初中数学竞赛：连续正整数的性质

初中数学竞赛：连续正整数的性质

【内容提要】

一.两个连续正整数

1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。

2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。

3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。

4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。

二.计算连续正整数的个数

例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个）

1. n 位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n 为正整数，100

＝1)

例如一位正整数从1到9共9个（9×100），

二位数从10到99共90个 （9×101）

三位数从100到999共900个（9×102）……

2.连续正整数从n 到m 的个 数是 m －n+1

把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下： 3. 从13到49的连续奇数的个数是

2

1349－＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是2

1448－＋1＝18 4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是3

1548－＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？

三.计算连续正整数的和

1. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ）2

n （n 是正整数）

连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b)2

1+-a b 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下： 2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×2

23＝759 （∵从11到55有奇数21155－＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×

215＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共

31153－＋1＝15）

四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和

1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）

＝9×5＝45

2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），

（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1

∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901

五. 连续正整数的积

从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘

1. n 个连续正整数的积能被n ！整除，

如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；

a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。

2. n ！含某因质数的个数。举例如下：

① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个

其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个

其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个

其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个

② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法

5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个

其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个

其中125＝53 含三个5 再增加2个

∴积中含质因数5的个数是32

【例题】

例1. 写出和等于100的连续正整数

解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10

其中2个50和10个10都不能写成连续正整数

而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16

得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。

5个20可由20，19＋21，18＋22

得第二组连续正整数18，19，20，21，22。

例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？

解：页数编码中，一位数1到9共9个

两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个

三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个

四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个

∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853

例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：

1234……99100。问：

①它是一个几位数？

②它的各位上的数字和是多少？

③如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？

解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192

②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)

③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：

包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，

剩下的数的前十位是9999978596。

例4. 算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？ 解：∵121＝11，144＝12

∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x 是112≤x<122

;∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。共23个。

例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍， 求这两个连续正整数。

解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a

根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1）

把222分解质因数得 x(x+1)=2×3×37a （2）

∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6 且0＜a ≤9

由（1）可知a 可能是1，3，5，6，8 分别代入（2）只有6适合

x(x+1)=36×37

答所求的连续正整数是36和37

【练习】

1. 除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n 位数有____个。

2. 从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。

3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。

4. 把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止，

位198123 那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____

这个数除以9的余数是_____

5. 已知a= 1199011111个, b=

9

199099999个 那么①ab=______________

②ab 的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法)

6. 计算连续正整数的平方和的个位数：

① 12+22+32+……+92

和的个位数是_______