公式法解一元二次方程与根的判别式复习课程

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九年级第二次课讲义一元二次方程的公式法,因式分解法,判别式

一元二次方程的公式法，因式分解法，判别式一、用公式法解一元二次方程1、概念：当240b ac -≥时，一元二次方程()200ax bx c a +=≠+的实数根可写为2b x a-=的形式，这个式子叫做一元二次方程20ax bx c +=+的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法，叫做公式法．已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其求根公式推导过程如下：（1）移项得2ax bx c +=-；（2）二次项系数化为1得2b c x x a a +=-；（3）配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）整理得222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（5）直接开平方得2b x a +=；——注意是否可以开方呢？故当0∆≥时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为x = 2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式20ax bx c +=+；(2)正确确定出a ，b ，c 的值；(3)求出24b ac -的值；(4)若240b ac -≥，则方程有实数根，代入公式2b x a -=求解；若240b ac -<，则方程无实数根．例1.用公式法解下列方程：(1)22410x x -=- (2)()()2351x x -=-练习1.用公式法解下列方程：(1)22810x x -=+ (2)2523x x += (3)24310x x +=-二、用因式分解法解一元二次方程1．因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．即如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =．2．因式分解法的概念先通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．3．因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边化为两个一次因式的积；(3)令每个因式都等于0；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解法是解一元二次方程的常用方法，在用因式分解法解一元二次方程时不要盲目的用约分的方法约掉含字母的代数式，这样容易丢掉方程的某个解.例2.用因式分解法解下列方程：(1)()()21321t t t =-- (2)()()2111x x -=-(3)269x x -=- (4)2760y y +=+练习2.用因式分解法解下列方程：（1）230x x -= （2）()()53210x x --=（3）()()2311x x x -+=+ （4）x 2﹣5x ﹣6＝0（5）26120x x -=- （6）6x 2+19x ﹣36＝0三、一元二次方程的根的个数的判别已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其判别式为24b ac ∆=-，其根的个数的情况如下：(1)当042>-=∆ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；(2)当042=-=∆ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，方程无实数根.方程20ax bx c ++=有实根的处理 1、一元二次方程有实根⇔00a ≠⎧⎨∆≥⎩， 2、方程有实根——需要分类讨论（1）0a =，是一元一次方程；（2）0a ≠，0∆≥.3、方程有两个实根⇔00a ≠⎧⎨∆≥⎩.要想判断一元二次方程的根的个数，只需求出其判别式，根据判别式的正负性来判断即可，需要注意的问题是在求判别式之前，一定要将已知的一元二次方程化为标准的一般式，这样才能准确找到a ，b ，c 的值，防止出错.例3. 一元二次方程214204x x +=-的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断练习3. 一元二次方程22520x x -=-的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根下列题型考查一元二次方程的判别式．要记住：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）0∆>△方程有两个不相等的实数根；（2）0∆=△方程有两个相等的实数根；（3）0∆<△方程没有实数根．上述关系是一种等价关系，可以互相推导.例4.若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（）A ．0B ．﹣1C ．2D ．﹣3练习4. 若关于x 的一元二次方程()2450x x m +-=-有实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤与上一类求字母的取值范围型的问题相比，区别在于本类题型中二次项系数中含有字母，所以对于一个一元二次方程，必须保证二次项系数不为零！所以在求字母的取值范围时，又多了一个二次项系数不为零这一不等式.例5. 关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．18a >- B ．18a ≥- C ．18a >-且1a ≠ D ．18a ≥-且1a ≠ 练习5.1 若关于x 的一元二次方程2210kx x -=-有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <-D ．1k <-或0k ≠练习5.2已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1m ≥-C ．1m >-且0m ≠D ．1m ≥-且0m ≠与前两类求字母的取值范围型的问题相比，区别在于本类题型中二次项系数的位置中含有字母，并且通过已知条件无法确认已知的方程是否是一个一元二次方程，故需要进行分类讨论，主要分成两类：第一类，二次项系数为零，则方程为一个一元一次方程；第二类，二次项系数不为零，则方程为一个一元二次方程.两种情形下分别探究是否符合要求，再将两个答案进行合并即可.例题6.已知方程()2210mx m x m -+=-有实数根，求m 的取值范围。

部编本九年级数学上册21.2.1公式法解一元二次方程优质课件

∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= =
即
x1= - 3 ,
x2=
④
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
做一做
1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5
填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0
解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 .
反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时，
当方程有两个相等的实数根，
当方程没有实数根，
0；
记住了，别忘了!
0 。
一元二次方程根的判别式
（1）（2）
＞0 =0 ＜0 ≥0
两个不相等实根两个相等实根无实数根两个实数根
（3）
（4）
要点、考点
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ =0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ ＜0时，方程无实数根. (4)当Δ ≥0时，方程有两个实数根 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ 的情况，这方面的知识主要用来求字母取值范围等问题.
x
b
例4 解方程： x 21 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，

九年级上第02讲一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)讲义+练习

教学难点
因式分解法解一元二次方程.
【知识导图】
1、观察一元二次方程，结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：公式法、因式分解法.
1、形成表象,提出问题
用配方法解下列一元二次方程:
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
一元二次方程的解法
（配方法和因式分解法）
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、根的判别式；
2、公式法解一元二次方程；
3、因式分解法解方程.
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得x2-4=0，
对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．
我们知道：
∴x+2=0，x-2=0．
即x1=-2，x2=2．

(名师整理)人教版数学中考《用公式法解一元二次方程》专题复习精品教案

中考数学人教版专题复习：用公式法解一元二次方程一、考点突破1. 熟练掌握公式法的公式及推导过程；2. 掌握一元二次方程的判别式及其应用。

二、重难点提示重点：应用公式法解一元二次方程。

难点：应用判别式解决相关问题。

考点精讲1. 公式法解一元二次方程（适用于全部一元二次方程）求根公式：x=a acb b24 2-±-求解步骤：①先用判别式Δ=b²－4ac判断方程有无实数根。

②若有实数根，继续代入公式计算两根。

注意：①利用公式法时先把一元二次方程化成一般形式。

②方程有两相等实数根时，要写成x1=x2的形式。

2. 用根的判别式（Δ=b²－4ac）来判断一元二次方程有几个根：①当Δ=b²－4ac＜0时方程无实数根；②当Δ=b²－4ac＝0时方程有两个相等的实数根即x1=x2 ；③当Δ=b²－4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；④当Δ=b²－4ac≥0时方程有实数根。

典例精析例题1 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2－2x－3=0，下列说法正确的是（）A. ①②都有实数解B. ①无实数解，②有实数解C. ①有实数解，②无实数解D. ①②都无实数解思路分析：求出①、②的判别式，根据：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根；即可得出答案。

答案：解：方程①的判别式△=4－12=－8，则①没有实数解；方程②的判别式△=4+12=16，则②有两个实数解。

故选B。

点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握根的判别式与方程根的关系。

例题2 已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k －4=0有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。

思路分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的取值范围；（2）找出k 的取值范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意的k 的值。

2.1 一元二次方程(求根公式法)

-2 16 x= • 得 -6 1 • 所以 x1 ，x 2 1 3
-b b2 - 4ac x= 2a
9
• （2）原方程可化为 x2+2x-8=0
-b b - 4ac • 将 a=1,b=2,c=-8代入 x = 2a -2 36 • 得， x = 2
2
• 所以
x1 2，x2 4
10
• 总结： • 1、求根公式与根的判别业： • 1、教材 P23 第3、4、题（作业本上） • 2、练习册做到P19
11
感谢您的关注
12
• 对于 x2+mx ，在 x2+mx 后面加一次项的系数m的一半的平方，
为了保持相等再减去一次项的系数m的一半的平方。
• 2、ax2+bx, (即二次项系数不是1的)
• 对于ax2+bx，先提取a，即先化二次项系数为1，再配方。注意保持式子相等
3
• 3、平方根的定义和平方根的表示： • 定义：如果x2=a,那么x叫做a的平方根； • 表示： • 当a˃0时，a的平方根有两个，且互为相反数，记作（正的根）、 a （负的根）； a • 当a=0时，因为 02=0 ，所以0的平方根为0，有

2a
4a2
• 这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
•
（2）当b2-4ac=0时，解方程,得
x1 = x 2 = -
• 为原方程两个相等的根；(1)中的公式仍成立。
b 2a
• （3）当b2-4ac˃0时，原方程无实数根。
7
• 例1 用求根公式法解方程 5x2+2x-3=0
-b b2 - 4ac • 解：将a=5,b=2,c=-3代入 x = 2a -2 64 • 得 x= 10

【复习】：初中数学九年级上册.一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(基础)

专项训练年度：一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)2241x x =-； (3) 2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1 ∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>． ∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0 ∴x= ∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17； ∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x 2+x=2； (2) （2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2， ∴x===，∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0， ∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x= =，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=；【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x --±==⨯，∴ 1132x -=，2132x -=．要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0；（3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0． ∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0 合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x ﹣1=0或 x ﹣3=0， ∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=. 一元二次方程两个根二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2）3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0 x 1=﹣，x 2=﹣22x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．【巩固练习】一、选择题1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =- 3．一元二次方程2340x x +-=的解是( )A ．11x =；24x =-B ．11x =-；24x =C ．11x =-；24x =-D ．11x =；24x = 4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( ) A ． 2011 B ．2012 C ． 2013 D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________． 12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为值时，y 的值为0； (2)当x 为值时，y 的值为5.三、解答题13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14. 用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．154b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0，所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0. 3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0 4.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6， ∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x2-++=--++=-++=+=．二、填空题7．【答案】x1＝0，x2＝-1．【解析】可提公因式x，得x(x+1)＝0．∴x＝0或x+1＝0，∴x1＝0，x2＝-1．8．【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．9．【答案】2320-+=；x x【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案．10．【答案】4；【解析】m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．11．【答案】2；【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-2＝0得(x2+y2+1)(x2+y2-2)＝0又由x，y为实数，∴x2+y2＞0，∴x2+y2＝2．12．【答案】(1) x＝5或x＝-2；(2) x=或x=【解析】(1)当y＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴x-5＝0或x+2＝0，∴x＝5或x＝-2．(2)当y＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴23150--=，x==，x x∴x=或x=三、解答题13. 【解析】解：（1）（x﹣3）2=4x﹣3=2或x﹣3=﹣2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0，因式分解得，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，，x2=4；（4）化简得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14. 【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0， ∴ x-8＝0或x+2＝0， ∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； ③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．。

22.3 公式法——一元二次方程根的判别式公开课精品课件

c a
＋
b 2a
2
,
即

x

b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
知1－讲
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情况:
(1) b2 4ac 0 (2) b2 4ac 0 (3) b2 4ac 0
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 表示它，即Δ＝b2－4ac.
(1) 1 x2 x 1; (2) x2 2x 1
4
3
导引：根的判别式是在一般形式下确定的，因此应
先将方程化成一般形式，然后算出判别式的
值．
解：(1)原方程化为:
1 x2 x 1 0, 12 41 1 0,
4
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
知3－讲
解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式 Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
归纳
知2－讲
方程有两个不相等的实数根，说明两点：一是该方程是一元二次方程，即二次项系
这就是我们这节课要学习的内容.
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
我们可以用配方法解一元二次方程 a x2＋b x＋c＝0 (a≠0)．
移项，得 ax2 bx c.
二次项系数化为1，得
x2 b x c . aa

北师版数学九年级上册《2.3 用公式法求解一元二次方程》第1课时用公式法求解一元二次方程教学课件

是否也能用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解：移项，得 ax2 bx c.
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
例5 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵b2 - 4ac = 14×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B.
方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).
•b2 - 4ac ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
•b2 - 4ac ＜ 0 时，方程无实数根.
0)；
视频：求根公式的趣味记忆
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二公式法解方程
典例精析
x b b2 4ac 2a
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a 5，b 4，c 12，
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 ＞ 0.
∴ x b b2 4ac (4) 256 4 16 = 2 8 .

一元二次方程的根的判别式

ห้องสมุดไป่ตู้
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 ＜0
1 =1-4× 4 ×1=0，所以原方程有两
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实个相等的实数根 =14＞0，所以原
方程有两个不相
数根
等的根
一元二次方程判别式
• 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 • （1）3x 2-7x+2=0 （2）9x2+6x+1=0 • （3）2x 2-（2+√2）x+3+√2=0 • 例2：关于x的方程2x2+mx-2=2x-m，当m为何值时方程
相等的根∴4k+1≥0，即k≥-
1 4
1 若有两个相等根4k+1=0即k= -
4
1 若没有实数根则4k+1＜0即k＜ -
4
一元二次方程判别式
• 例4：求证： • （1）关于x的方程x2 +kx+k2+1 =0没有实数根 • （2）关于x的方程（x+a)(x-a)-x=2(x-1)总有两个不相等
的根。（1）证明：∵△=b2 -4ac=k2 -4（k2 +1）= -3k 2 -4无论k为何实数k2≥0∴△＜0故原方程没有实数根。
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一元二次方程判别式
• 二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
b=-4，c=7，
b2-4ac
有什么关系？

22.2.7一元二次方程的解法-根的判别式(2课时)

b2－4ac ＜ 0
典型例题
例1、不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）-x2+ 2 6 x-6=0 （2）x2+4x=2 （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4(m-1)=0
练一练
1.不解方程，判断方程根的情况：
(1)x2+3x-1=0;
(2)x2-6x+9=0;
(3)2y2-3y+4=0 (4)x2+5 = 2 5 x
归纳总结
一元二次方程的根的情况与系数的关系？ b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利
用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一
元二次方程的根的情况；
反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的
符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。
作业：
1、已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0 有两个相等的实数根，求m的值及方程的根.
当⊿＞0时，方程有两个不相等的实数根当⊿=0时，方程有两个相等的实数根当⊿＜0时，方程没有实数根
概括总结
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，
b2－4ac＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时，
b2－4ac = 0
当一元二次方程没有实数根时，
2.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=
所以方程的根的情况是 .
，
3.下列方程中，没有实数根的方程是（） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
4.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ A.b2-4ac＞0 C. b2-4ac≤0 ） B. b2-4ac＜0 D. b2-4ac≥0

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

北师大版九年级上册第二单元一元二次方程解法复习及根的判别式应用的讲义

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17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用一、填空题
20．若分式 x2 7x 8 的值是 0，则 x=______． x 1
21．关于 x 的方程 x2＋2ax＋a2－b2=0 的根是____________．二、选择题
共页第2 页
一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1、当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
3、当b2 4ac 0时, 方程没有实数根；
练习 1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
A． m 3 2
B． m 3 且 m≠1 2
C． m 3 且 m≠1 2
D． m 3 2
16．如果关于 x 的二次方程 a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数 a，b，c 为边长的三角形是
( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程 mx2＋mx＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．
(4)、-3x2+22x-24=0
例 2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用 a,b,c 写出各项系数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 例 2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例 3、解方程：x2-5x+12=0

22.2.2公式法解一元二次方程(二)

b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2 当 0 时，对于 ax2 bx c 0(a 0)
b b 4ac x , 2a
2
一元二次方程的求根公式
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法
由求根公式可知，一元二次方程的根不可能
多于两个。
例题讲解
b b 2 4ac (4) 44 x 2 11, 2a 2 1
即
x1 2 11, x2 2 11
(2)2x 2 2 x 1 0
2
（2） a 2, b 2
2, c 1
2 ) 4 2 1 0
2
∴ b2 4ac (2
∴方程有两个相等的实根
b 2 2 2 x1 x2 2a 2 2 2
(3)5x 3x x 1
2
（3）原方程可化为 ∴
5x 2 4 x 1 0
a 5, b 4, c 1
∴ b2 4ac (4) 2 4 5 (1) 36 ＞0 ∴方程有两个不等的实根
b b 4ac (4) 36 4 6 x , 2a 25 10
2
1 即 x1 1, x2 5
(4) x 17 8x
2
（4）原方程可化为
x 8x 17 0
2
∴ a 1, b 8, c 17
∴ b
2
4ac (8) 4 117 4 ＜0
2
有两个不等的实数根．（2）当 0 时，方程 ax2 （3）当
bx c 0(a 0)
有两个相等的实数根．
0 时，方程 ax2 bx c 0(a 0)

北师大版数学九年级上册.1用公式法解一元二次方程课件

典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第二象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值

范围是k≥ .
−± ²+××
已知某一元二次方程的根为x=
，则此方程
×
可能是( D )
A.3x ²+5x +1=0
B.3x²-5x+1=0
C.3x²-5x-1=0
D.3x²+5x-1=0
变式：用公式法解方程 x²+4 x=2 ,其中求得b²-4ac的值是( )
A.16
B.±4
C.32
D.64
典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.

例 5：若x²+3xy-2y²=0，则

点拨：方程两边同时乘
=

,得

− ±

.

+ × − = ,

设 = ,则 ² + − = ,

+

=

− ,−

< ,所以原方程无解.
新课导入
用配方法解一元二次方程2x²+4x+1=0.
请每位同学编一道一元二次方程，每个小组从中选择一个，并

21.2.2 公式法(第一课时[根的判别式])

移项，得配方，得
x2 b x c
a
a
x2

b a
x

b 2a
2

c a

b 2a
2
即

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
即

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4a2 >0 式子 b2 4ac的值有以下三种情况：
(1) b2

4ac

0, 这时
b2 4ac 4 a2

0
即 x b b2 4ac
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
x b b2 4ac
1
2a
x b b2 4ac
2
2a
即

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4a2 >0 式子 b2 4ac的值有以下三种情况：
(2) b2

4ac

0, 这时
b2 4ac 4 a2

0
即 x b b2 4ac ＝0
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2

b 2a
即因为a≠0,所以4a2 >0

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
式子 b2 4ac的值有以下三种情况：

骤：

《公式法—— 一元二次方程根的判别式》PPT课件

1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断

24.2解一元二次方程第2课时公式法

解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）；所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.
2a
（2）先将原方程化为一般形式，确定a，b，c的值.
（3）代入公式计算前，一般先计算b2-4ac的值，若b24ac≥0，把b2-4ac的值直接代入求根公式求方程的根；若 b2-4ac<0，直接说明此方程无实数解.
(4)当的值等于0时，必须把原方程的根写成的
x1 x2
b 2a
形式，说明原方程有相等的根而不是一个根.
第二十四章解一元二次方程
24.2 解一元二次方程
第2课时公式法
2019/9/21
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1
学习目标
1.学会推导一元二次方程根的判别式和求根公式. 2.能够用公式法解一元二次方程.(重点、难点)
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2
导入新课
回顾与思考问题1 用配方法解下面这个一元二次方程：
b2 4ac 72 4 2(4) 81 0
x 7 81 -7 9
22
4

x1

1 2
,
x2

-4.
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8
问题2 用公式法解下列一元二次方程：

一元二次方程的解法—公式法ppt课件

k≠0
k≠0
归纳当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1；二“移”：将常数项移到方程的右边；三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根有两个相等的实数根没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1；解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.