3.1高斯消元法—线性代数(吴赣昌-第四版).

+ + - =
（2）
am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0
则称（2）为齐次方程组（或（1） 的导出组）.
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一、基本概念
２．线性方程组的矩阵表示
n元非齐次线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
， x=
x2
am1 am2 amn
xn
b1
0
，b=
b2
0 ，O =
bm
0
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a11 a12 a1n
A=
a21
a22

a2n
a11 a12
A
=
(
A
b)
=

a21
a22

a1n b1
a2n
b2

例3 解线性方程组
42
x1 x1
-
x2 + 3x3 = 1 2x2 + 5x3 = 4
解
6x1 - 3x2 + 8x3 = 4
2 -1 3 1
2 -1 3 1
A
=

4
6
-2 -3
5 8
4

初等行变换
4
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4、Gauss消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
—r3-—2r2
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2
行阶梯形方 程组
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线性方程组的初等变换
（1）交换某两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某一个方程的两边； （3）将一个方程的倍数加到另一个方程上.
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5、Gauss消元法与矩阵的初等行变换 用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广
矩阵施以初等行变换的过程.
解1：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11 —r3-—2r2
《线性代数》
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
《线性代数》
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x1
-
1 2
x2
=
-
5 2
x3 = 2
自由未知量
可以看出,每给定x2一个值,唯一的求出x1 , x3的一 组值,而 x2可取任意实数,所以方程组有无数解.
方程组的所有解可表示为:
x1
=
1 2
x2
-
5 2
x2 = x2
x3 = 2
自由未知量
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x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x1=3+2x2-4x3 =-7 回 x2 =3-2x3 =-1 代 x3=2
方程组的解为
x1=- 7 x2=- 1
x3= 2
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 ——
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1 -2 01 00
43 23 12
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例2 解线性方程组
2x1 - x2 + 3x3 = 1，
4 2
x1 x1
-
2x2 + 5x3 = 4， x2 + 4x3 = -1，
6x1 - 3x2 + 5x3 = 11 .
解
A 以= A62421的----113非2 零3545行-1为4111增初广等行矩变阵换的线1000 性- 00012方程0100 组- 00522为 = A1

am1 am2 amn

am1
am2
amn
bm

A称为方程组的系数矩阵. A~ 称为方程组的增广矩阵.
３．线性方程组的解
方程组的解：若以n个数组成的有序数组a1, a2, …, an替代未知数
x1, x2, …, xn使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称有序数组 是方程组（1）的一个解.
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2 Nhomakorabea返回
3 -5 14 12
(A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
—r1—r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r3—+r1
方程组的解集合：方程组（1）解的全体称为方程组（1）的解集合．
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上述线性方程组表示成矩阵形式为
Ax = b
系数矩阵
常数项列向量
未知量列向量 A = A b 为增广矩阵
问题：(1) 方程组是否有解? (2) 如果有解,它有多少解? 如何求出 它的所有解?
二、高斯消元法
《线性代数》
+ + - =
（1）
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax= b .
对应齐次方程组（2）可用矩阵形式表示为 Ax= ０.
a11 a12 a1n
x1
其中，A=
a21
a22 a2n
第三章 线性方程组
第一节 高斯（Gauss）消元法
一、基本概念 二、高斯消元法 三、齐次线性方程组非零解的存在性
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一、基本概念
１．线性方程组的一般表示
含有m个方程n个变量的 n元线性方程组般形式为：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
（1）
若b=(b1, b2,…， bm) ≠0 ，则称（1）为非齐次线性方程组；
若b =(b1, b2,…， bm) ＝ 0 ，即：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0