4.4.3静定梁的内力方程及内力图解析
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(1) 求支座反力 以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座
(2) 将梁分段 以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫
处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进Βιβλιοθήκη Baidu分
(3) 各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原
点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。
(4)
先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯 矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或 弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然 后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
Q(x)=RA=m/l (a≤x<l) M(x)=RAx-m=m/lx-m(a<x≤l) (3) 画剪力图 从式(a)和式(c)可知，AC段和CB段的剪力为常数m/l，剪力图是一条在x 轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如图9.17(b)所示
(3) 由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a)
x=0，QA右=ql/2 x=l，QB左=-ql/2 剪力图如图9.15(b) 由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至 少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b)
【例9.5】简支梁如图9.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和
【解】(1) 求支座反力
RA=RB=ql/2 (2)
坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯
Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0＜x＜l) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0≤x≤l)
x=0，MA=0 x=a，MC=Pab/l 从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图也是一条斜直线，由 式(d)
x=a，MC=Pab/l x=l，MB=0
从所作的内力图知，若a>b，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比 AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上， 其值｜Mmax｜=Pab/l
【例 9.8】外伸梁受荷载作用如图9.18(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1) 求支座反力
∑mB(F)= 0，q×6a×a-RA×4a=0 RA=1.5qa ∑mA(F)= 0，RB×4a-q×6a×3a=0 RB=4.5qa (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在B截面处有支座反力RB作用，需分为AB段和BC
剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大 弯矩值，其相应的横截面称为危险断面。
【例 9.4】悬臂梁如图9.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁
【解】(1) 列剪力方程和弯矩方程 将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研
Q(x)=P(0<x<l) M(x)=-Px(0≤x<l) (2) 画剪力图和弯矩图 剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线，如图9.14(b)所示。
如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2
｜Qmax｜=P/2 ｜Mmax｜=Pl/4
【例 9.7】简支梁受集中力偶m作用如图9.17(a)所示，试画出梁的剪力图和弯
【解】(1) 求支座反力
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB段。取梁左端A为坐
剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
绘制剪力图和弯矩图的步骤
∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A
(4) 画弯矩图
从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只需 确定该段始末两个控制截面的弯矩值，就能画出该段的弯矩图。由式(b)
x=0，MA=0 x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1)
Q(x2)=qx2(0≤x2<2a) M(x2)=-qx22/2 (0≤x2≤2a) (3) 画剪力图
从式(b)可见，弯矩M(x)是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只 需确定始末两个控制截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式(b)
x=0，MA=0 x=l，MB左=-Pl 弯矩图如图9.14(c)所示
从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪 力，其值为｜Qmax｜=P；弯矩的最大值发生在固定端，其值为｜Mmax｜=Pl。
4.4.3 梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
•
若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的
位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示
为坐标x
•
Q=Q(x)
•
M=M(x)
•
以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线
的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩
方程
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图
AB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面，其剪力 方程和弯矩方程为
Q(x1)=RA－qx1=1.5qa-qx1(0<x1<4a) M(x1)=RAx1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0≤x1≤4a) BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面，其剪力方 程和弯矩方程为
(2) 将梁分段 以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫
处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进Βιβλιοθήκη Baidu分
(3) 各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原
点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。
(4)
先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯 矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或 弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然 后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
Q(x)=RA=m/l (a≤x<l) M(x)=RAx-m=m/lx-m(a<x≤l) (3) 画剪力图 从式(a)和式(c)可知，AC段和CB段的剪力为常数m/l，剪力图是一条在x 轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如图9.17(b)所示
(3) 由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a)
x=0，QA右=ql/2 x=l，QB左=-ql/2 剪力图如图9.15(b) 由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至 少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b)
【例9.5】简支梁如图9.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和
【解】(1) 求支座反力
RA=RB=ql/2 (2)
坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯
Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0＜x＜l) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0≤x≤l)
x=0，MA=0 x=a，MC=Pab/l 从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图也是一条斜直线，由 式(d)
x=a，MC=Pab/l x=l，MB=0
从所作的内力图知，若a>b，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比 AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上， 其值｜Mmax｜=Pab/l
【例 9.8】外伸梁受荷载作用如图9.18(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1) 求支座反力
∑mB(F)= 0，q×6a×a-RA×4a=0 RA=1.5qa ∑mA(F)= 0，RB×4a-q×6a×3a=0 RB=4.5qa (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在B截面处有支座反力RB作用，需分为AB段和BC
剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大 弯矩值，其相应的横截面称为危险断面。
【例 9.4】悬臂梁如图9.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁
【解】(1) 列剪力方程和弯矩方程 将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研
Q(x)=P(0<x<l) M(x)=-Px(0≤x<l) (2) 画剪力图和弯矩图 剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线，如图9.14(b)所示。
如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2
｜Qmax｜=P/2 ｜Mmax｜=Pl/4
【例 9.7】简支梁受集中力偶m作用如图9.17(a)所示，试画出梁的剪力图和弯
【解】(1) 求支座反力
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB段。取梁左端A为坐
剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
绘制剪力图和弯矩图的步骤
∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A
(4) 画弯矩图
从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只需 确定该段始末两个控制截面的弯矩值，就能画出该段的弯矩图。由式(b)
x=0，MA=0 x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1)
Q(x2)=qx2(0≤x2<2a) M(x2)=-qx22/2 (0≤x2≤2a) (3) 画剪力图
从式(b)可见，弯矩M(x)是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只 需确定始末两个控制截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式(b)
x=0，MA=0 x=l，MB左=-Pl 弯矩图如图9.14(c)所示
从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪 力，其值为｜Qmax｜=P；弯矩的最大值发生在固定端，其值为｜Mmax｜=Pl。
4.4.3 梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
•
若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的
位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示
为坐标x
•
Q=Q(x)
•
M=M(x)
•
以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线
的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩
方程
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图
AB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面，其剪力 方程和弯矩方程为
Q(x1)=RA－qx1=1.5qa-qx1(0<x1<4a) M(x1)=RAx1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0≤x1≤4a) BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面，其剪力方 程和弯矩方程为