，
n,r
t ,t
和 。 DZX DZY
t,n
t,r
DZZ F1DXX F1T F1DXY F2T F2DYX F1T F2DYY F2T DZX F1DXX F2DYX DZY F1DXY F2DYY
§3-1 数学期望的传播
❖数学期望的性质
E (C ) = C （ C 为常数） E (CX ) = CE (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 推广：E (X 1 + X 2 + … + X n ) = E (X 1) + E (X 2 ) +… + E (X n)
DYY
r,r
F
r,n
DXX
n,n
FT
n,r
DYZ
r ,t
F
r,n
DXX
n,n
KT
n,t
§3-2 协方差传播率
DYZ
r ,t
F
r,n
DXX
n,n
KT
n,t
（1）DZY的取值
DZY
t,r
DT YZ
r ,t
(F r,n
DXX
n,n
K T )T
n,t
K
t,n
DXX
n,n
FT
n,r
（2）Y=Z时，
DZZ
X1
1 E(X1)
2 1
X
X
2
,
X
2
Leabharlann Baidu
E(
X
2
)
E(
X
),
DXX
21
12 22
1n 2n
Xn
n
E(X n )
n1
n2
2 n
§3-2 协方差传播率
又设有的线性函数为：
Z
1,1
K
1,n
X
n,1
k0
即：Z k1 X1 k2 X 2 kn X n k0