3.1高斯消元法—线性代数(吴赣昌-第四版).
高斯消元法(完整)
高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
高斯消元法
选取主元 在消元过程进行到第k步时，即正要用第k行去消后面 的行时。我们需要把第k行除以akk 然后乘上aik 加到第i行 (1) 上(i k)。显然如果akk 特别小的话，不仅有可能损失精度， 还有可能造成溢出。为了避免这种情况，我们需要选取主 元: 在系数矩阵右下角选取n-k+1阶子矩阵中绝对值最大 的元素aij ，交换第k行与第i行，交换第k列与第j列。注意到 列的交换会使得解的顺序混乱，因此我们需要记录列的交 换过程，以便最后还原。当然由于交换后akk 的绝对值是最 大的，所以如果akk =0我们就可以直接终止计算了，因为这 时无法找到唯一的一组解。 （选取主元的过程并不影响时间 复杂度， 整个过程的时间复杂度仍然是O（n3 )）
nn n n
高斯约当消元法
高斯约当消元法是一种不需要回代的消元法，可以算 是高斯消元法的一种改进，它与高斯消元法唯一的不同是： 高斯约当消元法每次不仅要把主对角线以下的元素消为0 ,还要把主对角线以上的元素消为0。 自然消完后系数矩阵只 有主对角线上有非0元素， 所以就不需要回代外，我们还可以使 用迭代法或者共轭梯度法来解线性方程组，限于篇幅这里 不作介绍， 有兴趣的同学可阅读相关资料。
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我们的感言
by Mr Joke
冬去春来，转眼鼠年已经过去。在此新春佳节之际，我 谨代表OIBH管理团队恭祝各位牛年快乐！ 在过去的一年里，我们OIBH管理团队在坚持做好日常 而这并不意味着，我们会改变论坛定位。OIBH始终要秉承 信息学初学者之家的定位。家是最根本的定义。我们力求提 供人性化的管理，使每一位oier体会到家的感觉。其次是初
论坛管理的同时，积极探索。尝试了建立同城区、交流区、 学者。我们论坛的主要群体应该是针对信息学初学者， 是给 宠物中心、打造OOJ等一些列管理措施。在过去的一年里， 大家一个入门的平台， 打造一个交流的平台。我们不能因为 我们有失败也有成功。然而我们胜不骄败不馁， 在成功中总 结经验，在失败里总结教训。在新的一年里，我们将立足于 现在， 以求真务实的态度审视未来。将团队管理理念转变为 少而精。我们力求每年认真的做好一两件事实。 同时我们将舍弃无用而庞大的部分， 打造精品论坛。然 论坛大牛的人数增多而放弃基础区的建设。基础区的建设， 永远是我们工作的重中之重。与此同时， 我们立志为给大家 进一步学习提供一个良好的平台。如果您对我们的管理有 任何意见或建议， 请与我们联系。
高斯消元法（完整）
高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组（3.1）a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 其中系数，常数都是已知数，是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项a ij b j x i , , …, 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当== … =b 1b 2b m b 1b 2= 0时，即b m （3.2）a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 称为齐次线性方程组。
由n 个数, , …, 组成的一个有序数组（, , …, ），如果将它们k 1k 2k n k 1k 2k n 依次代入方程组（3.1）中的, , …, 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，x 1x 2x n 则称这个有序数组（, , …, ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由=0, k 1k 2k n x 1=0, …, =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，x 2x n 称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ，X = ，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
线性代数 第3章 主要学习内容
求解线性方程组 首先要判断线性 方程组是否有解
若无解则结束
若有解则利用高斯消 元法化简方程组并求 得全体未知数的取值
实际上，高斯消元法通过对线性方程 组进行行变换，将其转化为三角形方 程组，然后再通过回代法求解出未知 数的值，由以下例题加以说明。
3.1 高斯消元法求解线性方程组
例1.《九章算术》第八章中介绍“方程术”的案例为：
方程组（3-11）的解为：
3.3 高斯消元法求逆矩阵
思考：可逆矩阵的乘积矩阵是否可逆？
3.3 高斯消元法求逆矩阵
解：由题意 根据例8的结果知
3.3 高斯消元法求逆矩阵
3.3 高斯消元法求逆矩阵
3.3 高斯消元法求逆矩阵
回顾与小结
1.逆矩阵的定义； 2.用逆矩阵的定义求方阵的逆矩阵； 3.用高斯消元法求方阵的逆矩阵。
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何?”
将其翻译过来就是：现有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果实共计39斗； 上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果实共计34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆， 下等谷子3捆，果实共计26斗，问上等、中等、下等谷子1捆分别是几斗？
3.1 高斯消元法求解线性方程组
解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：
求解线性方程组首先要 判断线性方程组是否有 解，若无解则结束；若 有解，则利用高斯消元 法化简方程组并求得全 体未知数的取值
3.1 高斯消元法求解线性方程组
例3 求解线性方程组
3.1 高斯消元法求解线性方程组
解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：
高斯消元法详解
高斯消元法详解高斯消元法是一种线性代数中用于解决线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将一个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解出未知数的值。
高斯消元法的基本步骤如下：1. 将待求解的线性方程组写成增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取第一行第一列元素不为零的行作为主元行，通过初等行变换将该行化为主元，即使该行第一列元素为1，其余元素为0。
3. 对于每个未被选中的行，将其第一列元素通过初等行变换化为0。
具体做法是将该行乘以主元所在行第一列的相反数，并加到主元所在行上。
4. 重复步骤2和3直到所有未被选中的行都被化为0或者无法选取主元。
5. 回带求解出未知数的值。
从最后一行开始，依次代入已经求出来的未知数值并计算出当前未知数值。
需要注意的是，在进行高斯消元法时需要注意以下几点：1. 当选择主元时应尽量避免选取小数作为主元，因为小数的精度有限，可能会导致计算误差。
2. 当系数矩阵中存在多个相同的行时，需要将它们合并成一个行，以减少计算量。
3. 在进行回带求解时，应注意未知数的顺序和求解的顺序应该一致。
高斯消元法可以用于求解任意大小的线性方程组，但是当方程组的规模很大时，计算量会非常大。
此外，在某些情况下高斯消元法可能会出现无法选取主元或者主元为0的情况，此时需要采用其他方法进行求解。
总之，高斯消元法是一种简单而有效的线性方程组求解方法，在实际应用中得到了广泛的应用。
熟练掌握高斯消元法可以提高我们在科学计算和工程设计中的能力和水平。
线性代数 高斯(Gauss)消元法ppt课件
2
x1 x1
x2 2x3 1 x2 x3 2
x1 4 x2 3 x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
c22 x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn dr
0 dr1
0 0
0 0
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四 章
2. 第二种情况
若 d r +1= 0 且 r = n，方程组具有形式
线
性
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2n xn d2
crr xr crn xn dr
0 dr1
0 0
0 0
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四 章
1. 第一种情况
线
若 dr1 0, 方程组中出现矛盾方程
性
0 dr1
方
程
因此，方程组无解。
组
注 此时，方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩 .
即 r( A) r( A~) .
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§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四 章
2. 第二种情况
若 d r +1= 0 且 r = n，方程组具有形式
线
性 方 程 组
用高斯消元法求解线性代数方程组
用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。
⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x 将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x 由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a （1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x 其中)0(11)0()1(1a a aij j =， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n+ 1） 从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2） 其中n i a m a a iji ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。
线性代数——高斯消元
线性代数——⾼斯消元线性代数——⾼斯消元第⼀板块⾸先，我们先来讲解⼀下线性代数：什么是线性代数？函数研究的是，输⼊⼀个数，经过函数运算后，产出⼀个数。
⽽有时候我们研究的问题太复杂，需要输⼊多个数，经过运算后，就会产出多个数。
这时候，线性代数应运⽽⽣。
多个数，我们可以⽤括号括起来，形成⼀个数组。
在⼏何学上，数组被称作向量，向量就是⼀个有⽅向有⼤⼩的直线段。
所以，线性代数就是：输⼊⼀段直线，经过加⼯后，产出⼀段直线与函数相似，⽤图来描述就是：那么矩阵是怎么对直线加⼯的呢？假设输⼊的直线为【1,2】，⽤于加⼯的矩阵为【0, 1，-1, 0】，那么这个矩阵的加⼯过程就是把i换成矩阵中的第⼀列，把j换成第⼆列，然后再以新的基向量为原料，重新利⽤【1,2】拼凑⼀个新的向量。
我们可以⽤熟悉的⼝诀“左⾏乘后列”来检验⼀下：同理，稍微复杂⼀些的三维向量遇到三维矩阵后的加⼯过程：⾏列式是什么？矩阵对向量进⾏加⼯，⾏列式能够描述这种加⼯作⽤的强弱上⽂提到，矩阵对向量加⼯是通过改变基向量来实现的。
以⼆维为例，默认的基向量张成的⾯积为1，经过变换后形成的新的基向量张成的⾯积变为了S，那么这个矩阵的⾏列式为S有时候，矩阵的⾏列式会为0，这就说明新的基向量张成的⾯积为0，也就说明新的基向量发⽣了重合。
有时候，矩阵的⾏列式为负数，说明线性空间发⽣了翻转。
换句话来说，默认的两个基向量，j在i的逆时针⽅向，经过加⼯后，线性空间发⽣了翻转，导致i在j的逆时针⽅向。
什么是单位矩阵？就是说⽆论给它输⼊什么样的向量，产⽣的向量都与原来的相同既然矩阵对向量的加⼯作⽤是通过改变基向量来实现的，那么如果想保持你的输⼊和输出相等，只需要保证矩阵不会改变基向量即可so，⼆阶、三阶、以及n阶单位矩阵可写为：5.什么是逆矩阵？我们结合图来分析：如果说上图向量1等于向量3，那么就说明，向量经过矩阵1和矩阵2后⼜变成了⾃⼰。
也就是说，矩阵1和矩阵2的加⼯作⽤是相反的（对着⼲），那么我们就说矩阵1和矩阵2是逆矩阵明⽩了原理，那么解逆矩阵就容易了:****这⾥补充⼀下:⾏列式为0的矩阵是没有逆矩阵的因为如果为0，表明矩阵在对向量转换的过程中，将向量空间压缩到了⼀个更低的维度上。
高斯消元法详解
高斯消元法详解介绍高斯消元法（Gaussian Elimination）是一种线性代数中常用的求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为上三角形矩阵，再通过回代求解得到方程组的解。
高斯消元法广泛应用于各个领域，包括数学、工程、计算机科学等。
基本原理高斯消元法的基本原理是利用矩阵的初等行变换，将线性方程组转化为上三角形的矩阵形式。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵将线性方程组的系数矩阵与常数矩阵合并，构造增广矩阵。
增广矩阵按照方程组的顺序排列，每个行向量表示一个方程。
2.主元选取选择每一列的主元，使得主元所在的列（称为主元所在列）其他元素都为零。
主元可以是行首非零元素或者经过行交换后的非零元素。
3.消元过程从第一行开始，对每一行进行消元。
通过初等行变换，将主元所在列的其他元素变为零。
消元过程分为两种情况：–主元为零：需要进行行交换，将非零元素调整为主元。
–主元不为零：通过乘以一个系数，将主元下方的元素消为零。
4.回代求解将转化后的增广矩阵转化为上三角形矩阵后，从最后一行开始向上回代求解。
通过求解当前方程的未知数，计算出前面的未知数的值，最终得到方程组的解。
算法实现高斯消元法可以用算法描述如下：1.输入: 线性方程组的增广矩阵A。
2.输出：线性方程组的解X。
3.n = A的行数4.for i = 1 to n-1：1. a = A(i,i)（主元）2.for j = i+1 to n：1. b = A(j,i)2.for k = i to n+1：1.A(j,k) = A(j,k) - (b/a) * A(i,k)5.for i = n to 1：1.sum = 02.for j = i+1 to n：1.sum = sum + A(i,j) * X(j)3.X(i) = (A(i,n+1) - sum) / A(i,i)6.输出X示例假设有如下的线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2-2x + y + 2z = 5我们可以将其转化为增广矩阵：[2 3 -1 | 1][4 2 1 | -2][-2 1 2 | 5]按照高斯消元法的步骤，首先选取第一列的主元为2，然后通过消元将主元下方的元素变为零：[2 3 -1 | 1][0 -2 3 | -4][0 4 3 | 7]然后选取第二列的主元为-2，再进行消元：[2 3 -1 | 1][0 4 3 | 7][0 0 15 | -15]最后，进行回代求解，得到解为x=1，y=2，z=-1。
高斯消元法及其在线性代数中的应用
高斯消元法及其在线性代数中的应用在线性代数中，高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法。
它基于一些简单的矩阵运算，如变换、代入和消去，可用于解决各种复杂的数学问题。
本文将深入探讨高斯消元法的原理和在线性代数中的应用。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种逐步消元的过程，以化简线性方程组为其主要目标。
它通常适用于线性方程组形如Ax=b的情况，其中A是一个矩阵，x和b都是向量。
该方法的基本原理是，将方程组从标准形式转换为上三角形式，然后向后代入和解出变量。
高斯消元法的主要步骤如下：1. 选择一个非零元素a11作为主元素，并将与其在同一列中的所有元素所乘的倍数从该列中减去。
2. 依次选择其他主元素并完成类似的操作直到达到上三角矩阵的形式。
3. 通过向后代入解出未知量。
这些步骤可以通俗地理解为一个简单的消元过程，将未知量的值从下面的式子中一步步代入到上面的式子中，以获得最终的结果。
二、高斯消元法在线性代数中的应用高斯消元法是线性代数中最基本的工具之一，可以用于各种数学问题的解决。
其中包括求解线性方程组、矩阵求逆、计算矩阵的秩和求解特征值等。
下面将更具体地探讨高斯消元法在线性代数中的应用。
1. 线性方程组的求解在线性方程组中，高斯消元法是求解未知量的一个常用方法。
例如，对于以下的线性方程组：2x + 3y + 4z = 103x + 5y + 2z = 142x + 6y + 5z = 23可以将系数矩阵和右侧的向量表示为增广矩阵：2 3 4 | 103 5 2 | 142 6 5 | 23然后使用高斯消元法，将增广矩阵转化为上三角矩阵：2 3 4 | 100 -1.5 -2.6667 | -1.33330 0 1.3333 | 5最后，通过向后代入计算出未知变量的值：x = 2y = 3z = 4通过高斯消元法，我们成功的求解了这个线性方程组。
2. 矩阵求逆高斯消元法也可以用于求解矩阵的逆。
例如，对于一个2x2的矩阵：a bc d其逆矩阵可以表示为：1/ad-bc -b/ad-bc-c/ad-bc a/ad-bc可以使用高斯消元法来获得逆矩阵。
线性代数 第3讲 中国人民大学 吴赣昌
x1 - x2 3 x4 - 1
x2 2 x3 - 2 x4 0 x3 - 3x4 -1
x4 0
x1 - x2 3x4 -1
x2 2x3 -2x4 0 x3 -3x4 -1
x4 0
(2.2)
由(2.2)易知x4=0, 将其代入第3方程得x3-1,再 回代前两个方程, 分别得x2=2, x1=1. 所以(1,2,1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2.2)的方程组称为阶梯形线性方程组.
-x3 -x3
2x4 4x4
4x5 5x5
-2, -3,
2 3
(2.6)
x1 -x2 x3 x4 8x5 2. 4
的增广矩阵
1 -1 -1 0 3 -1 1
[A,b]2 -2 -1 2 4 -2 2 3 -3 -1 4 5 -3 3
1 -1
1
18
2
4
1 -1 -1 0 3 -1 1
[A,b]2 -2 -1 2 4 -2 2 3 -3 -1 4 5 -3 3
例2 求解线性方程组
x1 - x2 -x3 3x5 -1, 1
23xx11
-2x2 -3x2
-x3 -x3
2x4 4x4
4x5 5x5
-2, -3,
2 3
x1 -x2 x3 x4 8x5 2. 4
(2.6)
解 写出方程
x1 - x2 -x3 3x5 -1, 1
23xx11
-2x2 -3x2
方程的全部解就表示为: x1=1+k1-7k2, x2=k1, x3=2-4k2, x4-1+3k2, x5=k2, 其中k1,k2为任意 常数. 以后常把方程组的解写成下面的形式:
高斯消元法（完整）
高斯消元法（完整）高斯消元法解线性方程组在工程技术与工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型得数学模型,这些模型中方程与未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同.那么这样得线性方程组就是否有解呢？如果有解，解就是否唯一？若解不唯一，解得结构如何呢？这就就是下面要讨论得问题.一、线性方程组设含有n个未知量、有m个方程式组成得方程组（3、1）其中系数，常数都就是已知数,就是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项，，…，不全为0时,称方程组（３、１)为非齐次线性方程组；当== …＝= 0时,即（3、2）称为齐次线性方程组.由n个数, , …, 组成得一个有序数组（，，…，),如果将它们依次代入方程组(3、１)中得，，…, 后，(3、1）中得每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（，，…，)为方程组（3、1)得一个解。
显然由=0, =0, …, =0组成得有序数组（0，0,…，0）就是齐次线性方程组(３、２)得一个解，称之为齐次线性方程组(3、２）得零解，而当齐次线性方程组得未知量取值不全为零时,称之为非零解.（利用矩阵来讨论线性方程组得解得情况或求线性方程组得解就是很方便得。
因此,我们先给出线性方程组得矩阵表示形式。
) 非齐次线性方程组(3、1)得矩阵表示形式为：AX =Ｂ其中A＝，X＝，B =称A为方程组(3、１）得系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。
将系数矩阵Ａ与常数矩阵B放在一起构成得矩阵=称为方程组（３、1)得增广矩阵。
齐次线性方程组（3、2)得矩阵表示形式为:ＡＸ=O二、高斯消元法(下面介绍利用矩阵求解方程组得方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组得解呢?我们先瞧一个定理。
)定理３、1若用初等行变换将增广矩阵化为,则AＸ= Ｂ与CX =D 就是同解方程组。
证由定理3、1可知，存在初等矩阵,，…, ,使…＝记…= P，则P可逆,即存在。
设为方程组A X＝Ｂ得解,即A＝ B在上式两边左乘Ｐ,得P A = PB即Ｃ＝D说明也就是方程组C X＝D得解。
线性代数--吴赣昌-第四版--课后习题答案
线性代数（理工类第四版吴赣昌主编）（中国人民大学出版社）第一章习题1-11.（1）= x3—X2—1-（5）解原式= 11 —・log* = 0.2.（1）解原式= 1x1x1 +3x3 x 3 + 2 x 2x2一2x1x3-3x2x1—1x3x2 =18.（3）GLv r H +;・)z —H肥峠—— f f ——Ex ——x mi f E I .rHEH —(A ・+X)itrfH「H1E(H + .¥)—E£——A4・J J —严g l s r D I J gexEHuIm —qqq I尊厨X L I -X Q X E I O x s x n —) —守 X E X (I ——)+o x o x =+【X S X I H M ^*r(2)二ny 严<亠*-T雷■严< « J sJ ® S915 -N 5 i s J S AH IA +gN ('f lft r g Fz */-!- (寸・*<£1 ^3 ss 村气* 喘If!"帖+ = H寸《c^l Tr村來?l第X - i sTJ W 2A r u•n u口T c f fA f e J W ^ - A s r J H # EN H k s n ■ N ・r s ^& g・ J s用『A x* </代 </N s n *uE和 ■ t i -,-km J 8Pn A JL H-cL i c L r ® I L ?啊叫==o/fd ?T T T TT巧鎂 r 曲!1^_曲亦7^犬+BSrh q — ■ ) j /v (冇 "*夕性F*孑才吉换堵样K 丰”习题1-31=1OOO < 34工■吕 一>=—<> I 2^<)<»<> ■(2)Fi 23 1 2 31 2 =o 1 2 =0 «111o -1 -2(3)ab CTCb cebd z=5b —</ Qbf</he—e—11 1—1 1 11 —111 1 11 1 — 111—1—1U o■= adfbcc1 O 2=4122. ( 1)曲于SUVI £I 黔2 <><><>23^tZ 1 W 28092I OOO 1 <M><>=1 OOOK4N 1 牙 ^WOOZ12 2 212 2 012 0 0( l)<ff_ 11 JI !.(4)(5)1- I 1 I --(2)3. 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( 1)(431、r、r4x7+3x2+1x1解1-232lx 7 + (-2) x 2 + 3x17 0丿I 5x7+7x240x1=6(49丿(2)(123)f-1 -2 -4 r o <)u)2 4 6 —1 -2-40 ()0■(369丿I1 2 4lo ()0 >(3)(3)解(1,2,3) 2=(1 x 3 + 2 x 2 + 3x1)11< ■丿二（叭(4)<3\<3 6 9)解2 (1 2 3)= 2 4 6 .d丿U 2 3丿(5)(6)厂% «12為八V（工］字兀£,兀3）^12 «22 ^23X,«21幻3宀丿丿4解 3AR-2A=3 1/ 0 5 3 0-5 U 9 8A ( 1 6 -2 10 12 3 >2 4-21 5 1 >13 _ 17 29 (1 1 n (12 3](0 5 811 一 1 -1 -24 — 0 -5 6-1 1丿< 0 5 1><2 9 0丿1,其几何M-XX:在线性凭换A TB ^(1) y = Ax(1 oyi5 0丿"一⑴—W 丿5齢止上5量“⑴的投影，见下图. 解(2) y - Ax -y = Ax下、向量$ = 22 > 20 , -2,在反皿由上(U)(04),其几何意义是：在线性变换是平面斗处2上的向量％1 00 0.在X 】轴上的反射，见卞EL 0(14)1o(1厂1)< -6 112-4 l —10 —I[r = -6 訂[+ 签—►X2=12Z1-4Z2+9Z3.L = - IO ZJ- z2+ 16J37解如国，设—fycx^OP}二**丿5丿/cos^? - sin^ Vx1< sin <p co$^9 J V v2>f x} cos ip— x1 sin <p ]sin <p -vx2cos^> 丿为方便起见’利用极生标表示-春tXi = F3Si&X尸“彻炉则有f ”、( r cos 6^ cos r sin 0 sin <p\ rsin 0 sin <p+ r cos^cos <p (r sin(^ +俨)丿从几何上君,在线性疾换y = Ax^F.向-^y = OP.^^x^rx = OP f 披依逆时针方向旅砖了(p甬(即将点1\決原点为中心逆时针雄转炉并)的结果.因此,本题所讨论的线性变换被荷为扯转銮换.8. ( 1)x n + 3X 2I即r 2X … + 5X 21 =4 I + 3*21 = 2分别琳上进阿于右程组碣2-23 0 8(2)<2\3I 石丿WT3t 扌奂白勺灵巨眸K X —21HP12 — b 、-V 2i —济以与力 ET 手t 按白勺绘梓K （常 ：）•21 人 22 u 1222X|］十 5X 2I 2X 12+ 5XX|2 + 3兀2x 11 — 2，21 0, x 1223 丁22-2 1v 2 =3, V 3 — 22* 11 -Y 122-v 12 + 5AT 21 *12 +3* 22 —乂1】+ >*12 心1 + ^221o1oIo1o1oIo1o1o1o1o1o1o1o1□=10. (1)解/I2-3oo厂I\7oA-oMoo厂)2)oftAB =^12 IIII解aA = aii *12力+屈=“11 十方11 a\2"12 佝3+ 〃13«22 + A22 仏 + H 盘33 +*33> 叫丿^33 >*11*22 *23為3丿%11如 5如十％血2 %1如+糾血$ +5僞3幻如+5勺3 所以,aA.A + B.AB仍为同阶同£害构上三角形矩阵.14<^11 曰12角军吃殳/t —a 21 a 2223<^31 a M”33 丿(—ma\ i 贝U —mA = —ma2l1一"恆站—ma\r—以⑷八—ma22 ~ w^2j一wa^一丿从而| —mA | =—w«n — mni2 — ma\y ——ma iz —ma2^ —ma3X - ma32—丽席阳二—wp \A \ ——nt4.^ii =5, yiji = 2 x ( —1), >4 |2 = 2 x ( —1), A 22习题2-31.(1)5 z4*r4 [ | —h^4 21 =-2,=1, ^41 = o ,力1工=o> ^22 = 1 , ^32 =—2, ^42 =1,儿3 = th仏3 =心3 =1 ,/心= 一2，^14 = 0,」34 =»,如= 1,< 1 -210、11 —21故AI■⑶故 A~A\(2)丿 A\ = l1—22. ( 1)-X42XIJo2XIJz11zflx\丿6o\7oloooo1loo4.(1)『123(x2 2 5勺=2<3 5 1>(x 、鼻1厂 12 3、 1⑴rn"X |— 1 故— 2 2 52—,从而4x 2 = 0宀丿<3 5 134丿x, = 0J 3(2)(1 -1 -iVx^(2、解芳程组可表示为2 -1 _3 J =1<32 - §丿1心丿<1-1-01f 2、 <5>! = 5 故—2 -1 -31 —0 勺从而*X, = (11 *3丿22 -5；<0；.3丿A\ = 3L3解宙题设 儿丿兀2l 打 2 2 3 1 3 2从而 儿=r 21)353 X 2K 丿 丿1尸3丿-7 6 -4 3 2 9Y -7 -4 八X J-7心 6心 +3X 2 3A ：［ + 2X 2—4X 2 + 9X 37兀34兄［⑷『宀［⑷T,（击”-4 0 0 ) 0 -2 -4 0 -6 -10>解 因为|/|=2, 所以/可逆•由求逆公式彳鼻又由 AA~^E^- |/||"i| = |E|,_i即1/ UfTT ，Ml代入|川|得 |才| =国八善=凶2 = 4・ Ml7.（1）由 AB = A \ 2K —(/<- 2F)« = A. 放R ="-2E )r(-233、 -1c0 3 3=1 -11 1 0< ■ -12 1 >l - -1 23 j* 0 3 3、 -1 2 3 < 110>解因（才）"=（|丄|/"）-1 =Ml解由方程AR \ A1 \ R、合并含科未知矩阵B的项得(A-E)B = A2-E = (A-E)(A十E),f 0 0 1 ]又A-E=010,<i o oj其行列式|昇—E|=—1工0, ^A-E可送，用(A-E) 1左乘上式两边，即得r 2 o 1R = A + E =0 3 0 *< '0 2 丿2-41. ( 1)M 由方程十E=卫2+号，合并含科耒如夫巨阵〃的项厲寻(A- E)B = A2-E = (A - E)(A + E).r o o 1 >又A-E=010,1 0 0 >其行列式|乂-£|=-1工0,故zi-E可送，用(zi-E)7左乘上式两边，即得r2 0 1 >B =A +E =030.」° 2丿(2)解原式二< a li ac0 、0 a0 ac1 0 c + bd0 1 0 1 0 c^ bd )。
第3章31高斯消元法列住元法
，
( k 1, 2 ,
,n)
矩 阵 形 式
A (k ) x b (k ) ， ( k 1, 2 ,
,n)
消元过程
(1) (2) 设 主元 a11 0, a22 0, 消元过程 ( n) , ann 0
(k ) aik mik (k ) (k 1,2, , n 1),(i k 1, k 2, , n) akk
7 0 4 3 3
x 1 , x 0 , x 1 1 2 3
3.1 高斯消去法
3.1.1 顺序高斯消去法 (按方程和未知量的自然顺序进行) 基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方 程组化为上三角形方程组进行求解 。求解 分成 两步： 1.消元过程：用初等行变换将原方程组的系 数矩阵化为上三角形矩阵（简称上三角阵）。 2.回代过程：对上三角形方程组的最后一个 方程求解，将求得的解逐步往上一个方程代入求 解。
n 1
合计
2 n ( n 1) (1) (n ) 消元过程： A 化为 A 需乘除法次数 ， b(1) 化 3
n(n 1) 为b 需 次。 2 n(n 1) 回代过程： 。 2
( n)
n(n2 1) 2 n 3 共需乘除法次数： n 。 3 3
3.1.2 列主元高斯消去法
为什么列选主：数值不稳定 (k ) 当高斯消去法的主元 时 尽管“当 A 非奇异时，det A≠0，方程 a,kk 0 组有唯一解”，也不能实现高斯消去法求解。 例 ， A 非奇异，det A≠0，方程组有
i mik k (i)
(1) (2) 设 主 元a 11 0, a 22 0, 消 元 过 程
(n) , ann 0
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（2）
am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0
则称（2）为齐次方程组（或（1） 的导出组）.
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一、基本概念
２．线性方程组的矩阵表示
n元非齐次线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
， x=
x2
am1 am2 amn
xn
b1
0
，b=
b2
0 ，O =
bm
0
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a11 a12 a1n
A=
a21
a22
a2n
a11 a12
A
=
(
A
b)
=
a21
a22
a1n b1
a2n
b2
例3 解线性方程组
42
x1 x1
-
x2 + 3x3 = 1 2x2 + 5x3 = 4
解
6x1 - 3x2 + 8x3 = 4
2 -1 3 1
2 -1 3 1
A
=
4
6
-2 -3
5 8
4
初等行变换
4
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4、Gauss消元法解方程组过程
例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
—r3-—2r2
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2
行阶梯形方 程组
《线性代数》
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线性方程组的初等变换
（1）交换某两个方程的位置； （2）用一个非零数乘某一个方程的两边； （3）将一个方程的倍数加到另一个方程上.
《线性代数》
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5、Gauss消元法与矩阵的初等行变换 用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广
矩阵施以初等行变换的过程.
解1：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11 —r3-—2r2
《线性代数》
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
《线性代数》
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x1
-
1 2
x2
=
-
5 2
x3 = 2
自由未知量
可以看出,每给定x2一个值,唯一的求出x1 , x3的一 组值,而 x2可取任意实数,所以方程组有无数解.
方程组的所有解可表示为:
x1
=
1 2
x2
-
5 2
x2 = x2
x3 = 2
自由未知量
《线性代数》
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x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x1=3+2x2-4x3 =-7 回 x2 =3-2x3 =-1 代 x3=2
方程组的解为
x1=- 7 x2=- 1
x3= 2
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 ——
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1 -2 01 00
43 23 12
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例2 解线性方程组
2x1 - x2 + 3x3 = 1，
4 2
x1 x1
-
2x2 + 5x3 = 4， x2 + 4x3 = -1，
6x1 - 3x2 + 5x3 = 11 .
解
A 以= A62421的----113非2 零3545行-1为4111增初广等行矩变阵换的线1000 性- 00012方程0100 组- 00522为 = A1
am1 am2 amn
am1
am2
amn
bm
A称为方程组的系数矩阵. A~ 称为方程组的增广矩阵.
３．线性方程组的解
方程组的解：若以n个数组成的有序数组a1, a2, …, an替代未知数
x1, x2, …, xn使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称有序数组 是方程组（1）的一个解.
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
x1 -2x2+4x3 = 3 x2+2x3 = 3 x3 = 2 Nhomakorabea返回
3 -5 14 12
(A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
—r1—r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r3—+r1
方程组的解集合：方程组（1）解的全体称为方程组（1）的解集合．
《线性代数》
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上述线性方程组表示成矩阵形式为
Ax = b
系数矩阵
常数项列向量
未知量列向量 A = A b 为增广矩阵
问题：(1) 方程组是否有解? (2) 如果有解,它有多少解? 如何求出 它的所有解?
二、高斯消元法
《线性代数》
+ + - =
（1）
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax= b .
对应齐次方程组（2）可用矩阵形式表示为 Ax= ０.
a11 a12 a1n
x1
其中，A=
a21
a22 a2n
第三章 线性方程组
第一节 高斯（Gauss）消元法
一、基本概念 二、高斯消元法 三、齐次线性方程组非零解的存在性
《线性代数》
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一、基本概念
１．线性方程组的一般表示
含有m个方程n个变量的 n元线性方程组般形式为：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
（1）
若b=(b1, b2,…， bm) ≠0 ，则称（1）为非齐次线性方程组；
若b =(b1, b2,…， bm) ＝ 0 ，即：
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0