第九章 梁的平面弯曲

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梁的平面弯曲的概念和计算简图

梁的平面弯曲的概念和计算简图

图4-3
1.3梁的计算简图
在进行梁的工程分析和计算时,不必把梁的复杂的工程图原原本 本地画出来,而是以能够代表梁的结构、荷载情况的,按照一定 的规律简化出来的图形代替,这种简化后的图形称为梁的计算简 图。一般应对梁作以下三方面的简化:
1 梁本身的简化 梁本身可用其轴线来代表,但要在图上注明梁的结构尺寸数据, 必要时也要把梁的截面尺寸用简单的图形表示出来。
梁是工程结构中应用得非常广泛的一种构件。例如图4-1[(a)、 (b)、(c)]所示的混凝土公路桥梁、房屋建筑的阳台挑梁,以 及水利工程的水闸立柱等。
图4-1
1.2梁的平面弯曲的概念
梁的轴线方向称为纵向,垂直于轴线的方向称为横向。梁的横 截面是指梁的垂直于轴线的截面,一般都存在着对称轴,常见的 有圆形、矩形、工字形和T形等。梁的纵向平面是指过梁的轴线 的平面,有无穷多个,但通常所说的纵向平面是指梁横截面的纵 向对称轴与梁的轴线所构成的平面,称为梁的纵向对称面。
图4-4
1.4静定梁的基本形式
1.4静定梁的基本形式 1 静定梁与超静定梁的概念 梁可以分为静定梁和超静定梁。如果梁的支座反力的数目等于梁 的静力平衡方程的数目,就可以由静力平衡方程来完全确定支座 反力,这样的梁称为静定梁,如图4-5(a)所示。
反之,如果梁的支座反力的数目多于梁的静力平衡方程的数目, 就不能由静力平衡方程来完全确定支座反力,这样的梁称为超静 定梁,如图4-5(b)所示。
2 静定梁的三种形式 静定梁有三种形式:简支梁、悬臂梁和外伸梁,其计算简图如图 4-6[(a)、(b)、(c)]所示。
图4-5
图4-6
材料力学
图。其中,公路桥梁本身用直线AB代表,左端的支承简化成固 定铰支座,有两个约束反力FAx和FAy,右端的支承简化成活动铰 支座,有一个约束反力FBy,正在行驶中的汽车简化成集中力F, 桥梁本身的自重简化成均布荷载q。

梁的弯曲(应力、变形)

梁的弯曲(应力、变形)

2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上,只有弯矩,没有剪力--纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上,既有弯矩,又有剪力--剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象:等截面直梁 研究方法:实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线,但发生 相对转动,仍与纵线正交
纵线弯成曲线,且梁的 下侧伸长,上侧缩短
以上是外部的情况,内部如何? 想象 —— 梁变形后,其横截面仍为平面,且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线,只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了,我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ,由外部去 想象内部 —— 得到

工程力学高斌第九章答案

工程力学高斌第九章答案
2 2
15kN . m
5kN . m
15kN . m
-
Q qa/2 +
-
qa/2 + x
qa/2
M q a 2/8 +
-
x
q a 2/8
5. 设梁的剪力图如图所示,试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。 (a)
4kN q=1kN/m
3kN
Q
3kN
2kN
3kN
1kN
A
B
1kN
C
D
x
5
3kN 2m 2m 4m
3
2
⎡ 50 × 2003 ⎤ 150 × 503 Iz = ⎢ + 50 × 200 × 53.62 + + 50 × 150 × 71.4 2 ⎥ mm 4 12 ⎣ 12 ⎦ = 10180 cm 4
根据弯曲正应力强度条件
M
0.8p
σ max
M = ymax ≤ [σ ] , M≤[σ].Iz/ymax Iz
解:梁的弯矩图如图, 弯矩的两个极值分别为
µ1 = 0.8P , MA =2P×1.4 - P×2= 0.8P µ2 = 0.6 P , MC = -0.6 P
截面对形心轴的惯性矩为
8
(Iz =bh /12 + Ah1 , h1 腹 = 153.6–100=53.6mm ,h1 翼 =200-153.6+25 =71.4mm )
实心圆截面梁的最大应力
σ max =
空心圆截面最大应力
′ = σ max
空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了
′ σ max − σ max 159 − 93.6 = = 41.1% σ max 159

梁的平面弯曲的简介

梁的平面弯曲的简介
图8-4
梁的平面弯曲的简介
在平面弯曲中,荷载与支反力构成一个平面平衡力系。对 于上述三种类型的梁,支反力未知数都只有三个,由静力学可 知,平面一般力系有三个独立的平衡方程,因此这些梁的支反 力可以用静力平衡条件确定,这种梁称为静定梁。
但在实际工作中,有时需要多加支座约束,以改善梁的强 度和刚度,提高承载能力,这时支反力未知数超过三个,单凭 静力平衡条件不能完全确定其支反力,这种梁称为超静定梁或 静不定梁。解超静定梁需要考虑梁的变形、列出补充方程,与 静力平衡条件联立求解, 静定梁的分类
梁在发生平面弯曲时,外力或外力的 合力都作用在通过梁轴线的纵向平面内, 为使梁在此平面内不致发生随意的移动和 转动,必须有足够的支座约束。按支撑的 情况,常见的梁有下述三种类型。
梁的平面弯曲的简介
(1)悬臂梁:梁的一端固定,另一端自由,如图8-4(a)所示。 (2)简支梁:梁的一端为固定铰链,另一端为活动铰链支座,如 图8-4(b)所示。 (3)外伸梁:梁的支撑情况同简支梁,但梁的一端或两端伸出支 座之外,如图8-4(c)所示。
工程力学
梁的平面弯曲的简介
1.1 梁的弯曲变形
工程实际中将以弯曲为主要 变形的构件称为梁。梁的弯曲变 形是工程实际中的一种基本变形, 如桥式起重机的横梁、列车车厢 的轮轴、建筑结构中的横梁、钢 架的横梁和立柱等。本章主要讨 论的是平面弯曲。平面弯曲的受 力特点是:在过轴线的纵向对称 面内,受到垂直于轴线的荷载作 用。如图8-1所示。
工程力学
图8-1
梁的平面弯曲的简介
梁的平面弯曲变形特点 是:杆的轴线在纵向对称面 内由直线变成一光滑连续曲 线。例如图8-2所示的火车 轮轴,其因在轴的两端分别 受到垂直轴线的集中力作用 而发生平面弯曲;

梁的弯曲(工程力学课件)

梁的弯曲(工程力学课件)

02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出:
(1)集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同,剪力不同,说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用,如图(a)所示,
试作梁的剪力图和弯矩图。
解:
1-1截面: Q1=-F M1=0
2-2截面: Q1=-F M1=-Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用,如图(a)所示,作此梁的剪力
(2)建立剪力方程和弯矩方程;
(3)应用函数作图法画出剪力Q(x),弯矩M(x)的图线,即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用,如图(a)所示,试作
其剪力图和弯矩图。
解 :(1)建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。
解:(1)求支反力
(2)建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
(3)绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值:
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线(两点式画图)。

《工程力学》项目9平面弯曲

《工程力学》项目9平面弯曲

项目9 剪切与挤压
• 任务9.4 平面弯曲梁横截面上的应力 • 梁的横截面上只有弯矩而剪力为零的平面弯曲称为纯弯
曲,如图 9-20梁上CD段;而横截面上既有弯矩也有剪力 的平面弯曲称为横力弯曲或剪力弯曲,如图 9-20梁上AC、 DB段。
图 9-20
项目9 剪切与挤压
9.4.1纯弯曲时梁横截面上的应力 1.实验现象 2.假设及推理 • 研究纯弯曲时梁横截面上的应力,可
式(9-2),即可确定截面上的剪力和弯矩为
3
FS2
YA
qa 4
M2
YAa
3 qa2 4
项目9 剪切与挤压
• 3-3截面:将杆件截面右侧的所有的外力给屏蔽起来,如图
9-7(d)所示,取截面的左侧为研究对象,即可确定截面上
的剪力和弯矩为
FS3
YA
P
3 qa qa 4
1 4
qa
M3
YAa
P0
3 4
9-4(b)所示。 外伸梁:梁的支撑情况同简支梁,但梁的一端或两端伸出支座
之外,如图 9-4(c)所示。
图9-4
项目9 剪切与挤压
• 任务9.2 梁弯曲的内力
• 9.2.1梁弯曲内力——剪力和弯矩
• 根据力系的平衡条件,可确定在留 下部分的截面上的内力为平行于横 截面的剪力和作用在纵向对称面内 的内力矩即弯矩。根据平衡方程可 得剪力与弯矩的大小,即
• 为了直观清楚地显示沿梁轴线方向的各截面剪力和 弯矩的变化情况,可绘制剪力图和弯矩图。对剪力 图,正值画在轴线的上侧,负值画在轴线的下侧; 对弯矩图正值画在轴线的下侧,负值画在轴线的上 侧,即弯矩坐标正向向下。
项目9 剪切与挤压
• 【例 9-2】图 9-8(a)所示的简支梁受均布荷载作用,试 作其剪力图和弯矩图。

第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)

第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)

m
V
( Stresses in Beams)
m

m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以,在梁的横截面上一般
既有 正应力, 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以,可作出如下 假设和推断:
1、平面假设:
2.单向受力假设: 各纵向纤维之间互不挤压,纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面,实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时,上面部分纵向纤维缩短,下面部分纵向纤维伸长,必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度,这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴,中性轴通过截面形心,是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直,将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时, 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为

V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 )对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类:
(1)单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 (2)双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
(3)三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.

梁的应力

梁的应力

ac
M
⑵、纵向线:由直线变为曲
线,且靠近上部的纤维缩短,
靠近下部的纤维伸长。
b
d
3、假设:
(1)弯曲平面假设:梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面,且仍垂直于变形后的轴线。
第九章 梁的应力
梁是由许多纵向纤维组成的
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知, 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区,中间 必有一层纵向无长度改变
z
A2 20120mm2 y2 80mm
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
(2)求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
Hale Waihona Puke 80 203 1280 20 422
y
201203 20120 282
12
7.64106 m4
第九章 梁的应力
横截面上应力分布
b
d2
c,m ax
h yt,max yc,max d1
oz y
Oz
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时,其横截面上最大拉
应力值和最大压应力值为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
第九章 梁的应力
例 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压 应力.已知: I z 290 .6 10 8 m4
d
在弹性范围内, E E Ey ...... (2)

O1
A1
B1 x
y
第九章 梁的应力
应力的分布图:

梁的弯曲

梁的弯曲

第九章梁的弯曲第一节平面弯曲一、平面弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时(图9-1),杆轴由直线弯成曲线,这种变形称为弯曲。

以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图9-1 受弯杆件的受力形式弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。

例如房屋建筑中的楼面梁,受到楼面荷载和梁自重的作用,将发生弯曲变形(9-2a、b),阳台挑梁(9-2 c、d)等,都是以弯曲变形为主的构件。

工程中常见的梁,其横截面往往有一根对称轴,如图9-3所示,这根对称轴与梁轴所组成的平面,称为纵向对称平面(图9-4)。

如果作用在梁上的外力(包括荷载和支座反力)和外力偶都位于纵向对称平面内,梁变形后,轴线将在此纵向对称平面内弯曲。

这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲,称为平面弯曲。

平面弯曲是一种最简单,也是最常见的弯曲变形,本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。

图9-2 工程中常见的受弯构件图9-3 梁常见的截面形状图9-4平面弯曲的特征二、单跨静定梁的几种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式:1.悬臂梁: 梁的一端为固定端,另一端为自由端(图9-5a )。

2.简支梁: 梁的一端为固定铰支座,另一端为可动铰支座(图9-5b )。

3.外伸梁: 梁的一端或两端伸出支座的简支梁(图9-5c )。

(a ) (b ) (c )图9-5 三种静定梁第二节 梁的弯曲内力——剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度问题,在求得梁的支座反力后,就必须计算梁的内力。

下面将着重讨论梁的内力的计算方法。

一、截面法求内力1、剪力和弯矩图9-6 用截面法求梁的内力图9-6a 所示为一简支梁,荷截F 和支座反力R A 、R B 是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。

现用截面法分析任一截面m-m 上的内力。

假想将梁沿m-m 截面分为两段,现取左段为研究对象,从图9-6b 可见,因有座支反力R A 作用,为使左段满足Σ Y =0,截面m-m 上必然有与R A 等值、平行且反向的内力Q 存在,这个内力Q ,称为剪力;同时,因R A 对截面m-m 的形心O 点有一个力矩R A · a 的作用,为满足Σ M o =0,截面m-m 上也必然有一个与力矩R A · a 大小相等且转向相反的内力偶矩M存在,这个内力偶矩M 称为弯矩。

平面弯曲梁

平面弯曲梁

第九章平面弯曲梁§ 9-1弯曲变形的概念一、平面弯曲弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形。

弯曲变形构件的受力特点是:在通过杆轴线的平面内,受到力偶或垂直于轴线的外力的作用。

变形的特点是:杆的轴线被弯曲为一条曲线,这种变形称为弯曲变形。

在外力作用下产生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件,称为梁。

由横截面的对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面,当外力作用线都位于梁的纵向对称平面内,梁的轴线在纵向对称平面内被完成一条光滑的平面曲线,这种弯曲变形称为平面弯曲。

单跨静定梁,一般可分为三类:1、悬臂梁:即一端固定,一端自由的梁;2、简支梁:即一端为固定铰支座,另一端为可动铰支座的梁;3、外伸梁:即一端或两端伸出支座之外的简支梁。

梁在两个支座之间的部分称为跨,其长度则称为跨长或跨度。

恳X ~X§ 9-2梁的弯曲内力一剪力与弯距图一、梁的内力一剪力Q和弯矩M梁在横截面上的内力可用截面法求得。

(一)截面法求内力如图(a)所示的简支梁,受集中载荷P i、P2、P3的作用,为求距 A端x处横截面m-m上的内力,首先求出支座反力R A、F B,然后用截面法沿截面 m-m假想地将梁一分为二,取如图(b)所示的左半部分为研究对象。

因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零,为使左段梁在垂直方向平衡,则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q (或F s),称为剪力。

它是与横截面相切的分布内力系的合力;同时左段梁上各力对截面形心O之矩的代数和一般不为零,为使该段梁不发生转动,在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶,其力偶矩用M表示,称为弯矩。

它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。

由此可知,梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。

如图( b)。

由7丫=0 R A-R-Q=O解得Q =:R A - R由送m。

= 0 -R A X+ R(x—a)+m=0解得m = R A X— p (x —a )用截面法计算内力步骤是:1、计算支座反力2、用假象的截面将梁截成两段,任取某一端为研究对象。

梁的平面弯曲

梁的平面弯曲
3 VB左 YA 2 qa 1 M B左 qa 2 2
3 VA右 YA qa 2 M A右 qa 2
例2
15
二简易法 梁的内力计算的两个规律: (1)梁横截面上的剪力V,在数值上等于该截 面一侧(左侧或右侧)所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即:
qa 2
B
q C a
Y 0 :
YB YA qa 0
3a M A 0 : YB a qa qa 2 0 2 3 YA 2 qa 5 YB qa 2
13
(2)计算各截面内力
A右截面
qa MA右
2
B左截面 A
qa
2
B右截面 MB左 B
F2
C
YA 外伸梁 YB
9
二、梁的内力(剪力和弯矩)
x m n M P 力平衡:V - P = 0 力矩平衡:M + P(l-x) = 0 l 剪力:V = P 是一集中力,作用 线过截面形心,与截面相切.
V
P
弯矩:M = - P(l-x) 是一内力 偶矩,作用面在纵向对称面内.
(按左半边梁,能算出V、M吗?)
l a 2 M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
x 0.462m
21
18
FQC Fy FAy 2kN M c M O FAy 2m M e 2kN 2m 8kN m 4kN m
FQB 左 F FBy 2kN 4kN 2kN M B左 F 2m 2kN 2m 4kN m FQB 右 F 2kN M B右 F 2m 2kN 2m 4kN m

弯曲变形ppt课件

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4
3.
常见心律失常心电图诊断的误区诺如 病毒感 染的防 控知识 介绍责 任那些 事浅谈 用人单 位承担 的社会 保险法 律责任 和案例 分析现 代农业 示范工 程设施 红地球 葡萄栽 培培训 材料
工程实例
engineering examples
5
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2. The predigesting of beams is that the axis of beam represents the beam. 2. 载荷简化
作用于梁上的载荷(包括支座反力)可简化为三种类型:集中力、 集中 力偶和分布载荷
The predigesting of loads involves three types :concentrated forces, concentrated
the beam must be in the same plane.It is called plane bending.
对称弯曲(如下图)—— 典型的平面弯曲。 Symmetrical bending(as shown Fig 9-1 is character plane bending
P1
q
P2
6
4.
常见心律失常心电图诊断的误区诺如承担 的社会 保险法 律责任 和案例 分析现 代农业 示范工 程设施 红地球 葡萄栽 培培训 材料
平面弯曲:杆发生弯曲变形后,轴线仍然和外力在同一平面内。
If all loads are applied in a plane,then the elastic curve for

土木力学剪力、弯矩的计算

土木力学剪力、弯矩的计算
(4) 在集中力偶作用处,M图产生突变,顺时针 方向的集中力偶使突变方向由上而下;反之, 由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于 该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时,对应梁段的M图为二次 抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时, M图为斜直线。
AC段:
Me M(x)FAyx l x
CB段:
(0≤x≤a)
M (x)FAYxM eM lexM e (a<x≤l)
3.绘出剪力图和弯矩图
例题9.6 简支梁受集中力偶作用,如图示,试 画梁的剪力图和弯矩图。
解:1.求约束反力
FAy
Me l
,FBy
Me l
2.列剪应力方程和弯 矩方程
FQB右=4kN/m×2m=8kN,FQD=0
作梁的剪力图 (2) 弯矩图 AC段:FQ<0,故M图为一右上斜直线
MA=0,MC左=-5kN×2m=-10kN.m CB段: FQ<0,故M图为一右上斜直线,
在C处弯矩有突变。 MC右=-5kN×2m+12kN.m MB=-4kN/m×2m×1m=-8kN.m BD段: 段内有向下均布荷载,M图为下凸抛物线, MB=-8KN.m,ME=-4×1×0.5=-2KN.m, MD=0
FQB左 FFBy 2kN4kN2kN MB左 F2m2kN2m4kNm FQB右 F 2kN MB右 F2m2kN2m4kNm
在集中力作用截面处,应分左、右截面计 算剪力;
在集中力偶作用截面处,也应分左、右截 面计算弯矩。
9.3 梁的内力图—剪力图和弯矩图 9.3.1 剪力方程和弯矩方程 在一般情况下,则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数,

第九章 梁的平面弯曲

第九章 梁的平面弯曲

x
左顺右逆,M为正
M
FQ
M
内力 右截面正向 左截面正向 FQ M
微段变形(正)
顺时针错动 向上凹
内力图
剪力图—以杆件轴线为基线,Q为纵坐标,作出的反映Q沿
杆件轴线的变化规律的曲线
弯矩图—以杆件轴线为基线,M为纵坐标,作出的反映M 沿杆件轴线的变化规律的曲线
内力图作法:
以坐标x表示横截面的位置,通过平衡方程求出内力与x 的关系,称为内力方程,根据内力方程作图
FAy q M0 M3
0 x3 B C c FQ3
Fy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
Mc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kN•m)
CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kN•m)
FAy q M0 F M4 DE段: 8mx4<12m
内力与外力的相依关系
某一截面上的内力与作用在该截 面一侧局部杆件上的外力相平衡;
在载荷无突变的一段杆的各截 面上内力按相同的规律变化;
控制截面的概念: 外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分 布载荷的起点和终点处的横截面,支座

截面法,确定各段Q、M 分布规律,以此列出各 段的内力方程(剪力方程、弯矩方程)。以此 作出剪力图和弯矩图。
q
A
FA
FQ qa
2a
B
2L
FB
qa
q(L-a) q(L-a)
M
qLa-qL2/2
q(L-a)2/2
根据给定的剪力图和弯矩图能否确定梁的受
力,能否确定梁的支承性质与支承位置?由给

第九章弯曲刚度

第九章弯曲刚度
2
有:
y

2
MN x
2
A
M
x
o
x0
x x x
得:
s
MN MN

2
y 2 1 2 x
当: x 0,N M
lim N M
MN MN
y
连续可导。在曲线上取一 点A(x0,y0)作为基点,对于 f (x) 曲线上任意一点M(x,y), 规定: N T 曲线的正向为x增大的 方向;
A
M
x
s AM
o
s f (x) 是x的单调增函数
s f (x) 的导数与微分:
N ( x x,y y) 为曲线上另 一点, s MN
2 s MN MN x MN x f (x) 2 MN x 2 y 2 MN N x 2 T 2 MN y 2 1 2 MN x
d 2 2 a Pa EI M 2 ( x) (l x) P x Pa 2 dx l l
EI 2
x 0: A 0
Pa 2 x Pax C2 2l
Pa 3 Pa 2 EI 2 x x C2 x D2 6l 2
D1 0
Pa 2 C2l D2 l 0 3
1
d M 2 dx EI
2
d 2 M 2 dx EI
式中的正负号与坐标取向相关。
对于等截面梁,对上式进行不定积分,得:
d EI M ( x)dx C 转角方程: EI dx l
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第九章 梁的平面弯曲9-1 试画出图中各梁的剪力图与弯矩图,并确定梁中的maxQ F 和maxM。

(a) 解:(1) 求支座反力,根据平衡方程得,A B AB B A 002(2)025144yFF F q aa MF a q a a F q a F q a=⇒+=⋅=⇒⋅-⋅⨯+==⋅=-⋅∑∑求得: ,(2) 截面法求内力, 0≤x <2a :F N =0, S A 14F F qa ==-A 14M F x qax ==-2a ≤x ≤3a :F N =0,S A B (2)15(2)344F F F q x a qa qa q x a qx qa=+--=-+--=-+ 2A B 2221(2)(2)2151(2)(2)44219322M F x F x a q x a qax qa x a q x a qx qax qa =+---=-+---=-+- (3) 画梁的剪力图与弯矩图,根据剪力方程和弯矩方程画梁的剪力图与弯矩图如图所示。

qB(a ) A Ca2aF AF BF /k Nx+14qa qaM /kN •mBAC x12- - F SMxFF N A 2A B C SA SB SC SB A B C 10021144M M qa M F qa F qa F F qa====-=-==左右根据剪力方程和弯矩方程计算、、各点的剪力和弯矩,qBxF AF B MF NF S2S max max12,2x a F qa Mqa ===显然,在处有,(b) 解:(1) 求支座反力,根据平衡方程得,A B B 0A 0B 020()/2()/2F F FF a F a M F Fa M aF Fa M a+=⋅-⋅-==+=-求得: (2) 截面法求内力,0≤x <a :F N =0,()S A 0/2F F Fa M a ==+ ()A 0/2M F x Fa M x a ==+ a ≤x <2a :F N =0,()()S A 00/2/2F F F Fa M a F M Fa a=-=+-=-()()A 00()/2()/2M F x F x a Fa M x a F x a F M a x Fa=--=+--=++2a ≤x ≤3a :F N =0,()()S A B00/2/20F F F F Fa M a F Fa M a=-+=+-+-=()()A B 000()(2)/2()(2)/2M F x F x a F x a Fa M x a F x a Fa M x a a M =--+-=+--+--=(3) 画梁的剪力图与弯矩图,A B 0C 00SA SB SB SC 0,,0,22A B C M M M M M Fa M Fa M F F F F aa===+-==-==左右根据剪力方程和弯矩方程计算、、各点的剪力和弯矩,,根据剪力方程和弯矩方程画梁的剪力图与弯矩图如图所示。

00S max max,,22Fa M Fa M x a F Ma++===显然,在处有 (b)F NF FF F N(c) 解:(1) 根据平衡方程,显然固定端A 处没有约束反力。

AB 段没有内力,BC 段只受弯矩的作用,弯矩大小为M 0,A 、B 、C 各点的剪力和弯距为,A B 0B C SA SB SC 000M M M M M F F F =======左右(2)画剪力图和弯矩图。

各截面均无剪力,弯矩图如图所示。

显然, S 0max max 0,F M M ==(i) 解:(1)求支座反力,根据整体平衡条件 求得:C 53,44A F F F ==(2) 截面法求内力,0≤x <a :F N =0, S A 54F F F ==A 54M F x Fx ==a ≤x <2a :F N =0, S A 14F F F F =-=A 1()4M F x F x a Fx Fa =--=+2a ≤x <3a :F N =0,S A 14F F F F =-=A 1()4M F x F x a Fa Fx =---=3a ≤x <4a :F N =0,S A 34F F F F F =--=-A 3()(3)34M F x F x a Fa F x a Fx Fa =-----=-+(3)画梁的剪力图与弯矩图,先求A 、B 、C 、D 、E 各点的内力,(c)CFFFFSA SD SD SB SE SE SC A D B B E C 55144411334444530421324F FF F F FF F F F F FF FM M Fa M FaM Fa M Fa M ======-=-======左右左右右右根据剪力方程和弯矩方程画梁的剪力图与弯矩图如图所示。

可见, Smaxmax53,42F F MFa ==(j) 解:求支座反力,根据整体平衡条件求得,A B 5544F qa F qa ==(2) 截面法求内力,0≤x <a :F N =0, S 0F = 2M qa =- a ≤x <3a :F N =0,S A 9()4F F q x a qx qa =--=-+2A 221()()()21911244M qa F x a q x a x a qx qax qa =-+---⋅-=-+-(3)画梁的剪力图与弯矩图,先求A 、B 、C 、DSC SA SASBSBSD 222C A B D 500431142212F F F qa F qaF qa F qa M qaM qaM qa M ====-===-=-=-=左右左右F F2qq求AB 段弯矩的极值,由 904dM qx qa dx=-+= 得,94x a =,94x a =时, 2732M qa =-根据剪力方程和弯矩方程画梁的剪力图与弯矩图如图所示。

可见, 2Smaxmax5,4F qa Mqa ==9-4 T 形截面梁如图所示,试确定中性轴的位置y c ;计算截面惯性矩I z 。

若承受的弯矩M =-M 0,求梁中的最大拉应力和最大压应力。

解:设中性轴距最下端为y c1122c 124020010040200220402002160(mm)A y A y y A A +⨯⨯+⨯⨯==+⨯⨯=两矩形的形心轴到z 轴的距离分别为,12(200160)2060mm 16010060mmy y =-+==-=截面惯性矩2211123232741120040602004040200602004012128.5310mm z z z z zI I y A I y A =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯ 截面弯矩0M M =-, 则梁上面受拉, 下面受压,习题9-4图z00max max 0600max max 0(kN m)808.53100.938(MPa)(kN m)101068.531071.876(MPa)z z z M M y I M M M y I M σσ⋅=⋅=⨯⨯=⋅⨯==⨯⨯=拉压9-7 矩形截面木梁如图所示。

已知F =10kN ,a =1.2m ,许用应力[σ]=10MPa 。

设截面的高宽比为h/b =2,试设计梁的尺寸。

解:(1)作梁的弯矩图如图所示,危险截面A 、B 截面。

(2)强度条件:[]max 212kN m 6121.6mm2243.3mmzz MW bh M W b h b σσ=≤=⋅====代入上式求得:9-8 梁AB 由固定铰支座A 及拉杆CD 支承,如图所示。

已知圆截面拉杆CD 的直径d =10mm ,材料许用应力[σ]CD =100MPa ;矩形截面横梁AB 的尺寸为h =60mm ,b =30mm ,许用应力为[σ]AB =140MPa 。

试确定可允许使用的最大载荷F max 。

解:求约束反力,梁的受力图如图所示, 平衡方程:A CD CD 4008000F F F F F +=⨯-⨯=求解得:CD 2F F = 作梁的弯矩图如图所示。

强度条件:习题9-7图M习题9-8图M[][]CDCD CDDAB 22CD 23max CD :D 78.5mm 4118000mm 6CD 3.925kN 6.3kN3.925kNzz F A M W A d W bh F F F σσσπ≤=≤====≤≤=杆梁的截面:由杆强度条件求得:由梁的正应力强度条件求得:综上所述,结构允许使用的最大载荷为,9-11 矩形截面悬臂梁受力F 作用,如图所示。

已知截面高为h ,宽为b ,梁长为L 。

如果L /h =8,试问梁中的最大正应力σmax 值与最大剪应力τmax 值之比为多少? 解:梁中最大应力发生在A 截面A A max216zM F L M F L W bh σ=⋅⋅== 最大剪应力:max max max2max max 3234::1268:32:1F bhF L F Lbh h bh L hτστστ=⋅⋅===∴=又习题9-11图。

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