第九章 梁的平面弯曲3

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例9.14 受均布载荷的悬臂梁如图，试求其挠曲线方 程、转角方程、及自由端B的挠度和转角。 y 解: 1. 求支承反力 q M F=qL， M=-qL 2 /2 2. 列弯矩方程: SMC=0 M(x)=qLx-qL2/2-qx2/2
A F x
L
C
B
x
3. 挠曲线微分方程
EI z y (x ) = -
y
1 M ( x) y ( x) = = r ( x) EI z
''
正负？
y(x)向上凹 M>0 y(x)递增 y(x)>0
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x
9.4.3 用积分法求梁的变形
挠曲线近似微分方程为：
M ( x) y ( x) = EI z
''
即：
EI z y ( x) = M ( x)
''
EI是梁的抗弯刚度。对于一段等刚度梁，积分有： 挠曲线微分方程： EI z y '' ( x) = M ( x) 转角方程： 挠度方程：
My MS z F1 = sdA = dA = A1 A1 I Iz z
A1
z
取图示部分研究其在x方向的平衡：
F2
FS t
b
F3 t dx
s
S z 是面积A 1 对中性轴z的静矩。
b F1
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研究x方向的平衡：
My MS z F1 = s dA = dA = A1 I z A1 Iz
o
r
小变形 dy x c q = tgq q x dx x处的截面转角q(x)等于挠曲线在该处的斜率。
c
q
讨论纯弯曲时，给出梁变形后的曲率为： 1 = M r EI
弹性理论精确分析指出，梁的跨高比 L/h>10时， 剪力对弯曲变形的影响可忽略不计。 故上式可应用于横力弯曲的普遍情况。
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1 M y (x)应与M(x) 同号， 梁变形后的曲率为： =
x M 4kN.m
10kN
x 6kN.m
14
b 0.035 m
一般按正应力设计，再校核剪切强度。
小 结
1. 梁横截面上的正应力s呈线性 分布，其大小为 s =My/Iz 正负由弯曲后的拉压情况判断。
y 3FS s maxt y 压 max =
M
z
2bh
h C
FS t
b
s max拉
2. 中性轴过截面形心，该处正应力s 等于零。 3. 梁的弯曲强度条件：
挠度 q
？
转角
9.4.1 梁的挠度和转角
梁在xy平面内弯曲。 挠曲线：弯曲后梁的轴线。
c
c q x
x
挠曲线
挠度y：梁弯曲后各截面形心的垂直位移，y=y(x)。 转角q：各截面转过的角度(角位移)，q=q(x)。 即 x处挠曲线的切线与x轴的夹角。
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9.4.2 挠曲线微分方程
挠曲线方程: y=y(x)，微分得 y
压Iz/3.25a=8[s]拉Iz/13a
M-[s]拉Iz/1.75a=4[s]拉Iz/7a
M
s max 压
M 7 = M 13
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9.3.5 矩形截面梁的弯曲切应力
纯弯曲 横力弯曲 分 析 内力：弯矩 M M ; 剪力 FS 横截面上：正应力 s
s
： 切应力 t
y
?
h
截面上t与FS平行，指向相同。 h>b时，截面上y相同处t相同。 y= ±h/2处，t=0。
梁的弯曲强度条件：
M s max = [s ] Wz
作用 抗力
若材料拉压性能不同，则
s max拉 [s 拉 ] s max压 [s 压 ]
处处均应满足强度条件。 5
例9.9 空心矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm， B=60mm，h=80mm，b=30mm，若[s]=120MPa， 试校核梁的强度。 q=20kN/m 解：1）作FS、M图。 z h 固定端弯矩最大， O A 2 M max=qL /2=14.4 kN.m L=1.2m b
约束边界条件
分段连续条件 固定端 x=L, y=0 x=L, q=0 自由端
yy
AA 固定铰
C 滚动铰 B
C y1 q y2 L C处 处:: q 2 1
固定端 C B
B
xx
y
A
自由端
无约束
L/2
L/2
x
三个约束 限制移动和转动
Fx=0，二个约 束，限制y和q
确定挠 度转角
梁AC、CB二段M(x)不同，需分1、2二段积分。 分段连续条件为：x=L/2， y 1=y 2; q 1=q 2。
F2
F3 dx
s t b F1
( M - dM ) y ( M - dM ) S z F2 = s dA = dA = A1 A1 Iz Iz
F3 = t bdx
有：SFx=F1-F2+F3=0 对于矩形截面，有：
Sz = ydA =
A1
h/ 2 y
Sz dM FSS z t= = Sz=? Iz b dx Iz b
4a
2) M>0时： 截面应力分布？
smax拉=3.25aM/Iz smax压=1.75aM/Iz
强度条件: M+[s]拉Iz/3.25a=4[s]拉Iz/13a
s max 压
C
y
1.75a 3.25a
9
M
s max 拉
对于拉压力学性能（许用应力）不同的材料，应 讨论二 ：铸铁T形截面梁有 [s]压/[s]拉=2，试求其
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汇总 ： 用积分法求梁的变形
挠曲线微分方程： EI z y '' ( x) = M ( x)
转角方程：
挠度方程：
EI zq = EI z y ( x) = M ( x)dx C1
'
EI z y = M ( x)dxdx C1 x C2
静定梁总有二个变形约束边界条件，确定积 分常数。 M(x)不同时，需分段积分。分段处必须保证 左右挠度、转角连续，可确定增加的常数。 梁的弯曲变形是客观存在的，总有唯一解。
1 2 1 2 qL qLx qx 2 2
积 转角方程 EIz y '( x) = - 1 qL2x 1 qLx2 - 1 qx 3 C1 6 2 2 分 得 挠度方程 EI y ( x) = - 1 qL2x 2 1 qLx 3 - 1 qx 4 C x C z 2 1
注意按使用要求设计截面。 所能承受的最大正负弯矩之比。 M>0时，强度条件: M+[s]拉Iz/3.25a=4[s]拉Iz/13a M<0时： 截面应力分布？ smax拉=1.75aM/Iz smax压=3.25aM/Iz 强度条件： z
1.75a C 3.25a
y
y
4a
a
4a
s max 拉
C
a
M-[s]
横截面有对称轴的平面弯曲。 纯弯曲 横力弯曲 载荷作用在纵向对称面内； 平面弯曲的条件 梁的高跨比 h/L< 0.25； 变形平面假设的条件
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最大弯曲正应力:
y=ymax 时，s=s max ，故
y
smax压
x
M
Mymax M s max = = Iz Wz
M
smax拉
Wz =Iz /y max ，是抗弯截面模量。(如表9.2或手册)
b
b
h/b=2/3 h
M
O
s bmax
Wz=b3/6 强度条件：
b3 M max [s ] 6
W z=2b 3/27
强度条件：
2b 3 M max [s ] 27
强度条件：
3 b 3 M max 8 [s ]
b=147 h=220.5mm
b=h=193mm
b=253 h=169mm
2 42757 mm 115%
2) 抗弯截面模量Wz 查表9.2有： Wz =H2 [B-b(h/H)3 ]/6 =1.227 10 -4 m 3 3）强度校核:
B
H
x FS图 qL x M图 qL2/2
Mmax 14.4 10 3 s max = = - 4 = 117MPa<[s]=120Mpa 强度足够。 6 Wz 1.22710
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面积 mm2 重量: 32413 87%
37249 mm2 100%
讨论二：铸铁T形截面梁如图， 若[s]压/[s]拉=2，
试求其所能承受的最大正负弯矩之比。
中性轴在哪？
解：1) 求形心位置 压 a 拉 8a 2y c =2a 4a 2-0.5 4a 2
y c =3a/4
y z
z
4a a
yc o C a
A1 得到：
y b h2 by dy = ( - y 2 ) F zS h2 h 2 t= ( -y ) 2 4 2Iz b 4
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结论
横力弯曲梁中有切应力。
y
z 中性轴处， y =0 ，Iz=bh /12， 截面上t与Q 平行，指向相同。 F 平行，指向相同。 S FS t 故有： 2 h>b时，截面上 t相同。 3相同处 FS FSh y b t± = = = t 1 . 5 max m y= h/2处， y= ± 8 I zt=0。 2bh 纵向面上的切应力 t 由 t max 切应力互等定理确定。 [t ] 切应力强度条件：
EI zq = EI z y ( x) = M ( x)dx C1
'
EI z y = M ( x)dxdx C1 x C2
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已知M(x)，积分可求q、y，常数C1、C2如何确定 ？
积分常数C 1 、C 2的确定 考 虑
铰链： x=0, y=0 x=L, y=0 静定梁 平面问题
2. 按弯曲正 s = M max [s ] 应力设计： max bh 2/ 6
4b 3 6 103 6 150106
4kN.m 10kN
A
MB B
1m FS
1m FB
b 0.182 m
2. 按弯曲切 3FSmax t max= [t ] 应力设计： 2 bh
3 3 10 10 b2 4 60106
例9.10 矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2，已知 F=15kN，a=0.8m，[s]=10MPa
解：1. 求支反力：
F A =FB=3F 2. 作FS、M图。 M max =Fa=12 kN.m 3. 注意h/b=3/2，则： Wz =bh2 /6=3b 3 /8 4. 强度条件： 3 3 ma x 3b M =12 10 Wz = 8 [s ] 1010 6 解得：b0.147m150mm
思路： 仍沿研究变形体力学问题的主线。
变形的几何协调 (几何分析) 力与变形之关系 (物理关系) 力的平衡 (已熟悉)
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分析结果汇总：
变形几何关系： e=-y/r 物理关系：
y
smax压
x
s=Ee=-y/r
静力平衡条件： A ydA=0 中性轴z过截面形心
1/r=M/EIz 梁的曲率
M
smax拉
r
EIz
挠曲线近似微分方程为： 对于材料和截面不变的梁
段，EI z是常量。故有：
y
o
r
c
q
M ( x) 1x ) = M ( x) y( = EI r ( x) EI z z
''
c q x
x
2 3 /2 y ) ( 1 数学分析曾给出： ： r ( x) =± y
略去二阶小量 y 2，得到：
h
t max
矩形截面梁的弯曲切应力为：
FS h2 t是y的函数，呈抛物线分布， 2 t= ( y ) 最大切应力在中性轴处且等 2Iz 4
于平均切应力的1.5倍。
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讨论三、矩形截面梁AB受力如图。 [s]=150MPa，
[t]=60MPa， 若取h/b=2，试设计其尺寸。 解：1.求反力，作FQ、M图。
Iz--截面对z轴的惯性矩。
EI--截面抗弯刚度。
结论： s=-My/Iz
中性轴上，s=0，截面上、下缘，
s =s max 。
3
9.3.4
平面弯曲的最大正应力及强度条件
y
My 弯曲正应力公式： s = Iz
按绝对值计算应力s 的大小，依 据弯曲后的拉压情况判断正负。
M
smax压
x
M
smax拉
适用范围：
第九章
梁的平面弯曲
9.1 用截面法作梁的内力图 9.2 利用平衡微分方程作梁的内力图 9.3 梁的应力与强度条件 9.4 梁的变形
9.5 弯曲静不定问题和 弹塑性问题简介
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9.3 梁的应力与强度
讨论平面纯弯曲梁。 横截面上只有弯矩。
M
y M
z
s
x
弯矩分布在横截面上， 只能是正应力。
问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?
s max
Mymax M = = [s ] Iz Wz
Iz 为截面对z 轴的惯性矩，W z 为抗弯截面模量。
4. 矩形截面梁的弯曲切应力呈抛物线分布，最大切 应力在中性轴处且等于平均切应力的1.5倍。
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9.4 梁的变形
杆的拉压 轴的扭转 伸长或缩短 DL
单位扭转角 q
y
o
y 为正 梁的弯曲变形 q 截面 正 如何描述
F a 2F F Fa Fa
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2F
2F a
F
a FB F x
FA
a
a
a
FS
Fa
2F
x
M
Fa
7
x
讨论一： M max =Fa=12 kN.m，[s]=10MPa，
试设计木梁不同截面的尺寸。 截面设计应尽可能使 h h/b=3/2 h/b=1 b 材料远离中性轴。 b Wz =bh 2/6 =3b 3/8