二次函数最值的4种解法

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定会在压轴题上有一个大的提升。

ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。

1题目

如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小?若存在，求出Q点的坐标;若不存在，请说明理由;

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大?若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有，请说明理由。

解答：

(1)抛物线解析式为y=-x2-2x+3;

(2)Q(-1，2);

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法.

解法1

补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一

如图3，设P点(x，-x2-2x+3)(-3

方法二如图4，设P点(x，-x2-2x+3)(-3

(下略.)

解法2

“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

根据上述方法，本题解答如下：

解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F.

设P点(x，-x2-2x+3)(-3

∴点P坐标为(-3/2，15/4)

解法3

切线法

若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大.过点P作BC的平行线l，当直线l 与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。

解如图7，直线BC的解析式是y=x+3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y=x+b.

=27/8

解法4

三角函数法

本题也可直接利用三角函数法求得.

解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M.

设P点(x，-x2-2x+3)(-3

则F(x，x+3).

从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。

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