部分不同元素定序(或部分相同元素)的排列问题的解题策略

部分不同元素定序（或部分相同元素）的排列问题的解题策略

河南省三门峡市卢氏一高高二数学组（472200） 赵建文

部分不同元素顺序一定的排列问题是排列问题中的一类重要题型，是高考考察的热点之一，本文将这类问题的解题策略作以介绍供同学们学习时参考.

一、逐一插入法

例1 甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必须站在乙的左边，丙必须站在乙的右边，有多少种不同的排法？

分析：本题是部分不同元素定序问题，可以用逐一插入法.

解析：先把甲乙丙按指定顺序拍成一排只有1种排法，再在甲乙丙的两端和之间5

个空档中宣1个位置让丁站有14C 种不同的方法， 再在这4人之间和两端5个空档中选1

个位置让戊站有15C 种不同的站法，根据分步计数原理，符合要求站法有1×1

4C ×15C =20种.

点评：对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用逐一插入法，先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端.注意定序的元素之间顺序一定、部分相同元素是组合问题.

二、 消序法

例2 今有2本相同语文书3本相同数学书4本相同英语书排成一排，有多少种不同的排法？

分析：本题是部分相同元素的排列问题，可以用消序法.

解析：先把这9本书排成一排有99A 种不同的排法，其中，2本语文书有2

2A 排法，3

本数学书有33A 种排法，4本英语书有44A 种排法，因相同的书无序，所以2本相同语文书3本相同数学书4本相同英语书都各只有1种排法，消去它们的顺序的这9本书的排法有

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332299 A A A A 种. 点评：对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用消序法，先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序.

三、优序法

例3在一个晚会上有相声、唱歌、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个，要求相声节目必须排在小提琴独奏前，小品排在小提琴独奏后，这台晚会的节目有多少种不同的排法？

分析：本题是部分元素顺序一定排序问题，可以用优序法.

解析：先把这5个节目排成一排占5个位置，先在这5个位置中选3个位置按从前到

后为相声、小提琴独奏、小品顺序安排这三个节目有35C 种不同方法方法，再在其余2个位

置上安排唱歌和诗歌朗诵有2

2A 种不同方法，根据分步计数原理，符合要求的节目排法有2235A C =20种.

点评：对部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的问题，常用方法还有优序法，先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列.