工程数学(08)解线性代数方程组的直接解法

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( 2)
A
3 6 1 2 = 0 − 1 − 2 − 3 0 1 − 1 0
, L L Ax = L L b完 成 第 二 步 消 元 , 得 2 1 2 1 1
a 22 ( 2 ) = − 1 ≠ 0, m 32 = a 32 ( 2 ) / a 22 ( 2 ) = 1 /( − 1) = − 1 1 L2 = 1 1
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现在我们再用列主元法解例2 现在我们再用列主元法解例
0.0001x1+x2=1 x1+x2=2 将两个方程对调， 将两个方程对调，得 x1+x2=2 0.0001x1+x2=1 消元， 消元，得
假设求解是在四 位浮点十进制数 的计算机上进行
x1+x2=2 （1-0.0001) x2=1
A
(3)
x1 + 2 x 2 + 3 x 3 3 6 1 2 0 − 1 − 2 − 3 ⇔ − x2 − 2 x3 = − 3 x3 0 0 − 3 − 3
=6 = −3 = −3
回代求得
x3 = −3 / − 3 = 1 x 2 = − ( − 3 + 2 x 3 ) = − ( − 3 + 2 × 1) = 1 x1 = 6 − 2 x 2 − 3 x 3 = 6 − 2 × 1 − 3 × 1 = 1 故 所 求 解 为 x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
解： 增广矩阵： A 增广矩阵：
(1)
1 = [ A b] = 2 1
2 3 3
3 4 2
6 9 6
n = 3 , a 11 = 1 ≠ 0 m 21 = a 21 / a 11 = 2 / 1 = 2 m 31 = a 31 / a 11 = 1 / 1 = 1 1 , L Ax = L b完 成 第 一 步 消 元 , 得 : L1 = −2 1 1 1 −1 1
解 第一次消元对
-0.002 2 2 0.4 [A(1) |b(1) ]= 1 0.78125 0 1.3816 3.996 5.5625 4 7.4178
故先作行交换E 因列主元素为a31(1),故先作行交换E1 消元计算可得
3.996 [A(2) |b(2) ] = 0 0
E3,然后进行
5.5625 4 7.4178 -0.61077 -1.0010 -0.47471 2.0029 2.0020 0.40371
b1 b2 L bm
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定理1 （线性代数方程组有解判别定理）线性方程组 % Ax = b有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（A）
定理2 线性方程组Ax = b有解（即相容）时， % (1)秩( A) = 秩( A) = r = n, 则方程组Ax = b存在唯一解。
(k ) 成为主元. ik jk 成为主元.
不论是哪种方式选出主元, 不论是哪种方式选出主元,而后再按上面介绍的计 算步 骤进行消元的计算,一般都称为选主元的高斯消元法. 骤进行消元的计算,一般都称为选主元的高斯消元法.在 实际计算中,常用按列选主元的高斯消元法. 实际计算中,常用按列选主元的高斯消元法.
(本题的准确解为 x1= 10000/9999, x2=9998/9999 ） = 0.00001 ×105 - 0.1000 ×105 (对阶计算 对阶计算) 对阶计算
主元a 主元 11过小
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= - 0.1000 ×105
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二、选主元高斯消元法 选主元高斯消元法 选主元基本思想 用高斯消元法求解线性方程组时,为避免小的主元. 用高斯消元法求解线性方程组时,为避免小的主元.在进 ( 步消元前,应该在第k 行第k步消元前,应该在第k列元素 a ikk ) (i=k,…,n)中找出第 ( 一个出现的绝对值最大者, 一个出现的绝对值最大者,例如 a i( kk) = m ax a ikk ) ， 再把第 k≤i≤n (k ) ik个方程与第k个方程组进行交换,使 ai k 成为主元.我们 个方程组进行交换, 成为主元. 称这个过程为选主元.由于只在第k列元素中选主元, 称这个过程为选主元.由于只在第k列元素中选主元,通常 也称为按列选主元 按列选主元. 也称为按列选主元.
k
k
步消元前, 个方程到第n 如果在第k步消元前,在第k个方程到第n个方程所有 的xk到xn的系数 ( k )(i=k,…,n;j=k,…,n)中,找出绝对值 a ij 最大者, 最大者,例如
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( ai(kkj)k = max aijk ) k ≤i , j≤n
再交换第k,ik两个方程和第k,jk列,使 a 称这个过程为完全选主元 称这个过程为完全选主元.
在四位浮点十进制数的计算机上,上式为 在四位浮点十进制数的计算机上 上式为 x1+x2=2 (0.1000×101-0.00001 ×101x2=1 × 解得： 解得： x1=1， x2=1 ，
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即
x1+x2=2 x2=1
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例3 用列主元消去法解方程组
-0.002x1+2x2+2x3 =0.4 x1+0.78125x2 =1.3816 3.996x1+5.5625x2+4x3=7.4178
% (2)r ( A) = r ( A) = r < n, 方程组Ax = b有无穷多解。 通 解 = 原 方程 组一 个特 解 + 对 应齐 次方 程组 的基 础 解系 的线 性组 合。
常见是m < n，称为欠定方程组（方程数少于未知数） 此时，从Ax = b的无穷多个解中需求出2 − 范数最小的解。 即求 x , 使 || x ||2 = min || x ||2 ，x满足Ax = b。
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第三章 线性代数方程组的数值解法
第一节 求解线性代数方程组的基本定理 第二节 高斯消元法及其计算机实现 第三节 用矩阵分解法求解线性方程组 第四节 误差分析和解的精度改进
n
第五节 大型稀疏方程组的迭代法 第六节 极小化方法
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第一节 求解线性代数方程组的基本定理
线性代数方程组的一般形式
0.0001x1+x2=1 x1+x2=2 解:本题用机器数系表示为 假设求解是在四位浮点十进制数 的计算机上进行
0.1000×10-3 x1 + 0.1000 ×101 x2 = 0.1000 ×101 × 0.1000 ×101 x1 +0.1000 ×101 x2 = 0.2000 ×101 a11 =0.0001, m21=a21/a11=1/0.0001= 104, 消元得 消元得 0.1000×10-3 x1 + 0.1000 ×101 x2 = 0.1000 ×101 × -0.1000 ×105 x2 = -0.1000 ×105 严重失真! 回代解得 x2=1 ,1 - 104 × 0.1000 ×101 ! 严重失真 a22(2)= 0.1000 ×10 x1=0
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一、顺序高斯消元法 顺序高斯消元法 A
(1 (1 a11 ) a12 ) (1) (1) a 22 a 21 LL L (1) (1) a n1 a n 2 ( L a 11 ) n (1) L a2n L L (1) L a nn
b
b1( 1 ) (1) b2 L (1) bn
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消元法是解线性方程组的基本方法， 消元法是解线性方程组的基本方法，具有计算简 单的优点，但有时由于主元过小，使得计算结果严重 单的优点，但有时由于主元过小， 失真,实际中常采用选主元高斯消元法。 失真,实际中常采用选主元高斯消元法。
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例2:讨论下面方程组的解法 2:讨论下面方程组的解法
由此回代, =(1.9272,由此回代,得x=(1.9272,-0.69841,0.90038)T 与精确解 x=(1.9273,-0.69850,0.90042)T相 =(1.9273,比较是比较准确的. 比较是比较准确的.
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），8（ ） 二版习题 P113----6（1）， （1） （ ），
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第二节 高斯消元法及其计算机实现
求解 Ax = b A ∈ R n×n
将原方程组 Ax = b 化为同解的上三角方程 组 Ux = g ∗ L ∗ ∗ ∗ ∗ L ∗ ∗ ∗ M O M M = M 初等变换 O M M = M ∗ L ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ax = b ⇔ Ux = g 同解 用增广矩阵表示为
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm Ax = b 用矩阵形式表示为 % 其增广矩阵记为 A ∈ R m×( n +1) a 12 L a 1 n a 11 a a 22 L a 2 n % = [ A , b ] = 21 A L L L L am1 am 2 L amn
MATLAB实现 实现: 实现

x=A\b
本 章 介 绍 求 解 n阶 线 性 方 程 组 的 数 值 方 法 a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 L L L L L a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
a
U
g
(1 a 11 )
(1 a 12 ) (2) 22
L L
( a 11 ) n
a
(2) 2n
O
M
(n a nn )
b1( 1 ) (2) b2 M (n) bn
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例1 用Gauss消元法求解方程组 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 6 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 9 x + 3x + 2x = 6 2 3 1
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第二次消元对[ ],因列主元素为 第二次消元对[A(2) |b(2) ],因列主元素为a32(2) ,故 先作行交换E 先作行交换E2 E3,然后进行消元计算可得
3.996 5.5625 4 [A(3) |b(3) ]= 0 2.0029 2.0020 0 0 -0.39050 7.4178 0.40371 -0.35160
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% r ( A ) ≠ r ( A )方 程 组 Ax = b无 解 （ 即 不 相 容 ） 。 常 见 是 m > n， 称 为 超 定 方 程 组 （ 又 称 矛 盾 方 程 组 ） 此 时 ， 向 量 b不 在 A的 列 空 间 R ( A )之 中 ， 原 方 程 组 无 解 ， 但 可 求 出 最 小 二 乘 意 义 下 的 解 x。 即 求 x使 || b − A x ||2 = min 2
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数值求解方法有以下三条途径（三种框架） 数值求解方法有以下三条途径（三种框架）
直接法：利用 消元或矩阵分解 直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算 消元或矩阵分解， 可求出精确解。 可求出精确解。 迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列， 迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。 极小化方法：构造二次模函数， 极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次 模函数的极小化问题，即变分法（ 模函数的极小化问题，即变分法（经n 次运算，理论上得精确解）要求 次运算，理论上得精确解）要求A 对称正定(S.P.D) 对称正定