第六节 空间向量及其运算和空间位置关系

所成
角的大小为 90°.
答案：90°
uuur
uuur
uuur
1．已知空间四边形 OABC 中，OA＝a，OB＝b，OC ＝c，点 M
uuuur 在 OA 上，且 OM＝2MA，N 为 BC 中点，则 MN ＝ ( )
A.12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C.12a＋12b－12c
D.23a＋23b－12c
[练一练] 1．若平面 π1，π2 垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是
A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)
()
解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项 A 中的
∴OD1 ＝(－Baidu Nhomakorabea，－1， 2)．
又点 B(2,2,0)，M(1,1， 2)， uuur
∴ BM ＝(－1，－1， 2)， uuur uuur
∴OD1 ＝ BM .又∵OD1 与 BM 不共线，
∴OD1∥BM.
又 OD1⊂平面 D1AC，BM⊄平面 D1AC，
∴BM∥平面 D1AC.
(2)连接 OB1，点 B1(2,2， 2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
uuur uuur
uuur uuur
∵OD1 ·OB1 ＝(－1，－1， 2)·(1,1， 2)＝0，OD1 ·AC ＝(－1，
－1， 2)·(－2,2,0)＝0， uuur uuur uuur uuur
∴OD1 ⊥OB1 ，OD1 ⊥ AC ，即 OD1⊥OB1，OD1⊥AC，
又 OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面 AB1C.
，
N
0，1，12
，
则
uuuur A1 M
＝
－1，12，－1
，
uuur DN
＝
0，1，12
，
所
以
uuuur uuur cos〈 A1M ， DN 〉 ＝
uuuur uuur
|
uAuu1Mur ·DuuNur A1M |·| DN
＝0，所以 |
uuuur A1 M
⊥
uuur DN ，故异面直线
A1M
与
DN
夹角公 cos〈a，b〉＝
式
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a32 b21＋b22＋b23
1．共线向量定理中 a∥b⇔存在 λ∈R，使 a＝λb 易忽视 b≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． 3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量， 不要误为是共面向量．
uuur uuur uuur uuur z，使OP ＝xOA＋yOB＋zOC 且 x＋y＋z＝1
2．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
②a⊥b⇔ a·b＝0 (a，b 为非零向量)；
③|a|2＝ a2 ，|a|＝ x2＋y2＋z2.
(2)向量的坐标运算：
2．建立空间直角坐标系的原则： (1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上． 3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法： 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共 线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解 决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线 所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范 围不同，最后应进行转化．
3．如图，在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，M，N 分别是 CD， CC1 的 中 点 ， 则 异 面 直 线 A1M 与 DN 所 成 角 的 大 小 是 ________．
解析：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为 1，则
D(0,0,0)
，
A1(1,0
，
1)
，
M
0，12，0
∴答案OuuC：ur1 (＝1)OuuuACuur1uA＋r Cuu(C2ur)112＝uAu12Bur(＋uAuB12uruA＋uDuruA＋uDuruA)u＋Aur1uAuAur1
＝12
uuur AB
＋12
uuur AD
＋
uuur AA1
.
若 2 题中条件不变，结论改为：设 E 是棱 DD1 上的点，
又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，
所以 BD∥平面 EFGH.
[类题通法] 1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面 向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否 则不一定正确．
[针对训练] 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OuuMuuru＝ur 13(OuuuuAurur＋OuuuBuuru＋r OuuCur)． (1)判断 MA， MB， MC 三个向量是否共面；
[试一试] 1．有以下命题：①如果向量 a，b 与任何向量不能构成空间向量
的一个基底，那么 a，b 的关系是不共线；②O，A，B，C 为 uuur uuur uuur
空间四点，且向量OA，OB，OC 不构成空间的一个基底，那
么点 O，A，B，C 一定共面；③已知向量 a，b，c 是空间的
一个基底，则向量 a＋b，a－b，c 也是空间的一个基底．其
中正确的命题是
()
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解析：对于①，“如果向量 a，b 与任何向量不能构成空间向量 的一个基底，那么 a，b 的关系一定是共线”，所以①错误．② ③正确． 答案：C
2．在下列命题中：
①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；
②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不
解析：显然
uuuur uuur MN ＝ON
－OuuMur ＝12(OuuBur ＋OuuCur )－23OuuAur .
答案：B
2.如图，在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点．
①化简
uuur A1O
－12
uuur AB
－12
uuur AD
＝________；
uuur uuur uuur uuur uuur ②用 AB， AD， AA1 表示OC1 ，则OC1 ＝
(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任
uuur
uuur
意两点，则称 AB为直线 l 的方向向量，与 AB平行的任意非零
向量也是直线 l 的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内
两不共线向量，n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为
n·a＝0， n·b＝0.
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
(λ∈R，b≠0)
垂直 a⊥b⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
uuur uuur uuur uuur 解：(1)由OA＋OB＋OC ＝3OM ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ∴OA－OM ＝(OM －OB)＋(OM －OC )
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 即 MA＝ BM ＋CM ＝－ MB－ MC ∴ MA， MB， MC 共面．
[证明] (1)连接 BG，
则
EG
＝
EB
＋
BG
＝
EB
＋1( 2
BC
＋
BD)
＝ EB＋ BF ＋ EH ＝ EF ＋ EH ，
由共面向量定理知：
E，F，G，H 四点共面．
(2)因为 EH ＝ AH － AE
＝1 2
AD－12
AB ＝12(
AD
－
AB)＝12
BD
，
因为 E，H，B，D 四点不共线，所以 EH∥BD.
两个向量垂直．答案：A
2．已知 a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是________． 解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2θ＋1＋sin2θ)－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量 a＋b 与 a－b 的夹角为 90°. 答案：90°
第六节
空间向量及其运算和空间位置关系
1．空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 (平行向量) 平行或重合 共面向量 平行于 同一平面 的向量
共线向量 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在
定理 λ∈R，使 a＝λb 共面向量 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面
间向量的意义知，a，b 所在直线异面，则 a，b 必共面，故②错误；
三个向量 a，b，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故③
不正确；只有当 a，b，c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为
p＝xa＋yb＋zc，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为 0，
故选 A .
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)求证：BM∥平面 D1AC；
(2)求证：D1O⊥平面 AB1C；
怎样建立空间直角坐标系？
思 考
怎样用空间坐标证明两直线平行？
怎样用空间坐标证明两直线垂直？
[ 证 明 ] (1) 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 点
O(1,1,0)，D1(0,0， 2)， uuur
uuur uuur uuur (2)由(1)知 MA， MB， MC 共面，
且共过同一点 M，∴四点 M，A，B，C 共面．从而点 M 在平
面 ABC 内．
[典例] (2014·汕头模拟)如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，BB1 ＝ 2，M 是线段 B1D1 的中点．
[类题通法] 利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与 直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直： (1)设直线 l1 的方向向量 v1＝(a1，b1，c1)，l2 的方向向量 v2＝(a2，b2，c2)．
则 l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)设直线 l 的方向向量为 v＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 n＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)． (3)设平面 α 的法向量 n1＝(a1，b1，c1)，β 的法向量为 n2＝(a2， b2，c2)，则 α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.
________.
解析：①
uuur A1O
－12
uuur AB
－12
uuur AD
＝
uuur A1O
－12(
uuur AB
＋
uuur AD
)＝
uuur A1O
－
uuur AO
＝
uuur uuur uuur A1O＋OA＝ A1 A.
uuur ②OC
＝12
uuur AC
＝12(
uuur AB
＋
uuur AD)，
定理 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ xa＋yb
空间 向量 基本 定理
语言描述
定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间 任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}使得 p＝ x a＋y b＋z c
推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对平面 ABC 内任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x、y、
且
uDuEur＝23
uuuur DD1 ，若
uuur EO
＝x
uuur AB
＋y
uuur uuur AD＋z AA1
.试求
x，y，
z 的值. uuur uuur uuur
解： EO ＝ ED＋ DO
＝－23
uuuur DD1
＋12(
uuur DA＋
uuur DC)
＝12
uuur AB
－12
uuur AD
－23
uuur AA1
，
由条件知，x＝12，y＝－12，z＝－23.
[典例] 已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，用向量方法，求证：
(1)E，F，G，H 四点共面； (2)BD∥平面 EFGH.
思考
向量法证明四点共线 的条件是什么？
怎样用向量证明两直 线平行？
共面；
③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；
④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量
p 总存在实数 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：a 与 b 共线，a，b 所在直线也可能重合，故①不正确；据空