直线与方程章末复习课
直线与方程复习 优秀教案
【课题】：《直线与方程》小结与复习【教学目标】：（1）知识与技能：通过小结与复习，帮助学生梳理本章知识内容，掌握本章的基础知识，强化知识间的内在联系；通过例题讲解和进一步的训练，提高学生灵活运用本章知识解决问题的能力.（2）过程与方法：在问题探究的过程中，让学生体会用代数的表达式来研究几何的思想方法，加深对本章知识的理解，培养学生分析问题解决问题的能力。
（3）情感态度与价值观：通过精心设计适宜的教学情境，让学生在师生和谐、互动的氛围中，轻松地、主动地掌握基本知识和基本技能；在问题探究的过程中，培养学生积极进行数学交流、勇于探索的科学精神。
【教学重点】：本章知识内容的梳理以及知识、方法的运用【教学难点】：本章知识的灵活运用【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：PB 的倾斜角最大，PC 的倾斜角次之，PA 的倾斜角最小．这点可用三角形的外角性质去帮助理解．设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，α1＜α＜α2，12,,2παααπ<<，正切函数为增函数。
12tan tan tan ααα<<，∴152k -≤≤-解法二：可以实实在在地去求解，再来判断k 的取值范围．过A 、B 两点的直线为30x y --=，若要使直线y=kx ＋k ＋2与线段AB有交点，则方程组302x y y kx k --=⎧⎨=++⎩在[][]0,33,0x y ∈∈-或上有解，得5031k x k --≤=≤-，∴152k -≤≤-【思考】为什么只考虑[]0,3x ∈，是否还应当去考虑[]3,0y ∈-呢？例2．设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为210x y -+=，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程．【讲评】为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出单图，帮助思考问题．设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1．AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：210x y -+=．设C 点坐标为(m ，n)．在A 、C 、F 三点中，A 点已知，C 点未知，F 虽为未知但其在中线BF 上，满足y=1这一条件．则12132FFm x n n y+⎧=⎪⎪⇒=-⎨+⎪=⎪⎩∵C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0．∴m=－3． ∴C 点为(－3，－1)．用同样的思路去求B 点：设B 点为(a ，b)，显然b=1．又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，C 点为(a ，1)，131(,)22a E ++即1(,2)2aE +，E 在CE 上，∴1+a4102-+=解得5a =，∴B 点为(5，1)． 下面由两点式，就很容易的得到AB ，AC 所在直线的方程 :20,:270AC x y AB x y -+=+-=．〖评析〗这题思路较为复杂，做完后应当从中领悟到两点： (1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这观念必须牢牢地树立起来．四、拓展训练1．已知点A(1,1)和点B(3,3)，则在x 轴上必存在一点P ，使得从A 出发的入射光线经过点P 反射后经过点B ，点P 的坐标为__________. 2．已知点M （4，2）与N （2，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为对学生运用知识解决问题的能力进行训练，提倡学生进练习与测试１．如果直线0=++C By Ax 的倾斜角为45，则有关系式（ ）Ａ．B A = Ｂ．0=+B A Ｃ．1=AB Ｄ．以上均不可能 2．直线,031=-+-k y kx 当k 变动时，所有直线都过定点（ ）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）3.过点(1,3)且与原点距离为1的直线有（ ）A.3条B. 2条C. 1条D. 0条4．设直线0123201832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 和围成直角三角形，则m 的取值是( ）A ．01或±B ．或094－C ．941,0或－-D ．941-或－ 5．如果0<ac 且0<bc ，那么直线0=++c by ax 不通过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 6．直线l 与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称，则直线l 的方程是（ ）A 、0223=+-y xB 、0732=++y xC 、01223=--y xD 、0832=++y x7.与两平行直线：1l ：;093=+-y x l 2：330x y --=等距离的直线方程为 . 8.一束光线从点(1,1)A -出发,经x 轴反射到点(2,3)O ,光线经过的最短路程是 . 9．直线()0232=++-t y x t 不经过第二象限，则t 的取值范围是 ．10．已知两直线01012211=++=++y b x a y b x a 和都通过点()3,2P ，则经过两点()()222111,,b a Q b a Q 、的直线方程是 ．11．已知直线l 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B （1）求△AOB 面积为4时l 的方程；（2）求l 在两轴上截距之和为+3l 的方程.12．△ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．答案与解析： 1—6.BCBCCD .7．设所求直线方程为03=+-c y x ，则10|3|10|9|+=-c c ，解得3=c ，故所求直线方程为3x-y+3=0.8．点B （2，3）关于x 轴的对称点是C （2，-3），光线经过的最短路程与A ，C 两点的距离相等，故光线经过的最短路程为5.9．因为直线()0232=++-t y x t 不经过第二象限，所以232--t >0且2t-<0,解得∈t )23,0(. 10．因为两直线01012211=++=++y b x a y b x a 和都通过点()3,2P ，所以013201322211=++=++b a b a 和，即点()()222111,,b a Q b a Q 、的坐标都满足方程2x+3y+1=0，从而经过两点()()222111,,b a Q b a Q 、的直线方程是2x+3y+1=0.11．设直线l 的方程为),1(2-=-x k y k<0,则直线l 在x ，y 轴上的截距分别为k21-，2-k. ① 当△AOB 面积为4时，4)2)(21(21=--k k，解得k=-2,从而直线l 的方程为2x+y-4=0；②当l 在两轴上截距之和为+3（k21-）+（2-k ）= +3，解得2-=k ，从而求得直线l 的方程2x-y-2-2=0.12．因为AB 边与AB 边上的高线方程x ＋2y －4＝0垂直，所以由点斜式得AB 边所在的直线方程为x y 21=-，即012=+-y x ；AC 边的中点M 在AC 边上的中线方程2x ＋y －3＝0上，可设)23,(a a M -，则)45,2(a a C -，由点C 在AB 边上的高线方程x ＋2y －4＝0上可求得1=a ，所以C （2，1），又联立AB 边所在的直线方程012=+-y x 和AC 边上的中线方程2x ＋y －3＝0求得)2,21(B ，于是由两点式即可求得BC ，AC 边所在的直线方程0732=-+y x ，y ＝1.故AB ，BC ，AC 边所在的直线方程分别是012=+-y x ，0732=-+y x ，y ＝1.。
新教材苏教版数学选择性必修第一册课件：第一章直线与方程章末复习与总结
一、数学运算 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学
结果的重要手段．本章中直线方程的求解与距离问题体现了核心素养中的数学 运算.
直线的方程
[例 1] 若直线经过点 A(－ 3，3)，且倾斜角为直线 3x＋y＋1＝0 的倾斜 角的一半，则该直线的方程为________________．
[答案] (1)C (2)2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0 或 2x－4y＋9＝0 或 2x －4y－11＝0
二、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维
过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类 比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．本章中在判断直线与 直线的位置关系就是从一般到特殊的推理.
即 4x－6＝±2，即 x＝1 或 x＝2，故 P(1，2)或(2，－1)．
(2)∵l1∥l2，∴m2 ＝m8 ≠－n1， ∴nm≠＝－4，2 或mn≠＝2－. 4， ①当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0， 把 l2 的方程写成 4x＋8y－2＝0， ∴ |1n6＋＋26| 4＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 故所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0. ②当 m＝－4 时，直线 l1 的方程为 4x－8y－n＝0， l2 的方程为 2x－4y－1＝0， ∴ |－16n＋＋624| ＝ 5，解得 n＝－18 或 n＝22. 故所求直线的方程为 2x－4y＋9＝0 或 2x－4y－11＝0.
则 a＝
()
A．2 或12
B．13或－1
C．13
D．－1
[解析] (1)当 m＝2 时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性 成立．当 l1∥l2 时，显然 m≠0，从而有m2 ＝m－1，解得 m＝2 或 m＝－1，但 当 m＝－1 时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．
直线与直线方程复习课件
K1=K2且b1≠b2 K1=K2且b1=b2 K1≠K2 K1k2=-1
A1B2 A2 B1 0 BC2 B2C1 0 1 A1B2 A2 B1 0 BC2 B2C1 0 1
A1B2 A2 B1 0 A1 A2 B1B2 0
5.距离公式
(1)两点间的距离公式：
(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程
2 为y=kx，将(-5，2)代入得 k 5 ,此时直线方程 y
,即2x+5y=0； ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求的直线 1 x y 1，将(-5，2)代入得 a 方程为 2 2a a ，此时直线方程为x+2y+1=0.
2 x 5
综上所述，所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
直线方程的求法
例3已知点P（2，-1），过P点作直线l.
若原点O到直线l的距离为2，求l的方程； ①当l不与x轴垂直时， 直线方程可设为y+1=k(x-2)， y 即kx-y-2k-1=0.
l1
由已知得
o x P(2,-1)
1 2k 1 k2
直线方程的求法 例1. 已知△ABC的三个顶点是 A(3,-4)、B(0,3)， C(-6,0)，求它的三条边所在的直线方程.
解：②由于B点的坐标为(0,3),故直线AB在 y 轴上的截距为3，利用斜截式， 设直线AB的方程为 y=kx+3 又由顶点 A(3,-4)在直线AB上，
C(-6,0)
y
B(0,3)
| PP2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
2 2
(2)点到直线的距离公式：
人教版数学必修2第三章直线与方程复习课
题型二
一题多解
【例4】已知直线经过点（1,2），倾斜角为60°，
则该直线的
（1）点斜式方程为 y 2 3( x 1)
（2）斜截式方程为 y 3x 2 3 （3）一般式方程为 3x y 2 3 0
练出高分
专项基础训练
1．已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率为－34，则直线 l 的方程为( A )
C(－2，3)，求：
的则斜B率C k的2＝垂2直，平分线 DE
(1)BC 所在直线的方程； 由的点斜斜率式k得2＝直2线， DE
(2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直
的由方点程斜为式y得－直2＝线2(DxE－0)， 即的2方x－程y为＋2y＝－02.＝2(x－0)，
即 2x－y＋2＝0.
综上可知，直线 l 的方程为 2x－
3y＝0 或 x＋y－5＝0.
题型分类·深度剖析
题型一
求直线的方程
【例 2】 求适合下列条件
的直线方程：
经过点 P(3,2)，且在两坐
标轴上的截距相等；
思维启发
解析
探究提高
方法二 由题意，所求直线的斜
率 k 存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，
直线的方程复习课
教材分析
学情分析
教学目标
教学重难点
▲
本章注意突出解析几何的基本思想“坐标法”：用方程表示直线，运用方程 研究直线的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点、点到直线的距离、两 条平行直线之间的距离。几何问题代数化，用数量关系表示空间情势、位置关系 等等。结合大量的例题，突出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”。 重要的数 学思想方法不怕重复。 “坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不 断地体会“数形结合”的思想方法。于是，我们在教学中应注意“数”与“形” 的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验 证代数结果；同时，通过视察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明， 即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，只强调“形”到 “数”的方面。而忽视“数”到“形”的方面。
必修2第3章直线与方程单元复习课件人教新课标
l1
x
x
l1//l2 k1 k2
k1
k2
l1//l2 ,
或l1和l
重合
2
2.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、 一般式的灵活应用.
点斜式：y - y0 k(x,x0 )
斜截式： y kx b 两点式：y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
3.应用直线方程求两条直线的交点坐标.
3.1.1倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 )
3、斜率k与倾斜角α 之间的关系：
α 0 k tan0 0
0 α 90 k tanα 0
α
90
ta nαa n α(不
k不 不 存
90 α 180 k tanα 0
1.直线方程的两种情势： 点斜式：y y1 k(x x1) 斜截式：y kx b.
2.两种特殊情况:过点P(x0,y0)且与坐标轴平行的 直线的方程分别是:y=y0和x=x0.
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
直线的两点式方程（x1≠x2 ,y1≠y2 ）
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
3.3.1两条直线的交点坐标
用代数方法求两条直线的交点坐标，只需 写出这两条直线的方程，然后联立求解.
A1x B1y C10 A2x B2y C2 0
唯一解 无穷多解
无解
两直线相交 两直线重合 两直线平行
3.3.2两点间的距离
1、平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是： | P1P2 | (x 2 x1 )2 (y 2 y1 )2y来自l1Al2
《直线与方程》复习课件(17张ppt)
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0
《直线与方程》复习课件
求直线的截距
总结词：截距是直线与 y轴或x轴交点的坐标值 ，用于确定直线在坐标
轴上的位置。
01
当直线与y轴相交时， 交点的y坐标称为y截距
。
03
截距可以通过将y或x设 为0并解方程得到。
05
详细描述
02
当直线与x轴相交时， 交点的x坐标称为x截距
。
04
求直线上的点
详细描述
总结词：通过给定的条件和 方程，可以求解直线上的点
斜率的性质
斜率是表示直线倾斜程度的量， 当斜率为正时，直线向上倾斜； 当斜率为负时，直线向下倾斜； 当斜率为0时，直线垂直于x轴。
直线的倾斜角
倾斜角的定义
倾斜角与斜率的关系
直线倾斜角是指直线与x轴正方向之间 的夹角，通常用α表示。
直线的斜率等于直线倾斜角的正切值 。
倾斜角的取值范围
直线倾斜角的取值范围是[0°, 180°)， 也可以表示为[0, π)。
忽略斜率不存在的情况
在解题过程中，需要注意直线的斜率 是否存在，避免出现错误的结果。
计算错误
在求解直线方程时，需要注意计算的 准确性和细节，避免因为计算错误导 致答案不正确。
理解题意不准确
在阅读题目时，需要准确理解题目的 要求和已知条件，避免因为理解错误 导致解题方向错误。
没有检验答案
在得到答案后，需要将答案代入原方 程进行检验，确保答案的正确性。
详细描述：截距式方程中的a和b分别是直线与x轴和y 轴的交点的坐标，可以明确直线的位置关系。
02
CATALOGUE
直线的斜率与倾斜角
直线的斜率
斜率的定义
直线斜率是定义为直线倾斜角的 正切值，即直线倾斜角的正切值
非常优秀的直线的方程复习课说课稿课件ppt
1.掌握直线方程的五种形式，已知条 件及使用范围。 2.直线方程各种形式间的相互转换。
1.由已知条件灵活选用直线方程形式， 并掌握求直线方程的各种方法。
五、说学法
学生本身学习了直线的方程，也有 了一定的了解，在此基础上采用启发 式学习，培养分析问题的能力和结局 问题的能力，在合作、探索学习中形 成一定的数学思维
在学习直线方程之前学生已经学习过一次函 数及斜率的实际意义，这为直线方程的学习奠 定主要的知识基础。直线的方程复习课是在学 生先前已经学过直线的方程基础上，作为章末 总结进行的一节复习课。 高一年级的学生思维活跃，求知欲强，且学 生已经了解直线的方程以及直线的相关要素等 知识，并对学习过程中会出现“数”与“形” 相互转化思想有一定程度的了解，本节课从学 生原有的直线方程知识和能力出发，教师将带 领学生创设疑问，通过合作交流，共同探索， 寻求解决问题的方法。
复习课说课
数学学院
chen chuang
说课流程图
教材分析
学情分析
教学目标
重点难点 教法学法 教学过程
教材地位与作用:
本节课是人教版高一数学必修二第三章【直 线与方程】的第3.2节直线的方程。在之前已经 学习过各种函数而直线作为常见的简单几何图形 在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 直线 的方程对后续的要学习线性规划、直线与圆的位 置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系 等内容有着很重要的作用，所以今天学习的直线 方程式非常重要的。
在 x 轴上的截距 在 y 轴上的截距
两个独立的条件
a b
x ay b Nhomakorabea1不垂直于
x 、 y 轴的直线
不过原点的直线
Ax By C 0 A 、 B 不同时为零
直线与方程章节复习(教案)
直线与方程章节复习1． 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；2． 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；.各公式的灵活运用；理解直线五种方程形式之间的联系与区别，能根据具体的已知条件选择一．直线的倾斜角与斜率1．倾斜角的定义 ，倾斜角α的范围 ，斜率公式k = ，或 .二．直线的方程1． 点斜式：00()y y k x x -=-2． 斜截式：y kx b =+3． 两点式：112121y y x x y y x x --=-- 4． 截距式：1x y a b+= 5． 一般式：0Ax By C ++=三．两直线的位置关系系数间的关系 斜率之间的关系1． 两直线平行：2． 两直线相交： ⑴两直线垂直： ⑵两直线相交3． 两直线重合：四．距离1． 两点之间的距离公式 ，2． 点线之间的距离公式 ，3． 两平行直线之间的距离公式 .二、例题讲解：※ 典例分析例1 已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为a ，若-1<k<1,则a 的取值范围为例2求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例3已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值. ⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.※ 动手试试练1. 方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）.A ．恒过定点(2,3)-B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(2,3)-和(2,3)D ．都是平行直线练2．设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值. ⑴l 在x 轴上的截距为2-；⑵斜率为1-.三、总结提升：1. 点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）.A ．(1,3)-- B.(17,9)-C ．(1,3)-D ．(17,9)-2．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（ ）.A B ． C ． D 3．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .4． 将直线(2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=.⑴若12//l l ，试求a 的值；⑵若12l l ⊥，试求a 的值。
高中数学必修2第三章 直线与方程 章末复习课件
2．直线方程的五种形式及比较
章末复习课
章末复习课
章末复习课
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和 斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽 然可以表示任何直线，但要注意 A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况 进行讨论．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
即 x－12＋4 ＝ x－22＋1 ，解得x＝0，此时点M在坐标 原点， y最小＝0. 又由三角形性质可知||MA|－|MB||≤|AB|，即当||MA|－|MB||＝ |AB|，也即是当A、B、M三点共线时，y取最大值． 由已知得AB的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋3，令y＝0得x＝3，
画一画·知识网络、结构更完善
章末复习课
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
题型一 待定系数法的应用 待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的， 但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件 来确定这些系数的方法．直线的方程常用待定系数法 求解． 选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下， 与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程； 与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
例1 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得 的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
解 方法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件， 得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足 4x0＋y0＋3＝0， 3－2－x0－54－y0－5＝0，
＋y－6＝0.
研一研·题型解法、解题更高效
高中数学第三章直线与方程章末复习课学案新人教A版必修2(2021年整理)
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第三章直线与方程章末复习课1。
直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度,但倾斜角α是角度(0°≤α〈180°）,是倾斜度的直接体现；斜率k是实数（k∈(－∞，＋∞)),是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时,斜率k＝tan α，且经过两点A（x1,y1），B（x2，y2）(x1≠x2)的直线的斜率k AB＝错误!。
（3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0）逐渐增大到＋∞（不存在)，然后由－∞（不存在）逐渐增大到0(不含0)。
2。
直线的五种方程及比较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式y－y0＝k(x－x0）(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式y＝kx＋b k是斜率，b是直线在直线不垂直于x轴线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论。
直线与方程章末总结 课件
●求 直 线 方 程 时 ， 要 善 于 根 据 条 件 ， 合 理 选 用 直 线 方 程 的形式，用待定系数法求解．其基本步骤是：
●①设所求直线方程的某种形式 ●② 由 条 件 建 立 所 求 参 数 的 方 程 ( 组 ) ●③解方程(组)求出参数 ●④将参数的值代入所设方程
●5．直线方程的设法
结评述：解法2充分体现了“点在直线上，则点的坐标满足直线的 方程；反之，若点的坐标满足直线的方程，则直线一定经过该 点”．
解题活动中，多思少算，能有效地训练思维能力．
三、直线的平行与垂直
[例5] 已知两直线l1：(m＋3)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(m＋5)y＝8，问当 m为何值时，
(1)l1∥l2； (3)l1与l2相交；
(2)两条直线平行的条件
文字表 述
若两条直线有．斜．率．且．不．重．合． 如果它们平行，则斜率相等； 反之，如果它们斜率相等，则它们平行
符号表
l1 y＝k1x＋b1
示
l2 y＝k2x＋b2
l1∥l2⇔k1＝k2，且 b1≠b2
l1 A1x＋B1y＋C1＝0 l2 A2x＋B2y＋C2＝0 l1∥l2⇔AA21＝BB12≠CC12
●(4)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为 Ax＋ By＋C1＝0.
●(5)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为 Bx－ Ay＋C1＝0.
●( 6 ) 与 直 线 y ＝ k x ＋ b 平 行 的 直 线 方 程 可 设 为 y ＝ k x ＋ b 1 . (7)与 y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程可设为 y＝－1kx
① 直 线 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 周 长 为 |a| ＋ |b| ＋ a2＋b2；
高中数学《直线与方程》章末复习
数学 ·必修2
由图知 kOP≥kOC 或 kOP≤kOB， ∵kOC＝23，kOB＝－13， ∴yxx不 存在，∴yx∈－∞，－13∪32，＋∞.
41
数学 ·必修2
[点评] (1)利用类比、联想、化归的思想方法是解决此 题的突破口，即将代数式恒等变化为yx－－00，联想斜率的坐标 公式，问题就转化为求过原点且与线段 BC 相交的直线斜率 问题，此法直观简捷，充分体现了“数形结合”思想的优越 性．
y1＋2 y2＝3×x1＋2 x2＋3， 则yx11－－yx22×3＝－1，
解得x1＝－54x2＋35y2－95， y1＝35x2＋45y2＋53.
35
数学 ·必修2
把(x1，y1)代入 y＝x－2， 整理得 7x2＋y2＋22＝0， 所以 l2 方程为 7x＋y＋22＝0. 解法二：因为直线 l：y＝3x＋3 与直线 y＝x－2 相交， 且交点为－52，－92.在直线 y＝x－2 上取点 B(0，－2)，则 点 B 关于直线 l：y＝3x＋3 的对称点为 B′(－3，－1)，所 以直线 y＝x－2 关于 l 的对称直线经过点－52，－92及 B′(－3，－1)，由两点式得直线方程为 7x＋y＋22＝0.
五、对称问题 在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两 大类：一类是中心对称，一类是轴对称． 1．中心对称 (1)两点关于点对称，设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则 P1(x1， y1)关于 P(a，b)对称的点 P2(2a－x1,2b－y1)，也即 P 为线段 P1P2 的中点；特别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P′(－x， －y)．
36
数学 ·必修2
(3)设直线 l 关于点 A(3,2)的对称直线为 l′， 由于 l∥l′，可设 l′为 y′＝3x′＋b(b≠3)． 由点到直线的距离公式得 |3×323＋－－2＋1b2|＝|3×323＋－－2＋132|， 即|b＋7|＝10，解得 b＝－17 或 b＝3(舍去)． 所以直线 l′的方程为 y′＝3x′－17， 即对称直线的方程为 3x－y－17＝0.
大单元教学观下的章末复习课教学思考以 直线与方程 为例
2、小组讨论：通过小组讨论的形式，让学生在合作交流中相互学习、共同 进步。教师可以参与其中，了解学生的讨论情况并进行引导。
3、作业布置：布置适当的课后作业，要求学生按时完成并提交。这有助于 巩固所学内容，同时便于教师了解学生的掌握情况。
4、阶段测试：定期进行阶段性测试，以便了解学生在复习过程中的学习效 果。测试结果可以作为调整教学计划的依据，确保教学目标的有概括，帮助学生形成清晰、 完整的知识体系。可以采用小组合作或独立思考的方式，让学生自己对所学内容 进行提炼和表达。
教学效果评估
为了了解学生的学习情况和掌握程度，教师需要设计有效的评估方法。可以 按照以下步骤进行：
1、课堂练习：在复习过程中，适时安排课堂练习环节，检验学生对直线与 方程知识点的掌握程度。教师可以根据学生的学习情况及时调整教学策略。
5、学生自评和互评：让学生参与评价过程，通过自我评价和互相评价的方 式，了解自己的学习情况和不足之处。这有助于提高学生的自主学习能力，同时 为教师提供更多元化的教学反馈。
6、教师评价与反馈：根据学生的课堂表现、小组讨论、作业完成及测试情 况等，进行全面的教学评估。教师需要及时给予学生反馈，表彰优秀表现，指出 不足并给出建议，以便学生更好地提高学习效果。
大单元教学观下的章末复习课 教学思考——以“直线与方程”
为例
目录
01 引言
03 重点难点分析
02 知识点讲解 04 教学思路和策略
05 课堂实施
07 总结反思
目录
06 教学效果评估
引言
随着新课程改革的不断深入，大单元教学观逐渐被广大教师所接受。章末复 习课作为教学的重要环节，可以帮助学生对所学知识进行巩固和提高。本次演示 以“直线与方程”为例，探讨大单元教学观下的章末复习课教学策略，以期提高 学生的数学素养和思维能力。
课件2：章末复习课
(a－1)2＋b2＝r＋1，
|a＋ 由题意得 2
3b|＝r，
ba＋－33＝ 3，
a＝4，
解得b＝0， r＝2，
a＝0，
或b＝－4 3， r＝6.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
主题6 轨迹问题 1.求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类 问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法 等． 2．求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的 轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检 验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉 的部分．
跟踪训练
2．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0. (1)求过点A，且和直线l平行的直线方程； (2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程．
解：(1)因为所求直线与l：3x＋4y－20＝0平行， 所以设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0. 又因为所求直线过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋m＝0， 所以m＝－14，所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
主题4 求圆的方程
过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1 ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
典型例题
例4 求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2 －x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程． 解：法一 设所求圆为 x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0， 化为一般式，得 x2＋y2－1＋1 λx＋1＋1 λy－21＋＋5λλ＝0. 故圆心坐标为2(11＋λ)，－2(11＋λ)，
课件2：章末复习课
＝
直线方程为______________；
y2－y1 x2－x1
(4)截距式：当直线在x轴、y轴上的截距存在(分别为a、b)
x y
且不为零时，直线方程为____________.
a＋b___________.
Ax+By+C=0
2．直线方程五种形式的比较
式进行判定，可避免分类讨论．
跟踪训练
2.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y
－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直
线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解：(1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.
确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx
－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
典型例题
例1
l3
(1)已知三直线l1 2x－4y＋7＝0，l2
x－2y＋5＝0，
4x＋2y－1＝0，求证：l1∥l2，l1⊥l3；
(2)求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程：
与直线l：3x＋4y－20＝0平行；
则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，
a＋2
a－1
k1＝－
，k2＝－
，
1－a
2a＋3
当 l1⊥l2 时，k1·k2＝－1，
a＋2
a－1
即(－
)·(－
)＝－1，所以 a＝－1.
1－a
2a＋3
综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
法二：由直线l1⊥l2，
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
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1
§ 3.3.3章未复习提高
1． 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；
2． 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以
及直线方程知识的灵活运用；
3． 掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离
公式及其公式的运用
.
一．直线的倾斜角与斜率 1．倾斜角的定义， 倾斜角α的范围， 斜率公式k =，或.
二．直线的方程
三．两直线的位置关系
四．距离
1． 两点之间的距离公式， 2． 点线之间的距离公式，
3． 两平行直线之间的距离公式.
二、新课导学：
※ 典例分析
例1如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
例2 已知在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ， 60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；
⑵AC 和BC 所在直线的方程.
例3求经过直线326x y
++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距
相等的直线方程.
例
4 已知两直线1:40l a x
b y -+=，
2:(1)l a x y -+
0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.
⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂
直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.
例5 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.
2
※ 动手试试
练1. 设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值.
⑴l 在x 轴上的截距为2-； ⑵斜率为1-.
练2．已知直线l 经过点(2,2)-且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．
练3.(对称问题)已知点A 的坐标为(－４，４），直
线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线l 关于点A 的对称直线l '的方程.
三、总结提升：
※ 学习小结
1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式，并能根据条件熟练地求出直线方程.
2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关系.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：
10分）计分：
1. 点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）.
A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-
2．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）.
A ．恒过定点(2,3)-
B ．恒过定点(2,3)
C ．恒过点(2,3)-和(2,3)
D ．都是平行直线 3．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（ ）.
A B ． C ． D
4．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a =.
5． 将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是. 1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a - 0=.
⑴若12//l l ，试求a 的值；
⑵若12l l ⊥，试求a 的值
2．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围.。