第20讲 连续正整数的性质
数字的连续整数关系与运算
数字的连续整数关系与运算在数学中，连续整数关系与运算是指一系列正整数相继排列并进行数学运算的关系。
这种关系在数论、代数以及应用数学中有广泛应用。
本文将探讨数字的连续整数关系与运算的性质和应用。
一、连续整数的性质连续整数指的是以整数形式从小到大连续排列的一系列数。
连续整数之间的差值始终为1，例如1、2、3、4、5就是一组连续整数。
1. 连续整数的和连续整数的和可以通过求取首项与末项乘以项数再除以2来计算。
例如，求取整数1到5的和可以使用以下公式：(首项 + 末项) ×项数 ÷ 2 = (1 + 5) × 5 ÷ 2 = 152. 连续整数的乘积连续整数的乘积可以通过求取首项与末项的阶乘之商来计算。
例如，求取整数2到5的乘积可以使用以下公式：末项的阶乘 ÷首项的阶乘 = 5! ÷ 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ÷ 2 × 1 = 120二、连续整数关系的应用1. 素数与连续整数素数是只能被1和本身整除的正整数。
在连续整数中，可以观察到一些特殊的素数关系。
例如，当连续整数的首项为1时，首项+1将得到2，这是最小的素数；首项+2将得到3，这是连续整数中的第二个素数。
类似地，首项+6将得到7，首项+30将得到31，它们都是素数。
这种关系被称为孪生素数（连续素数之间差距为2）与孪生素数对（如2和3，7和11）。
2. 连续整数与平方数平方数是某个整数的平方。
在连续整数中，可以发现一些平方数的特性。
例如，当连续整数的首项为1时，首项+2将得到3，首项+3将得到6，首项+4将得到10，这些都不是平方数。
然而，当连续整数的首项为1时，首项+4将得到5，首项+9将得到10，首项+16将得到17，它们都是平方数。
这种关系可以使用以下公式表达：一个连续整数序列中，从第二项开始，每一项的差值递增，所形成的数列即为平方数列。
数学教学备课正整数的特征和性质
数学教学备课正整数的特征和性质数学教学备课：正整数的特征和性质正整数是数学中的基本概念之一，它具有一些独特的特征和性质。
在数学教学中，了解和掌握正整数的特点对于学生的数学素养发展至关重要。
本文将从不同角度分析正整数的特征和性质，以期帮助教师更好地备课和教学。
一、正整数的定义正整数是指大于零且不带小数部分的整数，可以用自然数的形式表示为1、2、3、4...。
正整数是数学中最基本的数，也是数学研究以及其它数学概念与理论的基础。
二、正整数的特征1. 顺序性：正整数是按照自然数顺序依次递增的，每个正整数都有其前驱和后继。
例如，2是1的后继，1是2的前驱。
2. 包容性：正整数包含了所有大于零的整数，任何一个大于零的整数都可以由正整数表示。
3. 唯一性：每个正整数都有唯一的前驱和后继，不存在两个不同的正整数具有相同的前驱或后继。
三、正整数的性质1. 有限性：正整数是无穷多个的，但在给定的范围内是有限的。
例如，在0和100之间的正整数共有100个。
2. 奇偶性：正整数可以分为奇数和偶数。
一个正整数是奇数，当且仅当它不能被2整除；一个正整数是偶数，当且仅当它可以被2整除。
3. 因数分解：正整数可以分解为若干个素数的乘积形式，这种分解唯一性的证明是数论中的重要问题之一。
例如，12可以分解为2^2 * 3。
4. 约数性质：正整数的约数是能够整除该正整数的整数，包括1和它本身。
正整数的约数个数是有限的。
5. 除法性质：正整数除法的结果有唯一性，即给定一个正整数n和一个非零正整数m，存在唯一的商和余数，使得n=m*q+r，其中q是商，r是余数，满足0≤r<m。
结语正整数作为数学中的基础概念，具有丰富的特征和性质。
通过全面了解正整数的特性，我们能够更好地教授学生，帮助他们理解和掌握数学知识，培养他们的逻辑思维和数学思维能力。
教师在备课过程中，应该充分利用正整数的特点，设计合理的教学活动和教学资源，激发学生的学习兴趣和探索欲望。
正整数的特性及运算规律
正整数的特性及运算规律正整数是数学中最基本的数，它具有许多独特的特性和运算规律。
在初中数学学习中，掌握正整数的特性和运算规律对于学生们打下坚实的数学基础至关重要。
本文将从不同角度分析正整数的特性及运算规律，帮助中学生及其家长更好地理解和应用这些知识。
一、正整数的特性1. 正整数的无限性：正整数是无穷的，没有最大值。
无论我们取多大的正整数，总能找到比它更大的正整数。
2. 正整数的奇偶性：正整数可以分为奇数和偶数两类。
奇数是不能被2整除的正整数，例如1、3、5等；偶数则是可以被2整除的正整数，例如2、4、6等。
3. 正整数的因数和倍数：对于一个正整数，它的因数是能够整除它的正整数，而它的倍数是它能够整除的正整数。
例如，正整数8的因数有1、2、4、8，倍数有8、16、24等。
4. 正整数的质数和合数：正整数可以分为质数和合数两类。
质数是只有1和自身两个因数的正整数，例如2、3、5等；合数则是除了1和自身之外，还有其他因数的正整数，例如4、6、8等。
二、正整数的运算规律1. 正整数的加法：正整数的加法满足交换律和结合律。
即对于任意两个正整数a和b，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
例如，2+3=3+2=5，(2+3)+4=2+(3+4)=9。
2. 正整数的减法：正整数的减法满足减法的逆运算。
即对于任意两个正整数a和b，有a-b+a=b。
例如，5-2+2=5。
3. 正整数的乘法：正整数的乘法满足交换律和结合律。
即对于任意两个正整数a和b，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
例如，2×3=3×2=6，(2×3)×4=2×(3×4)=24。
4. 正整数的除法：正整数的除法满足除法的逆运算。
即对于任意两个正整数a和b，有a÷b×b=a。
例如，8÷4×4=8。
整数的整除性
整数的整除性整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题.Ⅰ. 整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如b a ,是整除，0≠b ，则ba 不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性.定义一：（带余除法）对于任一整数a 和任一整数b ，必有惟一的一对整数q ，r 使得r bq a +=，b r <≤0，并且整数q 和r 由上述条件惟一确定，则q 称为b 除a 的不完全商，r 称为b 除a 的余数.若0=r ，则称b 整除a ，或a 被b 整除，或称b a 是的倍数，或称a b 是的约数（又叫因子），记为a b |.否则，b | a .任何a 的非1,±±a 的约数，叫做a 的真约数. 0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数.任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数. 由整除的定义，不难得出整除的如下性质： （1）若.|,|,|c a c b b a 则（2）若.,,2,1,,|,|1n i Z c b c a b a i ni i i i =∈∑=其中则（3）若c a |，则.|cb ab 反之，亦成立.（4）若||||,|b a b a ≤则.因此，若b a a b b a ±=则又,|,|. （5）a 、b 互质，若.|,|,|c ab c b c a 则（6）p 为质数，若,|21n a a a p ⋅⋅⋅ 则p 必能整除n a a a ,,,21 中的某一个. 特别地，若p 为质数，.|,|a p a p n则（7）如在等式∑∑===mk kni i ba 11中除开某一项外，其余各项都是c 的倍数，则这一项也是c 的倍数.（8）n 个连续整数中有且只有一个是n 的倍数.（9）任何n 个连续整数之积一定是n 的倍数.本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念，又由上一讲的算术基本定理，我们就可以讨论整数的约数的个数了.Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数定义二：设a 、b 是两个不全为0的整数.若整数c 满足：b c a c |,|，则称b a c ,为的公约数，b a 与的所有公约数中的最大者称为b a 与的最大公约数，记为),(b a .如果),(b a =1，则称b a 与互质或互素.定义三：如果a d 是、b 的倍数，则称a d 是、b 的公倍数. b a 与的公倍数中最小的正数称为b a 与的最小公倍数，记为],[b a .最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用),,,(21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最大公约数，],,,[21n a a a 表示n a a a ,,,21 的最小公倍数.若1),,,(21=n a a a ，则称n a a a a ,,,,321 互质，若n a a a ,,,21 中任何两个都互质，则称它们是两两互质的.注意，n 个整数互质与n 个整数两两互质是不同的概念，前者成立时后者不一定成立（例如，3，15，8互质，但不两两互质）；显然后者成立时，前者必成立.因为任何正数都不是0的倍数，所以在讨论最小公倍数时，一般都假定这些整数不为0.同时，由于|||,|,b a b a 与有相同的公约数，且|)||,(|),(b a b a =（有限多个亦成立），因此，我们总限于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数.Ⅲ.方幂问题一个正整数n 能否表成m 个整数的k 次方和的问题称为方幂和问题.特别地，当1=m 时称为k 次方问题，当2=k 时，称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数，关于平方数，明显有如下一些简单的性质和结论： （1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9. （2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只能是0或1. （3）奇数平方的十位数字是偶数.（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6. （5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除.因而，平方数被9除的余数为0，1，4，7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能为0，1，4，7. （6）平方数的约数的个数为奇数.（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数.例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。
consecutive在数学中的含义
《探寻连续性：consecutive在数学中的含义》第一部分：导论1. 主题概述连续性是数学中一个重要且神秘的概念，贯穿于各个领域的数学理论和实际应用中。
本文将深入探讨其中一个重要概念——consecutive在数学中的含义。
2. 对consecutive的理解我们需要明确consecutive这个词的含义。
在数学中，consecutive通常指的是紧邻、相邻或连续的意思。
在正整数中，连续的正整数指的是相邻的整数，如1、2、3、4等。
而在其他数学概念中，consecutive的含义可能会有所不同，接下来我们将一一探讨。
第二部分：consecutive在正整数中的应用3. 连续正整数的性质在正整数中，连续的数有着许多有趣的性质。
它们的和是一个等差数列，如1+2+3+4=10，可以表示为n(n+1)/2的形式。
连续的正整数之间有着特定的倍数关系，如3、4、5就是3的倍数，4的倍数和5的倍数。
4. 连续正整数的应用举例在实际生活中，连续正整数的应用也是非常广泛的。
比如在数学题中，常常会出现求连续正整数和的问题，或者是寻找满足特定条件的连续正整数序列。
对于这类问题，掌握连续正整数的性质和特点是非常有帮助的。
第三部分：consecutive在其他数学概念中的应用5. 连续函数的定义除了在正整数中的应用，consecutive在数学中还有着更广泛的应用。
在微积分中，我们常常会接触到连续函数的概念。
连续函数是指在一定区间内，函数图像没有突变或跳跃，而是平滑连续的。
这里的连续同样体现了consecutive的含义。
6. 连续概率分布在概率论与数理统计中，连续概率分布是一个重要的概念。
它描述了一组连续变量的可能取值及其取到这些值的概率。
连续概率分布的研究对于理解随机变量的性质和规律具有重要意义。
第四部分：consecutive的个人理解与总结7. 个人观点和理解对于我个人而言，consecutive在数学中的含义不仅仅是一种概念或性质，更是一种思维方式和方法。
连续函数的性质1
§2连续函数的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性.2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨论函数的连续性.3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题.4.理解函数一致连续性的概念.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 闭区间上连续函数的性质.难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念.Ⅲ. 讲授内容一 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态．定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界．定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）.注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r =则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()021x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,⋅±(这里()00≠x g )也都在点0x 连续．以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得．对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()()x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点都连续．关于复合函数的连续性，有如下定理：定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续．证 由于g 在0u 连续，对任给的0>ε，存在01>δ，使得当10δ<-u u 时有()()ε<-0u g u g ． ()1又由()00x f u =及()x f u =在点0x 连续，故对上述01>δ，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有()()100δ<-=-x f x f u u ．联系(1)得：对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-0x x 时,有()()()()ε<-0x f g x f g ． 所以 f g 在点0x 连续．注 根据连续性的定义，上述定理的结论可表为()()()()0))(lim (lim 00x f g x f g x f g x x x x ==→→． ()2 例1 求()211sin lim x x -→．解 ()21sin x -可看作函数()u u g sin =与()21xx f -=的复合．由(2)式得 ()()()00sin 1lim sin 1sin lim 2121==-=-→→x x x x ． 注 若复合函数f g 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而()0x f a ≠或f 在0x 无定义(即0x 为f 的可去间断点)，又外函数g 在a u =连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有 ))(lim ())((lim 00x f g x f g x x x x →→= ()3 还可证明：()3式不仅对于0x x →这种类型的极限成立，而且对于→x ∞+，-∞→x 或±→0x x 等类型的极限也是成立的．例2 求极限： ()x x x sin 2lim 10-→；()xx x sin 2lim 2-∞→. 解 ()112s i n lim 2sin 2lim 100=-=-=-→→xx x x x x ； ()202s i n lim 2sin 2lim 2=-=-=-∞→∞→xx x x x x . 二 闭区间上连续函数的基本性质设f 为闭区间[]b a ,上的连续函数，本段中我们讨论f 在[]b a ,上的整体性质.定义1 设f 为定义在数集D 上的函数．若存在D x ∈0，使得对一切D x ∈有()()()()()x f x f x f x f ≤≥00，则称f 在D 上有最大(最小)值，并称()0x f 为f 在D 上的最大(最小)值．例如，x sin 在[]π,0上有最大值1，最小值0．但一般而言，函数f 在其定义域D 上不一定有最大值或最小值(即使f 在D 上有界)．如()x x f =在()1,0上既无最大值也无最小值．又如()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈=，与，10,21,0,1x x x x g ()4它在闭区间[]1,0上也无最大、最小值．下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件．定理4．6 (最大、最小值定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值．推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．由()4式给出的函数g 在闭区间[]1,0上无界，什么对函数g 上述推论的结论不成立． 定理4．7 (介值性定理) 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()≠a f ()b f ．若μ为介于()a f 与()b f 之间的任何实数()()b f a f <<μ(或()μ>a f ()b f >)，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得().0μ=x f这个定理表明，若f 在[]b a ,上连续，又不妨设()()b f a f <，则f 在[]b a ,上必能取得区间()()[]b f a f ,中的一切值，即有()()[][]()b a f b f a f ,,⊂，其几何意义如图4—2所示． 推论(根的存在定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与()b f 异号(即()()0<b f a f )，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得()00=x f ，即方程()0=x f 在()b a ,内至少有一个根．这个推论的几何解释如图4—3所示：若点()()a f a A ,与()()b f b B ,分别在x 轴的两侧，则连接A 、B 的连续曲线()x f y =与x 轴至少有一个交点．应用介值性定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若f 在区间I 上连续且不是常量函数，则值域()I f 也是一个区间；特别，若I 为闭区间[]b a ,，f 在[]b a ,上的最大值为M ，最小值为m ，则[]()[]M m b a f ,,=；又若f 为,[a ]b 上的增(减)连续函数且不为常数，则[]()()()[]()()[]()b f a f b f a f b a f ,,,=.下面举例说明介值性定理的应用．例3 证明：若0>r ，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得00(x r x n =称为r 的n 次正根(即算术根)，记作n r x =0)．证 先证存在性．由于当+∞→x 时有+∞→n x ，故必存在正数a ，使得n a r >．因()n x x f =在[]a ,0上连续，并有()()a f r f <<0，故由介值性定理，至少存在一点()a x ,00∈，使得()r x x f n ==00． 再证唯一性．设正数1x 使得r x n =1，则有()()011120101010=+++-=----n n n n n x x x x x x x x ， 由于第二个括号内的数为正，所以只能010=-x x ，即01x x =.例4 设f 在[]b a ,上连续，满足[]()[]b a b a f ,,⊂． ()5证明：存在[]b a x ,0∈，使得()00x x f =. ()6证 条件()5意味着：对任何[]b a x ,∈有()b x f a ≤≤，特别有()a f a ≤ 以及 ()b b f ≥．若()a f a =或()b b f =，则取a x =0或b ，从而()6式成立．现设()a f a <与()b b f <．令()()x x f x F -=，则()(),0>-=a a f a F ，()()0<-=b b f b F ．故由根的存在性定理，存在∈0x ()b a ,，使得()00=x F ，即().00x x f =从本例的证明过程可见，在应用介值性定理或根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数(如在本例中令()()x x f x F -=)，可收到事半功倍的效果．三 反函数的连续性定理4.8 若函数f 在[]b a ,上严格单调并连续，则反函数1-f 在其定义域()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,上连续．证 不妨设f 在[]b a ,上严格增．此时f 的值域即反函数1-f 的定义域为()a f [，()]b f ．任取()()()b f a f y ,0∈，设=0x ()01y f -，则()b a x ,0∈．于是对任给的>ε0，可在()b a ,内0x 的两侧各取异于0x 的点()20121,x x x x x <<，使它们与0x 的距离小于ε(图4—4)．设与21,x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，由f 的严格增性知201y y y <<令()1002,m in y y y y --=δ，则当()δ;0y U y ∈时，对应的()y f x 1-=的值都落在1x 与2x 之间，故有()()ε<-=---0011x x y f y f ，所以1-f在点0y 连续，从而1-f 在()()()b f a f ,内连续． 类似地可证1-f 在其定义区间的端点()a f 与()b f 分别为右连续与左连续．所以1-f 在()()[]b f a f ,上连续．- 例5 由于x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上严格单调且连续，故其反函数=y x arcsin 在区间[]1,1上连续．同理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上连续．如x y arccos =在[]1,1-上连续，x y arctan =在()+∞∞-,上连续等．例6 由于n x y =(n 为正整数)在),0[+∞上严格单调且连续，故n x y 1=在),0[+∞上连续．又若把n xy 1-=(n 为正整数)看作由n u y 1=与x u 1=复合而成的函数，则由复合函数的连续性，n x y 1-=在()+∞,0上连续．综上可知，若g 为非零整数，则q x y 1=是其定义区间上的连续函数．例7 证明：有理幂函数αx y =在其定义区间上连续． 证 设有理数qp =α，这里()0,≠q p 为整数.因为q u y 1=与p x u =均在其定义区间上连续，所以复合函数 ()αx xy q p ==1也是其定义区间上的连续函数．四 一致连续性 函数f 在区间上连续，是指f 在该区间上每一点都连续．本段中讨论的一致连续性概念反映了函数在区间上更强的连续性．定义2 设f 为定义在区间I 上的函数．若对任给的0>ε，存在()>=εδδ0，使得对任何x 'I x ∈''，只要：δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ，则称函数f 在区间I 上一致连续．直观地说，f 在I 上一致连续意味着：不论两点x '与x ''在I 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使()()ε<''-'x f x f ．例8 证明()()0≠+=a b ax x f 在()+∞∞-,上一致连续．证 任给0>ε，由于()()x x a x f x f ''-'=''-'，故可选取a εδ=，则对任何(),,,+∞∞-∈'''x x 只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ．所以 ()b ax x f +=在()+∞∞-,上一致连续．例9 证明函数xy 1=在()1,0内不一致连续(尽管它在()1,0内每一点都连续)．§4.2连续函数的性质证 按一致连续性的定义，为证函数f 在某区间I 上不一致连续，只须证明：存在某00>ε，对任何正数δ(不论δ多么小)，总存在两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .对于函数x y 1=，可取10=ε，对无论多么小的正数⎪⎭⎫ ⎝⎛<21δ，只要取δ='x 与2δ=''x （图4-5），则虽有 δδ<=''-'2x x ，但1111>=''-'δx x ， 所以xy 1=在()1,0内不一致连续． 函数在区间上连续与一致连续这两个概念有着重要的差别.f 在区间I 上连续，是指任给0>ε，对每一点I x ∈，都存在相应的正数()x ,εδδ=，只要I x ∈'且δ<'-x x ，就有()()ε<'-x f x f ．一般来说，对于I 上不同的点，相应的正数δ是不同的．换句话说，δ的取值除依赖于ε之外，还与点x 有关，由此我们写()x ,εδδ=以表示δ与ε和x 的依赖关系．如果能做到δ只与ε有关，而与x 无关，或者说存在适合于I 上所有点x 的公共的δ，即()εδδ=，那么函数就不仅在I 上连续，而且是一致连续了．所以，f 在区间I 上一致连续是f 的又一个整体性质，由它可推出f 在I 上每一点都连续的这一局部性质(只要在定义2中把x '看作定点，把x ''看作动点，即得f 在点x '连续)．而从例9可见，由f 在区间I 上每一点都连续，并不能推出f 在I 上一致连续．然而，对于定义在闭区间上的函数来说，由它在每一点都连续却可推出在区间上的一致连续性，即有如下重要定理：定理4．9 (一致连续性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在,[a b ]上一致连续．例10 设区间1I 的右端点为1I c ∈，区间2I 的左端点也为212,(I I I c ∈可分别为有限或无限区间)．试按一致连续性的定义证明：若f 分别在1I 和2I 上一致连续，则f 在21I I I =上也一致连续．x'§4.2连续函数的性质证 任给0>ε，由f 在1I 和2I 上的一致连续性，分别存在正数1δ和2δ，使得对任何,,2I x x ∈'''，只要1δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ； ()7又对任何2,I x x ∈'''，只要2δ<''-'x x ，也有(7)式成立．点c x =作为1I 的右端点，f 在点c 为左连续，作为2I 的左端点，f 在点c 为右连续，所以f 在点c 连续．故对上述0>ε，存在03>δ，当3δ<-c x 时有()()2ε<-c f x f ． ()8令()321,,min δδδδ=，对任何I x x ∈''',，δ<''-'x x ，分别讨论以下两种情形：(i)x x ''',同时属于1I 或 2I ，则()7式成立；（ii ）x x ''',分属1I 与2I ，设21,I x I x ∈''∈'则3δδ≤<'-''<'-=-'x x x c c x ，故由()8式得()()2ε<-'c f x f .同理得()()2ε<-''c f x f 从而也有()7式成立．这就证明了f 在I 上一致连续．Ⅳ 小结与提问:本节要求理解函数一致连续性的概念,掌握续函数的局部性质、闭区间上连续函数的性质，并利用其讨论相关命题. 掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续.Ⅴ 课外作业: 80P 2、3、4、6、7、8、9、10、12、14、18、19、20.。
数字的连续性
数字的连续性数字的连续性是数学中的一个基本概念，指的是整数之间存在着一个无限的连续序列。
数字的连续性在数学中有着广泛的应用，不仅是数学领域的基础，也在其他学科中有重要的地位。
本文将从数字连续性的定义、性质及应用等方面进行阐述。
1. 定义数字的连续性是指在整数之间，总是存在一个中间数。
比如，对于任意两个整数a和b，存在无穷多个整数位于它们之间。
例如，整数1和整数2之间有整数1.5，整数2和整数3之间有整数2.5，以此类推。
2. 性质数字的连续性具有以下几个性质：1) 无穷性：整数序列是无穷的，没有最大或最小的整数。
2) 密集性：在任意两个不同的整数之间，存在无穷多个整数。
这意味着整数序列是不间断的，没有“空隙”。
3) 有序性：整数序列按照从小到大的顺序排列，每个整数都有一个唯一的后继和前驱。
3. 应用数字的连续性在数学中具有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：3.1 数列和级数在数学中，数列是由一系列数字按照特定规律排列而成的序列。
数列可以是无穷递增或无穷递减的，而数字的连续性保证了数列的存在和顺序。
数列的求和称为级数，通过将数列中的每一项相加，依赖于数字的连续性才能进行。
3.2 极限数字的连续性在定义和计算极限时发挥着关键作用。
极限是一种数学概念，用于描述数列或函数在某个点或趋近于某个数值时的行为。
在极限的计算和证明中，数字的连续性可用来辅助推导和确认结果的正确性。
3.3 实数和数轴实数是包括所有整数、有理数和无理数的数集。
数轴是用来表示实数的一条直线，每个实数在数轴上有一个唯一的位置。
数字的连续性保证了数轴上的每个点都对应着一个实数，实现了实数的可视化。
3.4 微积分微积分是数学中的一个重要分支，研究函数的变化率和曲线的面积等。
在微积分中，数字的连续性用于定义和计算导数和积分。
导数描述了函数在某一点的变化率，而数字的连续性保证了导数的定义和计算的有效性。
4. 结论数字的连续性是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。
整数的性质(全)
整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1.整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数（因子），称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。
由整除的定义，容易推出以下性质：（1）若且，则（传递性质）；（2）若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质, 易知及，则对于任意的整数有。
更一般，若都是的倍数，则。
或着，则其中；（3）若，则或者，或者，因此若且，贝Q；（4）互质，若，则；（5）是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；（6）（带余除法）设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定; 整数被称为被除得的（不完全）商，数称为被除得的余数。
注意：共有种可能的取值：0,1,……，。
若，即为被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。
证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若是正整数，则宀h = a 一刃〔於"+产*...+%严+严）；若是正奇数，则；（在上式中用代）（7）如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数;（8）/7个连续整数中，有且只有一个是77的倍数；（9）任何个连续的整数之积一定是加的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6 整除；2.奇数、偶数有如下性质：（1）奇数奇数二偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数，奇数奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。
小学数学认识正整数
小学数学认识正整数正整数是我们日常生活中经常遇到的数，也是小学数学学习的基础。
正整数具有很多特性和应用，下面将从整体认识正整数、正整数的性质和正整数的应用三个方面对小学数学中正整数的认识进行探讨。
一、整体认识正整数正整数是指大于零的整数，用符号“+”表示，例如1、2、3等。
正整数是自然数的一部分，自然数是从1开始的数。
在我们的日常生活中，用正整数进行计数、测量和排列等，起到十分重要的作用。
正整数在数轴上表示为右侧的数，可以无限延伸。
数轴上的每个正整数都有它的前一个数和后一个数，这种连续的关系可以帮助我们进行进一步的数学推理和运算。
二、正整数的性质1. 正整数的比较我们可以用“大于”、“小于”以及“等于”来比较正整数的大小。
例如，我们可以说3大于2，4小于5等。
正整数的比较可以通过数轴上的位置来进行判断，靠右侧的数值更大。
2. 正整数的运算正整数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
例如，2 + 3 = 5，4 - 2 = 2，3 × 2 = 6，6 ÷ 2 = 3等。
在进行正整数的运算时，需要注意加法和乘法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和a × b = b × a，以及a + (b + c) = (a + b) + c和a × (b × c) = (a × b) × c。
3. 正整数的整除关系当一个正整数a可以被另一个正整数b整除时，我们可以说a是b的倍数，b是a的因数或除数。
例如，6是3的倍数，3是6的因数。
在进行正整数的除法运算时，需要注意除法的两个基本性质：带余除法和整除性质。
带余除法指的是对于任意两个正整数a和b，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，并且0 ≤ r < b。
整除性质指的是如果a能被b整除，那么a的所有因数也都能被b整除。
三、正整数的应用正整数在我们的日常生活和学习中有着广泛的应用，下面列举几个典型的例子。
整数的整除性
整数的整除性1．整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在一个整数p，使得成立，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。
若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。
（2）性质1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的非零整数m有bm|am2）若a|b，b|a，则|a|=|b|;3）若b|a，c|b，则c|a4）若b|ac，而（a，b）=1（（a，b）=1表示a、b互质，则b|c；5）若b|ac，而b为质数，则b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。
证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1∴ 11｜(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明方法(1) 利用数的整除性特征（见第二讲）例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜的值。
解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。
若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。
若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。
（2）利用连续整数之积的性质①任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除。
②任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且用3除时余2。
证明∵为连续二整数的积,必可被2整除.∴对任何整数n均为整数,∵为整数,即原式为整数.又∵，2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，∴是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4 一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3 a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利用整数的奇偶性下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：a·b·c·d-a=①a·b·c·d-b=②a·b·c·d-c=③a·b·c·d-d=④证明由①，a（bcd-1）=.∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数.同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a （bcd-1）必为偶数，与①式右端为奇数矛盾.所以命题得证.例6 (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,…，x n，其中每一个不是+1就是-1，且试证n是4的倍数.证明设(i=1,2,…，n-1)，则y i不是+1就是-1，但y1+y2+…+y n=0，故其中+1与-1的个数相同，设为k，于是n=2k.又y1y2y3…y n=1，即（-1）k=1，故k为偶数，∴n是4的倍数.其他方法：整数a整除整数b，即b含有因子a.这样,要证明a整除b,采用各种公式和变形手段从b中分解出因子a就成了一条极自然的思路.例7 (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年高二数学竞赛)设a、b、c为满足不等式1＜a ＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.解∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，①∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, ②k=＜＜＜＜∴k=1.若a≥3，此时1=-＜矛盾.已知a＞1. ∴只有a=2.当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，即 1=＜∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5.说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.例9 （1987年全国初中联赛题）已知存在整数n，能使数被1987整除.求证数，都能被1987整除.证明∵×××（103n+），且能被1987整除，∴p能被1987整除.同样，q=（）且∴故、102（n+1）、被除，余数分别为1000，100，10，于是q表示式中括号内的数被除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q能被1987整除.练习十六1．选择题（1）（1987年上海初中数学竞赛题）若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n的因数的最小质数是（）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）非上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平方数有z个，则x+y+z等于（）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除尽311+518的最小整数是（）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2．填空题（1）（1973年加拿大数学竞赛题）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.(2) 一个自然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的自然数中最小的是_________.(3) (1989年全国初中联赛题)在十进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最小自然数是________.3.求使为整数的最小自然数a的值.4.(1971年加拿大数学竞赛题)证明:对一切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.5.(1984年韶关初二数学竞赛题)设是一个四位正整数,已知三位正整数与246的和是一位正整数d的111倍,又是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.(1954年苏联数学竞赛题)能否有正整数m、n满足方程m2+1954=n2.7.证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n为非负整数.(2)若将(1)中的11改为任意一个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.8.(1986年全国初中数学竞赛题)设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,至少有一个能被10整除.9.(1986年上海初中数学竞赛题)100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.练习十六１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２５·５５．（２）２７．３．由2000a为一整数平方可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２，∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；又是１８的倍数，∴只能是１９８．而１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×（１４４ｎ－１１ｎ）．第一项可被１３３整除．又１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题为ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有一个是５的倍数，则题中结论必成立．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从而ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表示的数至少有一个被５整除，又２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最大公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从而ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值为１００１。
第20讲连续正整数的性质
第20讲连续正整数的性质第20讲连续正整数的性质一.两个连续正整数1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。
例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个）1. n 位数的个数一般可表示为9×10n-1(n 为正整数，100＝1)例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个（9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n 到m 的个数是 m －n+1把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3. 从13到49的连续奇数的个数是21349－＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是21448－＋1＝18 4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是3 1548－＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ）2n （n 是正整数）连续正整数从a 到b 的和记作(a+b)21+-a b把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下：2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×223＝759 （从11到55有奇数21155－＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×215＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共31153－＋1＝15）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝452. 1234...99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97） (48)51），（49，50）共有50个18，加上100中的1∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五. 连续正整数的积从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘1. n 个连续正整数的积能被n ！整除，如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
整数的性质(全)
整数的性质(全)1整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若且，则(传递性质)；(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。
更一般，若都是的倍数，则。
或着，则其中；(3)若，则或者，或者，因此若且，则；(4)互质，若，则；(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；(6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。
注意：共有种可能的取值：0,1，……，。
若，即为被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。
证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若是正整数，则；若是正奇数，则；（在上式中用代）(7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数；(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。
数学《函数的连续性》讲义
第四章函数的连续性1. 教学框架与内容教学目标①掌握函数连续性概念．②掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．③掌握初等函数的连续性．教学内容①函数在一点和在区间上连续的定义，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点等间断点的分类．②连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．③初等函数的连续性．2. 重点和难点①用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性.②一致连续性和非一致连续性的特征, 如何判别函数是否一致连续．③用初等函数的连续性计算极限．3. 研究性学习选题● 连续函数介值性的应用，特别是方程根的问题, 举例说明应用.● 一致连续性的判定通过自学和小组讨论，写出对函数一致连续性的理解.4. 综合性选题，写学习笔记■ 函数极限性质、连续函数局部性质、连续函数整体性质的内在联系.5. 评价方法◎课后作业，计20分.◎研究性学习布置的两个选题合计30分.●闭区间上连续函数的性质（计15分）● 一致连续性（计15分）◎学习笔记计20分.◎小测验(第三章与第四章) 计30分§1 连续函数概念一、函数在一点的连续性回顾函数在一点的极限0lim ()x x f x A →=，可以有三种情况:1) 0()f x 无定义，如000sin()limx x x x x x →--.2) 0()f x 存在但0()f x A ≠，如00()1xx x f x x x x ≠⎧=⎨+=⎩.3) 0()f x A =，如()1f x x =+, 00lim ()()x x f x f x →=.从图形上看，函数3)的图像为一条连绵不断的曲线，这种函数我们就称为连续函数.下面我们就给出这种函数的定义.定义1 设函数f 在某0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在0x 处连续.例 1 1) ()21f x x =+在2x =处连续.2) 1sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.结论1 若f 在0x 处连续, 则f 在0x 处存在极限(0()f x ).注 1 若要f 在0x 处连续，不仅要求f 在0x 处存在极限,而且要求极限就是函数值0()f x .而以前我们讨论函数f 在0x 处的极限,其与f 在0x 处是否有定义或f 在0x 处的值为多少均无关.定义2(εδ-) 设f 在某0(,')U x δ内有定义，若任0ε>,0δ∃>(')δδ<，使得对任意0(,)x U x δ∈, 有0()()f x f x ε-<，则称f 在0x 处连续.记0x x x ∆=-，称为x 自变量在0x 处的增量(或称作改变量,可正也可负)，相应地, 函数y 在00()y f x =处的函数值增量，记为0000()()()()y y y f x f x f x x f x ∆=-=-=+∆-.定义3 f 在0x 处连续0lim 0x y ∆→⇔∆=.注 2 ()f x 在0x 处连续00lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→⇔==.由此可见,f 在0x 处连续0lim x x →⇔与对应法则f 可交换次序，又由左右极限,f 在0x 处连续00lim ()()x x f x f x →⇔=;0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x +-→→⇔==;0lim ()()x x f x f x +→⇔=且00lim ()()x x f x f x -→=.(⇔f 在0x 处右、左连续).定义4 设函数f 在0()U x +(或0()U x -)内有定义，若00lim ()()x x f x f x +→=(或00lim ()()x x f x f x -→=).则称f 在0x 处右(左)连续.结论2 f 在0x 处连续⇔f 在0x 处右、左连续.例2 已知2,0,(),0,,0,x x f x A x x B x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩讨论()f x 在0x =处的连续性及左右连续性.二、间断点及其分类定义5 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 处无定义或f 在0x 处有定义但不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点.若f 在0x 处不连续，则对极限必有如下情形:1) 0lim ()x x f x A →=，而f 在0x 处无定义或有定义,但00lim ()()x x f x A f x →=≠.2) 左右极限都存在但不相等，称0|lim ()lim ()|x x x x f x f x α+-→→=-为f 在0x 处的跳跃度.3) 左右极限至少有一个不存在.下面我们对间断点进行分类.1、第一类间断点------函数在此点的左右极限均存在1) 可去间断点 若00lim ()lim ()x x x x f x f x A -→+→== (此时0lim ()x x f x A →=存在，0()A f x ≠或0()f x 无意义)，则称0x 为f 的可去间断点.例3 1) 1,0,()0,0,x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处.2) sin ()xf x x=在0x =处.对可去间断点，其最大的特征是0lim ()x x f x A →=存在，因而可重新定义f 在0x 处的函数值，使新的函数f 在0x 处连续.例4 对sin ()x f x x =, 定义sin ,0,()1,0,xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则()f x 在0x =处的连续.2) 跳跃间断点 若f 的左右极限都存在但不相等,则称0x 为f 的跳跃间断点. 例5 (1)()[]f x x =，在x n =处，跳跃度为1，在R 上任一点处都是右连续的.(2) 函数 1,0()0,01,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩在0x =处间断，为跳跃间断点.2、第二类间断点-----f 在此点处至少有一单侧极限不存在 例6 Dirichlet 函数()D x 在R 上任一点处间断且都是第二类间断.例7 1) 求2(1)()(1)x x f x x x -=-的间断点类型.2) 举例定义在R 上且在1x =，2x =处间断的函数.思考 有无在R 上定义但仅在1x =，2x =处连续的函数?3) 考察,;(),,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数的间断点.例8 设函数f 是区间I 上的单调函数，证明: 若0x I ∈为f 的间断点， 则0x 必为f 的第一类间断点. (单调函数的间断点必为第一类间断点)三、区间上的连续函数若函数f 是区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数，而对于闭区间的端点，函数在此点连续，是指在该点的左(右)连续，如f 在[,]a b 上连续df ⇔在(,)a b 上连续且在x a =,x b =处分别是右、左连续的.例9()f x =1,1x =-处分别是右、左连续的，在(1,1)x ∈-上连续，从而()f x =[1,1]-上连续.分段连续 若f 是[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[,]a b 上分段连续.例10 []y x =在任一个有限区间上分段函数.例11 证明: Riemann 函数1,(,),()0,0,1p x p q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩既约或无理数,在(0,1)内任何无理点均连续，但在任何有理点均不连续.例12 确定,,a b c 的值，使2111,0()0011x ax bx c x x f x x x -≤-⎧⎪++<≠⎪=⎨=⎪⎪≥⎩在R 上连续.练习 设f 为R 上的连续函数, 常数0>c . 记,();()(),();,().c f x c F x f x f x c c f x c -<-⎧⎪=≤⎨⎪>⎩若若若 证明: F 在R 上连续 (一般称F 为f 的截断函数) .习 题1. 用定义证明下列函数在其定义域上连续.2)1x2. 指出下列函数的间断点并说明类型.1)1ln x2) sin x x 3) [sin ]x 4) 112121xx -+5) sgn(sin )x 6) []x x 7) 1arctan x8) 1x e -3. 确定,,a b c 的值,使()f x 连续, 其中21101()0011x ax bx c x f x x x -≤-⎧⎪++<<⎪=⎨=⎪⎪≥⎩.4. 如何补充定义使函数f 连续.1) 24()2x f x x -=- 2) 3tan sin ()x xf x x -=5. 若f 在0x 处连续, 则||f 在0x 处连续. 反之呢? 又2f 呢？6. 若偶函数()f x 在x a =处连续，则f 在x a =-处也连续.(0)a ≠.7. 构造满足下列条件的R 上定义的函数1) 仅在1,2x =处不连续的函数; 2) 仅在1,2x =处连续的函数; 3) 仅在1()x n N n=∈处间断的函数. 8. 若对任何0ε>,f 在[,]a b εε+-上连续,则f 在(,)a b 上连续.9. 设()sin f x x =,,0,(),0,x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩, 求证: (())f g x 在0x =处连续,而g 在0x =处间断.10. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明:g 在R 上每一点都右连续.§2 连续函数性质一、连续函数的局部性质若函数f 在0x 处连续，则f 在0x 处有极限且极限等于函数值，由函数极限性质，有(复习极限性质,然后估计那些性质会减少或有什么不同) 定理 (局部有界性) 若函数f 在0x 处连续，则f 在0()U x 内有界.定理 (局部保号性) 若函数f 在0x 处连续,且0()0f x >(或0<)，则对任何正数00()r f x <<(或00()r f x <<-), 存在0()U x , 使得对一切0()x U x ∈有()f x r >(或()f x r <-).注 1 一般可取01()2r f x =. 定理 (四则运算) 若函数f 和g 在0x 处连续，则f g +、f g ⋅、fg0(()0)g x ≠均 在0x 处连续.例1 1) ()f x c =，()f x x =连续，从而 多项式函数 1110()n n n n P x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++， 有理函数()()P x Q x (P 、Q 为多项式) 在其定义域上连续. 2) sin x 、cos x 连续，从而tan x 、cot x 在其定义域上连续.定理 (复合函数连续性) 若函数f 在0x 处连续，g 在00()u f x =连续，则复合函数g f 在0x 处连续.注 2 定理4可简写成 00lim (())(lim ())((lim ))(())x x x x x x g f x g f x g f x g f x →→→===.注 3 由上章变量代换法则定理,当内层函数f 0x x →时极限为a 而0()a f x ≠ 或()f x 在0x 无意义(即0x 为f 的可去间断点)，又外层函数g 在u a =连续， 仍有上述定理结论成立，即 0lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.例2 1) 21limsin(1)x x →-; 2) x3) 0x →; 4) 0lim x x x a →, (0,1)a a >≠.二、反函数的连续性定理 若函数f 在[,]a b 上严格单调且连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b (或[(),()]f b f a )上连续.例 3 由sin y x =在[,]22ππ-上严格单调且连续，则其反函数sin y arc x =在[1,1]-上连续. 类似地可证1ny x =，q py x =在[0,]+∞上连续.思考 反函数在其定义域上连续能否推出函数本身连续? 三、有限闭区间上连续函数的性质 (整体性质)设f 为闭区间[,]a b 上的连续函数，下面我们讨论f 在[,]a b 上的整体性质. 1、最值性定义1 设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0x D ∈,使得对一切x D ∈,有0()()f x f x ≥(或0()()f x f x ≤) ，则称f 在D 上有最小(大)值, 0()f x 称为f 在D 上有最小(大)值, 而0x 相应地称为最小(大)值点.注4 一般而言,函数在其定义域上未必有最大值、最小值(即使f 在D 上有界)，如 ()f x x =，(0,1)x ∈，-----上下确界存在.又如1,(0,1),()2,0,1.x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩ 在[0,1]上无最大、最小值.定理 (最值定理) 若函数f 在闭区间上[,]a b 上的连续，则f 在[,]a b 上存在最大值和最小值，即存在01,[,]x x a b ∈，使得10()()()f x f x f x ≤≤ [,]x a b ∀∈.推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间上[,]a b 上的连续，则f 在[,]a b 上有界. [分析 注4中两个例子为什么无界？]练习 举例说明最值定理的条件仅是充分的,易见最值点存在也未必唯一.在中学二次函数2y ax bx c =++常遇到方程20ax bx c ++=根的问题，一般找一个值0>，一个值0<(作图解释) .这实际上就是应用了连续函数的介值性. 2、介值性定理(介值性定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b ≠，若μ为介于()f a 与()f b 之间的任一实数(()()f a f b μ<<，或()()f b f a μ<<) ，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()f ξμ=.推论 (根的存在性定理) 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号， 则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=. 注 5 介值性定理与根的存在性定理是等价的.注 6 由介值性定理，若f 在[,]a b 上的连续，()()f a f b <，则f 在[,]a b 上能取到 区间[(),()]f a f b 之间的一切值，则([,])[(),()]f a b f a f b ⊃.特别地，若f 在[,]a b 上的最大值M 、最小值m ，则([,])[,]f a b m M =.结论 若f 是闭区间I 上连续且不恒为常数，则值域()f I 亦为一个闭区间.例4 证明: 方程cos x x x =在0到2π之间有实根.例5 证明: 若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x 使得0n x r =(0x 称为r 的n 次正根，记作0x =).例6 设f 在[,]a b 上的连续，([,])[,]f a b a b ⊂，证明：存在0[,]x a b ∈，使得0()f x x =.注 对上述问题的根的存在性，一般可构造函数使得函数在适当区间上连续， 且在端点处的值异号，而对唯一性，一般可利用函数严格单调性说明. 练习 若f 在[0,2]a 上的连续,(0)(2)f f a =，证明: 存在点0[0,]x a ∈, 使00()()f x f x a =+.3、一致连续性----整体性质 1) 连续性定义中δ对0x 的依赖性 例7 考察函数1()f x x=在(0,1]上的连续性.例8 考察函数1()f x x=在[1,)+∞上的连续性.2) 一致连续性定义定义 设f 定义在区间I 上的函数，若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何',''x x I ∈，只要'''x x δ-<，就有(')('')f x f x ε-<，则称函数f 定义在I 上一致连续.注 7 若固定0''x x =，则易见f 在I 上一致连续，则f 在I 上必连续(一致连续性 定义中存在的δ与0x I ∈的选择无关).注 8 直观上说，f 在I 上一致连续⇔不论两点',''x x 在I 中什么位置，只要'''x x δ-<，就有(')('')f x f x ε-<.例9 1) 验证函数()f x ax b =+ (0)a ≠在R 上一致连续.2) 验证函数1()sin f x x=在(,1)c (01)c <<上一致连续.思考 c 能否等于0?注 9 用定义确定一致连续性时，关键是确定δ的存在，我们一般从(')('')f x f x - 入手，放大此式，除因子'''x x -外，其余不含',''x x , 再解出'''x x -. 例10 验证()ln f x x =在[1,)+∞上一致连续.例11 若函数f 在有限区间(,)a b 上一致连续，则f 在(,)a b 上必有界.3) 一致连续性的否定f 在I 上不一致连续012121200,,,, :()()x x I x x f x f x εδδε⇔∃>∀∃∈-<-≥.例12 1) 证明函数1()sin f x x=在(0,1)内非一致连续. 2) 证明函数1()f x x=在(0,1)内非一致连续. 3) 验证函数2()f x x =在[1,)+∞上非一致连续.4) Lipschitz 连续与一致连续性定义 设函数f 定义在区间I 上，若存在0L >,使得在I 上12,x x I ∀∈, 有1212()()f x f x L x x -≤-,则称f 在I 上Lipschitz 连续(或称f 在I 上满足Lipschitz 条件)，而L 称为Lipschitz 常数.定理 若函数f 在区间I 上Lipschitz 连续，则f 在I 上一致连续.例13 ()sin f x x =在R 上一致连续，()f x =[,)a +∞ (0)a >上一致连续.思考 a 能否等于0? 如果能, 0a =时怎么处理? 5) 一致连续函数的判定定理 (一致连续性) 函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续. 例14 f 在(,)a b 上一致连续⇔f 在(,)a b 上连续且(0),(0)f a f b ++存在. 由此说明1()f x x=在(0,1)内非一致连续.思考 上述结论对无穷区间是否成立? 即设()f x 在[,)a +∞上的连续函数，则f 在[,)a +∞上一致连续⇔lim ()x f x →∞存在且为有限值?例15 f 在I 上一致连续{},{},0()()0n n n n n n x y I x y f x f y ⇔∀⊂-→⇒-→.6) 一致连续函数的性质定理 若f 、g 在区间I 上一致连续，则||f 、f g +仍为一致连续.又若I 为有限区间，则f g ⋅也是一致连续.例16 当I [,)a =+∞，举例说明乘积f g ⋅在I 上未必一致连续.思考* 一致连续函数的复合是否仍然一致连续?例17* 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈，用一致连续性定义证明：若f 在1I 、2I 上分别一致连续，则f 在12I I I =一致连续.特别地，若f 在[,]a c 、[,]c b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续(而这是显然的，关键在于1I 、2I 可能为无限区间) ， 由此可得()f x =[0,)+∞上必一致连续.思考 若f 在[,)a c 、[,]c b 上连续，是否仍然有f 在[,]a b 上(一致)连续?习 题1. 求极限: 1) x x x tan )(lim 4-→ππ; 2) 1121lim 21+--++→x x x x x2. 设f ,g 在区间I 上连续, 记()max{(),()}, ()min{(),()}F x f x g x G x f x g x == 证明: F 和G 也都在I 上连续.3. 设0≠x 时, )()(x g x f ≡, 而)0()0(g f ≠. 证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.4. 设f ,g 在点0x 连续, 证明:1) 若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >; 2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.5. 证明：若f 在[,]a b 上连续,且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则f 在[,]a b 上 恒正或恒负.6. 证明: 方程sin x a x b =+(,0)a b >在(0,]a b +内至少一个实根. 7． 设f 在],[b a 上连续,12,,...,[,]n x x x a b ∈.证明:存在],[b a ∈ξ,使得121()[()()()]n f f x f x f x nξ=++⋅⋅⋅+8．设f 为],[b a 上的增函数,其值域为)](),([b f a f .证明: f 在],[b a 上连续. 9. 证明: 奇次多项式必有实根,而偶次多项式必有最大值或最小值.10．设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞→存在, 证明: f 在),[+∞a 上有界, 又f 在),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?11. 证明: 2()f x x =在[,]a b (,)a b R ∀∈上一致连续,而在(,)-∞+∞上不一致连续.12. 证明: ()f x =[1,)+∞上一致连续. 13．证明: x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续. 14．证明: x x f =)(在),0[+∞上一致连续.§3 初等函数的连续定理 基本初等函数在其定义域上连续. 定理 任何初等函数在其定义域上连续.例1 求()ln(2)f x x =-的连续区间和间断点.例2 利用函数的连续性求下列极限1) 20ln(1)lim cos x x x →+ 2) 0lim x +→3) sec tan 0lim(1tan )x x x x ⋅→+ 4) sin x →∞习 题1. 求下列极限:1) )1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→;2) )(lim x x x x x -+++∞→;3) )111111(lim 0xx x x x x x +--+++→; 4) 1lim++++∞→x xx x x ;5) x x x cot 0)sin 1(lim +→.习题课一、连续性概念 设f 在某0x 的某邻域内有定义f 在0x 处连续d⇔0ε∀>，0δ∃> ，0x x δ-<，0()()f x f x ε-<.0lim ()()x x f x f x →⇔=.000(0)(0)()f x f x f x ⇔+=-=.(其中000(0)lim (),(0)lim ()x x x x f x f x f x f x +-→→+=-=).⇔f 在0x 处左、右连续.00{}(),n n x U x x x ⇔∀⊂→，有0()()n f x f x →.f 在,a b 〈〉处连续⇔f 在(,)a b 上连续，而在端点处，若端点属于,a b 〈〉，则要求相应的单侧连续性二、连续函数的性质 1. 局部性质1) 若f 在0x 处连续，则f 在0x 处局部有界.2) 若f 在0x 处连续，0()f x c <，则00,(,):()<x U x f x c δδ∃>∀∈. 3) 若f 、g 在0x 处连续，则f g +、f g ⋅、fg0(()0)g x ≠在0x 处连续. 4) 若()f x 在0x x =连续,()g u 在0()u f x =连续,则(())g f x 在0x x =处连续. 2. 闭区间上连续函数性质1) 若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界.2) 若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值和最小值.3) 若f 在[,]a b 上连续，12,[,]x x a b ∈,12x x <,12()()f x f x ≠，则对任何12((),())c f x f x ∈或21((),())c f x f x ∈，必存在(,)a b ξ∈，使得()f c ξ=.4) 若f 在[,]a b 上的连续，且()()0f a f b ⋅<, 则方程()0f x =必在(,)a b 上 至少有一个根.5) 设f 在[,]a b 上严格递增(或减) 连续函数，则其反函数在其定义域[(),()]f a f b (或[(),()]f b f a )上连续.6) f 在[,]a b 上连续f ⇔在[,]a b 上一致连续 7) 任何初等函数在其定义域上都是连续的. 三、一致连续函数的性质f 在I 上一致连续1212120,0,,,:()()dx x I x x f x f x εδδε⇔∀>∃>∀∈-<-<.1、判定1) 必要条件 若f 在有限区间I 上一致连续, 则f 在I 上有界连续.(证明：1、用极限方法 2、用延拓)2) 充分条件 若f 在I 上Lipschitz 连续，则f 在I 上一致连续. 3) 充要条件a) f 在I 上一致连续{},{},0()()0n n n n n n x y I x y f x f y ⇔⊂-→⇒-→ b) f 在(,)a b 上一致连续⇔f 在(,)a b 上连续且(0),(0)f a f b ++存在且都为有限值c) 12,], [,I a b I b c =<=> (,a c 可为∞)f 在12,I I 上一致连续⇔f 在12I I I =上一致连续2、性质1) 若f 、g 在I 上一致连续，则f g +、f 在I 上一致连续. 此时, 若f 、g 还是有界的(或I 为有限区间), 则f g ⋅在I 上一致连续. 2) 设f 在(,)a +∞上连续，且lim (),(0)x f x f a →+∞+存在，则f 在(,)a +∞上一致连续，但反之未必. 3) f 在(,)-∞+∞上…4) 若f 在I 上一致连续，J I ⊂，则f 在J 上一致连续. 5) 若f 在(,)a b 上单调有界连续，则f 在(,)a b 上一致连续.3、一致连续的否定四、间断点的分类若单调函数具有介值性,则其必连续. (单调函数仅有第一类间断点)五、一些例子例1 若对任意0ε>，f 在[,]a b εε+-上连续，能否推出f 在(,)a b 上连续， 一致连续呢？例2 若f 在0x 处连续，则2||,f f 在0x 也连续，又若2||,f f 都在I 上连续， 则f 在I 上是否连续?思考 若3f 在I 上连续，则f 在I 上是否连续?例3 举出定义在[0,1]分别符合下列要求的函数1) 只在11,23和14不连续的函数，2) 只在11,23和14连续的函数，3) 只在1n(1,2,3,)n =⋅⋅⋅上间断的函数，4) 只在0x =右连续，而在其它点不连续的函数.例4 讨论复合函数g f 与f g 的连续性, 设1)21)(,sgn )(x x g x x f +==; 2) x x x g x x f )1()(,sgn )(2-==.例5 设f 、g 在区间I 上连续，记()max{(),()}F x f x g x =，()min{(),()}G x f x g x =证明：,F G 也都在I 上连续.例6 设f 在区间[,]a b 上连续，记()max{(),}F x f t a t x =≤≤，()min{(),}G x f t a t x =≤≤证明：,F G 也都在[,]a b 上连续.例7 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠, 则f 在[,]a b 上恒正 或恒负.例8 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则存在0c >, 使得 f 在[,]a b 上()0f x c ≥>或()0f x c ≤-<.例9 若f 在(,)a b 上连续,lim ()lim ()0x a x bf x f x +-→→⋅<，则存在(,)a b ξ∈，使得 ()0f ξ=.(或lim (), lim ()x a x bf x f x +-→→=+∞=-∞)例10 若f 在(,)a b 上连续，a c d b <<<，()()k f c f d =+，则1) 存在(,)a b ξ∈，使2()k f ξ=，2) 存在(,)a b ξ∈，使()()()()m n f mf c nf d ξ+=+ (,0)m n >.例11 若f 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<⋅⋅⋅<<，则1) 1[,]n x x ξ∃∈，使11()[()()]n f f x f x nξ=+⋅⋅⋅+， 2) 1[,]n x x ξ∃∈，使11()()()n n f f x f x ξλλ=+⋅⋅⋅+.其中 12,,0n λλλ⋅⋅⋅≥ 满足121n λλλ++⋅⋅⋅+=，例12 设f 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =，证明：对任何正数n ，存在[0,1]ξ∈,使得 1()()f f nξξ=+.例13 设f 在[,]a b 上单调递增,值域为[(),()]f a f b ,求证:f 在[,]a b 上连续.例14 设f 在区间I 上连续，证明1) 若对任何的有理数r I ∈有()0f r =，则在I 上()0f x =，2) 若对任意两个有理数12,r r 且12r r <，有12()()f r f r <，则f 为严格增函数.例15 f 在[0,)+∞上连续，满足0()f x x ≤≤，[0,)x ∈+∞，设10a ≥， 1()n n a f a +=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明1) {}n a 为收敛数列; 2) 设lim n n a t →∞=，则有()f t t =; 3) 若条件改为0()f x x <<，(0,]x ∈+∞，则0t =.例16 设f 在0x =处连续，且对任何,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+ 证明： 1) f 在R 上连续; 2) ()(1)f x f x =⋅.例17 设f 在R 上连续且lim (),lim ()x x f x A f x B →-∞→+∞==，求证：()f x 在R 上 一致连续.例18 设f 在R 上连续有渐近线y kx b =+,求证:()f x 在R 上一致连续.例19 设f 在R 上连续, g 在R 上一致连续且lim ()()0x f x g x →∞-=，求证： ()f x 在R 上一致连续.。
初中数学竞赛辅导资料(70)
初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数一. n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6. 1+3+5+……+99=____________.7. 5+10+15+……+100=_________.8. 1+4+7+……+100=____________.9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：44443444421ΛΛ位198011121234567891这个数用9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：① 它是一个________位数；② 它的各位上的数字和等于________；③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是___________________________.四.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n !整除.如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n ! 中含有质因数m 的个数是⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2m n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡i m n . [x]表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3… m i ≤n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.乙. 正整数十进制的表示法一. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0≤a i ≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除二. 常见的一些特例 43421Λ99999个n =10 n －1, 321Λ33333个n =31(10 n －1), 9111111=321Λ个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是43421Λ321Λ2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91 -n (10 n +2) =331103110+-⨯-n n=)13110(3110+-⨯-n n =321Λ33333个n ×433333)1(321Λ个-n . 证毕. 练习：21. 化简 43421Λ99999个n ×43421Λ99999个n +143421Λ99999个n =_______________________________.22. 化简 43421Λ321Λ2122222-1111个个n n =____________________________________________.23. 求证 321Λ119901111个是合数.24. 已知：存在正整数 n,能使数321Λ11111个n 被1987整除.求证：数p=321Λ11111个n 43421Λ99999个n 321Λ88888个n 43421Λ77777个n 和数q=321Λ111111个+n 43421Λ919999个+n 321Λ818888个+n 43421Λ717777个+n 都能被1987整除.(1987年全国初中数学联赛题)25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证：321Λ11111个n ×143421Λ010000个-n 5+1是完全平方数.丙. 末位数的性质.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r ) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.2. N (a)=N (b)⇔N (a －b)=0⇔10 |(a －b).3. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ； 和 ②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28. 求证：10 | (19871989－19931991).29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题) 解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n－2)2+(n－1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=k2(n, k都是整数)5(n2+2)=k2 .∵k2是5的倍数，k也是5的倍数.设k=5m, 则5(n2+2)=25m2.n2+2=5m2.n2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么n2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成立∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数的其他方法例题3. 已知：a是正整数.求证：a(a+1)+1不是完全平方数证明：∵a(a+1)+1=a2+a+1，且a是正整数∴a2< a(a+1)+1=a2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间∴a(a+1)+1不是完全平方数例题4. 求证：321Λ11111个n(n>1的正整数) 不是完全平方数证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但321Λ11111个n =1100111112-+321Λ个n=4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3即32 1Λ11111个n除以4余数为3，而不是1，∴它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a2+4a+1+4b2+4b+1=4(a2+b2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.三. 魔术数：将自然数N 接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n 是自然数，且9n 2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n 的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的一种分类：⎪⎩⎪⎨⎧).1(.)1( 1然数整除和本身外还能被其他自除合数；然数整除和本身外不能被其他自除质数； 2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n 个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1, 那么m !+2, m !+3, m !+4, +……+ m !+n+1 就是所求的合数.∵m !+i (2≤i ≤n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m !=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这里11=10+1，即N 是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的一种分类：⎩⎨⎧)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数不是平方数.a) 2n (n 为正整数)不含大 于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶.c) 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必一奇一偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有一个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从而m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求方程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.若x, y 为一奇一偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，方程两边都不能相等.所以 原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：方程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： ⎩⎨⎧=⨯⨯⨯⨯=++++.0321321n x x x x x x x x n n ΛΛ； 求证：n 是4的倍数. 42. 若n 是大于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数 是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989，∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a 是整数，最简分数7a 化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ； ② 2473×429=1060927.解：①用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7， ∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有无差错：①372854－83275=289679 ； ②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应用例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏)例4. 已知： p ≥5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数， 符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：自然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果 有一个是质数，则另一个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. 二元一次方程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有一个整数的特解⎩⎨⎧==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ⎩⎨⎧-=+= 2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数， 整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)自然数=整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.解：设小军和小红的生日分别为x, y ，根据题意，得⎩⎨⎧=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ⎩⎨⎧==.2410y x ， 当k=4时，⎩⎨⎧==.313y y x ， (10月份没有31日，舍去) ∴小军的生日在10月10日例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0<a ≤9，0≤b, c ≤9.那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ， 且－8<a －b+c<18. 要使a －b+c 被11整除，其值只能是0和11.( 1)当a －b+c=0时， 得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0根据韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.2522121c c a a c a a ， 这是必要而非充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a 的解.当 c=2, 4时，无实数根； 当c=1, 3时，无整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时， 得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐一以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满足等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5 那么 x 5的最大值是________. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值. （1988年全国初中数学联赛题） 54.能否找到这样的两个正整数m 和n ，使得等式m 2+1986=n 2成立. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初二数学双基赛题） 55.当m 取何整数时，关于x 的二次方程m 2x 2－18mx+72=x 2－6x 的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初二数学双基赛题） 56.若关于x 的二次方程（1+a ）x 2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a 的取值是________________. （1989年泉州市初二数学双基赛题） 57.不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 58.直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长. 59.鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 60. 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？ 若1×2×3×4×……×99×100=12 n ×M ，其中M 为自然数，n 为使得等式成立的最大自然数，则M 是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)。
人教版六年级数学下册数与代数知识点归纳及经典练习题
人教版六年级数学下册数与代数知识点归纳及经典练习题知识点一整数一、知识整理。
1、整数的定义：像-3，-2，-1，0，1，2……这样的数称为整数。
在整数中大于零的数称为正整数，小于零的数称为负整数。
正整数、零与负整数统称为整数。
2、整数的范围：除自然数外，整数还包括负整数。
但在小学阶段里，整数通常指的是自然数。
3、读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。
4、写法:从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
知识点二自然数1、自然数的定义：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0，1，2，3，……叫作自然数。
2、自然数的基本单位：任何非“0”的自然数都是由若干个“1”组成，所以“1”是自然数的基本单位。
3、“0”的含义：一个物体也没有，用“0”表示，但并不是说“0”只表示没有物体，它还有多方面的含义。
知识点三比较整数大小的方法1、数位不同的正整数的比较方法：如果位数不同，那么位数多的数就大。
2、数位相同的正整数的比较方法：如果位数相同，左起第一位上数大的那个数就大；如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数。
依次类推直到比较出数的大小。
知识点四整数的改写把大数改写成用“万”或“亿”作单位的数：一个比较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
改写有两种情况：一种是把较大的多位数直接改写成用“万”或“亿”作单位的数，不满万、亿的尾数直接改写成小数；另一种是根据需要省略万位或亿位的尾数，把原来的多位数按照“四舍五入”法写成它的近似数。
知识点五倍数和因数1、倍数和因数的定义：自然数a（a≠0）乘自然数b（b≠0）,所得的积c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数。
2、倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3、因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
高等数学第4章第2节连续函数的性质
§２ 连续函数的性质引言函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来．一、连续函数的局部性质性质１（局部有界性）若f 在0x 连续．则f 在某0()U x 有界．性质２（局部保号性）若f 在0x 连续，且0()0(0)f x or ><则对任何正数0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈，存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<．注 ①在具体应用局部保号性时，r 取一些特殊值，如当0()0f x >时，可取0()2f x r =，则存在0()U x ，使得当0()x U x ∈有0()()2f x f x >；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续”，把0()U x 改为00()U x 其余一致．性质３．（四则运算）若f 和g 在0x 点连续，则0,,(()0)ff g f g g x g±⋅≠也都在点0x 连续．问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？性质４（复合函数的连续性）若f 在点0x 连续，记00()f x u =，函数g 在0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续．注 1) 据连续性定义，上述定理可表为：00lim [()][()][lim ()]x x x x g f x g f x g f x →→==.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限．）例１． 求21limsin(1)x x →-.2) 若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，又外函数g 在u a =连续，上面的等式仍成立．（因此时若00lim ()()x x f x a f x →==的话是显然的；若00lim ()()x x f x a f x →=≠，或()f x 在0x x =无定义，即0x 是f的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“0||x x δ-<”为“00||x x δ<-<”即可）．故可用来求一些函数的极限．例２ 求极限（１）0x →（２）x 性质５（反函数的连续性）若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a 上连续．二、初等函数的连续性１．复习（关于初等函数）（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数． （２）基本初等函数： 常量函数y C =； 幂函数y x α=；指数函数(0,1)x y a a a =>≠； 对数函数log (0,1)a y x a a =>≠； 三角函数sin ,cos ,,y x x tgx ctgx =；反三角函数arcsin ,arccos ,,y x x arctgx arcctgx =．２．初等函数的连续定理１ 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数．定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数． ３．利用初等函数的连续性可计算极限例３．设0lim ()0x x u x a →=>，0lim ()x x v x b →=，证明：0()lim ()v x b x x u x a →=．例４．求0ln(1)limx x x→+．例５ 求20ln(1)lim cos x x x→+．三 区间上连续函数的基本性质引 言闭区间上的连续函数具有一些重要的性质．现将将基本的列举如下．从几何上看，这些性质都是十分明显的．但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出．先给出下面的关于“最大大值”的定义：定义１ 设f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈都有0()()f x f x ≥（0()()f x f x ≤），则称f 在Ｄ上有最大（小）值，并称0()f x 为f 在Ｄ上的最大（小）值．例如，sin ,[0,]y x π=．max 1y =、min 0y =．一般而言， f 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使()f x 在Ｄ上有界． 例如：(),(0,1)f x x x =∈无最大（小）值；1,(0,1)()2,0,1x f x xx ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩在［０，１］上也无最大（小）值． １．性质性质１（最大、最小值定理）若f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值与最小值． 性质２（有界性定理）若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界．思考 ①考虑函数(),(0,1)f x x x =∈，1,(0,1)()2,0,1x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩上述结论成立否？说明理由；②f 要存在最大（小）值或有界是否一定要f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的，而非必要的．性质３（介值定理）设f 在[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=．注 表明若f 在[,]a b 上连续，又()()f a f b <的话，则f 在[,]a b 上可以取得()f a 和()f b 之间的一切值．（如左图）．性质４（根存在定理） 若f 在[,]a b 上连续，且()f a 和()f b 异号（()()0f a f b ⋅<），则至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x =．几何意义 若点(,())A a f a 和(,())B b f b 分别在x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点．２．闭区间上连续函数性质应用举例关健 构造适当的f ；构造适当的闭区间．例６．证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0n x r =．例７．设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ⊂．证明：存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x =．四 一致连续性引言在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续．我们先叙述何谓一致连续．设()f x 在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是()f x 在区间Ｉ内每一点都连续．即对00,0,(;)x I x U x εδ∀∈∀>∀∈时，就有0|()()|f x f x ε-<．一般说来，对同一个ε，当0x 不同时，δ一般是不同的．例如图左．中1y x=的曲线，对接近于原点的0x ，δ就应取小一些．而当0x 离原点较远时，δ取大一些．（对后者的δ值就不一定可用于前者．但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的η，这就需要引进一个新概念——一致连续．１．一致连续的定义定义（一致连续） 设f 为定义在区间Ｉ上的函数．若对任给的0ε>，存在一个()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要||x x δ'''-<，就有()()||f x f x ε'''-<，则称函数f 在区间Ｉ上一致连续． ２． 函数在区间上连续与一致连续的比较若f 在Ｉ上一致连续，则f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若f 在Ｉ上连续，f 不一定在Ｉ上一致连续． ３． 问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：定理（康托Cantor 定理） 若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续． ４．一致连续的例子例１． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续． 例２． （１）证明函数1y x=在(0,1)内不一致连续． （２）0c ∀>，证明 1y x=在(,1)c 内是一致连续的．例３． 证明 1sinx在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续． 例４． 设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为有限或无限区间）．试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在12I I I =⋃上也一致连续． 作业：P81,1， 2， 3， 8， 9, 14。
初中数学竞赛精品标准教程及练习24连续正整数的性质
初中数学竞赛精品标准教程及练习24连续正整数的性质连续正整数是指相邻的整数，比如1、2、3、4、5等。
在数学竞赛中，我们经常遇到与连续正整数有关的问题。
因此，了解连续正整数的性质是非常重要的。
一、连续正整数的和首先，我们来研究连续正整数的和。
假设连续正整数的起始数为a，有n个连续正整数，则这n个连续正整数的和为：S=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)。
为了求连续正整数的和S，我们可以使用以下方法：1.平均法：根据连续正整数的性质，我们可以发现最小的连续正整数加上最大的连续正整数的和一定等于n+1的倍数。
所以，通过求出最小的连续正整数和最大的连续正整数，再除以2，乘以连续正整数的个数n，就可以得到连续正整数的和。
具体公式为：S=((a+(a+n-1))*n)/22.加法法则：我们可以用简单的加法法则来求连续正整数的和。
即将所有的连续正整数相加，例如：S=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)。
在研究连续正整数的性质时，我们需要考虑以下几个方面：1.连续正整数的个数n的奇偶性：根据连续正整数的性质，如果连续正整数的个数n为奇数，那么它们的中位数就是这n个连续正整数的平均数。
而如果n为偶数，那么这两个中位数的平均数就是这n个连续正整数的平均数。
2.连续正整数的和的性质：根据连续正整数的和的公式，我们可以发现，当连续正整数的个数n一定时，连续正整数的和S与起始数a有关，S与a是线性相关的。
当起始数a增加1时，连续正整数的和S增加n。
所以，我们可以根据连续正整数的和的性质，进行相关的计算和推导。
例如，如果连续正整数的和为100，起始数为a，连续正整数的个数为n，那么我们可以得到以下两个方程：S=((a+(a+n-1))*n)/2=100，并且有a+n-1=a+(a+n-1)=2*100/n。
通过解这两个方程，可以求出起始数a 和连续正整数的个数n的值。
需要注意的是，以上是连续正整数和的性质的初级应用，实际上在数学竞赛中，还会遇到更复杂和更有挑战性的题目，需要综合运用知识和技巧进行解答。
正整数知识点总结
正整数知识点总结一、正整数的性质1. 除了1以外，正整数可以表示成若干个不同的质数的乘积。
例如，6=2×3，8=2×2×2。
2. 正整数可以分为两类：偶数和奇数。
偶数能被2整除，奇数除以2有余数。
3. 正整数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
加法和乘法满足交换律和结合律，乘法还满足分配律。
4. 正整数的乘积和最大公因数、最小公倍数的关系。
若a和b是两个正整数，那么a和b的最大公因数乘以最小公倍数等于a和b的乘积。
5. 正整数的除法运算。
当b是a的因数时，可以用a除以b得到商和余数。
商是整数，余数小于除数。
6. 正整数的质因数分解。
每个正整数都可以分解为若干个质数的乘积，这些质数就是这个数的质因数。
7. 正整数的约数和倍数。
a的约数是能整除a的正整数，a的倍数是a的整数倍。
8. 正整数的末位数字的规律性。
末位数字的规律可以用来判断一个数能否被另一个数整除。
9. 正整数的个位数之和的规律性。
个位数之和的规律可以用来判断一个数能否被另一个数整除。
10. 正整数的乘方运算。
a的n次方是a连乘n次，0的任何正整数次方都为0。
11. 正整数的素数和合数。
大于1的正整数，如果除了1和它本身以外没有其他因数，就是素数，否则是合数。
12. 正整数的完全数。
如果一个正整数等于它的约数之和，就是完全数。
例如，28=1+2+4+7+14。
13. 正整数的欧拉函数。
正整数n的欧拉函数是小于等于n且与n互质的正整数个数。
14. 正整数的阶乘。
正整数n的阶乘是从1到n所有整数的乘积，记作n!。
15. 正整数的质数数量。
正整数n之前的所有质数的数量是n/ln(n)的渐进值。
二、正整数的应用1. 在数论中，正整数的性质和规律被用来研究数列、数学归纳法和整除性等问题。
2. 在代数中，正整数被用来进行多项式的运算，解方程和证明等各种计算和推理问题。
3. 在几何中，正整数被用来表示长度、面积和体积等几何量，作为计算和比较的基础。
数学数的连续
数学数的连续数学中的数的连续性是一个非常重要的概念。
它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数学中数的连续性的概念、性质以及它在实际问题中的应用。
1. 数的连续性的概念在数学中，数的连续性是指在某个区间内，存在无穷多个数，且这些数之间没有间隔。
简单地说，就是在一个区间内可以找到任意接近的数。
比如，对于实数区间[0,1]，我们可以找到无穷多个数：0, 0.1, 0.01, 0.001, ... 这些数之间没有间隔，可以无限地接近于0。
2. 数的连续性的性质数的连续性具有以下几个性质：（1）在一个区间中的任意两个数之间，可以找到无穷多个数。
即两个数之间没有间隔。
（2）在一个区间中的任意一个数，都可以找到一个比它大的数和一个比它小的数。
即没有数被孤立。
（3）如果一个数的前面或后面的数在同一个区间内，那么该数也在该区间内。
3. 数的连续性的应用数的连续性在数学和实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些应用的例子：（1）极限的定义：在数学分析中，极限的定义是基于数的连续性的。
极限本质上表示的是一个数列或者函数在某个点附近的表现形态。
（2）导数的概念：导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的计算往往依赖于数的连续性。
（3）数值逼近法：通过选择足够接近目标值的数，来近似求解数学问题。
例如牛顿法和二分法等在数值逼近法中都使用了数的连续性的概念。
（4）实际问题：数的连续性在物理学、经济学、工程学等各个领域的建模和求解过程中都有重要应用。
通过使用连续性的概念，我们可以更好地理解和分析实际问题。
总结：数的连续性是数学中一个重要的概念，它描述了数之间没有间隔的特点。
数的连续性具有很多重要的性质，这些性质在数学和实际问题中都有广泛的应用。
通过理解和运用数的连续性，我们可以更好地解决各种数学问题，并在实际问题中进行建模和求解。
数学中的数的连续性是数学发展中的重要一环，对于学习和理解数学的基本概念和原理具有重要意义。
初数数学公式认识正整数的性质
初数数学公式认识正整数的性质正整数是我们在日常生活和学习中经常接触到的数，它们具有一些独特的性质和特点。
通过数学公式的认识，我们可以更深入地理解和应用正整数的性质。
本文将通过对正整数的性质进行初步认识，介绍一些与其相关的数学公式。
一、正整数的定义与性质介绍正整数是自然数中大于零的整数，可以用1、2、3、4、5……等表示。
正整数具有以下性质：1. 正整数的特点：正整数由1开始无限递增，没有边界或者终点。
2. 正整数的序列：正整数可以组成一个无穷递增的序列，可以通过加法或者乘法规律进行推导。
3. 正整数的奇偶性：正整数可以分为奇数和偶数两种。
奇数是无法被2整除的整数，而偶数可以被2整除。
二、正整数的加法公式加法是我们在日常生活中最常使用的数学运算之一，可以使用正整数加法公式来求解两个或多个正整数的和。
在正整数加法中，我们可以使用符号“+”来表示两个数的相加运算，公式为：A + B = C，其中A和B是参与计算的正整数，C是它们的和。
举例来说，对于两个正整数5和3的加法运算，可以写成5 + 3 = 8。
除了两个正整数相加，我们还可以通过加法公式计算多个正整数的和。
例如，4 + 2 + 6 + 1 = 13。
三、正整数的乘法公式乘法也是一种常见的数学运算，可以使用正整数乘法公式来求解两个或多个正整数的积。
在正整数乘法中，我们可以使用符号“×”或者“·”来表示两个数的相乘运算，公式为：A × B = C 或者 A · B = C，其中A和B是参与计算的正整数，C是它们的积。
举例来说，对于两个正整数4和3的乘法运算，可以写成4 × 3 = 12 或者 4 · 3 = 12。
同样地，我们也可以通过乘法公式计算多个正整数的积。
例如，2 ×3 × 5 = 30 或者 2 · 3 · 5 = 30。
四、正整数的除法公式除法是数学中常用的一种运算方式，可以使用正整数除法公式来求解两个正整数之间的商和余数。
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第20讲 连续正整数的性质
一.两个连续正整数
1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。
例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数
例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999
－10000＋1＝90000（个）
1. n 位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n 为正整数，100＝1)
例如一位正整数从1到9共9个（9×100），
二位数从10到99共90个 （9×101）
三位数从100到999共900个（9×102）……
2.连续正整数从n 到m 的个 数是 m －n+1
把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：
3. 从13到49的连续奇数的个数是
2
1349－＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是2
1448－＋1＝18 4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是3
1548－＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？
三.计算连续正整数的和
1. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ）
2
n （n 是正整数） 连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b)21+-a b 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下：
2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×
2
23＝759 （从11到55有奇数21155－＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×2
15＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共31153－＋1＝15） 四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和
1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝45
2. 1234...99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97） (48)
51），（49，50）共有50个18，加上100中的1
∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901
五. 连续正整数的积
从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘
1. n 个连续正整数的积能被n ！整除，
如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；
a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
2. n ！含某因质数的个数。
举例如下：
① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个
其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个
其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个
② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个
其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个
其中125＝53 含三个5 再增加2个
∴积中含质因数5的个数是32
例1. 写出和等于100的连续正整数
解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10
其中2个50和10个10都不能写成连续正整数
而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16
得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。
5个20可由20，19＋21，18＋22
得第二组连续正整数18，19，20，21，22。
例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？
解：页数编码中，一位数1到9共9个
两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个
三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个
四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个
∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853
例3.用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：1234……99100。
问：
①它是一个几位数？
②它的各位上的数字和是多少？
③如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位
数是多少？
解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192
②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)
③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：
包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，
剩下的数的前十位是9999978596。
例4.算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？
解：∵121＝11，144＝12
∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122
∴符合条件的连续正整数是121，122，123，…，143。
共23个。
例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍，求这两个连续正整数。
解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a
根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1）
把222分解质因数得x(x+1)=2×3×37a（2）
∵连续正整数的积的个位数只能是0，2，6且0＜a≤9
由（1）可知a 可能是1，3，5，6，8 分别代入（2）只有6适合
x(x+1)=36×37
答所求的连续正整数是36和37
练习
1. 除以3余2的两位数共有___个，三位数有____个，n 位数有____个。
2. 从50到1000的正整数中有奇数___个，3的倍数___个。
3. 由连续正整数连写的正整数123…9991000是_____位数，它的各位上的数字和是_____。
4. 把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止，
位
198123 那么这个数的末三位数是______，这个数的各位上的数字和是_____
这个数除以9的余数是_____
5. 已知a= 1199011111个, b=
9
199099999个 那么①ab=______________
②ab 的各位上的数字和是___________(可用经验归纳法)
6. 计算连续正整数的平方和的个位数：
① 12+22+32+……+92和的个位数是_______
② 12+22+32+……+192和的个位数是______
③ 12+22+32+……+292和的个位数是______
④ 12+22+32+……+392和的个位数是______
⑤ 12+22+32+……+1234567892和的个位数是＿＿＿＿＿＿
7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组：
____________，_________________，_____________________。
8. 连续正整数的积1×2×3×4×…×100
这积中含质因数5的个数有____，积的末尾的零连续____个。
9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？
10. .设a,b,c 是三个连续正整数且a 2=14884,c 2=15376,那么b 2是( )
(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376
11. 计算：① 2+4+6+...+100= ②1+4+7+10+ (100)
③ +10+15+ (100)
12.有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？
如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。
13.一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它
前面的一个数加，直到700为止。
将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。
（提示：先求积中含质因数5的个数）。