大学物理 第04章 作业题目 动能定理 功能原理
大学物理-动能定理
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
西南交通大学2016大物作业04
©西南交大物理系_2016_02《大学物理AI 》作业 No.04 机械能 机械能守恒定律班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、判断题：（用“T ”和“F ”表示）[ F ] 1．一个不受外力作用的系统,它的动量和机械能都守恒。
解：不受外力作用的系统，0=∑外F，动量是守恒的。
而机械能守恒的条件是：0=+∑∑非保内外A A ，不受外力作用的系统只能保证外力做功的代数和为0，不能保证非保守内力做功的代数和为0，所以机械能不一定守恒。
[ T ] 2．质点系的内力可以改变系统的总动能，不能改变系统的总动量。
解：质点系的内力的矢量和为0，所以不会改变系统的总动量，而质点系内力做功的代数和不一定为0，因而可以改变系统的总动能。
[ F ] 3．雨滴在空气中匀速下落，机械能守恒。
解：雨滴能在空气中匀速下落，必然是受到的空气阻力等于其重力，在其下落过程中，阻力要做功，所以机械能不守恒。
[ F ] 4．作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以，两者所做的功的代数和必然为零。
解：作用力与反作用力的力的作用点位移可能不一样，也就是可能有相对的位移，所以两者做功的代数和不一定为0.[ T ] 5．保守力作正功时，系统内相应的势能减少。
解：保守力做功数值上等于相关势能增量的负值。
所以当保守力作正功时，系统内相应的势能会减少。
二、选择题：1．如图为一个质点在其中作一维运动的系统势能-位置（x E P -）图。
将区域AB 、BC 和CD 中对质点力的大小排序，正确的是： [](A) BC CD AB F F F >>(B) CD BC AB F F F >>(C) AB BC CD F F F >>(D)BC AB CD F F F >> 解：因为xE F pd d -=保，即是（x E P -）的斜率。
从图上看，应该有：BC AB CD F F F >>所以选D 。
动能定理原理
动能定理原理
动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动能与其速度的关系。
根据动能定理，一个物体的动能等于其质量与速度平方的乘积的一半。
动能定理可以表示为以下公式：
动能 = 1/2 ×质量 ×速度²
其中，动能用K表示，质量用m表示，速度用v表示。
根据动能定理，当一个物体的速度增加时，它的动能也会增加。
同样地，当一个物体的质量增加时，它的动能也会增加。
这说明物体的动能与其速度和质量直接相关。
动能定理的应用广泛。
在机械工程中，我们可以根据物体的动能来计算其所需的能量或者进行能量转化的分析。
在运动学中，我们可以利用动能定理来计算物体的速度或者质量。
在碰撞分析中，动能定理也起到了重要的作用。
需要注意的是，动能定理只适用于质点的分析，即只考虑物体的整体运动而忽略其形状和内部结构的影响。
在实际应用中，我们需要结合具体情况来确定使用动能定理的合理性与准确性。
总之，动能定理是一个重要的物理定律，在物体的运动分析和能量转化的研究中具有广泛的应用价值。
它为我们理解物体运动和能量转化的过程提供了重要的理论基础。
《大学物理AI》作业 No.04 机械能 、机械能守恒定律(参考解答)
（5）由以上分析可知，结论 3 是对的。 3、一个内壁光滑的圆形细管，正绕竖直光滑固定轴 OO 自由转动。管是刚性的，转动惯量为 J。环的
半径为 R，初角速度为 0 ，一个质量为 m 的小球静止于管内最高点 A 处，如图所
示，由于微扰，小球向下滑动。试判断小球在管内下滑过程中：
（1）地球，环与小球系统的机械能是否守恒？
以 N 和 N 作功为零，满足机械能守恒。
（2）不守恒。小球在下落过程中，受到重力和管壁的作用力，这两个力的合力不为零，所以小球的动 量会不断变化。
（3）守恒。小球与环组成的系统，受到的外力为重力和通过轴的支持力，这两个力的方向都与 OO 轴 的方向平行，因此对 OO 轴力矩为零。因此整个系统角动量守恒。
答：（1）错。砖块要在皮带上滑动一段距离才能最终获得与皮带相同速度，两者之间有相对位移，所 以摩擦力做功代数和不为零。 （2）错。驱动力只对皮带做功，不能改变砖块的动能； （3）对。因皮带匀速运动，根据动能定理，驱动力的功与摩擦力对皮带的功之和为零； （4）错。砖块的动能是摩擦力做功的结果。摩擦力对砖块作功数值上要大于摩擦力对皮带做的功，因 此也不等于驱动力对皮带做的功。
2(F mg)2
（
）。（以原点 O 为势能零点，弹簧伸长都在弹性限度内考虑）
k
解：设物体到达的最远距离为 x, 根据动能定理： x (F kx mg) d x 0 ， 0
填空题 8 图
即：
Fx
1 2
kx 2
mgx
0，
x
2(F
mg) k
，此时弹性势能为：
Ek max
1、理解质点、质点系的动能概念，会计算定轴转动刚体的转动动能； 2、理解功的概念，熟练掌握变力作功的计算； 3、理解保守力作功的特点，掌握保守系统的势能计算方法，掌握保守力与势能的关系； 4、掌握质点、质点系、定轴转动刚体的动能定理和功能原理，并且熟练进行有关计算； 5、掌握机械能守恒条件，熟练应用机械能守恒定律求解有关问题； 6、能联合运用动量守恒、角动量守恒、机械能守恒定律求解力学综合性问题，掌握分析求解力学综合 问题的基本方法。
2013 动能定理 功能原理
引力势能:
Aab ( L )
b
a
f dr ( L )
rb
Gm1m2
3
r dr
Gm1m2
Gm1m2 rb
ra
Aab E p E pa E pb
m1,m2 两质点引力势能 重力势能:
Ep GmM R GmM ( R h)
ra r 选 rb= 为零势点,Epb=0
m1m2 r
dy dx f i j k E p x y z
fy
fds cos dE p dE p fs ds dE
p
f
fz
dE p dz
令
i j k y z x
4 动能定理 功能原理
4.1 动能定理
功：力的空间累积效应
4.1.1 功和功率 1. 恒力的功 恒力F，位移r，夹角为 A F r Fr cos 功是标量，其正负或零由力与位移的夹角决定 功是相对量，与参照系的选择有关 （位移不同） 2. 变力的功 变力F，路径为l dr ds 变力F的元功为 dA F dr Fdr cos b A F dr Fdr cos
( L) ( L)
b
f dr
m1
ra
a
rb
Gm1m2 r dr ra r 3 r dr rb Gm1m2 Gm1m2 Gm1m2 ra r 3 r dr r r a b
r dr r dr cos
12
弹性力做功 f
f x kx
动能定理解析
动能定理解析动能定理是物理学中一个重要的定律，用于描述一个物体的动能与作用力之间的关系。
它是基于牛顿第二定律，通过将物体的质量、速度和加速度联系在一起，推导出了动能的表达式。
本文将对动能定理的物理原理进行解析，并探讨其在实际应用中的意义。
一、动能定理的基本原理动能定理是指一个物体的动能（Kinetic Energy，简称KE）等于它所受的合外力（F）对其做功（W）的结果。
可以用以下公式表示：KE = W = Fd其中，KE为物体的动能，W为外力对物体做的功，F为作用力的大小，d为物体在作用力方向上的位移。
二、动能定理的推导过程1. 根据牛顿第二定律 F = ma，将作用力F代入公式中，得到W = mad。
2. 将物体的加速度a表示为速度v和时间t的函数，即a = (v - u) / t，其中u为物体的初速度。
3. 将上述表达式代入W = mad中，得到W = m(v - u) / t。
4. 由定义可知，速度v = d / t，其中d为位移，将此代入公式中，得到W = m(d / t - u) / t。
5. 将W化简后得到W = md / t - mu / t。
6. 根据功的定义，可以将W表示为Fd，即Fd = md / t - mu / t。
7. 经过整理后，可得到动能定理的公式 KE = W = Fd。
三、动能定理的物理意义动能定理揭示了物体的动能与作用力之间的量化关系，其物理意义主要体现在以下几个方面：1. 动能的转化：动能定理说明了作用力对物体做功时，物体的动能会发生变化。
若作用力对物体做正功（即物体速度增加），则物体的动能增加；若作用力对物体做负功（即物体速度减小），则物体的动能减小。
2. 动能与速度的关系：动能定理表明，物体的动能与其速度的平方成正比。
当速度增加时，动能的增加速率更快。
这一关系也反映了动能对物体运动状态的敏感程度。
3. 动能守恒定律：根据动能定理，当外力对物体的做功为零时，动能保持不变。
动能定理能量守恒的基本原理
动能定理能量守恒的基本原理动力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和受力情况。
其中，动能定理和能量守恒定律是描述物体运动过程中能量变化的基本原理。
一、动能定理动能定理是描述物体运动过程中动能变化的原理。
动能是物体运动的能量，定义为：动能 = 1/2 * m * v^2其中，m为物体的质量，v为物体的速度。
根据动能的定义，可以得出动能定理的表达式：物体的动能增量等于物体所受的净外力所做的功。
数学表达式为：ΔK = W其中，ΔK表示动能的增量，W表示净外力所做的功。
动能定理可以用来解释物体在外力作用下的运动状态和能量变化情况。
当物体受到力的作用时，外力对物体做功，使得物体的动能发生变化。
如果物体所受的外力为零，则根据动能定理得知物体的动能保持不变。
二、能量守恒定律能量守恒定律是自然界中一个普适的定律，描述了能量在一个封闭系统中的守恒性质。
能量守恒定律的表达式为：系统的总能量在封闭的过程中不变。
能量可以存在多种形式，包括动能、势能、热能等。
根据能量守恒定律，一个封闭系统中各种形式的能量可以相互转化，但总能量保持不变。
在物体运动过程中，动能和势能之间可以相互转化。
当物体处于高处时，具有势能；当物体运动时，其势能转化为动能，而动能定理也可以说明动能的变化量等于势能转化的大小。
能量守恒定律可以帮助我们理解许多物理现象，例如弹性碰撞、机械能转化等。
三、动能定理与能量守恒的关系动能定理和能量守恒定律在描述和分析物体的运动过程中密切相关。
首先，动能定理可以通过计算外力对物体做功的大小来描述物体动能的变化。
而能量守恒定律则表明，在一个封闭系统中，物体动能的变化可以转化为其他形式的能量，但总能量保持不变。
其次，动能定理和能量守恒定律都是适用于经典力学体系的基本原理，可以帮助我们理解和解释物态变化和能量转化的规律。
最后，动能定理和能量守恒定律的应用广泛，不仅适用于机械运动的问题，还可以推广到其他物理学领域，如热力学、电动力学等。
动能定理物体的动能与力的做功
动能定理物体的动能与力的做功动能定理：物体的动能与力的做功动能定理是物理学中的基本定理之一，它描述了物体的动能与力的做功之间的关系。
在本文中，我们将探讨动能定理的定义、原理以及应用。
一、动能定理的定义动能定理是指在外力作用下，物体的动能的变化量等于力的做功。
简而言之，物体的动能增加或减少的大小，正好等于作用于物体的力所作的功。
二、动能定理的原理物体的动能可以通过它的质量和速度来定义，即动能 = 1/2 ×质量 ×速度的平方。
力的功可以用力的大小、物体的位移和力与位移之间的夹角来定义，即做功 = 力 ×位移× cosθ。
根据动能定理，在外力作用下，物体的动能的变化量等于力的做功。
表示为：物体的动能的增量 = 力的做功。
三、动能定理的应用1. 物体的动能和速度关系：根据动能定理，物体的动能正比于其速度的平方。
当速度增加时，动能增加；当速度减小时，动能减小。
2. 动能与重力势能的转换：在重力场中，当物体从较高位置下降到较低位置时，重力对物体做功，并将其势能转化为动能。
反之，当物体由较低位置上升到较高位置时，动能将转化为重力势能。
3. 动能与弹性势能的转换：在弹性体系中，物体由于受到压缩或伸展而具有弹性势能。
当物体释放出弹性势能时，它将转化为动能。
4. 动能定理的应用于机械工作：在机械运动中，动能定理可应用于机器的工作原理和能量转换的分析。
比如，在运输系统中，我们可以通过应用动能定理来计算物体在传送过程中所需的能量和功率。
总结：动能定理是物体的动能与力的做功之间的关系。
它可以帮助我们理解物体运动时的能量转化过程，并应用于各种实际情况的分析和计算。
通过深入研究动能定理，我们可以更好地理解物体运动的本质和力学规律。
大学物理 第四讲 动能定理 功能原理
4.1.2 动能定理
一. 质点的动能定理 设合力为 F ，由牛II， 2 2 A12 F d r Ft d r
1 1
2
2
m
2 dv 1 m at d r m vdt 1 1 dt v2 1 1 2 2 m vd v mv 2 mv1 E K 2 E K 1 2 2 v1
1 1 1 2 2 2 f r l MV mv mv0 2 2 2
将V代入， 可得
m V (v 0 v ) M
1 1 1 m2 2 2 2 v0 v f r m v0 v l 2 2 M
讨论：1. 量纲对 2. 特例对（当 M 0时）
mg d y mg ( ya yb )
ya
b
a o
mg
x
a yb
a
例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg，由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水 桶匀速地从井中提到井口，人所作的 功。
蚂蚁在作功
附1. 一质量为2kg的物体，在变力 F 6ti
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。 对微小过程，可当成恒力、直线运动
Aab d A
a
b
b
a
F dr
a
r
F
b
× b F
(L)
dr 称为“力沿路径 L 的线积分” L m
(1)功是过程量； (2)功是标量（有正负）；
大学物理 第四章 刚体的转动 4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
6
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
W =∫
外力的功
θ2
θ1
1 1 2 2 M d θ = Jω 2 − Jω 1 2 2
刚体动能的改变 质点系的动能 定理在刚体中 的具体表现
刚体作为特殊的质点系， 刚体作为特殊的质点系， 满足质点系的动能定理： 满足质点系的动能定理：
方向： 方向：
dM
刚体的转动
14
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
2 µ mg 2 dM = r dr 2 R
整个唱片所受的摩 擦力矩为
R
v df
o
r
dl dr
M = ∫ dM
方向： 方向：
dM
M
2 µmg M = 2 R
∫
R
0
2 r dr = µRmg 3
2
刚体的转动
第四章
非保守内力： 非保守内力：刚体内力 W
m v v
in 刚体
=0
∴W
ex
+W
in nc
=0
18
E = E0
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 -
o
选初始位置为势能零点
30
o
a
1 1 2 2 2 ( m′l + ma )ω = 2 3
o
m v v
'
l ′g (1 − cos 30o ) mga(1 − cos 30 ) + m 2
v dr φ
o
刚体的转动
大学物理 动能定理
表达式：合外力对物体所做的功等于物体动能的改变量，即W=ΔE
应用：动能定理可以用来解决许多实际问题，如机械能守恒、动能变化等问题
06
动能定理的注意事 项
动能定理适用条件
仅适用于质点，若为质点系则应将其各部分动能和势能分别求和 只有保守力做功才可用动能定理 公式中各物理量均应为同一惯性参考系中的量 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动
动能定理的应 用范围：适用 于一切宏观低 速运动的物体
动能定理的意 义：揭示了功 与能量变化之 间的关系，是 能量守恒定律
的特殊形式
动能定理中各物理量的含义
动能：物体由于运动而具有的能量，用符号E表示，单位为焦耳(J)。
势能：物体由于高度或弹性形变而具有的能量，用符号E表示，单位为焦耳(J)。
动能定理描述了物体动能的 变化与合外力做功的关系
动能定理是能量守恒定律在 力学中的具体表现
动能定理是解决力学问题的 重要工具之一
03
动能定理的表述
动能定理的数学表达式
动能定理的表 述：合力对物 体所做的功等 于物体动能的
变化量
数学表达式： 合外力对物体 所做的功等于 物体动能的变
化量，即 W=ΔE
表达式：动能定理的表达式为ΔEቤተ መጻሕፍቲ ባይዱW，其中ΔE表示物体动能的变化量，W表示物体 所受合外力做的功。
应用范围：动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动。
实例：以一个质量为m的物体在水平面上做匀加速直线运动为例，其受到的合外力为 F，位移为s，则根据动能定理可得Fs=ΔE，即合外力做的功等于物体动能的变化量。
动能定理在曲线运动中的应用
动能定理的原理和应用
动能定理的原理和应用一、动能定理的原理动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动能与作用在物体上的净力之间的关系。
动能定理可以用来分析物体在运动过程中的能量转化和能量变化情况。
动能定理的核心原理是：物体的动能的变化率等于作用在物体上的净力乘以物体在该力下移动的距离。
动能定理的数学表示如下：W = ΔK其中，W表示净力所做的功，ΔK表示物体动能的变化。
二、动能定理的应用动能定理在物理学中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 车辆碰撞分析动能定理可以用来分析车辆碰撞的力量和能量变化情况。
通过对碰撞之前和之后车辆的动能变化进行计算，可以推断碰撞的严重程度和造成的损伤情况。
这对于交通事故的调查和事故重建非常重要。
2. 物体自由下落当一个物体从高处自由下落时，可以利用动能定理计算物体的速度和落地时的动能。
这在物理实验和工程设计中经常用到。
3. 弹性碰撞动能定理也可以应用于弹性碰撞的分析。
在弹性碰撞中，物体的动能会发生变化，而动能定理可以帮助我们计算碰撞前后物体的速度和动能变化情况。
4. 机械能守恒动能定理与机械能守恒定律密切相关。
机械能守恒定律指出，在没有外力做功的情况下，物体的机械能（动能和势能之和）保持不变。
动能定理可以帮助我们理解物体机械能的变化和转化情况，从而应用于机械系统的分析和优化设计。
三、总结动能定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动能与作用在物体上的净力之间的关系。
动能定理可以用于分析物体在不同情况下的能量变化和转化。
它的应用场景广泛，包括车辆碰撞分析、物体自由下落、弹性碰撞和机械能守恒等方面。
掌握了动能定理的原理和应用，有助于我们深入理解物理学中的能量概念，并能在实际问题中进行定量分析。
04-第4章动能定理功能原理
一对万有引力做的功
B
rB
L
( L)
( L)
Gm1m2 r dr 3 r dr rA r rB Gm1m2 Gm1m2 Gm1m2 dr 2 rA rB rA r
A rB
r dr r dr cos
A
如果一对力做的功与相对路径的形状无关，而只决定于相 互作用的质点的始末相对位置，这样的力叫保守力
4 动能定理 功能原理
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
F r
物体作直线运动，恒力做功
A F cos r
dr
A
B
A F cos S
物体作曲线运动，变力做功
F
元功：dA F cos dr
总功：A ( L )
B
A
dA A ( L ) A ( L )
dh | dr |
r
mgh2 mgh1
a
mg
mg
重力做功与路径无关
b
a
b mg dr mg dr ( 沿L1 ) a ( 沿L2 )
也可以写成
mg dr 0
Gm1m2 f r 3 r dr dr r0 为单位矢量 r rr0 m2 r dr r Gm1m2 f r0 2 r m1 B AAB ( L ) f dr rA
n n n i 1 i 1 i 1
…………… An合 m n:
A
i 1
n
i外
Ai内 EkiB EkiA
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和 等于质点系总动能的增量。
大学物理,功和能及功能原理4.4 功能原理 机械能守恒定律
t2 I F dt p2 p1 t1 b A F dr Ek 2 Ek 1
a
13
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
3）若研究物体的瞬时状态，只有用牛顿运动定律。
dp 力: F dt
动量对时间的变化率
思考问题的顺序为：
2）质点系的机械能和机械能守恒定律也适用 于包含有定轴转动刚体的系统。 3）机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守 恒定律的特殊形式。
5
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
Ek Ek 0 ( Ep Ep0 )
1）机械能守恒定律的条件是： A外
A非 保 内 0
动能定理
动量守恒定律 当 : F外 0时 ， P Pi 恒 矢 量
功： Aab F dr a A外 A内 Ekb Eka
b
机械能守恒定律
当 : A外 A非 保 内 0时 ， E Ek E p 恒 量
15
4.4 功能原理
外力不作功，意味着物体系既不接受外界的 机械能，也不向外界传递机械能。 如果A非保内= 0，就意味着在物体系内部不存 在机械能与其它能量形式间的相互转换。 所以，当满足A外= 0 和A非保内= 0 的条件时， 系统的机械能将保持不变。
6
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
能量守恒定律 亥姆霍兹（1821—1894）， 德国物理学家和生理学家。 于1874年发表了《论力（现 称能量）守恒》的演讲，首 先系统地以数学方式阐述了 自然界各种运动形式之间都 遵守能量守恒这条规律。所 以说亥姆霍兹是能量守恒定 律的创立者之一。
大学物理 动能定理、功能原理、机械能宁恒
习题（五）动能定理、功能原理、机械能宁恒专业 班级 学号 姓名一、选择题1、质量为m 的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动．已知地球质量为M ，万有引力恒量为G ，则当它从距地球中心R 1处下降到R 2处时，飞船增加的动能应等于 (A) 2R GMm (B) 22R GMm (C) 2121R R R R GMm - (D) 2121R R R GMm - (E) 222121R R R R GMm - [ C ]2、今有一劲度系数为k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m 的小球，开始时使弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外力作功为 (A) k g m 422 (B) kg m 322 (C) k g m 222 (D) kg m 222 (E) kg m 224 ［ C ］ 3、已知两个物体A 和B 的质量以及它们的速率都不相同，若物体A 的动量在数值上比物体B 的大，则A 的动能E KA 与B 的动能E KB 之间(A) E KB 一定大于E KA ． (B) E KB 一定小于E KA ．(C) E KB ＝E KA ． (D) 不能判定谁大谁小． ［ D ］4、如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块而不穿出．以地面为参考系，下列说法中正确的说法是(A) 子弹的动能转变为木块的动能．(B) 子弹─木块系统的机械能守恒．(C)子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功．(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热． ［ C ］二、填空题 1、如图所示，质量m ＝2 kg 的物体从静止开始，沿1/4圆弧从A 滑到B ，在B 处速度的大小为v ＝6 m/s ，已知圆的半径R ＝4 m ，则物体从A 到B 的过程中摩擦力对它所作的功W ＝__________________．2、质量m ＝1 kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x (SI)，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝________________；且x ＝3 m 时，其速率v ＝________________________．三、计算题1、某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m 时，物体的速率．(3)此弹簧的弹力是保守力吗？2、如图所示，质量m为 0.1 kg的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k为20 N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x =0.4 m．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数 k 为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？CCDC－42.4 J18 J6 m/s解：(1) 外力做的功＝31 J(2) 设弹力为F ′= 5.34 m/s(3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关．解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有 222121v m kx x f r -=- 而 mg f k r μ=由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为 mkx gx k 22+=μv = 5.83 m/s[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有 20210v m kxdx mgx x k -=--⎰μ 其中2021kx kxdx x =⎰⎰⎰⋅+==21d )4.388.52(d 2x x x x x xF W ⎰⎰⋅=-==1212d d 21'2x x x x W x F x F m v m W 2=v。
大学物理-力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力 矩所作的功是
A dA
2 0
应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可 用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角 速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 18 力矩的功和转动动能增量的关系式得
l l mg cos d mg 2 2
mA
(2) 物体 B 从静止落下 距离 y 时，其速率是多少？
mC
mB B
9
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例5 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链O相接， 并可绕其转动．由于此竖 直放置的细杆处于非
m,l
θ
O mg
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时 的角速度．
4
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
以子弹和沙袋为系统
动量守恒；
v
角动量守恒； 机械能不守恒 .
（重力为外力，也做功） （非保守内力摩擦力做功）
5
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
以子弹和杆为系统
子 弹 击 入 杆
o
动量不守恒；
角动量守恒；
11
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
射入竿后，以子弹、细 杆和地球为系统，E =常量．
o
30
1 1 2 2 2 ( ml ma ) 2 3
o
a
m v
'
l o mga 1 cos30 ) mg (1 cos 30 ) ( 2
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题 4-8 图
l x O
题 4-9 图 A
5. 4-10 设两个粒子之间的相互作用斥力按 f = k/r3 的规律变化， 其中 r 为两粒子 之间的距离，k 为常量。试求两粒子相距为 r 时的势能表达式。 （设粒子间相互作 用力为零的地方势能为零） 。 6. 4-15 求一个半径为 R 的半圆形均匀薄板的质心。
m
A R M B
2
15.在实验室坐标系 Oxy 中，有一质量为 m 的静止物体，在恒力 F Fi 的作用下 运动，现观察到该物体沿力的方向走过了距离 x，若在对坐标系 Oxy 以匀速 u ui 运动的另一坐标系 O′x′y′中，观察上述同一物体的运动，试讨论在上述两 个坐标系中，恒力 F 对物体做功是否相同？在哪个坐标系中动能定理成立？
1
7. 4-17 一炮弹以初速度 v0 发射， 反射角为。 在飞行的最高点炮弹炸裂成质量均 为 m 的两部分，一部分在炸裂后竖直下落，另一部分则继续向前飞行。不计空 气阻力，试求这两部分的着地点以及其质心的着地点。 8. 4-18 地面上竖直安放着一个劲度系数为 k 的弹簧， 其顶端连 接一静止的质量为 M 的物体，有个质量为 m 的物体，从距离 顶端为 h 处自由落下，与 M 作完全非弹性碰撞，求证弹簧对地 面的最大压力为
11. 一人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点为 A，远地点为 B，A、B 两点距 地心分别为分别为 r1，r2，设卫星质量 m，地球质量 M，万有引力常量为 G。那 么卫星在 A、 B 两点处万有引力势能之差 EpB-EpA= ； 卫星在 A、 地心 B 两点的动能之差 EKB-EKA= 。 A
3
m h M
N max M mg mg 1
2kh M mg
题 4-18 图
二、补充习题：
9. 一长为 l，质量为 m 的匀质链条，放在光滑的桌面上，若其长度的 1/5 悬挂于 桌边下，将其慢慢拉回桌面，需做功 。 10.一辆一速度 v 0 匀速前进的车中，一质点 m 在力的作用下相对于车的运动速度 由 u A 变 为 u B （ u A 、 u B 与 v0 方 向 相 同 ） ，在车厢参考系中对质点做功 W′= ， 在地面参考系中对质点做功 W= 。
x F h
30
x1
o
60
o
题 4-1 图
x2
0
2. 4-7 质量为 m 的物体在力 F = f0e –kx i(式中 f0 、k 均为大于零的常量）作用下， 由坐标原点沿 x 轴由静止出发，试求： （1）此力对物体做功的最大值； （2）物体 获得的最大速度。 3. 4-8 在光滑的水平桌面上， 水平放置一固定的半圆形屏障。 有一质量为 m 的滑块以初速度 v0 沿切线方向进入屏障一端， 如图所示。设滑块与屏障之间的摩擦系数为 ，试证明当 滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所做功为 1 2 2 Af mv0 (e 1) 。 2 4. 4-9 如图所示，有一自动卸货料斗车，满载时 的质量为 m0 , 从与水平成倾角 α =30° 斜面上的 A 点由静止下滑。 设斜面对车的阻力为车重的 0.25 倍，料斗车下滑距离 l 时，与缓冲弹簧一道沿斜 面运动。当料斗车使弹簧产生最大压缩形变时， 车自动卸货卸货后车重为 m，而后车借助弹簧的 弹性力作用返回原位置 A 再次装货。试问：要完 成这一过程， 空载时与满载时车的质量之比应为 多大? v0
第四章 动能定理 功能原理 作业（大物 2）
一、书后习题：
1. 4-1 一个质量为 m 70 kg 的物体置 于粗糙的水平面上， 将物体用一个轻 绳系住后跨在定滑轮上， 滑轮距地面 的高度为 h 2 m 。现用一个竖直向下 的恒力 F = 12 N 通过滑轮拉动物体， 见图。求物体由 a 位置处被拉到 b 位 置处，力 F 所作的功。
r1 r2 B
12. 质点在几个力作用下沿曲线 x=t
(SI)，y=t2 (SI) 运动。其中一力为 F 5ti 。
(SI)，则该力在 t =1s 到 t =2s 时间内做功为 13.一链条总长为 l ， 质量为 m 。 放在桌面上并使其一部分下垂， 下垂的长度为 a ，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条 从静止开始运动，则： (1) 到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？ (2) 链条刚离开桌面时的速率是多少？ 14.光滑平面上有一半径为 R 的 1/4 圆弧形物块(如图)，其 质量为 M，圆弧表面光滑，若另有一质量为 m 的滑块从其 顶端 A 沿圆弧自由滑到底端 B。求这一过程中物块的支撑 力 N 对滑块所做的功。