师大附中高三期中考试数学试卷及答案
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
(整理版)师大附中高三期中考试
师大附中高三期中考试 数学试卷〔理工类〕1.本试卷分第I 卷和第II 卷两局部，共4页。
总分值150分。
考试时间120分钟。
2.本试卷涉计的内容：集合与逻辑、根本初等函数〔I 〕〔II 〕、导数及其应用。
第I 卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的.U R =，集合{}{}()3021,log 0,x U A x B x x A C B =<<=>⋂=则A.{}1x x >B.{}0x x >C.{}01x x <<D.{}0x x <()212sin ,46f x x fππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 A.32-B.12-C.12D.320,1a a >≠，函数log ,,x a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是4.2a ≥是函数()223f x x ax =-+在区间[]1,2上单调的0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么,,a b c 的大小关系是A.a <b <cB.b a c <<C.c b a <<D.b c a <<22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是ππ的偶函数2π2π的偶函数 ()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么()f x 的图像的一条对称轴的方程是A.9x π=B.6x π=C.3x π=D.2x π=()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数为 A.sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B.sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C.1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D.1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像512π个长度单位512π个长度单位 56π个长度单位56π个长度单位()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，假设()6f x f π⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，那么ϕ等于 A.6π B.56π C.76π D.116π()112xf x =-的图像是()cos f x x π=与函数()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为A.2B.4第II 卷〔共90分〕二、填空题〔每题4分，总分值16分〕210,,sin cos 224a παα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭且，那么tan α的值等于___________.14.计算：2211x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰_____________. ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()12f x f x +=-，当23x ≤≤时，()(),2013f x x f ==则______________.()()()220log 0x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为__________.三、解答题〔总分值74分〕17.〔此题总分值12分〕函数()23sin cos cos .f x x x x =- 〔I 〕求()f x 的最小正周期和单调递增区间； 〔II 〕当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值.18.〔此题总分值12分〕设函数为奇函数，且在1x -时取得极大值.〔I 〕求b ，c ；〔II 〕求函数的单调区间； 〔III 〕解不等式()2f x ≤.19.〔此题总分值12分〕ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且sin 4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔I 〕求tanA 的值；〔II 〕假设ABC ∆的面积24,6S b ==，求a 的值.20.〔此题总分值12分〕设函数()sin cos ,f x x x x x R =-∈. 〔I 〕当0x >时，求函数()f x 的单调区间； 〔II 〕当[]0,2013x π∈时，求所有极值的和.21.〔此题总分值12分〕设函数()xf x e =.〔I 〕求证：()f x ex ≥；〔II 〕记曲线()()()(),0y f x P t f t t =<在点其中处的切线为l ，假设l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.22.〔此题总分值14分〕 函数()()21ln0.f x ax x a x=-+> 〔I 〕讨论()f x 的单调性；〔II 〕假设()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2.f x f x +>-。
北京市师大附中2020届高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
北京师大附中2020学年（上）高三期中考试数学（理）试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求出集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，，则，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，则复数= （）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在极坐标系中，曲线是（）A. 过极点的直线B. 半径为2的圆C. 关于极点对称的图形D. 关于极轴对称的图形【答案】D【解析】试题分析：,表示圆心为半径为1的圆，关于极轴对称的图形，所以选D.考点：极坐标4.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件。
考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值。
点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断。
此题为基础题型。
视频5.若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )A. 2个B. 4个C. 3个D. 多于4个【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数满足，所以函数的周期为2，又当时，，故当时，，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程有4个根，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边经过点（，），且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意角的终边经过点（，），且，根据三角函数的定义，可知，则，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中根据三角函数的定义得到，再合理利用诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数的导数为，当时，，则函数为单调递增；当时，，则函数为单调递减，即当时，函数取得极小值，且为最小值，又由，可得函数在的值域，由函数在递增，可得的值域，由对于任意的，总存在，使得，可得，即为，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.8.已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在△内部或边界上运动，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由可得以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则直线方程为，则直线AM方程为联立，解得：由图可知，当在线段上时，有最大值为0，当在线段上时，有最小值，设∴的范围是[，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年福建师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)试题及答案
2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|110}A x x =-<…，集合{|1}B x lgx =…，则(A B = )A ．{|110}x x -<…B ．{|110}x x -剟C ．{|010}x x <<D ．{|010}x x <…2．若非零向量a ，b 满足||||a b =，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒3．已知 1.22a =，0.21()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺5．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．若1sin()42πα-=，则cos(2)(2πα+= )A ．34-B ．23-C ．12-D ．13-7．已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．1()sin 1xxe f x x e -=+ B ．1()sin 1xx e f x x e -=+C ．1()cos 1x xe f x x e -=+ D ．1()cos 1xxe f x x e -=+8．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，BC AC =．根据这些信息，可得sin 234(︒= )AB． C． D． 9．若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，目标函数z ax y =+仅在点(2,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1(2,)2-B ．11(,0)(0,)32- C ．1(0,)2D ．11(,)32-10．已知平面向量PA ，PB 满足||||1PA PB ==，12PA PB =-，若||1BC =，则||AC 的最大值为() A 1-B 1-C1D 111．已知函数21()cos (0)22xf x x ωωω=->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，5]12B ．(0，55][126，11)12C ．(0，5]6D ．(0，55][126，11]1212．设函数2()()x f x ax e a R =+∈有且仅有两个极值点1x ，212()x x x <，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,)2ee --B ．[,]2ee --C ．(,)e -+∞D ．(,)2e-∞-二、填空题：每小题5分，共20分. 13．边界在直线x e =，y x =及曲线1y x=上的封闭的图形的面积为 ． 14．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=．现在已知23a =，34b =，则ab = ．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足212n n S S n n ++=+，若对*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立，则首项1a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a c -=，sin B C =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)6A π+的值．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2(2)1n n S n a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*21()4n nb n N a =∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <．19．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )a b C C =+． （1）求角B 的大小； （2）若2A π=，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值．20．已知数列{}n a 满足：12121222n n n n a a a a n ---++⋯++=，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n n n b b a +-=，求数列{}n b 的通项公式．21．已知函数21()(1)2f x x a x alnx =+++，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，记()f x 的最小值为M ，证明：1315M <．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<…，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设(1,2)P ，求22||||PA PB +的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()1f x x +…；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++…．2019-2020学年福建师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|110}A x x =-<…，集合{|1}B x lgx =…，则(A B = )A ．{|110}x x -<…B ．{|110}x x -剟C ．{|010}x x <<D ．{|010}x x <…【解答】解：集合{|110}A x x =-<…， 集合{|1}{|010}B x lgx x x ==<剟， {|010}AB x x ∴=<<．故选：C ．2．若非零向量a ，b 满足||||a b =，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：设a 与b 的夹角为θ．(2)a b b +⊥，||||0a b =≠，∴222(2)22||||cos ||||(2cos 1)0a b b a b b a b b b θθ+=+=+=+=，∴1cos 2θ=-，又[0θ∈︒，180]︒，120θ∴=︒． 故选：B ．3．已知 1.22a =，0.21()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：0.20.2 1.21()222b a -==<=，1a b ∴>>．552log 2log 41c ==<， a b c ∴>>．故选：C ．4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为( )A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺【解答】解：设此等差数列{}n a 的公差为d ， 则14713931.5a a a a d ++=+=，198985.52a d ⨯+=， 解得：1d =-，113.5a =． 则1213.511 2.5a =-=． 故选：B ．5．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定成立， 例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，⋯，此时2(1)10+-=>，111()0244+-=>； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要而不充分条件， 故选：C ．6．若1sin()42πα-=，则cos(2)(2πα+= )A ．34-B ．23-C ．12-D ．13-【解答】解：1sin()42πα-=，则211cos(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)12sin ()122222442πππππαπαααα+=--+=--=--=-+-=-+⨯=-，故选：C ．7．已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．1()sin 1x xe f x x e -=+ B ．1()sin 1xx e f x x e -=+C ．1()cos 1x xe f x x e -=+ D ．1()cos 1xxe f x x e -=+ 【解答】解：根据题意，由图象可得：该函数为偶函数，且在y 轴右侧，先为正值，后为负值，据此分析选项：对于A ，1()sin 1x xe f x x e -=+，则11()sin()sin ()11x x x x e e f x x x f x e e -----=-==++，为偶函数，且在(0,)π上，()0f x >，符合题意；对于B ，1()sin 1x x e f x x e -=+，则11()sin()sin ()11x xx x e e f x x x f x e e -----=-==++，为偶函数，但在(0,)π上，()0f x <，不符合题意；对于C ，1()cos 1x xe f x x e -=+，则11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e -----=-=-=-++，为奇函数，不符合题意；对于D ，1()cos 1x x e f x x e -=+，则11()cos()cos ()11x xx x e e f x x x f x e e -----=-=-=-++，为奇函数，不符合题意； 故选：A ．8．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，BC AC =．根据这些信息，可得sin234(︒=)AB．C．D．【解答】解：由图可知，72ACB∠=︒，且12cos72BCAC︒==．2cos1442721cos∴︒=︒-=．则sin234sin(14490)cos144︒=︒+︒=︒=．故选：C．9．若x，y满足约束条件220330240x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，目标函数z ax y=+仅在点(2,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是()A．1(2,)2-B．11(,0)(0,)32-C．1(0,)2D．11(,)32-【解答】解：如图，x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………的可行域为ABC ∆．当0a =时，符合题意；当0a >时，由z ax y =+变形得y ax z =-+，可知12a ->-，得102a <<；当0a <时，由z ax y =+变形得y ax z =-+，可知2a -<，得一20a <<； 综上得122a -<<． 故选：A ．10．已知平面向量PA ，PB 满足||||1PA PB ==，12PA PB =-，若||1BC =，则||AC 的最大值为() A 1-B 1-C 1D 1【解答】解：||||1PA PB ==，12PA PB =-，1cos 2||||PA PB A PA PB ∴==-，23A π∴=，由余弦定理可得2222cos 1113AB PA PB PA PB A =+-=++=， 3AB ∴=，即||3AB =， ||1BC =，当A ，B ，C 在同一直线上时，||AC 有最大值， ||||||31AC AB BC ∴=+=+，故选：D ．11．已知函数21()cos (0)22xf x x ωωω=->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，5]12B ．(0，55][126，11)12C ．(0，5]6D ．(0，55][126，11]12【解答】解：函数211()cos cos sin()2226xf x x x x x ωπωωωω=-=+=+， 可得2T πω=，ππω…，01ω<…，()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：0626πωππωππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……或6226ππωππωππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……，解得(0ω∈，55][126，11]12． 故选：D ．12．设函数2()()x f x ax e a R =+∈有且仅有两个极值点1x ，212()x x x <，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,)2e e --B ．[,]2ee --C ．(,)e -+∞D ．(,)2e-∞-【解答】解：函数2()()x f x ax e a R =+∈，()2x f x ax e '=+． 有且仅有两个极值点1x ，212()x x x <，则：20x ax e +=，显然0a ≠，1x ，2x 是直线12y a =-与曲线()x xy g x e==两交点的横坐标， 由1()0xxg x e -'==，得1x =．列表：此外注意到：当0x <时，()0g x <；当[0x ∈，1]及(1,)x ∈+∞时，()g x 的取值范围分别为[0，1]e 和1(0,)e．于是题设等价于110(,)22ea a e <-<⇒∈-∞-， 故实数a 的取值范围为：(,)2e-∞-故选：D ．二、填空题：每小题5分，共20分.13．边界在直线x e =，y x =及曲线1y x=上的封闭的图形的面积为 2 ．【解答】解：边界在直线x e =，y x =及曲线1y x=上的封闭的图形的面积为2211113()()|22eee x dx x lnx x --=-=⎰；故答案为：232e -．14．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=．现在已知23a =，34b =，则ab = 2 ． 【解答】解：23a =，34b =， 2log 3a ∴=，3log 4b =．32lg a lg ∴=，43lg b lg =． 34223lg lg ab lg lg ∴==．故答案为：2．15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为【解答】解：如图所示，BCD ∆中，80CD =，15BDC ∠=︒，BCD ACB DCA ∠=∠+∠ 12015135=︒+︒=︒， 30CBD ∴∠=︒，由正弦定理得，80sin135sin 30BD =︒︒，解得2BD ==，ACD ∆中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 15CAD ∴∠=︒，80AD CD ∴==；ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠22280280cos135805=+-⨯⨯︒=⨯，AB ∴=，即A ，B两点间的距离为．故答案为：．16．已知数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足212n n S S n n ++=+，若对*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立，则首项1a 的取值范围是 13(,)44- ．【解答】解：212n n S S n n ++=+，∴212(1)1,(2)n n S S n n n -+=-+-…， 两式作差得141n n a a n ++=-，2n …，145n n a a n -∴+=-，3n … 两式再作差得114n n a a +--=，3n …， 可得数列{}n a 的偶数项是以4为公差的等差数列，从3a 起奇数项也是以4为公差的等差数列．若对*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立，当且仅当1234a a a a <<<．又123a S +=，2132a a ∴=-，321742a a a ∴=-=+，4311172a a a =-=-， 1111324272a a a a ∴<-<+<-，解得：11344a -<<． 故答案为：13(,)44-．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a c -=，sin B C =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)6A π+的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）sin B C =，∴由正弦定理可得：b =，2⋯分又a c -=， 2a c ∴=，3⋯分由余弦定理可得：222cos 2b c a A bc +-==6⋯分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A ==，7⋯分sin 22sin cos A A A ∴==，9⋯分 21cos 22cos 14A A =-=-，11⋯分sin(2)sin 2coscos 2sin666A A A πππ∴+=+=．13⋯分 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2(2)1n n S n a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*21()4n nb n N a =∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <． 【解答】解：（1）因为2(2)1n n S n a =+-，① 所以当1n =时，1112231a S a ==-，得11a =，当2n …时，112(1)1n n S n a --=+-，② ①-②得，12(2)(1)n n n a n a n a -=+-+， 即11n n a n a n-+=， 32112134111232n n n a a a n n a a a a a n -++∴=⋯=⋯=， 11a =符合上式．故12n n a +=； （2）证明：22111114(1)(1)1n n b a n n n n n ==<=-+++， 可得前n 项和11111111122311n T n n n <-+-+⋯+-=-<++． 19．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin cos )ab C C =+． （1）求角B 的大小； （2）若2A π=，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABCD 面积的最大值．【解答】解：（1）在ABC ∆中，(sin cos )a b C C =+． ∴有sin sin (sin cos )A B C C =+，sin()sin (sin cos )B C B C C ∴+=+， cos sin sin sin B C B C ∴=，sin 0C >，则cos sin B B =，即tan 1B =， (0,)B π∈， ∴则4B π=．（2）在BCD ∆中，2BD =，1DC =， 22212212cos 54cos BC D D ∴=+-⨯⨯⨯=-，又2A π=，则ABC ∆为等腰直角三角形，21115cos 2244ABC S BC BC BC D ∆=⨯⨯⨯==-， 又1sin sin 2BDC S BD DC D D ∆=⨯⨯=，∴55cos sin )444ABCD S D D D π=-+=+-，当34D π=时，四边形ABCD 的面积最大值，最大值为54+20．已知数列{}n a 满足：12121222n n n n a a a a n ---++⋯++=，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n n n b b a +-=，求数列{}n b 的通项公式． 【解答】解：（1）1n =时11a =，12121222n n n n a a a a n ---++⋯++=① 23121221(2)n n n a a a n n ---++⋯+=-…②①2-⨯②2(2)n a n n ⇒=-…， 11a =满足上式，故2n a n =-．（2）1(2)2n n n b b n +-=-，有121232111202(3)2(2)n n n b b b b b b n n --⎧-=⨯⎪-=⨯⎪⎨⋯⎪⎪-=-⨯⎩…累加整理，12111202(3)2n n b n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯，(2)n …①()()2322120232,2n n b n n =+⨯+⨯+⋯+-⨯②…②-①得22121212(3)2(4)2512n n n n b n n --=-+⨯+-=---， 11b = 满足上式，故(4)25n n b n =--．21．已知函数21()(1)2f x x a x alnx =+++，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，记()f x 的最小值为M ，证明：1315M <． 【解答】解：（1）已知函数21()(1)2f x x a x alnx =+++，a R ∈，的定义域为(0,)+∞， (1)()()(1)a x x a f x x a x x++'=+++=， 所以当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a < 时，若0x a <<-时，()0f x '<，()f x 在(0,)a -上单调递减， 若x a >-时，()0f x '>，()f x 在(,)a -+∞上单调递增，综上：当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a < 时，若0x a <<-时，()0f x '<，()f x 在(0,)a -上单调递减， 若x a >-时，()0f x '>，()f x 在(,)a -+∞上单调递增．（2）当0a < 时，由（1）知，由（1）知，21()()()2min f x f a a a aln a =-=--+-，令21()()2g x x x xln x =--+-，且0x <，则()()g x x ln x '=-+-，令()()h x x ln x =-+-，0x <，则11()10xh x x x-'=-+=<， 所以()h x 在(,0)-∞上单调递减，又1(02h =->，11()10h e e -=-<，所以存在0(x ∈1)e -， 使得0()0h x =，且00()0x ln x -+-=，所以当0(,)x x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0(x x ∈，0)时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以当0x x =时，()g x 取得最大值，因为222220000000000011111()()(1)22222g x x x x ln x x x x x x x =--+-=--+=-=--，令211()(1)22k x x =--，(x ∈1)e -，则()k x 在(x∈1)e -上单调递减，所以2111213()(225315k x e <⨯=+<+=， 所以013()15g x <， 因此当0a < 时，13()15min f x <，即记()f x 的最小值为M ，1315M <． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<…，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设(1,2)P ，求22||||PA PB +的取值范围．【解答】解：（1）直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=．⋯⋯⋯⋯（2分） 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程2268210x y x y +--+=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程：24(sin cos )40t t αα-++=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） 因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为1t ，2t ， 则124(sin cos )t t αα+=+，124t t =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）并且△216(sin cos )1632sin cos 0αααα=+-=>， 注意到0απ<…，解得02πα<<．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有222222121212||||()216(sin cos )816sin 28PA PB t t t t t t ααα+=+=+-=+-=+， 因为02πα<<，所以sin 2(0α∈，1]，16sin 28(8α+∈，24]．因此22||||PA PB +的取值范围是(8，24]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()1f x x +…；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++…． 【解答】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 （Ⅰ）解：()1f x x +…，即|1||3|1x x x -+-+…．①当1x <时，不等式可化为421x x -+…，1x …． 又1x <，x ∴∈∅；②当13x 剟时，不等式可化为21x +…，1x …． 又13x 剟，13x ∴剟． ③当3x >时，不等式可化为241x x -+…，5x …． 又3x >，35x ∴<…．综上所得，13x 剟，或35x <…，即15x 剟． ∴原不等式的解集为[1，5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+--+-=…， 2c ∴=，即2a b +=．令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，22222(1)(1)11444111()2a b m n m n m n a b m n m n mn --+=+=+++-==+++…， 原不等式得证．。
高三试卷数学-西北师范大学附属中学2023届高三上学期期中考试数学试卷及参考答案
西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}3,2,1,2A =---，{}2560B x x x =--≤，则()RA B ⋂=ð（）A.{}3- B.{}3,2,1--- C.{}3,2-- D.{}1,2-2.集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（）A.12-B.()0,4a ∈C.()[),04,a ∈-∞⋃+∞ D.()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎩⎭3.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件4.已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ，命题1:,1e xq x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q⌝∧C.p q∨⌝ D.()p q ⌝∨5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式:2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升到8000，则C 大约增加了（）()lg 20.301≈A.10%B.20%C.30%D.50%6.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是①若//m n ，,m n αβ⊂⊂，则//αβ；②若,m n αβ⊂⊂，//αβl m ⊥，，则l n ⊥；③若,,m n αβ⊥⊥//αβ，则//m n ；④若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥；A.②③B.③④C.②④D.③7.已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（）A.()()11f x f x -+ B.()()11f x f x +- C.()()1f x f x -D.()()1f x f x +8.已知3log 2a =，4log 3b =，23c =，则（）A .a c b<< B.c<a<bC.b a c <<D.b<c<a9.函数()3cos 2xxf x x⋅=的部分图象大致是（）A. B.C. D.10.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A.3- B.2- C.0D.111.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[18,27]12.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()f x f x '<，则不等式4(1)(23)x e f x e f x ⋅+<⋅-的解集是（）A.(,2)-∞ B.(2,)+∞ C.(4,)+∞ D.(,4)-∞二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若3,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((2))f f -=__________．14.函数()2lg 2y c x x =+-的定义域是(, 4)m m +，则实数c 的值为__________________.15.(33sin d x x -=⎰______.16.已知定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()()42f x f x f +=+，且在区间[]0,2上是增函数，①函数()f x 的一个周期为4；②直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴；③函数()f x 在[)6,5--上单调递增，在[)5,4--上单调递减；④函数()f x 在[]0,100内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.在“①函数y =的定义域为R ，②x ∃∈R ，使得120x x k -+-+≤，③方程20x k +=有一根在区间[)1,+∞内”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：已知条件p ：______，条件q ：函数()22f x x kx =-在区间()3,a -上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最大值．18.已知函数()ln 11f x mx x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（其中m ∈R 且0m ≠）是奇函数.（1）求m 的值；（2）若对任意的[]ln 2,ln 4x ∈，都有不等式()e ln 0xf x k -+≥恒成立，求实数k 的取值范围.19.已知函数()()22ln f x x x a x a =-+∈R .（1）若函数在1x =处的切线与直线420x y --=垂直,求实数a 的值;（2）当0a >时,讨论函数的单调性.20.已知函数()2211a f x a a x+=-，0a >．（1）证明：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）设0m n <<，若()f x 的定义域和值域都是[,]m n ，求n m -的最大值．21.已知函数21()e 2xf x x ax =--有两个极值点1x ，2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理）命题人：张丽娇审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】A【11题答案】【答案】C【12题答案】【答案】D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【13题答案】【答案】9【14题答案】【答案】3【15题答案】【答案】9π2##4.5π【16题答案】【答案】①②④三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】14-【18题答案】【答案】（1）2m =（2）20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【19题答案】【答案】（1） 4a =-；（2）答案见解析【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）433【21题答案】【答案】（1）()1+∞，（2）证明见解析。
兰州市师大附中数学高三上期中经典测试(含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20472．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B ．222(3)2x y x +=+C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 3．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D ．624．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．166．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmB ．3 kmC ．105 kmD ．107 km7．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．149．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202010．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71011．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．212．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<13．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km14．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3515．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．16二、填空题16．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．17．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.18．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x,y ∈R ，都有f(x)⋅f(y)=f(x +y)，若a 1=12，a n =f(n)，(n ∈N +)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是__________．19．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 20．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．21．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 22．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则ACAB+AB AC+BC 2AB⋅AC的最大值是__________．23．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．24．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .25．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题26．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若AC =ABC ∆的面积；（2）若sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 27．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，（1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积. 28．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .29．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．30．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．C 5．A6．D7．A8．A9．B10．B11．D12．B13．D14．C15．D二、填空题16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b将转为（a﹣b）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x17．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在18．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy∈R都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f (1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两20．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的21．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了22．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB⋅AC= bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c23．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题24．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=， =，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.3．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.4．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．5．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立， 设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈， ()2210f x x∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．10．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==,从而可得：30BAC ∠= 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =， 103AB ∴=,那么在Rt ADB ∆中，60ABD ∠=,3sin 60103152AD AB ∴==⨯=， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．11．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.12．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.13．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =,又60DAE ∠=,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=,所以30EDB EBD ∠=∠=, 所以90ADB ∠=,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=,所以BD =,因为9030CBE ∠=+120=,30EBD ∠=,所以CBD ∠90=,所以240CD ===km ,所以cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 902904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有. 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.14．C解析：C 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====考点：等差数列的前n 项和15．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.二、填空题16．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b ＞0的解集为{x|x解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227a b a c +++转为（a ﹣b ）+9a b -，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1a-=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a-，b=1a ，即c=-b,则227a b a c +++=()29a b a b-+-=（a ﹣b ）+9a b -，当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+9a b-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b-≤﹣6, 故227a b a c+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.17．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析：1【解析】 【分析】利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >，可得11x +>.可令()11t x t =+>，即1x t =-，则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，当且仅当t =1x =时，等号成立.故答案为：1． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=n y=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：[12,1)【解析】试题分析：由题意，对任意实数x,y ∈R ，都有f(x)f(y)=f(x +y)，则令x =n,y =1可得f(n)f(1)=f(n +1)，即f(n +1)a n+1a n=f(n+1)f(n)=12，即数列{a n }是以a 1=12,为首项，以12为公比的等比数列，故a n =f(n)=(12)n,S n =12(1−12n)1−12=1−12n∈[12,1)考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两 解析：[－2，+∞）【解析】 【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1x），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案. 【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+ 1x）,又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x）≤-2；要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可； 综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）； 故答案为[-2，+∞）． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．20．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的 解析：52【解析】 试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.21．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=，0q ≠，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.22．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：2√2【解析】试题分析：由题意得12bcsinA =12a 2⇒bcsinA =a 2，因此AC AB+AB AC+BC 2AB⋅AC=b c+cb+a 2bc=b 2+c 2+a 2bc=a 2+2bccosA+a 2bc=2cosA +2sinA ≤2√2,从而所求最大值是2√2考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.23．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤得821n n n λ-≤+，即(8)(21)n n nλ-+≤， (8)(21)8215n n y n n n-+==--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤=++，函数8217y n n=++，当3n =时取得最小值为773，即77,3λ-≤所以773λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．24．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.25．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主 解析：94【解析】 【分析】画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.【详解】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===,故答案为94.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题 26．（1）12；（2 【解析】 【分析】（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA ∠=，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 12222∠=⋅⋅=⨯=.（2）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==,所以cos BAC ∠=，sin BAC ∠=πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC 2∠∠=-==⎝⎭.在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABCAC sin BCA∠∠⋅∴==222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 5162413=+-=所以CD = 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.27．(1) 120.C =（2【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即 （2）由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆ 28．（1）12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由公比01q <<结合等比数列的性质得出112b =，318b =，5132b =，再确定公比，即可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为公比为()01q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以由135,,b b b 成等比数列得出，当且仅当112b =，318b =，5132b =时成立. 此时公比23114b q b ==，12q =所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）因为()1312nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以123...n n T c c c c =++++()1231111258...312222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()2311111125...343122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()123111111123...31222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111113131222n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯---⋅⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5135222nn +⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭ 故数列{}n c 的前n 项和()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.29．（1）n a n =；（2）2019． 【解析】 【分析】（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n na a n n +=+，则{}n a n为常数列，继而可算出n a ；（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥，所以11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，又22122,12n a a a S n ==∴==， (2)n a n n ∴=≥，当1n =时也满足，所以n a n =. （2）2112111(1)(1)(1)(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭， 当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则1111201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．【点睛】此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论．30．(1)a n ＝2n －1(2)T n ＝21nn + 【解析】 【分析】(1)本题首先可以对235220a a a ++=化简得到14820a d +=，再对10100S =化简得到11045100a d +=，最后两式联立，解出1d a 、的值，得出结果；(2)可通过裂项相消法化简求出结果． 【详解】(1)由已知得235111248201091010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪⎨⨯+=+=⎪⎩， 解得11d 2a ==，，所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-， (2)()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭． 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．。
2024-2025学年哈尔滨市师大附中高三数学上学期期中考试卷及答案解析
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷 (选择题， 共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x ==-，则A B = （）A. ()1,3B. 3⎡-⎣C. ⎡⎤⎣⎦D. (⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】求解一元二次不等式以及对数函数的定义域，从而解得集合,A B ，再求交集即可.【详解】{}2|230A x x x =-+≤()(){}|310{|31}x x x x x =+-≤=-≤≤，(){}2ln 2B x y x ==-{}2|20{|x xx x =->=<<，故{}(|1A B x x ⎤⋂=<≤=⎦故选：D.2. 复数20252025i z =-在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案..【详解】由12345i i,i 1,i i,i 1,i i ==-=-==，且202545061÷= ，则20251i i i ==，所以2025i z =-，可得其在复平面上对应的点为()2025,1-，即该点在第四象限.故选：D.3. 函数()2cos f x x x =+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A.π2B. 2C.π6D.π13+【答案】A 【解析】【分析】利用导数与三角函数的性质研究函数的单调性，可得答案.【详解】由()2cos f x x x =+，则()12sin f x x =-'，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得f ′(x )>0，则()f x 单调递增；当ππ,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1sin ,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()<0f x '，则()f x 单调递减；由()02f =，ππ66f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为π2.故选：A.4. 已知a是单位向量，则“||||1a b b +-= ”是“//a b ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用向量三角不等式可得||||||1a b b a +-≤= ，进而可判断充分性，若//a b，|||||1|||a a a λλλλ+-=+- ，12λ=-时可判断必要性.【详解】因为||||||1a b b a +-≤= ，当且仅当b 与a共线时取等号，所以//a b ，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的充分条件，若//a b ，则存在b a λ=，所以|||||1|||a a a λλλλ+-=+-，当12λ=-时，|||||1|||01a a a λλλλ+-=+-=≠ ，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的不必要条件，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. [)2,-+∞ C. (],0-∞ D. (],2-∞-【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数的单调性，可得()y x a x =-在()1,0-的单调性，再根据其对称轴和区间端点值关系，即可求得参数范围.【详解】因为1e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，()y x a x =-在()1,0-单调递减，故12a≤-，解得2a ≤-.故选：D.6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236S S S =+（ ）A.43B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，结合等比数列片断和性质，列式计算即得.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3614S S =，得6333S S S -=，则36333S S q S -==，又n S 为{}n a 的前n 项和，则36396129,,,S S S S S S S ---成等比数列，公比为33q =，于是23123639612933333()()()33340S S S S S S S S S S S S S =+-+-+-=+++=，所以31236334084S S S S S S ==++.故选：B7. 菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（ ）A. 0B. 2-C. 2D. 4-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，建立平面直解坐标系，设(,)P x y ，OA a =，则OB =，利用数量积的坐标运算，可得()()22444PA PB PC PD x y +⋅+=+- ，即可求解.【详解】如图，连接,AC BD 交于O ，因为ABCD 为菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，又菱形ABCD 边长为2，设(,)P x y ，OA a =，则OB =，所以(0,),(0,),(A a C a B D -，则()()()),,,,,,,PA x a y PB x y PC x a y PD x y =--=--=---=-- ，得到())2,2,2,2PA PB x a y PC PD x a y +=--+=-- ，所以()()224444PA PB PC PD x y +⋅+=+-≥- ，故选：D.8. 已知函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，当x ∈(0,1)，()31xf x =-，则()3log 32f 的值为( ).A. 31 B.5932C.4932D.21132【答案】C 【解析】【分析】由函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，得出周期为2，根据性质计算()3log 32f 即可.【详解】函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，可得f (−x )=f (x )，f (1+x )=f (1−x )，即有()()()2f x f x f x +=-=，可得()f x 的周期为2，当x ∈(0,1)，()31xf x =-，可得：()()()3333333232log 32log 324log 32log 81log log 8181f f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332log 813328149log 311813232f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 函数π()2sin()(1)3f x x ωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 1ω=B. 函数图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C 将()y f x =向左平移π3个单位长度，得到函数()2cos(6πg x x =+D. 若方程(2)f x m =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦【答案】AC 【解析】【分析】对A ：由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得ω的范围，即可求得ω；对B ：根据A 中所求解析式，求得()f x 的对称中心横坐标，检验即可；对C ：由()π3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合诱导公式，即可判断；对D ：令π23x t +=，转化题意为sin 2m t =在π4,π33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，结合正弦函数单调性和值域，即可求解.的.【详解】对A ：由图可知，π26f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故πππ2sin 2663f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π,632k k ω+=+∈Z ，121,k k ω=+∈Z ，又1ω≤，故当且仅当0k =时，1ω=满足题意，故A 正确；对B ：由A 可知，()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ,3x k k +=∈Z ，解得ππ, 3x k k =-∈Z ，令πππ33k -=，解得23k =∉Z ，故B 错误；对C ：将()y f x =向左平移π3个单位长度，得到()πππ22sin 2sin π3333g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()πππ2sin 2cos 626g x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ：()π2,0,2f x m x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即πsin 232m x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令ππ42,π333x t ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，故只需sin 2m t =在π4,π33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，又sin y t =在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在π4, π23⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，又ππsin1,sin 23==12m ≤<，即)2m ∈，故D 错误.故选：AC.10. 设正实数,m n 满足1m n +=，则（ ）A.1mm n +的最小值为3 B.+的最大值为C.的最小值为12D. 33m n +的最小值为14【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式计算可判断ACD ，利用三角代换计算可判断B.【详解】对于A ，1113n m n n m m m m m n m n +=+=++≥++=，当且仅当n mm n =，即12m n ==取等号，故A 正确；对于B ，因为正实数,m n 满足1m n +=，所以令22cos ,sin (0)2m n πθθθ==<<，1cos 2sin ))(tan 2θθθθθϕϕ=+==+=，所以当π2θϕ+=时，max +=，故B 正确；对于C ，由1m n +=，可得1≥12≤，当且仅当12m n ==取等号，的最大值为12，故C 错误；对于D ，由14mn ≤，3322211()())3131344m n m n m mn n m n mn mn +=+-+=+-=-≥-⨯=（，当且仅当12m n ==取等号，故D 正确.故选：ABD.11. 已知函数1()(0)xf x x x =>，则下列说法中正确的是（ ）A. 方程1()()f x f x=有一个解B. 若()()g x f x m =-有两个零点，则1e0e m <<C. 若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D. 若()0f x b -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：对1()(f x f x=两边取对数，再进行代数运算，即可判断；对B ：将()0g x =转化为ln ln xm x=，再研究()m x 的单调性和最值，即可求得m 的范围；对C ：对()h x 求导，对参数a 的取值进行分类讨论，结合二次求导，判断()h x 的单调性，即可求得参数范围；对D ：根据B 中所求，结合题意，将问题转化为对数平均值不等式的证明，再利用导数证明即可.【详解】对A ：1()()f x f x =，即11xx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为x >0，故等式两边取对数可得：11ln ln ln x x x x x x==-，也即1ln 0x x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又因为10x x +>，故ln 0x =，解得x =1，故方程1()(f x f x =只有一个解，A正确；对B ：()()g x f x m =-有两个零点，即方程1x x m =有两个根，又x >0，10x x >，显然m >0，故对方程两边取对数可得ln ln x m x =，令()ln x m x x =，则()m x '21ln x x -=，令()m x '>0可得()0,e x ∈，令()m x '0<可得()e,x ∈+∞，故()m x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减；又()()110,e em m ==，且当x 趋近于正无穷时，()m x 趋近于0，故ln ln x m x =有两根，只需10ln em <<，解得1e 1e m <<，故B 错误；对C ：21()(log ()2a h x x f x =-122221111ln 1log log log 222ln 2xa a a x x x x x x x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()h x '()()11ln 1ln 1ln ln ln x x x a x a a =+-=+-⋅，令()ln ln 1n x x a x =-⋅+，则()n x '1ln a x=-①当()0,1a ∈时，ln 0a <，()n x '>0，()n x 在()0,+∞单调递增，又()1ln 10n a =-+>，且当x 趋近于0时，()n x 趋近于-∞，故存在()00,1x ∈，使得()00n x =，且当()00,x x ∈时，()0n x <，()h x '>0，故此时()h x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0n x >，()h x '0<，故此时()h x 单调递减；则0x 为()h x 的极大值点，()h x 没有极小值点，不满足题意；②当()1,a ∈+∞时，ln 0a >，令()n x '>0，解得10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()n x 单调递增；令()n x '0<，解得1,ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()n x单调递减；故()n x 在1ln x a =时取得最大值，最大值为11ln ln ln n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；若1ln0ln a ≤，即101ln a<≤，也即[)e,a ∞∈+时，()0n x ≤在()0,+∞恒成立；则()h x '()10ln n x a=≤在()0,+∞恒成立，故()h x 在()0,+∞单调递减，没有极值点，不满足题意；若1ln0ln a >，即11ln a >，也即()1,e a ∈时，10ln n a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又当x 趋近于0时，()n x 趋近于0；当x 趋近于+∞时，()n x 趋近于-∞，故存在110,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10n x =，且存在21,ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()20n x =，故当()10,x x ∈，()0n x <，此时()h x '()10ln n x a=<，()h x 单调递减；当()12,x x x ∈，()0n x >，此时()h x '>0，()h x 单调递增；当()2,x x ∈+∞，()0n x <，此时()h x '0<，()h x 单调递减；故当1x x =时，()h x 取得极小值，当2x x =时，()h x 取得极大值，满足题意；综上所述，若()h x 有极大值和极小值，则()1,e a ∈，故C 正确；对D ：()0f x b -=有两个不同零点，即1x x b =，因为x >0，显然0b >，两边取对数可得1ln ln x bx=故方程ln ln xb x=有两个根，不妨设为34,x x ，且34x x <，为方便理解，根据B 中对()ln xm x x=的单调性和最值分析作图如下所示：易知()()341,e ,e,x x ∈∈+∞，且当()30,x x ∈时，ln ln xb x<，也即1x x b <，即()0f x b -<，同理可得，当()34,x x x ∈时，即()0f x b ->，当()4,x x ∈+∞时，()0f x b -<；又2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，故可得34,x x 也是方程20x cx d -+=的两根，则3434,x x c x x d +==；令ln b t =，若2ln b c <<342t x x <<+，又3344ln ,ln x tx x tx ==，故()3434ln ln x x t x x -=-，则3434ln ln x x t x x -=-，故343434ln ln 2x x x x x x -<<+-343434ln ln 2x x x x x x -+<<-334434112ln x x x xx x -+<<，令34x x x =，因为340x x <<，故()340,1x x ∈11ln 2x x x -+<<，()0,1x ∈，①1ln x x -<，因为()0,1x ∈，故ln 0x <，故只需证ln x >()0,1n =∈，则只需证()()12ln 0,0,1p n n n n n =-+>∈，又()p n '()222221212110n n n n n n n---+-=--==<，故()p n 在()0,1单调递减，又()10p =，故()0p n >1ln x x-<；②再证11ln 2x x x -+<，()0,1x ∈，因为ln 0x <，故只需证()()()214ln ln 20,0,111x q x x x x x x -=-=+-<∈++，又()q x '()()()()22222114210111x x x x x x x x x --+=-==>+++，故()q x 在()0,1单调递增，又()10q =，故()0q x <，也即()21ln 01x x x --<+，11ln 2x x x -+<；11ln 2x x x -+<<，()0,1x ∈，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，一是对方程1x x m =两边取对数，将问题转化为ln ln xm x=，再利用导数研究ln xx的单调性和最值；二是，能熟练掌握含参函数单调性的讨论，从而解决其极值问题；三是，能够对D中的问题进行合理的转化，同时，也要熟练掌握对数平均值不等式343434ln ln 2x x x xx x -+<<-的证明；属综合困难题.第Ⅱ卷 (非选择题， 共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12. 中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为81π的圆锥，则该圆锥的高度为________ .【答案】2【解析】【分析】根据浇铸前后体积不变列方程，求得圆锥的高.【详解】设圆柱的底面半径为1r ，母线长为1l ，圆锥的底面半径为2r ，高为h ，则圆柱的侧面积为112π36πr l = ，又112r l =，代入解得113,6r l ==，故211π54πV r l ==圆柱，又22π81πr =，又221π27π54π3V r h h ===圆锥，解得2h =.故答案为：2.13. 已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈【答案】40【解析】【分析】由题意建立方程组，根据对数运算，可得答案.【详解】由题意可得122410%20%ab ab ⎧=⎨=⎩，两式作比可得12112b =，解得0.05a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，可得120.052t P =⋅，令120.05250%t⋅=，解得1239.87lg 2t =≈.故答案为：40.14. 已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-=，则12a c - 的最小值为_________【答案】1【解析】【分析】设()()1,0,,,44,0OB b OA a OC c OD b ======，12OM a =u u u r r ，分析可知点M 在直线1x =上，点C 的轨迹为以()4,0D 为圆心，半径为2的圆，结合图形分析求解即可.【详解】设()()1,0,,,44,0OB b OA a OC c OD b ======，12OM a =u u u r r ，O 为坐标原点，由2a b ⋅= 可知：点A 在直线2x =上，点M 在直线1x =上，由42c b OC OD DC -=-==，可知点C 的轨迹为以()4,0D 为圆心，半径为2的圆，则123212a c OM OC CM DM -=-=≥-≥-=，可知当且仅当点C 为(2,0)，且点M 为(1,0)时，12a c -取到最小值1.故答案为：1.【点睛】方法点睛：对于向量问题，常常转化为几何问题，进而分析求解.四、解答题:本题共5小题， 共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-（1）求角B.（2）若b =，求 ABC 周长最大值.【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由题目的等式，结合余弦定理，可得答案；（2）由正弦定理可得边角的等量关系，利用三角周长公式整理函数关系式，可得答案.【小问1详解】由22()b a a c c -=-，即222b a c ac =+-，∵2222cos b a c ac B =+-，∴1cos 2B =，又(0,π)B ∈，∴π3B =.【小问2详解】的由sin sin ac AC ==可得，2sin a A =，2sin c C =，ABC V的周长2sin 2sin l a b c A C =++=++∵2+π3A C =，∴2π2sin 2sin()3l a b c A A =++=+-+3sin A A =++π6A =++∵2π03A <<，∴l的最大值为16. 已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ （1）求{}n a 的通项公式；（2）在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a = （2）332n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据条件，利用n S 与n a 间的关系，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到112n n n d +=，再利用错位相减法，即可求解.【小问1详解】321212222n n n a a a a -++++= ①，当2n ≥时，3121222(1)222n n a a a a n --++++=- ②，由①-②，得122n n a-=，即2n n a =，又当1n =时，12a =，满足2n n a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）知2nn a =，所以11222111n n nn n n a a d n n n ++--===+++，则112n nn d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭③，()12341111112341222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，由③-④得：()121111112122222n n nT n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111334*********n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=+-+=- ⎪⎝⎭-，所以332n nn T +=-.17. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．（1）求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；（2）在锐角△ABC 中，已知()32f A =-，2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠.【答案】（1）对称轴)ππ(122k x k =+∈Z ，单调递增区间为π7π0,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，,； （2.【解析】【分析】（1）根据题意，求得()f x 并化简至一般式，再根据正弦的函数的对称性和单调性求解即可；（2）根据（1）中所求解析式，求得A ，在利用正弦定理求得sin C ；再在△ABD 和△ACD 中，两次使用正弦定理，即可求得关于BAD ∠的三角函数关系，再求结果即可.【小问1详解】221()2sin cos(2sin 2sin sin 6)2sin 2f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin 2(1cos 2)232x x x x x π=-=--=+-，由ππ22π,32x k k +=+∈Z ，得ππ,12x k k =+∈Z ，所以()f x 的对称轴为)ππ(122kx k =+∈Z .由πππ2π22π,232k x k k -+<+<+∈Z ，解得5πππ,π,1212x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，又[]0,πx ∈，所以单调递增区间为π7π0,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，.【小问2详解】由（1）知，33()322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由π02A <<，得ππ4π2333A <+<，则π2π3A +=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin B ===，因π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 33322C B B B ⎛⎫=-=-==+⎪⎝⎭；因为2133AD AB AC =+ ，故可得32AD AB AC =+ ，即()2AD AB AC AD -=- ，也即2DC BD =，故2CD BD =；设BAD θ∠=，则π3CAD θ∠=-，在△ABD 和△ACD中，由正弦定理得sin sin BD AD B θ==πsin sin 3CD AD C θ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，为(π3sin 3θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，(1sin 3sin 2θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+，所以tan tan BAD θ∠===18. 已知数列{}n a 满足13a =,11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数（N n *∈）.（1）记232n n b a =-（N n *∈），证明：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（3）设12121n n n b c b +-=-（N n *∈），且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3ln 131n n n T n -<--（N n *∈）.【答案】（1）证明见解析，111(23n n b -=（2）12213633n n S n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）按等比数列的定义证明，用n a 的递推关系寻找1n b +与n b 的关系，即可证明，再利用等比数列的通项公式，即可求解；（2）使用分组求和法，偶数项为等比、等差数列求和，奇数项可转化为偶数项求和；（3）先将n c 放缩，再利用等比数列前n 项和，将问题转化成求证11ln(1)33n n-<-，构造函数()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，利用导数与函数单调性间的关系，得ln(1)x x >+，即可求证.【小问1详解】122212131311(21)223232n n n n b a a n a n ++++=-=++-=+- 2221111131(6)2(3232323n n n n a n n a a b =-+-=-=-=，又121313112322b a a =-=+-=，所以，数列{}n b 为以12为首项，13为公比的等比数列.由等比数列的通项公式知111()23n n b -=⋅.【小问2详解】由（1）可知11123n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又232n n b a =-，12113232n n a -⎛⎫∴=+⎪⎝⎭.设242n n P a a a =++ ，则2111111131333133112333222443213nn n n P n n n-⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++=⋅+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，设1321n n Q a a a -=++ ，2211213n n a a n -=+- ，21(121)1323n n n n n P Q Q n ⋅+-∴=+=+，233n n Q P n ∴=-，故12221433633n n n n n S P Q P n n n -⎛⎫=+=-=-+- ⎪⎝⎭.【小问3详解】111332231131313113n n n n n n n c -⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-<---⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，2111112()(1133333n n n n T n n n ∴<-+++=--=-+ ，所以欲证3ln 131n n n T n -<--，只需证13311ln ln ln(133133n n n n n n -<=-=---，即证11ln(1)33n n -<-.设()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，()01xf x x'∴=<+，故()f x 在(1,0)-上单调递减，()(0)0f x f >=，(1,0)x ∴∈-时，ln(1)x x >+.11[,0)33n -∈- ，11ln(133n n∴-<-得证.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，通过放缩，得到213n nc <-，从而将问题转化成求证11ln(133n n -<-，再构造函数()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，利用函数的单调性，得到ln(1)x x >+，即可求证.19. 已知函数ln ()e sin ,(0,)x a f x x x -=-∈+∞.（1）当e a =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；（3）若()f x 在(0,π)内有两个不同零点12,x x ，求证：12ππ2x x <+<.【答案】（1）11(e 1)e y x --=-+ （2）π402e a <≤（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程，（2）构造函数()()32ln 1g t t t t =-++，求导，根据单调性可得()ln esin 0x af x x -=-≥，进而1sin ex x a ≥，构造函数()sin e x xh x =，求导判断单调性，即可求解最值得解.（3）根据h (x )在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.证明()()11πh x h x >-，即可求证12πx x +<，构造函数()1π22tan ex x t x -=以及()212tan cos k x x x=-，利用导数求解单调性，即可求证.【小问1详解】11e ()e sin ,,()e cos x x a f x x f x x --'==-=-∴ ，则1(0)e 1f -'=-，1(0)e f -=，故切线方程为11e (e 1)y x ---=-，即11(e 1)e y x --=-+，【小问2详解】32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥，令()()32,ln 10f x t t t t =-++≥，令()()()()2332322311321ln 1,32111t t t t t g t t t t g t t t t t t +-+-+=-++=-+==+++'，当()()0,0,t g t g t ≥'≥∴在(0,+∞)单调递增，且()00g =，当10t -<<时，()()()()322ln 11ln 10g t t t t tt t =-++=-++<，()0g t ∴≥解集为{}0t t ≥，故()ln esin 0,(0)x af x x x -=-≥>，进而e sin xx a≥,即1sin e x x a ≥，令()sin ex xh x =，()3πcos sin 4e e x xx x x h x ⎛⎫+ ⎝='⎪-⎭=，当()()π0,,0,4x h x h x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭'单调递增，当π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,h x h x '<单调递减，当5π4x >时，()5π41e h x <，5π4π14eh ⎛⎫∴=>⎪⎝⎭，因此()max π4h x h ⎛⎫=⎪⎝⎭，1a∴≥故π402ea <≤【小问3详解】()f x 在(0,π)内有两个不同零点12,x x ，则()sin sin 1,e e x x x x h x a =∴=有两个根12,x x ，即()()121h x h x a==，由（2）知，当x ∈(0,π) h (x )在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.故12π0π4x x <<<<，欲证12πx x +<，即证21πx x <-，由于21π4ππ4x x ⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，h (x )在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.即()()21πh x h x >-，即()()11πh x h x >-，()()11πh x h x >-，即证()1111πsin πsin e e x x x x -->，即11π11e e x x ->，即证11πe e x x ->，即证1x <π2，显然成立，欲证12x x +>π2， 即证211ππππ,,2242x x x ⎛⎫>--∈ ⎪⎝⎭，即证()21π2h x h x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即证()11π2h x h x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即证1111π2πsin sin 2ee x x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭<，即证1π221tan e x x -<.令()1π22tan e x x t x -=，则()1111ππ222211222ππ222211e 2tan e 2tan cos cos e e x x x x x x x x t x -----⋅-==⎛⎫ ⎪⎝⎭'，令()22211sin 1sin22tan 20cos cos cos cos x xk x x x x x x-=-=-=≥，故()k x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且()()00k x k >=，()()0,t x t x ∴>'在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()π14t x t ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，得证【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。
2021届安徽师大附中学高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
2021届安徽师大附中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题1．已知复数z 满足i z i 21+=⋅（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A.2 B.3 C.5 D.5 【答案】C【解析】试题分析：()()12122iz i i i i+==+-=-,所以z = C. 【考点】复数的运算.2．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理可知2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤,所以a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的充分必要条件，故选A. 【考点】充要条件的判断.3．已知双曲线221()my x m R -=∈与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y x =C.13y x =±D.3y x =± 【答案】A【解析】试题分析：椭圆2215y x +=的焦点坐标为()0,2±，所以11143m m +=⇒=，所以双曲线方程为2213y x -=，渐近线方程为y =. 【考点】双曲线的简单几何性质.4．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ） A.18 B.24 C.60 D.90 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知()()()2 11181263878322ad a d a dS a d⎧+⋅+=+⎪⎨⨯=+=⎪⎩，整理得21132278d a da d⎧=-⎨+=⎩，因为0d≠，所以132ad=-⎧⎨=⎩，所以10110910602S a d⨯=+=，故选C.【考点】等差数列的通项公式与前n项和公式.5．某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A.4B.22C.24 D.8【答案】D【解析】试题分析：根据三视图还原可知该几何体为长、宽、高分别为3,2,2的长方体，被一个平面截去一部分剩余的23，如图所示，所以该几何体的体积为()232283⨯⨯⨯=，故选D.【考点】三视图与几何体的体积.6．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A.错误!未找到引用源。
师大附中高三期中考试数学试卷及答案
江苏省南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三期中考试数学试卷命题人：江卫兵审题人：孙居国一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合，则▲；2．已知为第三象限角，则的符号为▲ (填“正”或“负”)；3．设的三个内角、、所对边的长分别是、、，且，那么▲；4．在等差数列中，，则的值为▲；5．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为▲；6．若函数的定义域为，则的取值范围是▲；7．设复数，则▲；8．已知变量、满足条件则的最大值是▲；9．函数在（0，）内的单调增区间为▲；10．若ΔABC的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于▲；11．已知等比数列中，，则该数列的通项= ▲；12．已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是▲；13．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则▲；14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915请将错误的一个改正为▲= ▲；南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学答题卷班级学号＿＿＿＿＿＿姓名得分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．= ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知,且（1）求的值；（2）求的值.16．（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．BAC DE17．（本小题满分14分）已知函数满足；（1）求常数的值；（2）解不等式．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为. 记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）．⑴试用表示（不要求证明）；⑵若，求的值；⑶记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求．１２３４５６７８９10…………20．（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学试卷（解答）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合，则▲；{4，5}2．已知为第三象限角，则的符号为▲ (填“正”或“负”)；负3．设的三个内角、、所对边的长分别是、、，且，那么▲；4．在等差数列中，，则的值为▲ ； 12 5．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的 值为 ▲ ；6．若函数的定义域为，则的取值范围是 ▲ ；7．设复数，则▲ ； 18．已知变量、满足条件则的最大值是▲ ； 6 9．函数在（0，）内的单调增区间为 ▲ ；10．若ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于▲ ；π311．已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 6=24，则该数列的通项a n =______3·2n －3________.12．已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是 ▲ ；13．若为的各位数字之和，如，， 则；记，，…，，，则▲ ； 1114．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915请将错误的一个改正为 15 = 3a-b+c二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知,且（1）求的值；（2）求的值.解：(1)由sin=又0<<∴cos=,tan=∴=（2）tan(16．（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．解：（Ⅰ）因为，，所以．所以．（Ⅱ）在中，，由正弦定理BACDE．故．17．（本小题满分14分）已知函数满足；（1）求常数的值；（2）解不等式．解：（1）因为，所以；由，即，（2）由（1）得由得，当时，解得，当时，解得，所以的解集为．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.18、（1）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），∴与的函数关系式为（2）由得，（舍）当时；时，∴函数在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）．⑴试用表示（不要求证明）；⑵若，求的值；⑶记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求．解：（1）∵三角形数表中前行共有个，即第行的最后一个数是 ∴=（2）由题意，先求使得是不等式的最小正整数解． 由，得∵，∴，∴１２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………（另解：∵∴）于是，第63行的第一个数是，故（3）前行的所有自然数的和为则，所以，当时，，当时，也适合，20．（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对∈（0,+）恒成立，，则的取值范围是.（II）设当，即时，函数在[1,2]上为增函数，当时，；当时，.综上所述：（III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则设则 (1)令，则，，所以在上单调递增，故，则，与（1）矛盾！。
(整理版)师大附中高三数学(理科)期中试卷
师大附中高三数学〔理科〕期中试卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的〕1．全集U R =,集合21{|216},0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=≤⎨⎬-⎩⎭那么R A C B =〔 〕A ．517,3,222⎛⎤⎛⎫-- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭B ．517,3,222⎛⎫⎡⎫-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C ．1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭2． 〕A ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使RB ．20,ln ln 10x x x ∀>++>有C ．243()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅，使是幂函数，且在〔0，+∞〕上递减 D ．R ∈∀ϕ，函数)2sin(ϕ+=x y 都不是偶函数3．()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，假设函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，那么(2011)f 等于〔 〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．64．函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 且的图象恒过定点A ，且点A 在直线01=++ny mx 上)0,0(>>n m ，那么nm 31+的最小值为〔 〕A ．12B ．1C ．8D ．145．函数sin()(0,0||,)2y A x B A x R πωφωφ=++>><∈,的局部图象如下图，那么函数表达式为〔 〕A ．1)63sin(2+-=ππx yB ．1)36sin(2+-=ππx yC ．1)63sin(2-+=ππx yD ．1)36sin(2++=ππx y6．A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA OB OC ++=0，那么以下结论中正确的选项是〔 〕A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+ C ．1233OA AB BC =-- D ．2133OA AB BC =--132俯视图正视图7．数列{}n a ：,,,,,,,,,,, 41322314312213211211依它的前10项的规律，这个数列{}n a 的第项2010a =〔 〕 A ．577 B ． 657 C ． 655 D ． 7558．在函数y ＝f (x )的图象上有点列〔x n ，y n 〕，假设数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，那么函数y ＝f (x )的解析式可能为〔 〕 A ．f (x )＝2x ＋1 B ．f (x )＝4x 2 C ．f (x )＝log 3x D ．f (x )＝(34)x9．假设一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如以下图所示，那么这个棱柱的体积为〔 〕A ．B ．C ．D ．6 10．OA//O A ''，OB//O B ,''那么AOB=A O B '''∠∠；②直角梯形是平面图形；③{}{}{}⊆⊆长方体正四棱柱直平行六面体； ④假设a b 、是两条异面直线，,a α⊂平面////a βα平面,b 平面，那么//αβ；⑤在四面体P ABC -中，PA BC ⊥，PB AC ⊥，那么点A 在面PBC 内的射影为PBC ∆的垂〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．411．关于x 的不等式|||1|2011x a x a ++-+<〔a 为常数〕的解集是非空集合，那么a 的取值范围是〔 〕A ．1005a >B ．1005a <C ．1006a >D ．1006a <12．设O A B 、、、C 为平面上的四点，OA=a, OB=b ,OC=c ，且a+b+c=0，a b=b c=c a=1⋅⋅⋅-，那么|a|+|b|+|c|的值等于〔〕A ．B ．CD 二、填空题〔本大题共4个小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上〕 13．设实数y z x 、、满足1x y z ++=，那么22223x y z ++的最小值为 . 14．两点等分单位圆时，有相应正确关系为：sin sin()0,απα++=三点等分单位圆时，有相应正确关系为：24sin sin()sin()0,33ααπαπ++++=由此可以推知四点等分单位圆时的相应正确关系为 .15．点A B C 、、在球心为O 的球面上，ABC △的内角A B C 、、所对应的边长分别为a b c 、、，且222a b c bc =+-，3a =，球心O 到截面ABC 的距离为2，那么该球的外表积为 . 16．设曲线2cos2y x =与x 轴、y 轴、直线12x π=所围成的图形面积为b ，假设函数2()22g x lnx bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，那么实数k 的取值范围是 .三、解答题〔本大题共6小题，总分值74分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17．〔本小题总分值12分〕函数22()2sin ()23cos 34f x x x π=--+〔1〕求()f x 最小正周期和单调递减区间；〔2〕假设()2[0,]6f x m x π<+∈在上恒成立，求实数m 的取值范围。
2023-2024学年北京北师大附中高三(上)期中数学试题和答案
2023北京北师大附中高三（上）期中数 学一、单选题（共10小题；共40分）1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（ ）A．[﹣2，3]B．[0，3]C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．复数的共轭复数＝（ ）A．1﹣i B．1+i C．D．3．已知向量＝（m，1），＝（﹣1，2）．若∥，则m＝（ ）A．2B．1C．﹣1D．﹣4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A．f（x）＝sin x B．f（x）＝2|x|C．f（x）＝x3+x D．5．记cos（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（ ）A．B．﹣C．D．﹣6．已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣4x+4y+6＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）A．8B．6C．D．47．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）A．（kπ﹣，kπ），k∈ZB．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈ZD．（k﹣，k），k∈Z8．若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（ ）A．x＝y B．x＝2y C．x＝2，且y＝1D．x＝y或y＝19．已知函数，f′（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（﹣x）﹣f（x）＝0B．f′（x）＜0C．若0＜x1＜x2，则x1f（x2）＞x2f（x1）D．若0＜x1＜x2，则f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）10．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m．使得S n＝a m，下列正确命题的个数是（ ）①{a n}可能为等差数列；②{a n}可能为等比数列；③a i（i≥2）均能写成{a n}的两项之差；④对任意n∈N，n≥1，总存在m∈N，m≥1，使得a n＝S m．A．0B．1C．2D．3二、填空题（共5小题：共25分）11．（5分）函数的定义域是 ．12．（5分）已知＝，＝．若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|﹣|＝ ．13．（5分）能够说明“e x＞x+1恒成立”是假命题的一个x的值为 ．14．（5分）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，每节容量是多少？”这一问题中，从下部算起第5节容量是 升（结果保留分数），15．（5分）设a＞0，函数给出下列四个结论：①f（x）在区间（a﹣1，+∞）上单调递减；②当a≥1时，f（x）存在最大值；③设M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a），则|MN|＞1；④设P（x3，f（x3））（x3＜﹣a），Q（x4，f（x4））（x4≥﹣a）．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共6小题：共85分）16．（14分）在△ABC中，．（1）求A；（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：；条件②：a＝2；条件③：．17．（14分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当MN＝2时，求直线l的方程．18．（14分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求：（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．19．（14分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．21．（15分）已知{a n}为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j．使得a i≤k，a j≤k，其中i≤j．令b k为满足a i≤k的所有i中的最大值，c k为满足a j≥k的所有j中的最小值．（1）若无穷递增数列{a n}的前四项是1，2，3，5，求b4和c4的值；（2）若{a n}是无穷等比数列，a1＝1，公比q为大于1的整数，b3＜b4＝b5，c3＝c4，求q的值；（3）若{a n}是无穷等差数列，a1＝1，公差为，其中m为常数，且m＞1，m∈N*，求证：b1，b2，⋯，b k，⋯和c1，c2，⋯，c k，⋯都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．参考答案一、单选题（共10小题；共40分）1．【分析】根据并集的定义解答即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＞0}，∴A∪B＝{x|﹣2≤x}＝[﹣2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．2．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】解：∵＝，∴．故选：B．【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3．【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．【解答】解：向量＝（m，1），＝（﹣1，2），∥，则2m＝1×（﹣1），解得m＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．4．【分析】利用定义判断函数的奇偶性，利用图象和函数的性质判断单调性即可．【解答】解：A项，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，f（x）在定义域内没有单调性，不符合；B项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数，不符合；C项，f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，f'（x）＝3x2+1＞0，则f（x）＝x3+x在R上单调增，不符合；D项，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，y＝e﹣x在R上单调减，y＝e x在R上单调增，则函数f（x）在定义域上单调减，符合．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．5．【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出结果．【解答】解：法一：，所以tan100°＝﹣tan80°＝．法二：cos（﹣80°）＝k⇒cos（80°）＝k，＝．故选：B．【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．6．【分析】由题意可得AB＝，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，判断直线和圆的位置关系是相离，求出圆心到直线的距离，点C到直线AB距离的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6＝0 即（x﹣2）2+（y+2）2＝2，∴圆心（2，﹣2），半径是r＝．直线AB的方程为x﹣y+2＝0，圆心到直线AB的距离为＝3 ，直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是 3 ﹣r＝3 ﹣＝2 ，△ABC的面积的最小值为＝4故选：D．【点评】本题考查圆的标准方程，圆和直线的位置关系，点到直线的距离公式的应用．7．【分析】由图象可得函数正确，进一步求出离y轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合可得f（x）的单调递减区间．【解答】解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．【点评】本题考查由y＝A sin（ωx+φ）型的部分图象求函数解析式，考查三角函数的性质，是基础题．8．【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质求出答案即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号，故“x＝2且y＝1”是“x+2y＝2”的充分不必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．9．【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D．【解答】解：对于选项A，易知x∈R，，∴，∴f（﹣x）＝﹣f（x），故A选项错误；对于选项B，∵，∴，由ln2＞0知f′（x）＞0，故B选项错误；对于选项C，，，虽然0＜1＜2，但是1×f（2）＜2×f（1），故对0＜x1＜x2，x1f（x2）＞x2f（x1）不恒成立，故C选项错误；对于选项D，函数，则，，∵x2＞x1＞0，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，又，∴，∴，即，∴f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查利用导数的运算，函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．10．【分析】根据题设条件，逐项判断即可：取a n＝0，则S n＝0，满足题设，即可判断①；对q是否等于1进行讨论，结合有理数性质即可判断②；对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则存在正整数P使得S n﹣1＝a p，即可判断③；取数列a n＝2﹣n，当n≥3时，由于n，3﹣n必有一个为偶数，则S n是非正整数，一定等于{a n}中某一项，但a3＝﹣1，不是{S n}中的项，从而可以判断④．【解答】解：对于①：取a n＝0，则S n＝0，满足题设，故①正确；对于②：假设存在，a1＝a，公比为q，若q＝1，a n＝a，a n＝an，当n≥2时，不存在正整数m，使得S n＝a m，若q≠1，，，要使S n＝a m，则需即1＝q n+q m﹣1﹣q m，q 为有理数．由于q≠1，我们有：1+q+…+q n﹣1＝q m﹣1，由高次方程有理数根的判别法，此方程无有理数根．故②错误；对于③：由题意，对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则存在正整数P使得S n﹣1＝a p（n≥2），则a n＝S n﹣S n﹣1＝a m﹣a p（n≥2），故③正确．对于④：令a n＝2﹣n，则，S1＝S2＝1＝a1，当n≥3时，由于n，3﹣n必有一个为偶数，则S n是非正整数，一定等于{a n}中某一项．但a3＝﹣1，不是{S n} 中的项，故④错误．故选：C．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了等差，等比数列的基本概念，推论，属于难题．二、填空题（共5小题：共25分）11．【分析】根据开偶次方根被开方数大于等于0，对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域．【解答】解：根据题意可得，，解得0≤x＜1．故答案为：[0，1）．【点评】本题考查求函数的定义域的求法，属于基础题．12．【分析】由已知可得，再由求解．【解答】解：已知＝，＝，∠AOB＝90°，∴，又||＝5，||＝12，即，∴||＝＝．故答案为：13．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．13．【分析】利用反例判断命题的真假即可．【解答】解：当x＝0时，e x＞x+1，不成立，故答案为：0．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．14．【分析】根据题意，设从下部算起，第n节的容量为a n，易得数列{a n}为等差数列，结合等差数列的通项公式求出a1和d，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，设从下部算起，第n节的容量为a n，易得数列{a n}为等差数列，则a1+a2+a3＝3a1+3d＝4，a6+a7+a8+a9＝4a1+26d＝3，解得a1＝，d＝﹣，则a5＝a1+4d＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．15．【分析】先分析f（x）的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论f（x）的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知|MN|的范围；对于④，取，结合图像可知此时|PQ|存在最小值，从而得以判断．【解答】解：依题意，a＞0，当x＜﹣a时，f（x）＝x+2，易知其图像为一条端点取不到的单调递增的射线；当﹣a≤x≤a时，，易知其图像是，圆心为（0，0），半径为a的圆在x轴上方的图像（即半圆）；当x＞a时，，易知其图像是一条端点取不到的单调递减的曲线；对于①，取，则f（x）的图像如下，显然，当x∈（a﹣1，+∞），即时，f（x）在上单调递增，故①错误；对于②，当a≥1时，当x＜﹣a时，f（x）＝x+2＜﹣a+2≤1；当﹣a≤x≤a时，显然取得最大值a；当x＞a时，，综上：f（x）取得最大值a，故②正确；对于③，结合图像，易知在x1＝a，x2＞a且接近于x＝a处，M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a）的距离最小，当x 1＝a时，y＝f（x1）＝0，当x2＞a且接近于x＝a处，，此时，，故③正确；对于④，取，则f（x）的图像如下，因为P（x3，f（x3））（x3＜﹣a），Q（x4，f（x4））（x4≥﹣a），结合图像可知，要使|PQ|取得最小值，则点P在上，点Q在，同时|PQ|的最小值为点O到的距离减去半圆的半径a，此时，因为的斜率为1，则k OP＝﹣1，故直线OP的方程为y＝﹣x，联立，解得，则P（﹣1，1），显然P（﹣1，1）在上，满足|PQ|取得最小值，即也满足|PQ|存在最小值，故a的取值范围不仅仅是，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查函数f（x）的图像，特别是当﹣a≤x≤a时，的图像为半圆；考查分析问题解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题：共85分）16．【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理即可得解；（2）选择①，先求得sin C，进而可得sin B，由此求得a，再由三角形的面积公式即可得解；选择②，先求得sin B，判断△ABC为等腰直角三角形，进而得解；选择③，求得a，再由余弦定理可知此时△ABC不唯一．【解答】解：（1）因为2a sin B＝b，则由正弦定理可得，，又因为sin B≠0，所以，又因为A为△ABC的内角，所以或；（2）若选择①：因为cos C＝﹣，且C∈[0，π]，所以，所以，又因为b＝2，2a sin B＝b，所以，所以；若选择②：因为b＝2，2a sin B＝b，a＝2，所以，则，所以，则△ABC为等腰直角三角形，所以；若选择③：因为b＝2，2a sin B＝b，sin B＝，所以，由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，当时，，即c2﹣4c﹣12＝0，解得c＝6；当时，，即c2+4c﹣12＝0，解得c＝2；此时△ABC不唯一，不合题意．【点评】本题考查利用正余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．17．【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．【解答】解：（1）易知A（﹣1，2）到直线x+2y+7＝0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20（5分）（2）垂径定理可知∠MQA＝90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y＝k（x+2）或x＝﹣2，显然x＝﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6＝0或x＝﹣2为所求l方程．（7分）【点评】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；（2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可．【解答】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，，，，所以ξ的分布列为：ξ123P则；设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知，所以，，，，所以η的分布列为：η0123P所以．（2）由（1），知E（ξ）＝E（η）＝2，，，，，所以D（ξ）＜D（η），P（ξ≥2）＞P（η≥2），故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．因此甲的实验操作能力较强．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．19．【分析】（I）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；（II）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L 的最大值，最后综合即可．【解答】解：（I）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：当0＜x＜8时，L（x）＝5x﹣（）﹣3＝﹣x2+4x﹣3，当x≥8时，L（x）＝5x﹣（6x+﹣38）﹣3＝35﹣（x+），∴L（x）＝．（II）当0＜x＜8时，L（x）＝﹣（x﹣6）2+9，此时，当x＝6时，L（x）取得最大值9；当x≥8时，L（x）＝35﹣（x+）≤35﹣2＝15，此时，当x＝即x＝10时，L（x）取得最大值15；∵9＜15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．20．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a＜e，求得单调区间和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．当a＝1时，f′（x）＝．由f′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）＝1﹣ln1＝1；（Ⅱ）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．又h′（x）＝＝．由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由h（e）＝e+﹣a＜0，可得a＞．因为＞e﹣1．所以a＞．②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增．h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a）．因为0＜ln（1+a）＜1，所以0＜aln（1+a）＜a．则2+a﹣aln（1+a）＞2，即h（1+a）＞2不满足题意，舍去．综上所述：a∈（，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．21．【分析】（1）根据题意，直接求解即可；（2）由等比数列的通项公式写出{a n}的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果；（3）由等差数列的通项公式写出{a n}的通项，用定义法证明等差数列即可．【解答】解：（1）∵a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，又∵a i≤4，a j≥4，∴i≤3且i∈N*，j≥4且j∈N*，∴b4＝3，c4＝4，（2）由题意知，a1＝1，∴，q＞1且q∈Z，∵a i≤3，∴q i﹣1≤3，∴i≤1+log q3，∴b3＝[1+log q3]，q＞1且q∈Z，同理，b4＝[1+log q4]，q＞1且q∈Z，b5＝[1+log q5]，q＞1且q∈Z，又∵b3＜b4＝b5，∴[1+log q3]＜[1+log q4]＝[1+log q5]，即[log q3]＜[log q4]＝[log q5]，q＞1且q∈Z，∵a j≥3，∴q j﹣1≥3，∴j≥1+log q3，∴当时，c3＝1+log q3，当时，c3＝[2+log q3]，同理，当时，c4＝1+log q4，当时，c4＝[2+log q4]，又∵c3＝c4，[log q3]＜[log q4]＝[log q5]，q＞1且q∈Z，∴，，[2+log q3]＝1+log q4，解得q＝2或q＝4．（3）证明：由题意知，，m为常数，且m＞1且m∈N*，∴{a n}为单调递增数列，又∵a i≤1，a j≥1，a1＝1，∴i＝1，j＝1，∴b1＝1，c1＝1，∵a i≤k，a j≥k，∴，，∴i≤mk﹣m+1，j≥mk﹣m+1，m＞1且m∈N*且k∈N*，∴mk﹣m+1∈N*，∴b k＝mk﹣m+1，c k＝mk﹣m+1，∴b k+1＝m（k+1）﹣m+1＝mk+1，c k+1＝m（k+1）﹣m+1＝mk+1，∴b k+1﹣b k＝（mk+1）﹣（mk﹣m+1）＝m，c k+1﹣c k＝（mk+1）﹣（mk﹣m+1）＝m，又∵m为常数，m＞1且m∈N*，∴{b k}为等差数列，{c k}为等差数列，又∵b k＝mk﹣m+1，c k＝mk﹣m+1，∴b n＝mn﹣m+1，c n＝mn﹣m+1．【点评】本题考查了等差数列的定义，数列的应用和数列新定义问题，考查了方程思想和转化思想，属难题．。
陕西省师大附中高三数学上学期期中考试试题 理 北师大版
陕西师大附中—第一学期 期中考试高三数学（理科）试题一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1．复数2341i i i i ++=-（ ） A ．1122i -- B ．1122i -+C ．1122i -D 1122i +．2．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）A. 向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4π个长度单位C. 向左平移2π个长度单位 D. 向右平移2π个长度单位3．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则关于x 不等式()2f x ≤的解集是（ ）A. []1,2-B. []0,2C. [1,)+∞D. [0,)+∞4．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A ．18 B.24 C.30 D.365．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且424SS =,则64S S =（ ）A ．94B ．32 C ．53 D ．4 6．已知点P 是曲线41x y e =+上的任意一点，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A. 0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．分别在区间]6,1[,]4,1[内各任取一个实数依次为n m ,,则n m >的概率是（ ） A ．0.3 B ．0.667 C ．0.7 D ．0.714 8．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（ ） A ．12 B ．32 C ．1 D ．139．若双曲线E 的中心在原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)--，则E 的方程为（ ）A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 10．已知函数()(1)(21)(31)(1)f x x x x nx =++++，则'(0)f =（ ）A.2n CB.21n C +C.2n A D.21n A + 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．二项式1()2n x x-的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中含3x 项的系数是 .12．一个总体分为,A B 两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数是 . 13．某算法流程图如图所示，则输出的结果是 . 14．由曲线y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为 . 15．关于x 不等式22|log ||log |x x x x -<+的解集是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）16．（本题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，锐角B 满足5sin 3B =。
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命题人：江卫兵 审题人：孙居国一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,1,3U A B ===，则()U A B =U ð ▲ ； 2．已知α为第三象限角，则2tanα的符号为 ▲ (填“正”或“负”)；3．设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且CcA a sin cos =， 那么A ∠= ▲ ；4．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为 ▲ ； 5．若函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是π2，则ω的值为 ▲ ；6．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是 ▲ ；7．设复数2(,)1i a bi a b R i-=+∈+，则a b += ▲ ；8．已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ▲ ；9．函数2sin y x x =-在（0，π2）内的单调增区间为 ▲ ；10．若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若⊥，则∠C 等于 ▲ ； 11．已知等比数列{}n a 中，363,24a a ==，则该数列的通项n a = ▲ ； 12．已知函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式|2|)2(>-x f 的解集是 ▲ ；13．若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ；14请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ；南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学答题卷班级 学号 ＿＿＿＿＿＿ 姓名 得分 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1． ；2． ；3． ；4． ； 5． ；6． ；7． ；8． ； 9． ；10． ；11． ；12． ； 13． ；14．lg = ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知20πα<<,且3sin 5α=（1）求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值； （2）求⎪⎭⎫⎝⎛-πα45tan 的值.16．（本小题满分14分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =o ∠，BD 交AC 于E ，2AB =．BAC DE（Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ．17．（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =； （1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x . 记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.（1）写出y与x的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数（如428a =）．⑴试用i 表示ii a （不要求证明）； ⑵若2008ij a =，求,i j 的值；⑶记三角形数表从上往下数第n 行的各数之和为n b ，令1,(1),(2)n n n c n n b n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x x ϕ，求函数)(x ϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.南京师大附中2008—2009学年度第1学期 高三年级期中考试数学试卷（解答）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,1,3U A B ===，则()U C A B =U ▲ ；{4，5}2．已知α为第三象限角，则2tan α的符号为 ▲ (填“正”或“负”)；负3．设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且CcA a sin cos =， 那么=A ▲ ；4π 4．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为 ▲ ； 12 5．若函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是π2，则ω的值为 ▲ ；216．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是 ▲ ；[0,4)7．设复数2(,)1i a bi a b R i-=+∈+，则a b += ▲ ； 18．已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ▲ ； 69．函数2sin y x x =-在（0，π2）内的单调增区间为 ▲ ；)35,3(ππ10．若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a -+=,，),(b c a -=，若n m ⊥，则∠C 等于 ▲ ；π311．已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 6=24，则该数列的通项a n =______3·2n －3________.12．已知函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式|2|)2(>-x f 的解集是 ▲ ； ),2()1,(+∞--∞Y13．若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=， 则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ； 1114．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：15 = 3a-b+c二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知20πα<<,且3sin 5α=（1）求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值；（2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα45tan 的值.解：(1)由sin α=53又 0<α<2π ∴cos α=54,tan α=43∴ααααααααα22222sin cos 2cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin -⋅+=++ =2333)43(2432)43(tan 2tan 2tan 2222=-⨯+=-+ααα （2）tan(71431143tan 11tan 45tan tan 145tan tan )45-=+-=+-=⋅+-=-ααπαπαπα16．（本小题满分14分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =o ∠，BD 交AC于E ，2AB =．（Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD=+=o o o ∠，CB AC CD ==，所以15CBE=o ∠．所以cos cos(4530)CBE =-=o o ∠． （Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+o o o o． 故2sin 30cos15AE =oo 124⨯== 17．（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =； （1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．B AC DE解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c = （2）由（1）得211122()31x x f x x x x ⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()2f x <得，当102x <<时，解得102x <<，当112x <≤时，2320x x +-<解得1223x <≤， 所以()2f x <的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x .记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）.（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 18、（1）改进工艺后，每件产品的销售价为()201x +，月平均销售量为()21a x -件，则月平均利润()()2120115y a x x =-⋅+-⎡⎤⎣⎦（元），∴y 与x 的函数关系式为()235144y a x x x =+-- ()01x << （2）由()2542120y a x x '=--=得112x =，23x =-（舍） 当102x <<时0y '>；112x <<时0y '<，∴函数()235144y a x x x =+-- ()01x <<在12x =取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为12012⎛⎫+ ⎪⎝⎭30=元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数（如428a =）．１２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………⑴试用i 表示ii a （不要求证明）； ⑵若2008ij a =，求,i j 的值；⑶记三角形数表从上往下数第n 行的各数之和为n b ，令1,(1),(2)n n n c n n b n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．解：（1）∵三角形数表中前n 行共有(1)122n n n ++++=L 个， 即第i 行的最后一个数是(1)2i i + ∴ii a =(1)2i i + （2）由题意，先求使得i 是不等式(1)20082i i +≥的最小正整数解．由(1)20082i i +≥，得240160i i +-≥∵*i N ∈，∴11112662.5222i -+-+-+≥>==，∴63i = （另解：∵626363641953,201622⨯⨯== ∴63i =）于是，第63行的第一个数是6263119542⨯+=， 故(20081954)155j =-+=（3）前n 行的所有自然数的和为21(1)(1)(1)(2)[1]2222n n n n n n n n n S +++++=⨯+=则21(1)2n n n n n b S S -+=-=，所以，当2n ≥时，2211111n n n c b n n n n ===----+， 111111111()()()()132435111115115211121212(1)n T n n n n n n n n n =+-+-+-++--++=++--=--=-+++L当1n =时，1n T =也适合，521()2(1)n n T n N n n *+∴=-∈+ 20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g（I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x x ϕ，求函数)(x ϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=()h x Q 在（0,+∞）上是增函数，1()20h x x b x '∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立， 12,0b x x x ∴≤+>Q ，则12x x+≥ b ∴的取值范围是(,-∞.（II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为 22().24b b y t =+-∴Q 当12b-≤，即2b -≤≤y 在[1,2]上为增函数，当1t =时，min 1y b =+；,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b bb ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当2t =时，min 42y b =+.综上所述：21,2(),42442, 4.b b bx b b b ϕ⎧+-≤≤⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎩（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x += C 1在点M 处的切线斜率为.2|1212121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+= 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =即1212()2.2a x xb x x +=++则 22222121212211122212112()()()()()222ln ln ln,x x a x x a ab x x x bx x bx x x x y y x x x --=+-=+-++=-=-=22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --∴==++ 设211,x u x =>则2(1)ln ,1,1u u u u -=>+ (1)令2(1)()ln ,11u r u u u u-->+，则22214(1)()(1)(1)u r u u u u u -'=-=++，1,()0u r u '>∴>Q ，所以 ()r u 在[1,)+∞上单调递增，故()(1)0r u r >=，则2(1)ln 1u u u ->+，与（1）矛盾！。