第4讲 分式及其运算

安 徽 省
数
学
第一章 数与式
第4讲 分式及其运算
要点梳理
1．分式的基本概念 A (A，B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0) (1) 形如B 的式子叫 分式； A A B≠0 ＝0时，分式 无意义； (2)当 ____时 ，分式 有意义；当B ____ B B 当
A＝0且B≠0
A 时 ，分式 B的值为零．
同分母加减法：
异分母加减法：
；
．
要点梳理
(3)分式的乘除法： ad ac ac a c bc ·＝ bd ÷ ； ＝ bd b d (4)分式的乘方： an an (n 为正整数) ( ) ＝ bn b
．
．
要点梳理
4．最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个 分式叫做最简分式． 5．分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做 约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母 分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分 式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简 公分母．
（x＋2）（x－2） x－3－1 解：原式＝ ÷ ＝ （x＋3）（x－3） x－3 （x＋2）（x－2） x－3 （x＋2）（x－2） · ＝ ， （x＋3）（x－3） x－4 （x＋3）（x－4）
不等式 2x－3＜7，解得 x＜5，其正整数解为 1，2，3，4， 1 当 x＝1 时，原式＝ 4
分式方程的解法
(2)(2014· 济宁)已知 x＋y＝xy，求代数式 1 1 x＋y－(1－x)(1－y)的值．
y＋x 1 1 解：∵x＋y＝xy，∴ ＋ －(1－x)(1－y)＝ －(1－x x y xy x＋y －y＋xy)＝ －1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0 xy
【点评】 (1)分式的基本性质是分式变形的理论 依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分 式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出 分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式 ，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分 应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复
x 3 4．(1)(2014· 德州)分式方程 － 1＝ x－1 （x－1）（x＋2）
的解是( D ) A．x＝1 B．x＝－1＋ 5
C．x＝2
D．无解
x m (2)(2014· 巴中)若分式方程 － ＝2 有增根， 则这个 x－1 1－x 增根是__x＝1__．
3 x (3)(2014· 新疆)解分式方程： 2 ＋ ＝1. x －9 x－3
两个技巧 (1)分式运算中的常用技巧 分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解． 如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后 “通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，
裂项相消．
(2)分式求值中的常用技巧
分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当
的变形、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②
解：方程两边都乘(x＋3)(x－3)，得 3＋x(x＋3)＝x2－9， 3＋x2＋3x＝x2－9，解得 x＝－4，检验：把 x＝－4 代入 (x＋3)(x－3)≠0，∴x＝－4 是原分式方程的解
要点梳理
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以) 同一个不等于零的整式 ，
分式的值不变，用式子表示为 A A×M A A÷ M ＝ ， ＝ (M 是不等于零的整式) M 。B B×M B B÷ ．
要点梳理
3．分式的运算法则 (1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号 ，改变其中 任何两个 ，分式的值不变． －a －a －a a a a a 用式子表示： b＝－ ＝ ＝－ b ；－ b＝ ＝ b . b b b － － － (2)分式的加减法： a b a±b ± c c＝ c b d bc± ad ±＝ a c ac
分式的概念，求字母的取值范围
2 【例 1】 (1)(2014· 贺州)分式 有意义，则 x 的取值范 x－1 围是( A ) A．x≠1 B．x＝1 C．x≠－1 D．x＝－1
x2－1 (2)(2014· 毕节)若分式 的值为零，则 x 的值为( C ) x－1
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【点评】
|x|－3 (2)当 x＝__-3 __时，分式 的值为 0. x－3
分式的性质
【例 2】 (1)(2014· 贺州)先化简，再求值： a ＋2a＋1 (a b＋ab)÷ 其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1. ， a＋1
2
2
a＋1 解：原式＝ab(a＋1)· 2 ＝ab，当 a＝ 3＋1， （a＋1） b＝ 3－1 时，原式＝3－1＝2
杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和
已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值
Байду номын сангаас
．
2．(1)(2012· 义乌)下列计算错误的是( A ) 0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a x3y2 x B. 2 3＝ xy y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
x 4 【例 4】 (2014· 舟山)解方程： － ＝1. x＋1 x2－1
解：去分母，得x(x－1)－4＝x2－1，去括号，得x2 －x－4＝x2－1，解得x＝－3，经检验x＝－3是分式 方程的解
【点评】
(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是
确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首 先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最 简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常 数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分 式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式 方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去 ．
【点评】
准确、灵活、简便地运用法则进行化
简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能
取使分式无意义的0与〒2.
1 3．(1)(2014· 十堰)已知 a －3a＋1＝0，则 a＋a－2 的值为
2
( B) A. 5＋1 B．1 C．－1 D．－5
x2－4 1 (2)(2014· (1－ )， 娄底)先化简 2 ÷ 再从不等式 2x－3 x －9 x－3 ＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值 ．
类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物
之间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想 和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去 建立猜想和发现规律的方法．通过类比可以发现新 旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识， 分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习 中，要注意与分数进行类比学习理解．
(1)分式有意义就是使分母不为0，解不等
式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首
先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值
是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这
就是所要求的字母的值．
x 1．(1)(2013· 广州)若代数式 有意义，则实数 x 的取值 x－1 范围是( D ) A．x≠1 C．x＞0 B．x≥0 D．x≥0 且 x≠1
x－2 1 (2)(2014· )÷ 广安)化简(1－ 的结果是 x－1 x2－2x＋1 __x－1__．
分式的四则混合运算
3x x ) 【例 3】 (2014· 深圳)先化简，再求值：( － x－2 x＋2
x ÷2 ，在－2，0，1，2 四个数中选一个合适的代入求值． x －4
3x（x＋2）－x（x－2） （x＋2）（x－2） 解：原式＝ · ＝ x （x＋2）（x－2） 2x＋8，当 x＝1 时，原式＝2＋8＝10
x2 x 3．(2012· 安徽)化简 ＋ 的结果是( D ) x－1 1－x A．x＋1 B．x－1 C．－x D． x m－1 m－1 4．(2014· 济南)化简 m ÷ m2 的结果是( A ) 1 1 A．m B. m C． m－1 D. m－1 4x－12 5．(2014· 安徽)方程 ＝3 的解是 x＝__6__． x－2
要点梳理 6．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法 化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算． 若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律， 运算结果必须是最简分式或整式． 7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方 程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是 增根，需舍去．
一个思想
参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．
x＋ 1 1．(2014· 温州)要使分式 有意义 ，则 x 的取值应满足( A ) x－ 2 A．x≠ 2 B． x≠－1 C． x＝ 2 D． x＝－1
x2－4 2．(2014· 广州)计算： ，结果是( B ) x－ 2 A．x－ 2 B ．x＋2 x－ 4 x＋ 2 C. D. 2 x