第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)

x y
cos 2 x sin 2
(10 1) (10 2) (10 3)
符号规定： 角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
—拉为正，压为负
—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
2 x ①由主平面定义，令 =0，得： tan 2 0 x y
F
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm

max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
2、梁内主应力迹线： 在梁的xy平面内可以绘制 两组正交的曲线，在一组 曲线上每一点处切线的方 向是该点处主应力 （拉 应力）的方向，而在另一 组曲线上每一点处切线的 方向则为主应力 (压应 力)的方向。这样的曲线就 称为梁的主应力迹线。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为

V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
8.5 提高梁强度的措施
在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的 最大正应力，梁的正应力强度条件
max
M max W

8.5.1合理安排梁的受力情况
§9-3 梁的合理截面和变截面梁
一、选用合理的截面形状
矩形截面比圆形截面好， 工字形截面比矩形截面好得多
二、
采用变截面梁
§9-4 梁的主应力、主应力迹线
可求出两个相差90o的0值，对应两个互相垂直主平面。
2 xy d ②令 0 得： tan 2 0 x y d
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
max x y x y 2 x 2 min 2
横截面的 对称轴 横截面
中性层
中性轴
（一）横截面上正应力分布规律：
1、通过进一步分析可知，各层纵向纤维的线应变沿截面高度应为线性变化规 律，即线应变与它到中性层的距离 y 成正比，从而由虎克定律可推出，梁弯 曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布规律变化。 2、受拉区 拉应力，受压区 压应力 3、中性轴上应力为零 4、沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等，即沿截面宽度均匀分布 5、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。 若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力
(a) 图中这种梁段的 弯曲(横截面上 既有 弯矩又有剪力）称为 横力弯曲。
V
图中这种梁的弯 曲(横截面上只有弯矩 而无剪力）称为纯弯 曲。
(b)
M=0, V=0
纯弯曲
纯弯梁
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
纯弯曲—只有M无V 平面弯曲
横力弯曲—V M同时存在
纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯 矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
实验：观察纯弯梁的变形，分析横截面上正应力的分布规律。
实验：观察纯弯梁的变形，分析横截面上正应力的分布规律。
纯弯曲梁加载过程 纯弯曲梁加载过程
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向直线、
m n
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
第九章第六节
梁弯曲时的应力及强度计算
教学目标：
1、掌握梁弯曲时横截面正应力分布规律； 2、掌握正应力的计算 3、了解横截面上剪应力分布规律； 4、掌握常见截面剪应力计算
( Stresses in Beams)
引言
m M
当梁上有横向外力作用时，一般情 况下，梁的横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 V 。
y
max
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时 的最大正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
100
200
4m
100
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
二、梁横截面上的剪应力
1. 一点的应力状态 ：通过受力构件一点处各个不同截面 上的应力情况。
2.研究应力状态的目的 ：找出该点的最大正应力和剪应力 数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
(c)
n
0
dA ( x dA cos ) sin ( x dA cos ) cos ( ydA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
tg 2 0 1 o ③ tg 2 1 (极值切应力平面与主平面成45 )
二、梁内主应力及主应力迹线
1、梁内主应力： 在三对相互垂直的相对面上剪应力等 于零，而只有正应力。这样的单元体称为 主单元体，这样的单元体面称主平面。主 平面上的正应力称主应力。 通常按数值排 列，用字母σ1、σ2和σ3分别表示。
前面我们学习了，梁弯曲时横截面正应力分布规律及计算，在工程中， 一般正应力是梁破坏的主要因素。但是，当梁的跨度很小或在支座附 近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大， 如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值， 剪应力就不能忽略了。
1.矩形截面梁的弯曲剪应力
对于高度h大于宽度b的矩形截面梁，经过理论分析，可以得出 横截面上剪应力的如下结论： V （1）横截面上各点处的剪应力方向与剪力的方向一致； （2）横截面上至中性轴等距离各点的剪应力相等， 既沿截面宽度为均匀分布；
梁的正应力强度条件
①拉压强度相等材料：
max
M Wz [ ]
max
弯曲应力
②拉压强度不等材料： t ,max [ ]t ， c ,max [ ]c
根据强度条件可进行：
1、强度校核: max [ ]
M Wz max 2、截面设计: [ ]
3、确定梁的许可荷载: M max [ ]Wz
2
④由max、min、0按代数值大小排序得出
4.极值切应力：
x y d 0，可求出两个相差90o 的 tg2 1 2 ①令： xy d 1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
x y 2
2
②极值切应力：
' "
2 " xy 2
一、梁上任一点应力状态的分析
一点的应力状态是研究通过受力构件内任一点 的各个不同截面上的应力情况。
应力状态分类：
应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。 全部应力位于同一平面内时，称为平面应力 状态；全部应力不在同一平面内，在空间分 布，称为空间应力状态。
§9-4 梁的主应力、主应力迹线
一、一点的应力状态
t
0
dA ( x dA cos ) cos ( x dA cos ) sin ( ydA sin ) sin ( ydA sin ) cos 0

x y
2 2 x y sin 2 x cos 2 2 x y 2 x y 2 ( ) ( x )2 2 2
实际构件危险点的应力状态往往不是单向应力状态。实现接近复杂应力状态下的 实验，要比单向拉伸或压缩困难得多，有的是很难用试验的办法来确定失效应力 的。况且，复杂应力状态中应力组合的方式和比值，又有各种可能。如果像单向 拉伸一样，靠实验来确定失效状态，建立强度条件，则必须对各种各样的应力状 态一一进行实验，确定失效应力，然后建立强度条件。由于技术上的困难和工作 上的繁重，往往是难以实现的。 经过人们大量的生产实践和科学试验，人们发现，尽管失效现象比较复杂，但经 过归纳，强度不足引起的失效现象主要有两种形式：一种是断裂，包括拉断、压 坏和剪断；另一种是塑性流动，即构件发生较大的塑性变形，从而影响正常使用。 但是，要确定哪一种材料在达到危险状态时必定是断裂或塑性流动，那一类构件 在达到危险状态时必定是拉断或是剪断是不可能的。因为由同一种材料制成的构 件在不同的荷载作用下，或者同一类构件所处的荷载条件相同，但材料不同，所 达到的危险状态不一定都相同，即失效的情况不一定一样。例如，低碳钢制成的 构件在单向应力状态下会发生明显的塑性流动，即材料发生屈服，但在复杂应力 状态下，有时会发生脆性断裂，而无明显的塑性流动。又如受扭的圆杆，若该杆 由木材做成，则沿纵截面剪断，而由铸铁制成时，则沿45º 方向拉断。
b 0
1 h FL 2 3 3 1.65MPa bh 12 1 h FL M B yc 2 2 c bh 3 IZ 12
1 M B FL 2
bh3 IZ 12
2.47MPa
（压）
例2：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。yc
＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 y
(4)剪应力沿截面高度的分布按 二次抛物线规律分布 。在上下边缘处 剪应力为零，中性轴上剪应力最大， 其值为
max
V 1.5 1.5 A
2、工字形截面梁的剪应力

V S I zd
Z
腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物 线规律变化
最大剪应力发生在中性轴上，工字钢翼缘上承担了绝大部分弯矩，腹板 上承担绝大部分剪力。

σmax
M
M
M
σmax
max M
中性轴
max
（二）正应力的计算公式
1.横截面上任意点正应力计算
b/2 b/2
h
My IZ
M:为横截面的弯矩 Y:为计算点到中性轴的距离 I:z截面对中性轴（Z轴）的惯性矩，与 截面形状和尺寸有关 。
z
y
y
150
使用此公式注意：公式中的M、y都用 绝对值，σ的正负由M的正负判断
d 3
32
Wz W y
32 d 式中 : D
(1 4 )
型钢查型钢表
例1:长为l 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b ＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、 c各点的正应力。
A
l 2
FL
B
l 2
F
Байду номын сангаас
h6
a
b
C
h2
h
c b
M B ya a IZ
P1
1 2 3 4 5 x m
P2
q x
m
m
3 1 3
1
3
2
3
x x
1
3
1 3 1 3 1
3 1 3 1
x
4
x x
m
5
1
§9-5
二向应力状态下的强度条件——强度理论
各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。塑料材料， 如普通碳钢，以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志。 脆性材料，如铸铁，失效现象是突然断裂。在单向受力情况下， 出现塑性变形时的屈服极限σs和发生断裂时的强度极限σb，可 由实验测定。σS和σb可统称为失效应力。失效应力除以安全 因数，便得到许用应力[σ]，于是建立强度条件 可见，在单向应力状态下，失效状态或强度条件以实验为基础 是容易建立的。因为一方面构件内的应力状态比较简单，另一 方面要用σ≤[σ]接近这类构件受力情况的试验装置求失效应力值 比较容易实现。
50
96 .4 C 50
200
z
简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
惯性矩
bh3 IZ 12
hb3 Iy 12
I Z IY
d 4
64
Iz Iy

64
(D4 d 4 )
D 4
64
(1 4 )
D 3
弯曲截 面系数
bh2 Wz 6
hb2 Wy 6
Wz Wy
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
m
V
( Stresses in Beams)
m

m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图