数列不等式论文

目录

1 引言 (1)

2 文献综述 (1)

2.1国外研究状况 (1)

2.2国内研究状况 (1)

2.3国内外研究状况评价 (1)

2.4提出问题 (1)

3 数列不等式的证法 (2)

3.1定积分法 (2)

3.2放缩法 (3)

3.2.1裂项相消法 (3)

3.2.2分拆法放缩 (4)

3.2.3利用叠加叠成模型放缩 (5)

3.2.4利用二项式定理放缩 (6)

3.3凸函数法 (7)

3.4柯西不等式法 (9)

3.5利用函数﹑导数法证明 (12)

4 综合法 (13)

5 结论 (16)

5.1主要发现 (16)

5.2启示和意义 (16)

5.3局限性 (16)

5.4未来研究的建议 (16)

参考文献 (17)

1引言

数列不等式一直是高考的热点和难点，而且多次作为压轴题出现，同时也是数学竞赛的常考知识点之一.通过研究近几年的高考试题及竞赛试题发现,这类问题主要以等比、等差数列作为载体，侧重考察数列不等式的基本证法—放缩法，以及函数方程的数学思想.但从查到的国内外文献资料来看，国内外研究者对这一问题的研究不是很多且不全面，因此对数列不等式证法的研究是一件很有意义的工作.

2文献综述

2.1国外研究状况

国外研究者对这一问题的证法较少.2003年L·C拉森在其文献[1]《美国大学生数学竞赛例题选讲》中讨论了不等式的证明. L·C拉森在第七章介绍了不等式，包括基本不等式；算术平均-几何平均不等式；柯西-施瓦茨不等式；不等式的函数方法；不等式的级数方法等.

2.2国内研究状况

国内许多专家，学者研究过数列不等式的证法.文献[2]刘玉琏，付沛仁，刘宁等在《数学分析讲义》中介绍了定积分的知识；文献[3-14]从放缩法的角度介绍了数列不等式的证法；文献[15-18]介绍了函数凸凹性在证不等式中的应用及函数凹凸性在高考中的应用；文献[19-21]介绍了柯西不等式在数列不等式方面的应用；文献[22]叶立军在其专著《数学方法论》中介绍了函数思想在中学数学解题中的应用.

2.3国内外研究状况评价

从查到的国内外文献来看，国外研究者对数列不等式的证法的研究不是很完善，国内的研究者在这一问题的研究硕果累累，但是研究者介绍的方法中存在本质一样表述不一样的情况，并且所有的文献对数列不等式的证明的方法不是很完善.

2.4提出问题

针对以上情况，笔者试图较为完整的总结以前的证法，并在此基础给出数列不等式的一些新的证明方法.

3数列不等式的证法

3.1 定积分法

定积分的产生是因为人们需要计算平面上封闭曲线围成区域的面积才产生的，为了计算这些区域的面积，把它归结为计算具有特定结构的和式的极限[2].那么我们可以利用定积分的有界性估计一些形如1()()n

i i f m a f n =≤≤∑数列不等式的上下界，来证明数列不

等式.

在高中数学新教材A 版选修2—3中，已经对定积分的概念以及微积分的基本定理做了介绍.在高中阶段讲授用定积分来证明数列不等式这一重要方法，学生是可以接受的，并且是很有必要的. 例1

求证n

11)k =<< (1,)k k N *>∈.

证明：考虑函数()f x =在区间[]k 1k -，，(1,2,,k n =)上的定积分.

因为

,

k k -<⎰. 所以

,

n

n k n 0

k 1

k 1==<==∑⎰⎰.

同理考虑函数()f x =

在区间[]k k+1，，(1,2,,k n =)上的定积分.因为

11k k

+=>⎰.

所以

n

n 111

k 1

k 11)k n k ++==>==∑⎰⎰.

综上问题得证

在证明1

()()n

i i f m a f n =≤≤∑型数列不等式时，可以构造一个定义在区间[,]a b 上的可

积函数()f x ，然后求出可积函数在这一区间的定积分即可. 定积分法是证明数列不等式的一种新方法.

3.2 放缩法

在证明过程中，根据题意对分式中的分子或分母进行适度的放大或缩小，从而证明不等式，这种证明方法就叫放缩法.放缩法是一种证明不等式的重要方法，在高考中用放缩法来证明数列不等式是一个热点也是一个难点，常常被作为试题的压轴题，难度很大.下面介绍放缩法的几种基本方法. 3.2.1裂项相消法

对于通项是分数形式的数列，将其中的每一项都分裂为某两个分数之差，这列分数的和，除首尾两项或首尾几项外其它所有项前后相消，那么数列的前n 项和就等于首尾两项或首尾几项之差，这种方法称为裂项相消法. 例2[13] (2006年全国卷）设数列{}n a 的前n 项和n S =1412

2333

n n a +-⨯+，1,2,n =.

（Ⅰ）求首项1a 和通项n a ；

（Ⅱ）设2n

n n S T =，1,2,

n =，证明：1

n

i i T =∑32

<

. 证明：由已知条件易得

（Ⅰ）1a =2，n a =42n n -，1,2,

n =.

（Ⅱ） ∵S n =1412

2333n n a +-⨯+.

∴n S =()1412422333n n n +--⨯+.

()()12

21213

n n +=--. 2n n n S T ==()()13

222121n n n

+⨯--. =131122121n

n +⎛⎫

⨯- ⎪--⎝⎭

.