偏微分方程数值解试题参考答案

偏微分方程数值解

一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(2

1

)(n R x x b x Ax x J ∈-=

，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n

R

x ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令

),(2

),()()()(2

000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+

-+=+=, (3分)

因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若

n

R x ∈0满足

b

Ax =0,则对于任意的x ,

)(),(2

1

)0()1()(00x J x Ax x x J >+

==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧

==∈=+-=0

)(,0)()

,()(b u a u b a x f qu dx

du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]

,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈

建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和

Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)()(),,(|{11

0==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx

dv dx du p v u a b a b

a ==+=⎰⎰,),(10

b a H v ∈∀

即变分问题的Galerkin 形式. (3分)

令⎰-+=-=b a dx fu qu dx

du

p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为

求),(1

0*b a H u ∈,使)(min )(1

*u J u J H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,

三（20分）、对于边值问题

⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0

|)

1,0()1,0(),(,12222G u G y x y

u

x u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

（2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就取N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散kh y jh x k j ==,,差分格式为

1222

1

,1,2

,1,1-=+-+

+-+--+h

u u u h

u u u k j jk k j k

j jk k j (5分)

应用Tayloy 展开得到,截断误差为)(][12444442h O y u

x u h jk +∂∂+∂∂,其阶为)(2h O (3分)

(2) 未知量为T u u u u U ),,,(22211211=,矩阵形式为F AU =,其中

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=11

1191,4110140110410114F A (4分) 解为T u )1,1,1,1(18

1

=

(3分) (3) 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛----B I

I B I

I B

,⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----=4114114 B (5分)

评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B 的形式2分

四（20分）、对于初边值问题⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤≤==<<=≤<<<∂∂=∂∂T t t u t u x x x u T

t x x u

a t

u 0,0),1(),0(10),()0,(0,10,22ϕ

（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即F BU AU k k τ+=+1的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性

（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。

解:(1) 区域离散,格式为

k

j x k j

k j u h a

u u 22

1

1δτ

=-+ , (5分) 应用T a y l o r 展开得到,误差主项为)()(12)(214244222h O x

u ah t u k

j k j ++∂∂-

∂∂ττ,阶为)(2h O +τ (3分) (2) },21,{,r r r diag B E A -==, (4分) 稳定条件为2/1≤r (3分)

(3) 格式为

))1((1

221

k j k j x k j

k j u u h

a u u θθδτ

-+=

-++, (3分) 当21≥

θ格式恒稳定,当21<θ,稳定条件为θ

211-≤r (2分)