向量的定义和计算

向量的定义和计算

设物体在常力的作用下沿直线从点移到点，用表示位移向量

，力在位移方向上的分力大小为，力所作的功为：

抛开这一问题的物理背景，我们可以给出一般地向量的数量积定义：

设是两向量，且它们之间的夹角为，称数量为向量的数量积，并记作 ，即

注明：记号又可称之为“点乘”。

据此定义，上例所求的功实际上是力与位移的数量积，即

。

因

是在向量方向上的投影，若用来记这个投影，便有：

类似有：

这表明： 两向量的数量积等于其中一向量的模与另一向量在该向量方向上

的投影的乘积。

这一事实的力学意义是十分鲜明的。

F M 1M 2 r M M 12 F r θcos F F θ

⋅⋅=cos r F w

a b θ a b ⋅cos θ

a b

a b ⋅

a b a b ⋅=⋅cos θ

a b ⋅ a ∙ b w F

r w F r =⋅

b cos θ

b a prj b a a b a prj b a

⋅=⋅ a b b prj a b

⋅=⋅

2、数量积的性质

(1)、

事实上，与的夹角， 故

(2)、设，为非零向量，若，那么与垂直( 记作

)；反

之，若，那么。

证明：

(3)、(交换律)

事实上，

(4)、(分配律)

事实上， (5)、(数乘向量的结合律)

证明： 设向量与之间的夹角为，

若 ，与同方向，故与 的夹角仍为 ，于是

若 ， 与反方向， 故与 的夹角仍为， 于是

a a a

⋅=2

a

a θ=0 a a a a a a a

⋅=⋅⋅=⋅=cos02

a b a b ⋅=0 a b a b ⊥ a b ⊥ a b ⋅=0

a b a b a b ⋅=⇔⋅⋅=≠≠0000cos (,)

θ而⇔=∈⇔=

⇔⊥cos ([,])θθπθπ

002

又 a b

a b b a ⋅=⋅

a b a b b a b a

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅cos cos θθ

a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅() a b c a prj b c a prj b prj c a a a ⋅+=⋅+=⋅+()()()=⋅+⋅=⋅+⋅ a prj b a prj c a b a c a a ()()()λλλ

a b a b a b ⋅=⋅=⋅ a

b θλ>0λ a a λ

a b θ()cos ()cos λλθλθ

a b a b a b ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅()cos (cos )()

λθλθ

a b a b a b λ<0λ a a λ

a b πθ-()cos()()(cos )

λλπθλθ

a b a b a b ⋅=⋅⋅-=⋅⋅⋅-

若 ，

综合上述三点，有 成立。

类似地可证明 。

(6)、两向量数量积的坐标表示形式

设 ，则有

证明：

注明:基本单位向量有

利用向量数量积的计算公式，很容易地得到了下列向量模计算公式

(7)、两向量间夹角余弦的坐标表示式

若 ，，由 ，有

=-⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅=⋅()(cos )(cos )()

λθλθ

a b a b a b λ=0()cos ()

00000⋅⋅=⋅=⋅⋅==⋅⋅ a b b b a b θ()()λλ

a b a b ⋅=⋅

a b a b ⋅=⋅()()λλ

a a a a

b b b b x y z x y z =={,,},{,,}

a b a b a b a b x x y y z z

⋅=++

a b a i a j a k b i b j b k x y z x y z ⋅=++⋅++()()=++⋅+++⋅+++⋅()()()()()()

a i a j a k

b i a i a j a k b j a i a j a k b k x y z x x y z y x y z z

=⋅+⋅+⋅+

()()()()()()a b i i a b j i a b k i x x y x z x

()()()()()()a b i j a b j j a b k j x y y y z y

⋅+⋅+⋅+

()()()()()()

a b i k a b j k a b k k x z y z z z

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+()()()a b a b a b x x y x z x 100()()()a b a b a b x y y y z y ⋅+⋅+⋅+010()()()a b a b a b x z y z z z ⋅+⋅+⋅001=++a b a b a b x x y y z z

i j k i i j j k k ⊥⊥⋅=⋅=⋅=,且1 a a a a a a x y z

=⋅=++()222 a ≠0 b ≠0 a b a b ⋅=⋅⋅cos θ

并且有

【例1】已知三点， 和，求向量与

之间的夹角。

解：

而

故

【例2】设液体流过平面

上面积为的一个区域，液体在该区域上各点处的

流速均为常向量，设为垂直于的单位向量，计算单位时间内经过该区域

流向所指向一侧的液体重量( 设液体的比重为)。

cos θ=⋅⋅=++++⋅++ a b

a b a b a b a b a a a b b b x x y y z z x y z x y z 22222

2

a b a b a b a b x x y y z z ⊥⇔=⇔++=cos θ00

M 1111(,,)M 2221(,,)M 3212(,,)M M 12M M 13θM M 12212111110=---={,,}{,,}M M 132********=---={,,}{,,}M M M M 12131110011⋅=⋅+⋅+⋅

=2221102=++

=2221012

=++=cos ,θθπ

==

123πA v n π

n P

μ