平面直角坐标系(公开课)
《平面直角坐标系第1课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】
第三章 位置与坐标3. 2 平面直角坐标系 第 1 课时 教学设计《平面直角坐标系》是八年级上册第五章《位置与坐标》第二节内容.本章是“图形与坐标”的主体内容，不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容，而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵，同时又是一次函数的重要基础.《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.因此，教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有利于学生对内容的较深层次的理解；另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究. 1. 理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念；认识并能画出平面直角坐标系；能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标.2. 通过画坐标系、由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识；通过对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养学生的探索意识和能力.3. 由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.【教学重点】1．理解平面直角坐标系的有关知识；2．在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标；3．由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐标有什么特点.【教学难点】1．横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究；2．坐标轴上点的坐标有什么特点的总结.◆课前准备◆学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；教师准备课件，图片，三角板.◆教学过程一、创设情境，引入新知同学们，你们喜欢旅游吗？假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图，根据示意图（图5－6），回答以下问题：（1）你是怎样确定各个景点位置的？（2）“大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格？“碑林”在“中心广场”北、东各多少个格？（3）如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴，分别取向右、向上的方向为数轴的正方向，一个方格的边长看做一个单位长度，那么你能表示“碑林”的位置吗？“大成殿”的位置呢？在上一节课，我们已经学习了许多确定位置的方法，这个问题中，大家看用哪种方法比较合适？二、合作交流，探究新知1. 小红在旅游示意图上画上了方格，标上数字，并用（0，0）表示科技大学的位置，用（5，7）表示中心广场的位置，那么钟楼的位置如何表示？（2，5）表示哪个地点的位置？（5，2）？2.如果小亮和他的朋友在中心广场，并以中心广场为“原点”，做了如图所示的标记，那么你能表示“碑林”的位置吗？“大成殿”的位置呢？概念学习在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，如图所示.水平方向的数轴称为x 轴或横轴，垂直方向的数轴称为y 轴或纵轴，它们称为坐标轴.两轴交点O 称为原点.在平面直角坐标系中画点P（a，b）.对于平面内任意一点P，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a，b分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序对（a，b）叫做点P 的坐标.建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一组有序实数对来表示了.在平面直角坐标系中找点A (3,-2)由坐标找点的方法：(1)先找到表示横坐标与纵坐标的点；(2)然后过这两点分别作 x 轴与 y 轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点.如图，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不在任何一个象限内.观察坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征：交流: 不看平面直角坐标系,你能迅速说出A (4,5) , B (-2,3), C (-4,-1), D (2.5,-2), E (0,-4)所在的象限吗？你的方法又是什么？ 三、 运用新知例1 写出图中的多边形ABCDEF 各顶点的坐标. 类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出：①对于坐标平面内任意一点M ,都有唯一的一对有序实数(x ,y ) (即点M 的坐标）和它对应；②反过来，对于任意一对有序实数(x ,y ),在坐标平面内都有唯一的一点M (即坐标为(x ,y )的点）和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.例2 设点 M (a ，b ) 为平面直角坐标系内的点. (1)当 a > 0，b < 0 时，点 M 位于第几象限？A BC D EF O 11xy(2)当 ab > 0 时，点 M 位于第几象限？(3)当 a 为任意有理数，且 b < 0 时，点 M 位于第几象限？ 四、巩固新知1. 如图，点 A 的坐标为( )A . ( -2，3)B . ( 2，-3)C . ( -2，-3)D . ( 2，3)2. 如图，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 .3. 在 y 轴上的点的横坐标是______，在 x 轴上的点的纵坐标是 ______.4. 点 M （- 8，12）到 x 轴的距离是_______，到 y 轴的距离是_________ .5. 下列各点分别在坐标平面的什么位置上？A （3，6）B （0，－8）C （－7，－5）D （－6，0）E （－3.6，5）F （5，－6）G （0，0）五、归纳小结1．认识并能画出平面直角坐标系.2．在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标. 3．能适当建立直角坐标系，写出直角坐标系中有关点的坐标.4．横（纵）坐标相同的点的直线平行于y 轴，垂直于x轴；连接纵坐标相同的点的直线平行于x轴,垂直于y轴.5．坐标轴上点的纵坐标为0；纵坐标轴上点的坐标为0.6．各个象限内的点的坐标特征是：第一象限（＋，＋）第二象限（－，＋），第三象限（－，－）第四象限（＋，－）.略.。
平面直角坐标系(1)浙教版省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
人民医院
这是本市玉海广场附近某些 建筑物．假如把“玉海广场” 旳位置作为起始点，记为 （０，０），分别记向东为 正，向北为正．
玉海楼 玉海广场 科技大楼 1.“人民医院”旳位置在“玉海
湖滨公园
广场“东多少格，北多少格？
瑞安大厦
用有序数对表达“人民医院”
旳位置．
东塔
2.“东塔”旳位置在“玉海广场”西多少格，南多少
用有序数对表达“东塔”旳位置．
“玉海楼”，“湖滨公园”，“瑞安大厦”，“科技
yy
在平面内画两条相互垂直，
第二象限 44
33
(-,+)
1212
第一象限 (+,+)
而且有公共原点Ｏ旳数轴， 其中一条叫Ｘ轴（或横轴） 一般画成水平，另一条叫
--44 --33 --22 ----111100 1111 22 33 44 55 xx
玉海楼 玉海广场 湖滨公园
科技大楼
放学后经（0,0），（-2,0）， 到（-2,-3），到家已经11点了
瑞安大厦
请画出小华旳路线，并回答：
东塔
1）从哪里出发？
2）上学途中经过几种风景点？
3）放学又经过几种风景点？
4）再哪学习？家住哪里？
本节课你旳收获是什么？
1.作业本6.1 2.课后作业题 3.同步6.1
Ｍ（x,y) 设M1M2在各自数轴上 所表达旳数分别为x,y ，
X
Ｍ１
则X叫作点Ｍ旳横坐标， y叫作点Ｍ旳纵坐标， 有序数对（x,y） 叫作点Ｍ旳坐标．
例1
（1）写出平面直角坐标系中点Ｍ，Ｎ，Ｌ，Ｏ，
Ｐ旳坐标．
你能说出点Ｍ，Ｎ，Ｌ， Ｏ，Ｐ所属旳象限吗？
4
Ｎ3
平面直角坐标系复习(公开课)
THNK YOU
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
YOUR LOGO
向量的坐标表示：向量可以 用坐标轴上的点来表示
向量的坐标表示：向量可以 用坐标轴上的点来表示
平面直角坐标系中的函数与图像
函数定义与性质
函数的定义：函数 是映射的一种特殊 形式表示两个集合 之间的对应关系
函数的性质：函数 的性质包括单调性、 奇偶性、周期性等
函数的图像：函数 的图像是函数在平 面直角坐标系中的 表示反映了函数的 变化规律
添加 标题
向量点乘：向量点乘满足点乘法则如(x1, y1) · (x2, y2) = x1x2 + y1y2
添加 标题
向量叉乘：向量叉乘满足叉乘法则如(x1, y1) × (x2, y2) = x1y2 - x2y1
向量与坐标轴的关系
向量的坐标表示：向量可以 用坐标轴上的点来表示
向量与坐标轴的关系：向量 可以表示为坐标轴上的点
坐标计算：点的坐标可以通过已知条件计算得到例如已知两点的坐 标可以计算出两点间的距离
向量表示：向量可以用一对有序数对(, b)表示其中和b分别表示向量 在x轴和y轴上的分量
向量坐标计算：向量的坐标可以通过已知条件计算得到例如已知向 量的起点和终点的坐标可以计算出向量的坐标
向量表示与运算
添加 标题
向量表示：用有序数组表示向量如(x, y)
函数的应用：函数 在数学、物理、工 程等领域有着广泛 的应用
函数图像绘制
确定函数表达式
选择合适的坐标系
确定函数图像的起点和终点
绘制函数图像注意函数的单调 性、极值、拐点等特征
函数图像变换
平移变换：函数图像沿x轴或y轴移动 伸缩变换：函数图像沿x轴或y轴拉伸或压缩 旋转变换：函数图像绕原点旋转一定角度 对称变换：函数图像关于x轴或y轴对称 复合变换：以上几种变换的组合
《平面直角坐标系》word教案 (公开课)2022年北师大版 (17)
1．在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置.通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状的问题，能进一步掌握平面直角坐标系的根本内容.2．知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.知道不同象限点的坐标的特征.3．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由坐标找点等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，开展数形结合意识，培养学生的合作交流能力.教学重、难点：重点：1．能在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.2．平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标确实定.难点：1．在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.2．熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标确实定.教法及学法指导：本节采用探究合作式的教学模式，在教学中充分表达学生的主体地位，发挥小组合作学习的优势，同时教师适时点拔的教学方法.上一节课学生已熟练掌握在平面直角坐标系中根据点写出坐标，本节是反过来由点的坐标确定点的位置，并且在方格纸中完成，学生容易接受．课前准备：教具准备：多媒体课件投影仪三角板彩笔学生用具：方格纸假设干张三角板铅笔、橡皮、彩笔等用具教学过程：一、复习回忆，引入新课师：上节课我们学习了哪些知识？请同学们回忆一下.生1：我们学习了平面直角坐标系的定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 水平的数轴叫横轴或x轴，铅直的数轴叫纵横或y轴，x轴、y 轴统称为数轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点.师：好，谁还有补充吗？生2：平面直角坐标系有四个象限：右上方局部为第一象限，按逆时针依次为第二象限、第三象限、第四象限.生3：点的坐标确实定：先过这一点，向横轴作垂线，垂足所对的数是横坐标．然后过这一点向纵轴作垂线，垂足所对的数是这一点的纵坐标. 点的坐标是一对有序实数对．师：好！给出以下点的坐标你能说出它们所在的位置吗？〔多媒体展示〕练习：指出以下各点所在象限或坐标轴：A 〔－1，－2.5〕，B 〔3，－4〕，C 〔41，5〕，D 〔3，6〕，E 〔－2.3，0〕，F 〔0，32〕， G 〔0，0〕．生：根据点的坐标逐一答复.设计意图：检查上节课学生对点的坐标特征的掌握情况，同时为本节课点的坐标确定位置作知识铺垫，有利于学生在坐标系内准确找出点的位置.师 ：由点找坐标是点在直角坐标系中的位置，根据这点在方格纸上对应的x 轴、y 轴上的数字写出它的坐标，反过来，坐标，让你在直角坐标系中找点，你能找到吗？这就是本节课要探讨学习的内容.二、自主探索，合作交流师：请同学们拿出准备好的方格纸，自己建立平面直角坐标系，然后按照我给出的坐标尝试在直角坐标系中描点，并依次用线段连接起来.〔1〕D 〔－3，5〕，E 〔－7，3〕，C 〔1，3〕，D 〔－3，5〕；〔2〕F 〔－6，3〕，G 〔－6，0〕，A 〔－0，0〕，B 〔0，3〕；观察所描出的图形，它像什么？生：认真描点连线.师：利用实物展台展示学生的作品.师：哪位同学给大家讲解一下，他是如何画图得到这个图形的？生：我是先在横轴上找到-3作垂线，然后在纵轴上找到5作垂线，两直线的交点就是〔-3,5〕这个点，同样的画法我得到了其它各点，最后我依次连接，得到了这个图形．师：答复的很好，很清晰.同学们，你们的方法和他一样吗？生：一样.师：结合刚刚的画图，哪位同学能够以点〔a，b〕为例为我们梳理出由坐标描点的一般方法.生：先在横轴上找到a作垂线，然后在纵轴上找到b作垂线，两直线的交点就是〔a，b〕这个点.师：好，这是一个什么图形？生：“房子〞.师：根据图形解答以下问题：〔1〕图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？〔2〕线段EC与 x 轴有什么位置关系？点 E 和点 C 的坐标有什么特点？线段 EC 上其他点的坐标呢？〔3〕点F 和点G 的横坐标有什么共同特点，线段FG与y 轴有怎样的位置关系？生：先独立思考，再小组交流.生1：〔1〕点A、B都在x轴上，它们的纵坐标等于 0；点A、B 都在y轴上，它们的横坐标等于 0．师：谁还有补充吗？生2：线段 AG 上的点都在x轴上，线段 AB 上的点都在 y轴上.师：答复的好不好？生：好！师：对，请同学们注意应该是线段 AG、线段 AB上的所有点．生3：〔2〕线段 EC 平行于x 轴，点 E 和点 C 的纵坐标相同．线段 EC上其他点的纵坐标相同，都是 3．师：你同意他的看法吗？生：同意！生4：〔3〕点 F和点G 的横坐标相同，线段 FG 与y 轴平行.师：对不对？生：对！师：同学们答复的非常好！看来同学们仔细观察了，认真思考了.结合刚刚的问题你能发现这些点的坐标有什么规律吗？生1：〔积极踊跃的〕平行于x 轴的直线上的各点纵坐标相同，平行于y 轴的直线上的各点横坐标相同．师：总结很到位，谁还有补充吗？生2：x轴上的点的纵坐标为0，y 轴上点的横坐标为0.师：两位同学总结的好不好？生：非常好！师：我们把这两位同学的结论归纳概括就是：1．位于x轴上的点的坐标的特征是_________；位于y轴上的点的坐标的特征是__________.2．与x轴平行的直线上点的坐标的特征是__________；与y轴平行的直线上点的坐标的特征是____________.设计意图：让学生在坐标系中找出点的位置，经历探究的过程，从而总结出一般的由坐标找点的方法，所得图形也是学生比拟熟悉的图形，借助这个图形以几个问题让学生观察给出点的特征，经历探究的过程，从而总结出坐标轴上点的特征，及平行坐标轴点的特征,循序渐进，一步一步突破本节难点，变被动为主动，很好的表达了数学的趣味性，数与形的结合完美的展现了出来，大大激发了学生的学习热情.做一做〔多媒体展示〕如图是一个笑脸．〔1〕在“笑脸〞上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点．〔2〕在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点．(3)不具体标出这些点，分别判断〔1，2〕，〔-1，-3〕，〔2，-1〕，〔-3，4〕这些点所在的象限，说说你是怎么判断的．生：小组交流讨论，并答复总结得出各象限点的特征．对于点P〔a,b〕，假设点P在第一象限，那么a___0，b___0；假设点P在第二象限，那么a___0，b___0；假设点P在第三象限，那么a___0，b___0；假设点P在第四象限，那么a___0，b___0.设计意图：通过组内合作与自主学习相结合的学习方式，培养学生主动学习与合作学习的意识，发挥了学生的主体地位.三、稳固训练，拓展应用1．在右图的直角坐标系中描出以下各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来。
平面直角坐标系优质公开课PPT课件
）象限．
（3）如果点M（a＋b，ab）在第二 象限，那么N（a，b）在第 象限。
第21页/共25页
（4）设P点的坐标为（x，y），根据下列条件判定点P 在坐标平面内的位置。 （1）xy=0；（2）xy＞0；（3）x＋y=0
解：（1）x轴或y轴或原点； （2）第一象限或第三象限； （3）第二象限或第四象限或原点。
-3
E(0, - 4)
-4
练习1
第15页/共25页
练习2
第16页/共25页
第17页/共25页
7、坐标平面被两条坐标轴分成了几个部分？
注意：坐标轴上的点不在任一象限内
第18页/共25页
8.各象限内的点的坐标有何特征？
（-，+） 5 y （+，+）
(C-2,3)4 3
B (5,3)
F(-7,2)
（A）
（B）
3Y 2 1
-3 -2 -1-1 O1 2 3 X
-2 -3
3Y 2 1
-3 -2 -1-1O1 2 3 X
-2 -3
（C）
第10页/共25页
（D）
5、如何通过点的位置找点的坐标
纵轴 y 5 4 3
· B B（-4,1） 2 1
A的横坐标为4 A的纵坐标为2 有序数对(4, 2)就叫做A的坐标
y
5
4
3 2
1
注意事项:
-4 -3 -2 -1 0 -1
①标出原点O
-2
②画出x轴、y轴的正方向， -3
即箭头
-4
③单位长度要统一
12345 x
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选择：下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ D ）
平面直角坐标系公开课课件
o
-1 -2
1
2
3
x
-3 ·
-4 -5 -6
2
两只小蜜蜂飞在花丛中，飞到东来飞到西。
A(﹣4，0)的家出发沿着 B(-2，-2) C(-2,0) D(3，-2) E(5，0) F(2，0) G(2，5) H(-1，3) I(2，3) F(2，0) A(﹣4，0)的路线飞了一圈
各 象 把 限 各 内 点 和 连 坐 接 标 起 轴 来 上 点 会 的 得 坐 到 标 什 有 么 何 图 特 形 点 ？ ？
在生命萌动之初，你在人世间就有了自己的 位置，到生命终结之际。作为现在的你，知道如 何定位好自己的位置吗？
把握好我们学生的位置，做我们能做的事， 该做的事，并且尽力把它做好，这才是你应该做 的最总要的事！
李佳怡
谢谢各位老师，同学们， 再会！
想一想：横轴 与纵轴将坐标 平面分为几部 分？
-4 -3 -2 -1 0 -1 第三象限 -2 -3 -4
1
2
3
4
5
x
第四象限
坐标轴不属于任何一个象限。
横坐标写在前， 纵坐标写在后， 中间用逗号隔开
y
5 4
3叫做点A的横坐标 2叫做点A的纵坐标 A点在平面内的坐标为(3, 2)
记作：A（3，2）
给 点 读 坐 标
+
— —
+ +
— —
+ +
—
0 0
0 0 0
+
—
0
象限角平分线上的点的坐标特征
y
5
4
3 2 1
-4
-3
-2
-1
0 -1
初中数学《平面直角坐标系》公开课课件
-4
点
一对有序实数对
4
·B 3 2
1
· -3 -2 -1 O 1
-1
·C
-2
-3
-4
· M
A
· ·D
234
4
活动2：给出有序实数对(-3 , 2)
3
如何在直角坐标系 A(-3 , 2)
中标出点A(-3 , 2)
2
1
尝试标出 点B(2.5 , -2) 点C(2 , 1)
一对有序实数对
-4 -3 -2 -1 O
右图是某学校的示意图，以办公楼所在 位置为原点， 以图中小正方形 的边长 为单位长度，建立平面直角坐标系．
(1)请写出教学楼、实验楼、图书馆的 坐标；
(2)学校准备在(－3，－3)处建一栋学生 公寓，请你标出学生公寓的位置．
人生寄语
我们每个人的人生就是一个以时间为横轴，以人的 价值为纵轴的平面直角坐标系，我相信同学们一定 会用勤奋和智慧描绘出光彩夺目的点。
8
7 6
（3,6）
5
（1,4）
4
3 2 （0,2） 1
（4,1）
0 1 2 34 5 67 8
自主探究三：
马桥镇政府 王渔洋故居
10
9
8
7
（3,6）
6
5 （1,4） 4
3
2
（4,1）
1
0 1 2 3 4 5 67
加油站
（3,6） （1,4）
（4,1）
（-5,8） （-4,2）
（3,6） （1,4）
（4,1）
（4,-2）
（-5,8） （-4,2）
（3,6） （1,4）
（4,1） （4,-2）
1、平面直角坐标系(两课时)(新版人教版)(七年级下)(1)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
点旳坐标
y
P
P2
（a，b）
（－a，b）
（a，－Pb1）
OX
P3
（－a，－b）
分析：点P、点P1、点P2、点P3分别到x轴、y 轴旳距离
归纳：
1.平面直角坐标系中旳点p（x，y）有关x 轴旳对称点是（x，-y）；有关y轴旳对称 点是（-x，y）；有关原点旳对称点是p （-x，-y）。
2.第一、三象限角平线上旳点旳横、纵坐 标相等；第二、四象限角平分线上旳点旳 横纵坐标互为相反数。
正方向：x轴习惯取向右为正方向；
第一象限
123 x 第四象限
y轴习惯取向上为正方向. 原点：两条数轴旳交点Ｏ.
单位长度：长度单位要相同。
平面直角坐标系
三要素： ①两条数轴 ②相互垂直
第二象限
y y轴或纵轴
6 5
4 第一象限
3
③公共原点
2 原点
1
x轴或横轴
-6
-5 -4 -3 -2
-1 o
-1
1 23 4 5 6 X
-2
（A）
（B）
3Y 2 1
-3 -2 -1-O1 1 2 3 X
-2 -3
（C）
3Y 2 1
-3 -2 -1O-1 1 2 3 X
-2 -3 （D） 教程
点旳坐标
纵轴 y
5
4
B（-4，1）
3
2N
B·
1
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
-4
A旳横坐标为4 A旳纵坐标为2 有序数对(4, 2)就叫做A旳坐标 记作：A（4，2）
-2
第三象限 -3 第四象限
-4
-5 -6
平面直角坐标系(公开课)
作业
• P86, 1
-3 -2 -1 0 1 2 A 3
·
4
A点表示的数是
3 ；
数轴上的点A表示数3.反过来，数3就是点A 的位置。我们说点3是点A在数轴上的坐标。
3.数轴上的点与 实数 之间存在着一一对应关系。
问题 ：在教室里，怎样确 定一个同学的座位？
• 解 例如，××同学在第3组第4排． • 这样教室里座位也可以用一对实数 • 可简单记作：（3, 4）．
2 1
X
3
2 1 O -1 -2 -3 -1 -2
（B）
X
（A） 3 2 1
Y
3 Y 2 1
X
-3 -2 -1 1 2 3 -1 O -2 -3 （C）
-3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 教程 （D）
X
在方格图中建立平面直角坐标系 y
2 1
-3
注意事项:在画平面直角坐 标系时，一定要画x轴、y 轴的正方向，即箭头，标 出原点O,同一轴单位长度 要统一
快速说出图中各点的坐标， 并说说它们分别在哪个象限。
各象限内的点的坐标有何特征？
第二象限
y
（-，+）
5 (-2,3) 4 C 3 2 F(-7,2) 1
（+，+）
B (5,3) A (3,2)
第一象限
（- ，- ）
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -1 -2 -3 (-5,-4) -4 E(5,-4) G -5 H D
点的位置 横坐标符号 在第一象限
纵坐标符号
+ _ _ + + _ 0 0 0 + _ _ 0
平面直角坐标系(公开课)
04
的图形变换
平移变换
定义：将图形沿水平或垂直方向移动一定距离的变换 特点：不改变图形的形状和大小只改变图形的位置 应用：在平面直角坐标系中平移变换常用于解决几何问题 公式：x' = x + , y' = y + b其中和b分别表示水平方向和垂直方向的平移距离
缩放变换
定义：将图形按 照一定的比例进 行放大或缩小
05
的函数关系
一元函数关系
定义：函数关系是指在 平面直角坐标系中一个 变量与另一个变量之间 的关系
形式：y=f(x)其中y是 因变量x是自变量f(x) 是函数表达式
性质：函数关系具有唯 一性、连续性、可导性 等性质
应用：函数关系在数学、 物理、工程等领域有着 广泛的应用如求解方程、 分析物理现象、设计工 程系统等
平面直角坐标系：用于表示函 数关系的二维图形
应用：在物理、化学、工程等 领域广泛应用
参数方程和极坐标
参数方程：用参数表示函数关系如x=f(t), y=g(t)
极坐标：用极径和极角表示函数关系如r=f(θ), θ=g(r)
参数方程与极坐标的转换：通过换元法进行转换如x=r*cos(θ), y=r*sin(θ)
06 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 解 析 几 何问题求解
01
添加章节标题
平面直角坐标系的
02
基本概念
定义和构成
平面直角坐标系：由两条互相垂直的数轴组成的平面图形 数轴：一条直线分为正半轴和负半轴原点为0 坐标：在数轴上表示点的位置的一对有序数 原点：坐标轴的交点坐标为(0,0) 坐标轴：x轴和y轴分别代表横轴和纵轴 象限：坐标轴将平面分为四个区域每个区域称为一个象限
平面直角坐标系的
《平面直角坐标系 》教案 (公开课)2022年人教版数学
7.1．2 平面直角坐标系[教学目标]1、认识平面直角坐标系的意义；2、理解点的坐标的意义，在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置；3、会用坐标表示点，能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置.[教学重点与难点]1、重点：平面直角坐标系和点的坐标；描出点的位置和建立坐标系.2、难点：根据点的位置写出点的坐标；适当地建立坐标系.[教学过程]一、复习导入1、数轴上的点可以用什么来表示？可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个点的坐标.[投影1]如图，点A的坐标是2，点B的坐标是－3.C坐标为－4的点在数轴上的什么位置？在点C处.这就是说，知道了数轴上一个点的坐标，这个点的位置就确定了.类似于利用数轴确定直线上点的位置,能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢?2、写出图中点A、B、C、D、E的坐标..由点的位置可以写出它的坐标，反之，点的坐标怎样确定点的位置呢？二、平面直角坐标系我们知道，平面内的点的位置可以用有序数对来表示，为此，我们可以在平面内画出两条互相垂直、原点重合的数轴组成直角坐标系来表示.如图，水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序数对来表示了.探究：如图,正方形ABCD的边长为6.(1)如果以点A为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面坐标系,那么y轴是哪条线?y轴是AD所在直线.(2)写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.A(0,0),B(0,6),C(6,6),D(6,0).(3)请你另建立一个平面直角坐标系,此时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少?与同学交流一下.二、点的坐标如图,由点A 分别向x 轴和y 轴作垂线,垂足M 在x 轴上的坐标是3,垂足N 在y 轴上的坐标是4,我们说A 点的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A 的坐标,记作A(3,4).类似地,请你根据课本41面图6.1-4,写出点B 、C 、D 的坐标.B(-3,4)、C(0,2)、D(-3,0).注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后.三、四个象限建立了平面直角坐系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个局部,分别叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.[投影2]做一做：课本43面练习1题.思考:1、原点O 的坐标是什么?x 轴和y 轴上的点的坐标有什么特点？原点O 的坐标是(0,0),x 轴上的点的纵坐标为0,y 轴上的点的横坐标为0.2、各象限内的点的坐标有什么特点?第一象限上的点,横坐标为正数,纵坐标为正数;第二象限上的点,横坐标为负数,纵坐标为正数;第三象限上的点,横坐标为负数,纵坐标为负数;第四象限上的点,横坐标为正数,纵坐标为负数.四、课堂练习1、点A(-2,-1)与x 轴的距离是________，与y 轴的距离是________.注意：纵坐标的绝对值是该点到x 轴的距离，横坐标的绝对值是该点到y 轴的距离.2、点A(3,a)在x 轴上,点B(b,4)在y 轴上,那么a=______,b=______.3、点M(-2,3)在第 象限,那么点N(-2,-3)在____象限.，点P(2, -3) 在____象限，点Q(2, 3) 在____象限.五、课堂小结1、平面直角坐标糸及有关概念；2、、一个点，如何确定这个点的坐标.3、坐标轴上的点和象限点的特点.六、布置作业〔4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】 利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】 建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
平面直角坐标系公开课课件
相关资源推荐与参考文献
01
02
03
04
《解析几何》- 柯朗、约翰逊 著
《数学分析》- 卓里奇著
《计算机图形学》- 卡斯特罗 等著
《数据可视实战》- 福里斯 特等著
THANKS
详细描述
平移是将一个图形沿某个方向移 动一定距离的变换，而对称则包 括轴对称和中心对称两种形式， 实现图形形状的翻转和旋转。
距离与角度计算
总结词
在平面直角坐标系中，距离和角度是 描述点之间位置关系的重要指标，通 过计算两点间距离和点与线段之间的 角度，可以确定点在平面上的位置。
详细描述
距离计算公式为$\sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，而线段与x 轴夹角的正切值等于纵坐标除以横坐标。
极坐标系
极坐标系是一种以极点为中心，以极 轴为射线，以极径和极角为量的坐标 系。
空间几何问题的简化
三维空间的表达
通过建立三维直角坐标系，可以有效地 表示空间中的点与坐标之间的关系。
VS
空间几何形状的描述
利用坐标系，可以描述球体、椎体等空间 几何形状，并求解与这些形状相关的面积、 体积等问题。
05 平面直角坐标系的扩展应 用
平面直角坐标系公开 课课件
目录
CONTENTS
01 引言
课程背景介绍
01
平面直角坐标系是数学中重要的 概念之一，是解析几何、代数函 数等数学领域的基础。
02
在现实生活中，平面直角坐标系 也具有广泛的应用，如地理信息 系统、图像处理等。
课程目的与意义
掌握平面直角坐标系 的基本概念与性质。
学习如何利用平面直 角坐标系进行图形绘 制与数据分析。
全国优质课一等奖人教版初中七年级数学下册《平面直角坐标系》课件
E
A
C
H
I
N
G
A
N
D
L
E
A
R
N
I
N
G
第七章
7.1.2. 平面直角坐标系（第2课时）
y轴或
纵轴
y
【温故知新】
6
平面直角坐标系是由两条
互相 垂直 、 原点 重合的
数轴所组成
5
4
3
原点2
x轴或
横轴
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2 3
4
5
6
X
【温故知新】
y
6
5
第二象限
-6
J
若直线l//y轴，则直线上
所有点的横坐标相同。
【初步总结】
平行于坐标轴上的点
1、若直线l//x轴，则直线上所有
点的纵坐标相同。
2、若直线l//y轴，则直线上所有
点的横坐标相同。
【深入思考】
y
5
6
A1
5
A
B2
4
3
B
2
1
C
C3
2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-1 D
D4
-2
-3
解得m=3.5
n,3 。．
(2)∵点M到x轴，y轴距离相等。
∴m-2=2m-7 或(m-2)+(2m-7)=0
解得m=5或3
在平面直角坐标系中，已知点 M m 2, 2m 7 ，点N
(1)若M在x轴上，求m的值；
(2)若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值；