(完整版)有理数的历史定义
《有理数的引入》 讲义
《有理数的引入》讲义在我们的数学学习之旅中，有理数是一个非常重要的概念。
从简单的整数运算到复杂的代数方程，有理数都扮演着不可或缺的角色。
那么，究竟什么是有理数？为什么要引入有理数呢？让我们一起来探索有理数的奥秘。
一、数的发展在远古时代，人们为了记录物品的数量，开始使用自然数，比如1、2、3 等等。
自然数能够满足人们在简单计数方面的需求。
随着生活和生产的发展，人们逐渐发现，仅仅有自然数是不够的。
比如，在分配物品时，如果物品的数量不能正好平均分配，就需要用到分数。
再后来，人们在测量长度、重量、时间等过程中，发现了一些无法用整数或分数准确表示的量，比如边长为 1 的正方形的对角线长度。
这时候，就需要引入无理数。
而有理数，就是整数和分数的统称。
二、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。
例如，3 可以写成 3/1，05 可以写成 1/2，－2/3 也是有理数。
有理数包括正有理数、零和负有理数。
正有理数是大于零的有理数，如 1/2，3 等。
负有理数是小于零的有理数，如－1/2，－3 等。
零既不是正数也不是负数，但它是有理数。
三、有理数的性质1、有理数的加法和乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a，a × b ＝ b × a结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)，（a × b) × c ＝ a ×（b × c)分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c2、有理数的加减乘除运算加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
3、有理数的大小比较正数大于零，零大于负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的反而小。
有理数的历史知识点总结
有理数的历史知识点总结有理数是数学中的一个基本概念，它包括整数和分数。
有理数的历史可以追溯到古代文明，以下是对有理数历史知识点的总结：1. 古埃及时期：最早的有理数概念可以追溯到古埃及时期，大约公元前2000年左右。
古埃及人在解决土地测量和建筑问题时，使用了分数的概念。
2. 古巴比伦时期：古巴比伦人（约公元前1800年至前1600年）使用六十进制系统，他们能够处理分数，尤其是那些分子为1的分数。
3. 古希腊时期：古希腊数学家，如毕达哥拉斯学派，对有理数和无理数进行了区分。
他们发现，并非所有的数都可以表示为两个整数的比值，这导致了无理数的发现。
4. 中国古代：中国古代数学家在《九章算术》等著作中，也对分数进行了深入研究，他们使用算筹来表示分数。
5. 印度数学：在印度，大约在公元5世纪，数学家阿里亚巴塔（Aryabhata）在他的著作中使用了有理数的概念，并对分数进行了系统化处理。
6. 伊斯兰黄金时代：在8世纪到13世纪的伊斯兰黄金时代，数学家们对有理数和分数进行了进一步的研究，特别是在代数学的发展中。
7. 文艺复兴时期：在文艺复兴时期，欧洲数学家开始重新发现和整合古代文明的数学知识，有理数的概念得到了进一步的发展和完善。
8. 现代数学：在现代数学中，有理数被定义为可以表示为两个整数比值的数，即形式为\( \frac{a}{b} \)的数，其中\( a \)和\( b \)是整数，且\( b \neq 0 \)。
有理数集合在数学符号中通常表示为\( \mathbb{Q} \)。
9. 有理数的性质：有理数具有序性、可加性、可乘性等基本性质。
它们可以进行四则运算，并且有理数集合在加法和乘法下是封闭的。
10. 有理数与无理数：有理数与无理数共同构成了实数集合。
无理数是不能表示为两个整数比值的数，如圆周率π和黄金分割比φ。
有理数的历史是数学发展史上的重要组成部分，它们的研究和应用贯穿了整个数学史，对现代数学的形成和发展有着深远的影响。
有理数ppt课件
VS
详细描述
在进行有理数的混合运算时，应先进行乘 法和除法运算，然后再进行加法和减法运 算。如果算式中既有加法、减法，又有乘 法、除法，应该先做乘除法，后做加减法 。对于同级的运算，应从左到右依次进行 ，不能跳步。
结合律与交换律
总结词
结合律是指数的加法、减法、乘法和除法满 足结合性；交换律是指数的加法、减法、乘 法和除法满足交换性。
有理数ppt课件
汇报人：可编辑 2023-12-24
目录
CONTENTS
• 有理数的定义与性质 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的扩展知识
01 有理数的定义与性质
有理数的定义
总结词
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和 十进制数。
详细描述
有理数包括整数和分数，整数可以看作分母为1的分数。在数 学中，有理数被定义为可以表示为两个整数之比的数，即存 在整数a和b（b≠0），使得x=a/b。
减法运算
总结词
有理数减法运算的基本法则
详细描述
有理数的减法运算可以通过加法来实现，即a-b=a+(-b)。在进行减法运算时，同样需要先确定被减数 和减数的符号，然后计算绝对值的差，最后根据被减数的符号确定结果的符号。
乘法运算
总结词
有理数乘法运算的基本法则
详细描述
有理数的乘法运算遵循分配律，即 a×(b+c)=a×b+a×c。在进行乘法运 算时，首先要确定因数的符号，然后 计算绝对值的积，最后根据因数的符 号确定结果的符号。
过程。
04 有理数的应用
在日常生活中的应用
01
02
03
购物时找零
在购物时，我们经常使用 有理数进行找零，如2.5元 、-3.7元等。
有理数的发展史简介
《有理数的发展史简介》小朋友们，今天咱们来了解一下有理数的发展历史，可有趣啦！很久很久以前，人们在生活中要数数和计算。
比如，有几个苹果，几只羊。
慢慢地，就有了数字的概念。
后来呀，人们发现光有整数不够用啦。
比如说，把一个苹果分成两份，这时候就需要分数了。
分数就是有理数的一种哦。
再后来，人们做生意，计算买卖的东西，发现负数也很重要。
像冬天天气很冷，温度会降到零下，这时候负数就派上用场啦。
有理数的发展可不是一下子就完成的，是经过了很多很多人的努力。
就像盖房子一样，一块砖一块砖地积累起来，有理数的知识才越来越丰富。
《有理数的发展史简介》同学们，咱们来聊聊有理数的发展故事。
一开始，人们只会用简单的整数来计数。
比如1、2、3 这些。
但是后来，生活变得更复杂啦。
比如，一块地要平均分给几个人种，这时候就出现了分数。
想象一下，一个大蛋糕要分给几个小朋友，每个人能得到多少，这就要用分数来算啦。
还有呢，有时候东西不够分，或者欠别人东西，负数就出现了。
有理数的发展就像我们长大一样，一点点变得更厉害，能解决更多的问题。
《有理数的发展史简介》小朋友们，有理数的发展可有一段长长的历史哟！在古代，人们为了记录东西的数量，有了整数。
随着时间的推移，人们发现有些情况整数不够用。
比如说，测量一块布的长度，可能不是正好整数的长度，这就需要小数啦，小数也是有理数的一部分。
还有做生意的时候，赚了钱是正数，亏了钱就是负数。
有理数的发展是人们不断探索和发现的过程。
就像我们学习一样，不断进步，不断发现新的知识。
有理数的故事还在继续，等着我们去探索更多的奥秘呢！。
什么叫有理数集有理数的由来
什么叫有理数集有理数的由来很多同学都学习了有理数，那么什么是有理数？什么是有理数集？大家一起来看看吧。
有理数集简介数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数与分数的区别，分数是一种比值的记法。
可以是无理数，例如根号2/2。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数集，即由所有有理数所构成的集合，用黑体字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。
有理数名字的由来有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》，前6卷时的底本是拉丁文，他们将这个词的拉丁文( 即“logos”) 译为“理”，这个“理”在文言文中的意思是“比值”。
明末时期日本落后于我们，常常派使者来我国，这个有理数的概念也被他们拿走了，但是当时的日本学者对我国的文言文理解不够，直接将在文言文中表示“比值”的“理”直译成了“道理”的“理”，没文化真坑人呀！直到清朝中期我国对有理数的翻译并没有错，可是到了清末，那时候中国落后于日本，于是清朝派留学生去日本，居然又将此名词重新传回中国，并且一直沿用至今。
以致于现在中日两国都用“有理数”和“无理数”这一错误的说法。
所以说现在对“有理数”名称的理解的疑惑是历史原因造成的。
有理数大小的比较由正有理数的大小排列我们可以知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，于是规定“数轴上右边的点所表示的数大于左边的点所表示的数。
”根据这个规定，可以知道：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
对于两个正数的大小，小学时我们已经知道。
关于两个负数的比较大小，我们虽然已经可以根据它们在数轴上的位置确定，但是我们希望把它们转化为正数来进行比较，这样会使计算简便。
如|－3|=3，|－2|=2，因为3>2，所以|－3|>|－2|而由数轴可知－3<－2，即“两个负数，绝对值大的反而小”。
有理数ppt课件
03
有理数的混合运算
顺序法则
总结词
在进行有理数的混合运算时，应遵循运算的顺序法则，即先进行乘除运算，再进 行加减运算。
详细描述
在数学中，有理数的混合运算需要遵循一定的顺序，即先进行乘除运算，再进行 加减运算。这是由于乘除运算是全域性的，而加减运算不是。因此，在进行混合 运算时，必须先完成乘除运算，然后再进行加减运算。
有理数的性质
总结词
有理数具有封闭性、有序性、可数性等性质。
详细描述
有理数具有封闭性，即有理数的四则运算结果仍为有理数。有理数具有有序性 ，可以比较大小和排列。有理数还具有可数性，即有理数集与自然数集之间存 在一一对应关系。
有理数在数学中的地位
总结词
有理数是数学中基本且重要的概念之一，是解决实际问题的重要 工具。
04
有理数的应用
在日常生活中的应用
80%
购物时找零钱
在购物时，我们经常使用到有理 数，如找零钱，计算折扣等。
100%
测量和计算
在日常生活中，我们经常需要进 行测量和计算，如长度、重量、 时间等，这些都需要用到有理数 。
80%
金融计算
在金融领域，如股票交易、保险 计算等，都需要用到有理数进行 计算。
有理数可以用于描述几何图形的长度、面积和体 积等属性。
有理数在数学中的未来发展
数学教育改革
01
随着数学教育的发展，有理数作为基础数学知识，将在数学教
育中得到更加广泛的重视和应用。
数学与其他学科的交叉
02
有理数作为数学的基础概念，将进一步与其他学科进行交叉融
合，促进跨学科的发展。
数学研究的新领域
03
随着数学研究的不断深入，有理数理论将进一步发展，并应用
有理数的历史故事50字
有理数的历史故事50字
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，如1/2、3/4等等。
其
历史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家毕达哥拉斯提出了有理数
的概念。
他们发现一些问题无法用整数解决，比如一边长为1的正方
形的对角线长度是无法精确表示为整数的。
为了解决这个问题，毕达
哥拉斯们创造了一个新的数学领域——有理数。
在古代，有理数主要用于几何学，并在建筑和土木工程中得到广
泛应用。
人们用有理数来测量长度，计算面积，解决各种实际问题。
经过数学家们的不断努力，有理数逐渐成为数学的基础，被广泛研究
和应用。
但是，有理数也存在一些问题。
最著名的例子是平方根为无限不
循环小数的数，如根号2。
古希腊数学家发现这些数无法用两个整数之比来表示，因此无法称之为有理数。
这个发现引发了数学界的震动，
并推动了更深入的研究。
在古希腊后期，数学家们发现了更多这样的数，即无法表示为两
个整数之比的数。
这些数被称为无理数，与有理数相对。
无理数的发
现颠覆了古希腊人对数的理解，使数学领域进入了一个全新的阶段。
有理数和无理数的出现，推动了数学的发展。
人们开始研究实数，实数是有理数和无理数的集合，包括所有可以用无限小数表示的数。
实数的引入为解决各类问题提供了更广阔的数学工具。
总结起来，有理数的历史讲述了人类不断探索数学的过程。
它的
发现和研究推动了数学的发展，拓展了我们对数的理解。
有理数的历
史故事告诉我们，数学是一门不断进步的科学，通过不断质疑和探索，我们可以开拓数学的边界。
概述有理数的历史
概述有理数的历史
有理数的历史可以追溯到古希腊和古印度时期。
在古希腊，毕达哥拉斯和他的学派是最早研究有理数的人之一，他们将有理数定义为两个整数的比值，其中分母不为零。
在古印度，印度数学家在计算和几何领域作出了重要贡献，他们注意到无论是正数还是负数，都可以表示为分数的形式，并且提出了零是一个有理数的概念。
随着时间的推移，有理数的研究逐渐扩展到其他文化中。
在中国，数学家们很早就开始使用算筹来计算，并发展出了分数和小数的计算方法。
在欧洲，数学家们继续探索有理数的性质，并发展了更多关于它们的理论，例如欧几里得的《几何原本》中包含了对有理数的系统定义和运算规则。
有理数的历史还与分数的发展密切相关。
随着人们对分数的理解加深，有理数的概念也变得更加丰富和完善。
分数是有理数的一种形式，可以表示为两个整数的比值，其中分母不为零。
总的来说，有理数的历史可以追溯到古希腊和古印度时期，并随着时间的推移扩展到其他文化和欧洲。
有理数的发展与分数的发展密切相关，并且对今天的数学和科学领域都有着重要的影响。
有理数概念的产生和发展史
有理数概念的产生和发展史
有理数是数学中的一个基本概念，它可以用分数的形式表示，包括正整数、负整数以及零，是数学中最基本的数系之一。
有理数的概念在古希腊时期就已经产生，并在欧几里德的几何学中得到系统的阐述，随着数学的发展，有理数的概念也得到了不断的拓展和深化。
在希腊古典文明时期，有理数被广泛应用于测量和几何学中。
例如，毕达哥拉斯学派研究了数学中的比例关系，推导出了勾股定理，从而进一步拓展了有理数的概念。
同时，希腊数学家欧多克索斯也提出了著名的欧多克索斯算法，用于求解两个有理数的最大公约数。
在中世纪时期，阿拉伯学者对有理数的研究进一步深化，他们提出了无理数的概念，并发展出了十进制小数的表示法。
此外，阿拉伯数学家还研究了分数的运算、分数的约分等问题，为有理数的发展奠定了坚实的基础。
在现代数学中，有理数的概念得到了广泛的应用。
有理数的集合是一个重要的数学对象，它被广泛运用于代数、几何、拓扑学等领域。
有理数的运算规则、有理数的完备性等问题也成为数学中的重要问题，这些问题的研究推动了数学的不断发展。
总的来说，有理数的概念可以追溯到古希腊时期，随着数学的不断发展，有理数的概念也得到了不断的拓展和深化。
有理数的概念是数学中最基本的数系之一，对于数学的研究和应用有着重要的意义。
- 1 -。
有理数的定义和性质是什么
有理数的定义和性质是什么1、有理数定义有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
2、有理数性质在数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
3、有理数的分类有理数有两种分类，分别是正有理数，包括正整数和正分数；负有理数，包括负整数和负分数合。
（1）正有理数指的是数学术语，除了负数、0、无理数的数字，正有理数能精确地表示为两个整数之比。
（2）负有理数就是小于零并能用小数表示的数。
如-3.123，-1...。
4、有理数运算定律1、加法运算律:1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即：(a+b)+c=a+(b+c)，a+b=b+a2、减法运算律：减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即：a-b=a+(-b)3、乘法运算律：1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：a(b+c)=ab+ac。
2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即：(ab)c=a(bc)3）乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即：ab=ba。
有理数的故事
有理数的故事
从古至今，人类一直在探索自然界中的数学规律。
而有理数便是其中重要的一类。
有理数可以表示为分子和分母为整数的分数形式，并且可以用小数形式来表示。
有理数的概念最早可以追溯到公元前500年左右的古希腊。
但当时人们只知道正整数和负整数，对于分数形式的认识还很欠缺。
数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪时提出了一个重要的数学定理，即毕达哥拉斯定理，但在证明过程中却遇到了根号2这个数，发现无法用有理数来表示。
毕达哥拉斯为了保护自己的派对，甚至开高价禁止人们研究这个数，这也被称为“根号2之禁”。
直到公元前4世纪，另一位著名的古希腊数学家欧几里得，才发现了数学中的一大难题——平方根问题。
他证明了根号2是一个无理数，也就是不能表示成有理数的数。
这项发现使得数学理论更加完备和深刻。
后来，欧几里得又在《几何原本》中系统地阐述了有理数和无理数之间的关系，使得人们对于有理数的认识更加深入。
现代社会中，有理数随处可见。
人们在化学、物理、经济等众多领域中，都需要用到有理数。
人们对于有理数的认识也更加深刻，不仅能表示整数、分数，还可以表示实数中的有限小数和循环小数。
有理数的概念和运算已经成为中小学数学教育的重要内容。
有理数的故事不仅是数学历史的一部分，更是人类智慧和进步的缩影。
有理数的发展史时间顺序
有理数的发展史时间顺序数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大小相同。
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。
这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。
它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。
如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。
一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。
如：""表示"15,000"，""表示"165,000"。
我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。
到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。
筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。
按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。
随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。
算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。
有理数课件
在测量长度时，我们通常使用直尺或 卷尺，这些工具上每个刻度都表示一 个有理数，我们可以用它来准确地测 量长度。
时间上的有理数
总结词
时间上用有理数表示的刻度
VS
详细描述
钟表和手表等计时器上刻度表示的有理数 ，用于表示时间，帮助我们准确计算时间 间隔。
货币中的有理数
总结词
货币中的有理数表示法
有理数的分类
有理数可以根据其符号分为正有理数、负有理数和0。正有理 数包括正整数和正分数，如1/2、3.5和4；负有理数包括负整 数和负分数，如-1/3、-5和-3.2；0是整数，既不是正数也不 是负数。
有理数还可以根据其小数部分是否循环分为循环小数和无限 不循环小数。循环小数是指小数部分数字重复出现的数，如 1/3=0.333...；无限不循环小数是指小数部分数字无规律且不 重复的数，如根号2=1.414...。
有理数与实数的区别和联系
有理数是数学中一个重要的概念，它 是整数和分数的总称。有理数都可以 表示为有限小数或无限循环小数，具 有明确的符号和运算规则。
实数是数学中一个更为广泛的概念， 它包括有理数和无理数。无理数是指 无法表示为有限小数或无限循环小数 的数，如根号2、pi和e等。实数具有 连续性和稠密性，即任意两个实数之 间都有且只有另一个实数。
有理数与实数的区别在于前者是有理 数范围内的一类特殊的数，而后者则 包含了无理数等更为广泛的数。同时 ，有理数的运算规则相对简单明了， 而实数的运算则相对复杂。然而，有 理数可以看作是实数的离散化，是实 数的一个很好的近似值。在实际应用 中，有理数和实数的概念常常是相互 联系的。
02
有理数的运算
有理数的加法运算
尔丹诺的引入，有理数逐渐被确立为数学的 一个重要分支。
有理数的概念
有理数（rational number)：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数,比如π，3.141592653...而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
数学上，有理数是一个整数a 和一个非零整数b 的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。
希腊文称为λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为Q，有理数的小数部分有限或为循环。
有理数分为整数和分数整数又分为正整数、负整数和0分数又分为正分数、负分数正整数和0又被称为自然数如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
有理数还可以划分为正整数、负整数、正分数、负分数和0。
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。
相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律ab=ba；⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；⑦分配律a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于这个数。
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。
有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。
有理数ppt课件
欧几里得与《几何原本》
古希腊数学家欧几里得在他的《几何 原本》中，系统地阐述了有理数和无 理数的概念，对数学的发展产生了深 远影响。
无理数与有理数的区别与联系
定义与表示
无理数是指无法表示为两个整数 之比的数，而有理数则是可以表 示为两个整数之比的数。无理数 在实数范围内稠密，而有理数则
不稠密。
运算性质
有理数ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-24
目录
• 有理数的定义与性质 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的扩展知识
01
有理数的定义与性质
有理数的定义
总结词
有理数是可以表示为两个整数之 比的数。
详细描述
有理数包括整数和分数，它们都 可以表示为两个整数之比，即形 如$frac{p}{q}$（$q neq 0$）的 数。
物理学中的许多公式和定律都涉 及到有理数的运算，如力学、电
磁学等。
有理数在解决物理问题中发挥着 重要的作用，如求解物理方程等
。
在日常生活中的应用
有理数在日常生活中有着广泛 的应用，如时间、长度、重量 等都可以用有理数表示。
许多日常生活中的问题都需要 用到有理数的知识，如购物时 计算找零、计算折扣等。
结合律与交换律
总结词
结合律和交换律是数学中重要的基本性质，它们在有理数的混合运算中起着重要的作用 。
详细描述
结合律是指几个数相加或相减时，加法或减法的组合方式不影响和或差的值。交换律则 是指加法或减法的位置互换，和或差的值不变。这些性质在有理数的混合运算中非常重 要，因为它们确保了运算的灵活性和可操作性，使得我们可以自由地重新组合和排列有
02
有理数的典故
有理数的典故有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数和零。
有理数的典故可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派是古希腊数学的重要学派之一，他们对有理数的研究起到了重要的推动作用。
在毕达哥拉斯学派看来，数字是神圣的，它们是宇宙的基本构成单位。
然而，他们发现了一些让他们困惑的数字，比如根号2的数字。
根号2无法表示为两个整数的比值，这对毕达哥拉斯学派来说是一种破坏了他们神圣数字观念的存在。
在公元前6世纪，有一位著名的数学家和哲学家毕达哥拉斯提出了一个有名的问题：是否存在一个既不能表示为整数的比值，也不能表示为两个整数的比值的比值呢？这个问题被称为“毕达哥拉斯的无理数问题”。
为了解决这个问题，毕达哥拉斯学派展开了一系列的研究。
他们试图通过勾股定理来解决这个问题，但很快发现根号2不是一个有理数。
这个发现击碎了他们对数字的神圣观念，带来了一场数学的革命。
后来，欧几里得提出了一个证明，证明了根号2是一个无理数。
这个证明被称为“反证法”。
他假设根号2是一个有理数，然后通过推理推出矛盾的结论，证明了根号2不是一个有理数。
这个证明让人们开始意识到，有理数并不是所有数的完整描述。
有理数的典故还可以追溯到另一个著名的数学家欧多克斯塔斯。
他发现了一种新的数，这种数既不能表示为整数的比值，也不能表示为两个整数的比值的比值。
这种数被称为“无理数”，它是有理数的补充。
有理数的典故告诉我们，数学是一个不断发展的学科。
在数学的发展过程中，人们对数字的认识和理解也在不断深化。
有理数的研究使人们开始思考那些无法用有理数表示的数，这推动了数学的发展。
今天，有理数在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在数学中，有理数是一个重要的基础概念，它是实数和复数的基础。
在实际生活中，有理数被广泛应用于测量、计算和描述。
比如，我们常常使用有理数来表示长度、面积、体积等物理量。
有理数的典故不仅仅是一段历史，更是对人类思维的一次挑战和突破。
有理数的由来
有理数的由来有理数的由来由来古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国?九章算术?中也载有分数的各种运算。
分数的使用是由于除法运算的需要。
除法运算可以看作求解方程px=q(p0)，如果p，q是整数，那么方程不一定有整数解。
为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。
在Z(Z -{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。
那么称(p1，q2)～(p2，q1)。
Z(Z -{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。
(p，q)所在的有理数，记为。
一切有理数所成之集记为Q。
令整数p对应一于，即(p，1)所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。
因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
有理数集合是一个数域。
任何数域必然包含有理数域。
即有理数集合是最小的数域。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。
一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。
有理数是实数的(稠密)子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。
幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。
有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。
这个空间也是完全不连通的。
有理数不构成完备的度量空间;实数是的完备集。
p进数除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：设p是素数，对任何非零整数a设 | a | p= p- n，这里pn 是p的最高次幂除a另外 | 0 | p= 0。
对任何有理数，设。
那么在上定义了一个度量。
度量空间不完备，它的完备集是p进数域。
一个困难的问题：有理数的边界在哪里? 根据定义，无限循环小数和有限小数(整数可认为是小数点后是0的小数)，统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。
有理数的发展相关数学史
有理数的发展相关数学史对于数发展史的缩写几乎是亵渎神圣的！自然数、整数、有理数、无理数、虚数、实数、复数，等等，是在何时、何地又是怎样演化的？像大多的数学概念那样，它们的演进或由于偶然，或由于需要，或由于稀奇，或由于探索的需求，而游刃于某个思维领域．很难想象，当试图解各种问题时该不该把它们限制在一个数的特殊集合里．我们承认许多问题是局限在某个特定的范围或区域，这就使得它伴随着特定的集合．但至少我们还应该知道解答中其他类型数的存在，而这样的问题正好成为一种练习．虽然现在我们手上已经有了全部的复数，但我们不妨想象处理这样一个问题，即求方程x＋7＝5中的x值，但不知道负数．这时会有什么反应呢？——该方程是不正确的！(①原注：阿拉伯的教科书把负数介绍到欧洲．但16和17两个世纪里，欧洲的数学家不愿意接受这些数．N·楚亏特(15世纪)和M·斯提德尔(16世纪)将负数归为荒唐的数．虽然J·卡当把负数作为一种方程的解，但他认为它们是作为一种不可能的回答．甚至B·帕斯卡也说：“我知道人们无法理解，如果我们从零里拿去四，那么零还会留下什么？” )等等．但幸运的是，终有一些勇敢而自信的数学家，他们愿意冒险，并坚信解存在于一个未被发现的数的领域，而最终他们迈出了一步，在原来之外规定了一个新的数的集合．可想而知，对于解上述问题，创造出一个负数是何等地令人兴奋和不平常.同样令人感兴趣的是对新数的验证，看它是否也遵循已存在的数的集合的公理．我们几乎不可能把时间都放在不同数的起源上，但我们能够设想类似的问题及新数发现的梗概．在许多世纪中，世界上不同地区的人都只用到自然数．大概那时他们没有其他的需要．当然，他们各自对自然数书写的符号和体系，随着文化的不同而不同．第一个零出现的时间可以追溯到第二个一千年，那时零出现在巴比伦的粘土板上．它最初是空位，后来用两个符号或表示零．但这里零更多地是作为一个位置的持有者，而不是作为一个数．玛雅人和印度人的数的系统最早将零既作为数零，又作为位置的持有者．有理数则是进化的第二阶段．人们需要分配一个整体的量，就像分一块面包那样．虽然没有设计表示这些数的符号，但古代人知道分数量的存在．例如，埃及人用“嘴巴”来写希腊人则用线段的长度表示不同的数量．他们知道在数轴上的点并不只是由自然数和有理数占据．这时我们发现了无理数的介入．而留下来的问题是：长为1的直角三角形时得到的结果．——π是无理数吗？矩形时得到的．无须多说，我们知道那时人们已经用到了无理数．历史揭示，在新数发现的过程中解决旧问题和创造新问题是同时发生的．一个新数集合的发现是一码事，但它所采用的定义和逻辑系统则必须是可接受的，而且应与多年演化中所采用的一些规则相共容．(② 原注：那时，对于整数、有理数、无理数和负数的逻辑基础还没有建立印度和阿拉伯人在他们计算中自由地运用这些数．他们用正数和负数作为资产和债务的值．他们的工作主要埋头于计算，而不太关心它们几何上的有效性．这是由于他们的算术不依赖于几何的缘故．)负数曾难于为欧洲的数学家所接受，这种状态甚至延续到17世纪．平方根的运用若不限于非负数的集合，那么式方程，它要求在其解中运用虚数．一个这样的方程就是x2＝-1．设计一个普遍性的集合，把所有的数都联系在一起，这样就引进了复数，它出现在像一元二次方程x2＋2x＋2＝0这类方程的解中．复数(形如a上面提到的数，都可以看成复数的一种类别．例如，实数是虚部为0的复数，而纯虚数则是实部为0但虚部不为0的复数．用几何进行描述时，虚数和复数变得更为具体．像古希腊人在数轴上描述实数一样，复数可以用复平面来描述．每个复平面上的点都对应着一个且只有一个复数，反之亦然．这样，方程x5=1的五个解就能用图解表示出来．由于复数可由二维的点描述，这似乎就有一个逻辑上的过渡问题，即问一问什么样的数可以描述高维空间上的点．我们发现了一种叫四元数的数，可以用来描述四维空间．现在留下的问题是——数到此为止了吗？我们说，随着新的数学思想的发展和应用，还会经常产生新数的！。
(完整版)有理数的历史定义
有理数的历史定义数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。
定义如下：有理数的小数部分有限或为循环。
不是有理数的实数遂称为无理数。
有理数在希腊文中称为λογος，原意是“成比例的数”。
英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。
对应地，无理数则为“不可比数”。
但并非中文翻译不恰当。
有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。
明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。
他们将这个词（“λογος”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。
日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。
日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。
后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。
当有理数从日本传回中国时又延续错误。
清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。
运算[编辑]有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。
有理数的加法和乘法如下：两个有理数和相等当且仅当有理数中存在加法和乘法的逆：时，古埃及分数[编辑]主条目：古埃及分数古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。
每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。
例如：对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。
形式构建[编辑]数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。
我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：为了使，定义等价关系如下：这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：。
对有理数和无理数的认识
对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。
也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。
维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。
若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。
或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。
因此在自然数域中算术运算是全可能的。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。
对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。
（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
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有理数的历史定义
数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。
定义如下：
有理数的小数部分有限或为循环。
不是有理数的实数遂称为无理数。
有理数在希腊文中称为λογος，原意是“成比例的数”。
英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。
对应地，无理数则为“不可比数”。
但并非中文翻译不恰当。
有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。
明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。
他们将这个词（“λογος”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。
日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。
日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。
后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。
当有理数从日本传回中国时又延续错误。
清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法
可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。
运算[编辑]
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。
有理数的加法和乘法如下：
两个有理数和相等当且仅当
有理数中存在加法和乘法的逆：
时，
古埃及分数[编辑]
主条目：古埃及分数
古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。
每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。
例如：
对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。
形式构建[编辑]
数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。
我们可
以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：
为了使，定义等价关系如下：
这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：。
例如：两个对(a, b)和(c, d)是相同的，
如果它们满足上述等式。
（这种构建可用于任何整数环，参见商域。
）
Q上的全序关系可以定义为：
当且仅当
1.并且
2.并且
有理数集是可数的
集合，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数的商域。
有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含的一个拷贝（即存在一个从到其中的同构映射）。
的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。
所有有理数的集合是可数的，亦即是说的基数（或势）与自然数集合相同，都是阿列夫数。
因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。
有理数是个稠密的集合：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。
实数[编辑]
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。
一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。
有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上
的第三个拓扑。
幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。
有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。
这个空间也是完全不连通的。
有理数不构成完备的度量空间；
实数是的完备集。
p进数[编辑]
除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：
设是素数，对任何非零整数设，这里是整除的的最高次幂；
另外。
对任何有理数，设。
则在上定义了一个度量。
度量空间不完备，它的完备集是p进数域。