高中数学第一轮总复习 第2章第14讲 幂函数课件 苏教版

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本题考查函数的概念，需 要根据相应函数的定义列出等 式或不等式，要特别注意幂函 数的定义及其应用．
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【变式练习1】 (2010·南通一模卷)已知
幂函数f x＝k·x的图象过点(1，2)，
22
则k＋＝____3 _________
2
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幂函数图象的应用
【 例 2】
已知点( 2，2)在幂函数y＝f x 的图象上， 点(－2，1 )在幂函数y＝g x 的图象上．
数且其图象过坐标原点，则实数m＝_－__2_
【解析】由题设知m m22
2m10， m10
解得m＝－2.
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幂函数性质的应用
【 例3】
1 若函数f x ＝(mx2－2
2
x＋
m＋1)－
3 4
＋( x2－mx＋1)0的定义域为全体实数，求
实 数 m的 取 值 范 围 ；
2
比
较
3a
，( 1
)
a
，
a
1 3
4
1求f x、g x 的表达式； 2试比较f x、g x的大小．
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【 解 析 】 1 设 f x ＝ x .由 于 点 ( 2 ，2 ) 在 其 图 象 上 ，
则 2＝ ( 2 ) ， 得 ＝ 2 ， 所 以 f x ＝ x 2.
设 g x ＝ x .由 于 点 (－ 2 ，1 ) 在 其 图 象 上 ，
(－1
a
0)的 大 小 ．
3
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【
解
析
】1 依
题
意
得
m x 2 2
x2
m
x
2x m 1 0
1
0
m 0
对
x
R恒
成
立
，
故
8
4m
(m
1)
0，
m
2
4
0
解
得
m 1
2
m
,所 2
以1
m
2.
故 实 数 m的 取 值 范 围 是 1,2 ．
2 当
－1
a
0时
，0
3a
1，( 1 ) a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1,a 3
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【变式练习3】
1函数f x ＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，
且当x(0，＋)时是减函数，求实数m的值；
2比较0.80.7, 0.70.8的大小；
3已知 0.71.3
m
1.30.7
m，求实数m的取值范围．
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【解析】(1)因为函数f(x)是幂函数， 所以m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2. 当m＝－1时，函数f(x)＝0，不符合要求； 当m＝2时，函数f(x)＝x－3，它在(0，＋∞) 上是减函数． 故m＝2.
3
2
所 以 a的 取 值 范 围 是 { a | a － 1 或 2 a 3 }．
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3
2
幂函数的图象与性质是本题 考查重点，充分利用幂函数的图 象与性质解不等式，要注意考虑 问题全面．
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【变式练习4】
求函数f x＝xx2222xx12的单调区间．
【解析】f (x)＝1＋(x＋1)－2，其图象由 幂函数y＝x－2的图象向左平移1个单位 长度，再向上平移1个单位长度得到， 因为幂函数y＝x－2在(－∞，0)上递增， 在(0，＋∞)上递减， 所以函数f(x)在(－∞，－1)上递增，在 (－1，＋∞)上递减．
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幂函数的综合应用
【例4】
已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m N*)的图
象关于y轴对称，且在(0，＋)上是减函
数，求满足(a＋1)－m (3－2a)－m的a
3
3
的取值范围．
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【解析】因为函数在(0，＋)上是减函数， 所以m2－2m－3 0，解得－1 m 3， 又m N*，所以m＝1, 2， 又因为函数图象关于y轴对称， 所 以 m 2－2m－3是 偶 数 ， 所 以 m＝1， 因为y＝x－ 1 在(－，0)和(0，＋)均为减函数，
3
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且 当 x 0时 ， x－ 1 0， 3
当 x 0时 ， x－ 1 0， 3
所 以 ( a＋ 1)－ m (3 － 2 a )－ m 等 价 于
3
3
a＋ 1 3 － 2a 0
或 3－ 2a a＋ 1 0或 a＋ 1 0 3 － 2 a，
解 得 a －1或 2 a 3，
0,
3
所
以
它
们
的
大
小
关
系
1
整是理：课件a 3
3a
(1 )a.
3
幂函数的定义域是根据幂函数 的表达式的特点来确定的．本题看 成 两 个 幂 函 数 的 和 ， 前 一 个 ， α<0 ， 且要开偶次方，故幂的底数恒大于0， 后一个要求底数不能为0，且底数的 图象是开口向上的抛物线，故底数 也要恒大于0.
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(2)函数y＝0.7x是减函数，所以0.70.7>0.70.8. 函 数 y ＝ x0.7(x>0) 是 增 函 数 ， 所 以 0.80.7>0.70.7. 故0.80.7>0.70.8. (3) 因 为 a ＝ 0.71.3<1 ， b ＝ 1.30.7>1 ， 所 以 0<a<1<b. 又函数y＝xm(x>0)当m>0时是增函数， 故实数m的取值范围是(0，＋∞)．
4
则 1 ＝ (－ 2 ) ， 得 ＝ － 2 ， 所 以 g x ＝ x － 2 .
4
2若
f
x ＝
g
x ，
则
x 2＝
1， x2
得
x＝ 1 或
－ 1.
于是根据图象关系得：
若 x － 1或 x 1， 则 f x g x ；
若 － 1 x 0或 0 x 1， 则 f x g x ；
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第14讲
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幂函数的概念
【 例1】
已 知 f x ＝(m 2＋2m ) x m2＋m－1， 实 数 m为 何 值 时 ， f x 是 ： 1正 比 例 函 数 ； 2 反 比 例 函 数 ； 3二 次 函 数 ； 4 幂 函 数 ．
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【 解 析 】1 若 f x 是 正 比 例 函 数 ， 则
m m
2 2
2m m 1
0
， 1
解 得 m＝1；
2若f x是反比例函数，则
m m
2 2
2m m 1
0
，解 1
得 m＝
－1；
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3若f x是二次函数，则
m 2
m
2
2m m 1
0
，解得m＝ 1 2
2
13 ；
4若f x是幂函数，则m2＋2m＝1，
解得m＝－1 2.
若 x＝ 1 或 x＝ － 1 ， 则 f 整x理课＝件g x ．
这是求函数表达式的一种常见 题型．掌握幂函数的概念是基础， 掌握幂函数在第一象限的图象，根 据图象理解最基本的性质是关 键．对于比较两个函数值的大小， 先研究相等的情况，就容易做好解 答了．
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【变式练习2】
已知函数f x＝(m2＋2m＋ 1)xm2＋m－1是幂函