第4章 插补原理要点
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故，对第一象限的直线OA从起点（即 坐标原点）出发，当F≥0时，+x向进 走一步；当F<0时， +y方向走一步。 对于起点在原点的第一象当两方向所 走的步数与终点坐标相等时，停止插 补。
如果直接按偏差公式（1）计算偏差，需做2次乘法、1次 减法。由于数控加工过程中，每一步都需计算偏差，这 种计算比较麻烦且耗时长。为此数控加工过程中采用递 推的方法计算偏差，即：每走一步后新的加工点的偏差 为前一点的加工偏差递推出来。 由于采用递推方法，必须知道开始加工点的偏差，而 开始加工点正是直线的起点，故F0, 0=0。
•
（二）数据采样插补 数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结 果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据编程进 给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微 小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数 据进行输出，以控制伺服系统实现坐标轴的进给。 插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项 工作，为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三 种结构方式进行改进。 1. 采用软/硬件结合的两级插补方案。
第四章
第一节
数控加工编程基础
插补原理（补充内容）
插补原理
一、概述 实际加工中零件形状各式各样，有由直线、圆弧组成的零件轮廓；也有 由自由曲线、曲面、方程曲线和曲面体构成的零件轮廓，对这些复杂的零 件轮廓最终还是要用直线或圆弧进行逼近以便数控加工。 数控装置的核心部分是控制运算器，它的主要任务是进行插补运算，常 用的插补运算法有：逐点比较法、数字积分法、时间分割法等。 插补计算就是对数控系统输入基本的数据（如直线的起点、终点、圆心 坐标等），运用一定的算法计算，并根据计算结果向相应的坐标发出进给 指令。实现这一插补运算的装置，称为“插补器”。 控制刀具或工具的运动轨迹是数控机床轮廓控制的核心，无论是硬件数 控（NC）系统，还是计算机数控（CNC）系统，都有插补装置。在 CNC 中，以 软件插补或者硬件和软件联合实现插补；而在NC中，则完全由硬 件实现插补。但无论哪种方式，其基本原理都是相同的。
2. 采用多CPU的分布式处理方案。
3. 采用单台高性能微型计算机方案。
二、基准脉冲插补
一、 逐点比较法 加工图1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设让刀具先从A点 沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点。为使刀具逼近圆弧，同时又 向终点移动，需沿＋X方向走一步，刀具到达2点，仍位于圆弧内， 需再沿＋ X方向走一步，到达圆弧外 3点，然后再沿－ Y 方向走一步， 如此继续移动，走到终点。
下面推导其递推公式 设在加工点P（xi，yi）处， Fi，j ≥0，则应沿+x方向进给一步， 此时新加工点的坐标值为： xi+1 , j= xi +1 ， yi = yi 新加工点的偏差为： Fi+1，j= xe yi－(xi+1) ye
= xe yi－xi ye － ye
即：Fi+1，j = Fi ,j －ye
令：Fi , j=
xe yi－xi ye --------（1）
偏差判别：根据刀具当前位置， 确定进给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹 趋进，即向减少误差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定 轨迹之间的偏差，作为下一步判 别依据。 终点判别：判断是否到达终点， 若到达，结束插补；否则，继续 以上四个步骤（如图3所示）。
加工图2所示直线 OE也一样，先从 O点沿＋ X向进给一步，刀具到达 直线下方的 1点，为逼近直线，第二步应沿＋ Y方向移动，到达直线上 方的2点，再沿＋X向进给，直到终点。 所谓逐点比较法：就是每走一步都要和给定轨迹比较一次，根据比较 结果来决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向并趋向终点 移动，刀具所走的轨迹应该和给定轨迹非常相“象”。
1. 插补原理 一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行：
图3 逐点比较法工作循环图
2. 直线插补
下图所示第一象限直线OA，起点O为坐标原点，用户编程时，给出直线的终 点坐标A（xe，ye），加工点为P（xi，yi）。 •若P点正好处在直线OA上，则直线方程为：
xe yi－xi ye＝0
图3 逐点比较法工作循环图
（1）若P点在直线上方，则有： Fi，j >0 （2） 若P点在直线上，则有： F i， j ＝ 0 （3）若P2点在直线下方，则有 ： Fi，j <0
因此，式（1）作为点P所在区域的判别式（称为偏差判别式）。
Fi ，j= xe yi－xi ye
右图可见，对于起点在原点的第一象 限的直线OA，当P在直线上方（F>0） 时，应向+x方向进给一步，以逼近直 线； 当P在直线下上方（F<0）时，应向+y 方向进给一步，以逼近直线； 当P在直线上（F=0）时，既可向+x方 向进给一步，也可向+y方向进给一步。 一般将F>0及F=0视为一类情况，即 F≥0时，都向+x方向进给一步。
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若加工点P（xi，yi）处， Fi，j <0，则应沿+y方向进给一步， 此时新加工点的坐标值为： xi = xi ， yi = yi +1
新加工点的偏差为： Fi，j +1 = xe yi+1－xi ye
= xe( yi +1) －xi ye
即：Fi，j +1 = Fi ,j +xe
结论：逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤（节拍），即： ①偏差判别：根据偏差值Fi,j>、=、<0，确定当前加工点的位置。 ②坐标进给：根据偏差值Fi,j>、=、<0，确定沿哪个方向进给一步。 ③偏差计算：根据递推公式算出新加工点的偏差，作为下一步判别依 据。 ④终点判别：判断是否到达终点，若到达，结束插补；否则，继续以 上四个步骤。 一般用x和y坐标所要走的总步数J来判别， 令J= xe + ye，每走一步则J减1，直到J=0。
数控系统中常用的插补算法有：逐点比较法、数 字积分法、时间分割法等。 • 目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和 数据采样插补。 （一）基准脉冲插补 基准脉冲插补又称脉冲增量插补，这类插补 算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多 给每一轴一个进给脉冲。把每次插补运算产生的 指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动， 每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位， 也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。
如果直接按偏差公式（1）计算偏差，需做2次乘法、1次 减法。由于数控加工过程中，每一步都需计算偏差，这 种计算比较麻烦且耗时长。为此数控加工过程中采用递 推的方法计算偏差，即：每走一步后新的加工点的偏差 为前一点的加工偏差递推出来。 由于采用递推方法，必须知道开始加工点的偏差，而 开始加工点正是直线的起点，故F0, 0=0。
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（二）数据采样插补 数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结 果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。根据编程进 给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微 小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数 据进行输出，以控制伺服系统实现坐标轴的进给。 插补计算是计算机数控系统中实时性很强的一项 工作，为了提高计算速度，缩短计算时间，按以下三 种结构方式进行改进。 1. 采用软/硬件结合的两级插补方案。
第四章
第一节
数控加工编程基础
插补原理（补充内容）
插补原理
一、概述 实际加工中零件形状各式各样，有由直线、圆弧组成的零件轮廓；也有 由自由曲线、曲面、方程曲线和曲面体构成的零件轮廓，对这些复杂的零 件轮廓最终还是要用直线或圆弧进行逼近以便数控加工。 数控装置的核心部分是控制运算器，它的主要任务是进行插补运算，常 用的插补运算法有：逐点比较法、数字积分法、时间分割法等。 插补计算就是对数控系统输入基本的数据（如直线的起点、终点、圆心 坐标等），运用一定的算法计算，并根据计算结果向相应的坐标发出进给 指令。实现这一插补运算的装置，称为“插补器”。 控制刀具或工具的运动轨迹是数控机床轮廓控制的核心，无论是硬件数 控（NC）系统，还是计算机数控（CNC）系统，都有插补装置。在 CNC 中，以 软件插补或者硬件和软件联合实现插补；而在NC中，则完全由硬 件实现插补。但无论哪种方式，其基本原理都是相同的。
2. 采用多CPU的分布式处理方案。
3. 采用单台高性能微型计算机方案。
二、基准脉冲插补
一、 逐点比较法 加工图1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设让刀具先从A点 沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点。为使刀具逼近圆弧，同时又 向终点移动，需沿＋X方向走一步，刀具到达2点，仍位于圆弧内， 需再沿＋ X方向走一步，到达圆弧外 3点，然后再沿－ Y 方向走一步， 如此继续移动，走到终点。
下面推导其递推公式 设在加工点P（xi，yi）处， Fi，j ≥0，则应沿+x方向进给一步， 此时新加工点的坐标值为： xi+1 , j= xi +1 ， yi = yi 新加工点的偏差为： Fi+1，j= xe yi－(xi+1) ye
= xe yi－xi ye － ye
即：Fi+1，j = Fi ,j －ye
令：Fi , j=
xe yi－xi ye --------（1）
偏差判别：根据刀具当前位置， 确定进给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹 趋进，即向减少误差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定 轨迹之间的偏差，作为下一步判 别依据。 终点判别：判断是否到达终点， 若到达，结束插补；否则，继续 以上四个步骤（如图3所示）。
加工图2所示直线 OE也一样，先从 O点沿＋ X向进给一步，刀具到达 直线下方的 1点，为逼近直线，第二步应沿＋ Y方向移动，到达直线上 方的2点，再沿＋X向进给，直到终点。 所谓逐点比较法：就是每走一步都要和给定轨迹比较一次，根据比较 结果来决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向并趋向终点 移动，刀具所走的轨迹应该和给定轨迹非常相“象”。
1. 插补原理 一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步骤进行：
图3 逐点比较法工作循环图
2. 直线插补
下图所示第一象限直线OA，起点O为坐标原点，用户编程时，给出直线的终 点坐标A（xe，ye），加工点为P（xi，yi）。 •若P点正好处在直线OA上，则直线方程为：
xe yi－xi ye＝0
图3 逐点比较法工作循环图
（1）若P点在直线上方，则有： Fi，j >0 （2） 若P点在直线上，则有： F i， j ＝ 0 （3）若P2点在直线下方，则有 ： Fi，j <0
因此，式（1）作为点P所在区域的判别式（称为偏差判别式）。
Fi ，j= xe yi－xi ye
右图可见，对于起点在原点的第一象 限的直线OA，当P在直线上方（F>0） 时，应向+x方向进给一步，以逼近直 线； 当P在直线下上方（F<0）时，应向+y 方向进给一步，以逼近直线； 当P在直线上（F=0）时，既可向+x方 向进给一步，也可向+y方向进给一步。 一般将F>0及F=0视为一类情况，即 F≥0时，都向+x方向进给一步。
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若加工点P（xi，yi）处， Fi，j <0，则应沿+y方向进给一步， 此时新加工点的坐标值为： xi = xi ， yi = yi +1
新加工点的偏差为： Fi，j +1 = xe yi+1－xi ye
= xe( yi +1) －xi ye
即：Fi，j +1 = Fi ,j +xe
结论：逐点比较法直线插补每走一步都要完成四个步骤（节拍），即： ①偏差判别：根据偏差值Fi,j>、=、<0，确定当前加工点的位置。 ②坐标进给：根据偏差值Fi,j>、=、<0，确定沿哪个方向进给一步。 ③偏差计算：根据递推公式算出新加工点的偏差，作为下一步判别依 据。 ④终点判别：判断是否到达终点，若到达，结束插补；否则，继续以 上四个步骤。 一般用x和y坐标所要走的总步数J来判别， 令J= xe + ye，每走一步则J减1，直到J=0。
数控系统中常用的插补算法有：逐点比较法、数 字积分法、时间分割法等。 • 目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和 数据采样插补。 （一）基准脉冲插补 基准脉冲插补又称脉冲增量插补，这类插补 算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多 给每一轴一个进给脉冲。把每次插补运算产生的 指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动， 每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位， 也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。