一次函数性质

一次函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.K为常数.

即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），

∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两个一次函数图像重合；

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；

当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数

图像性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤：

（1）列表.

（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-b/k与0，0与b）.

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；

当b>0时，直线必通过第一、二象限；

当b<0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

4、特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K 值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个K 值的乘积为-1）

5、直线平移规律

（1）一次函数y=kx+b 的图像可以看做是y=kx 平移|b|个单位长度而得到（b>0时，向上平移，b<0时，向下平移。）

（2）图像的上下平移与K 无关

（3）图像的上下平移与b 有关，图像向上移动b 的值增加,图像向下移动b 的值减小。 简称：上 + 下 –

（1）图像的左右平移与k ，b 无关，只与自变量x 有关系，向左移动x 的值增加，向右移动x 的值减小。

简称：左 + 右 -

y=2x 向右平移4个单位变成直线y=2x-8 y=2（x-4）=2x-8

y=2x 向左平移4个单位变成直线y=2x+8 y=2(x+4)=2x+8

反比例函数 1、性质

（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．

（2）当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．

注意：不能说成“当k ＞0时，反比例函数y 随x 的增大而减小，当k ＜0时，反比例函数y 随x 的增大而增大。”因为，当x 由负数经过0变为正数时，上述说法不成立.

(3) 反比例函数解析式的确定：反比例函数的解析式y= (k≠0)中只有一个待定系数k ，因而只要有一组x 、y 的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k 的值，就可得到反比例函数解析式.

2、反比例函数中反比例系数的几何意义

如下图，过反比例函数)0(≠=

k x

k y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。 k S k xy x k y ==∴=,,Θ。