高三期中考试数学
四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)
成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十一月月考数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知为单位圆的内接正三角形，则（ ）A. B.C.1D.3.已知角的终边上一点（ ）A. B. C. D.4.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ）（参考数据：若，有，，）A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.6835．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．6.关于的方程在上有（ ）个实数根．A.1B.2C.3D.47.已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）(){}ln 1A xy x ==-∣{}xB y y e -==∣A B = ()0,1()1,2()1,+∞()2,+∞ABC V O B B C O ⋅=32-321-α()1,2M -32=⎪⎝⎭22-44-X ()2~30,2X N 0p 0p ()2~,X Nμσ()0.683P X μσμσ-<≤+≈()220.954P X μσμσ-<≤+≈()330.997P X μσμσ-<≤+≈a b ()()22a b a b +⊥- a b 14b a bπ6π3π22π3x 2sin sin2cos cos 222x x xx x =(,)ππ-()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--A. B. C. D.8.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.在上单调递增C.是奇函数D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象10.已知为函数的一个零点，则（ ）A.的图象关于对称 B.的解集为C.时， D.时，，则的最大值为411.已知函数与及其导函数f ′(x )与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）A. B.[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭0,a b >∈R x ()()2110ax x bx -+-≥()0,∞+5b a+48()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭()f x 5π12x =-()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-3()3f x x x a =-+()f x (0,2)-()0f x <(,2)-∞(0,1)x ∈()2()f xf x <[,]x m n ∈()[4,0]f x ∈-n m -()f x ()g x ()g x 'R ()f x ()()22f x g x +-=()()12f x g x '+'+=()()264g g -+=()00f '=C.曲线关于点中心对称D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.若复数满足，则__________.13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题，学生小万能完整做对其中4道题，在剩下的4道题中，有3道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能从4个选项中随机选一个答案．若小万从这8个题中任选1题，则他做对的概率为______．14.已知数列{a n }满足，，其中为函数的极值点，则______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）为提高学生的数学应用能力和创造力，石室中学打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值α=0.15的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关?(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X ，求X的分布列与数学期望附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，，，．(1)若平面，，证明：(2)若底面，，，二面角的长．()y f x ='1,12⎛⎫⎪⎝⎭2025120252k k g =⎛⎫= ⎪⎝⎭'∑z 33i1iz -=+1z +=23()1*1e n a n a n ++=∈N 2303aa x +=0x y =()12e 1x x x +->123a a a +-=()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++αx αP ABCD -2AC =1BC =AB =//AD PBC AD ⊥PA PB AD ⊥PA ⊥ABCD AD CD ⊥AD =A CP D --PA17．（本小题15分）设的内角，，所对的边分别为，且.(1)求(2)若,求的周长;(3)如图，点是外一点，设且，记的面积，求关于的关系式，并求的取值范围.18．已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为4；(1)求的方程；(2)若点的横坐标为4，求；(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．19．（本小题17分）已知函数，.(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；(2)当时，若，且，求证：；(3)求证：对任意，都有.ABC V A B C ,,a b c ()()sin ()(sin sin ),a c B C b c B C -⋅+=-⋅+b =;B 3BA BC +=ABC V D ABC V BAC DAC θ∠=∠=2π3ADC ∠=BCD △S S θS 2:2(0)C x py p =>F l F C A B C A B P AB Q PQ C E AB y AB C P QE C E PA PB M N ABNM ()21ln 2f x x x ax =+-()0a >[)1,x ∈+∞()32f x ≥-a 2a =()()123f x f x +=-12x x ≠122x x +>*N n ∈()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑成都石室中学2024-2025学年度上期高2025届11月半期考试数学参考答案双向细目表题号题型分值难度预估内容具体内容1单项选择题50.95集合集合运算2单项选择题50.9向量数量积3单项选择题50.8三角函数诱导公式、倍角公式4单项选择题50.75正态分布正态分布5单项选择题50.7向量投影向量6单项选择题50.7三角函数三角函数图象分析7单项选择题50.5函数性质函数奇偶性及单调性分析8单项选择题50.4不等式不等式9多项选择题60.8三角函数正弦函数图象特点分析10多项选择题60.5函数三次函数图象分析11多项选择题60.3函数性质函数奇偶性、对称、周期性分析12填空题50.8复数复数计算13填空题50.5概率概率计算14填空题50.3函数数列及函数零点15（1）解答题60.8检验15（2）解答题70.7概率统计分布列16（1）解答题30.8线线垂直证明16（2）解答题40.7立体几何二面角17（1）解答题40.7正余弦定理应用17（2）解答题50.6解斜三角形求周长17（3）解答题60.4解斜三角形解斜三角形求面积18（1）解答题50.6抛物线方程18（2）解答题60.6切线问题18（3）解答题60.4解析几何四边形面积19（1）解答题50.7函数恒成立问题19（2）解答题60.5利用函数单调性证明自变量大小19（3）解答题60.3导数数列不等式证明答案及解析1.【参考答案】C【解题思路】由题意可知，，2K (){}ln 1{10}{1}A x y x x x x x ==-=->=>∣∣∣，所以.故选C.2.【参考答案】B【解题思路】如图，延长交于点.因为单位圆半径为，为单位圆的内接正三角形，所以.又因为是正的中心，所以，，所以.设的边长为.由勾股定理，得，即，解得（负值已舍去），所以，易得,的夹角为，所以.故选B.3.【参考答案】C【解题思路】由三角函数定义知，，，所以.故选C.4.【参考答案】A【解题思路】因为，所以，，所以.根据正态曲线的对称性可得，.故选A.5.【参考答案】B【解题思路】因为，所以，所以.因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以.又因为，所以与的夹角是.故选B.6.【参考答案】C【解题思路】当时，，原方程化为.令{}e{0}xB y y y y-===>∣∣()1,A B=+∞AO BC D O1ABC△O1OA OB OC===O ABC△AD BC⊥1122OD OA==32AD OA OD=+=ABC△a222AB AD BD=+2223122a a⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a=1BO=BC=BOBC6π3cos62BO BC BO BCπ⋅=⋅⋅=2tan21α==--cos0α<2sin2tan43cos2ααα===-=-⎪⎝⎭()230,2X N~30μ=2σ=()26340.954P X<≤≈()()()10.954262634340.9540.9772p P X P X P X-=≥=<≤+>≈+=()()22a b a b+⊥-()()222240a b a b a b+⋅-=-=2b a=a b14b1cos,4ba ab bb⋅=11cos,24a b b b⋅=1cos,2a b=[],0,a bπ∈a b3π(),xππ∈-cos02x≠1tan sin2sin2223xx x xπ⎛⎫==-⎪⎝⎭，，则原方程的解的个数即为函数与的图象在上的交点个数.作出函数和的大致图象如图，在上单调递增，，，，由图可知函数和在上有3个交点，即原方程在上有3个实数根.故选C.7.【参考答案】D【解题思路】由题意可得，.因为是奇函数，是偶函数，所以.联立解得.又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立.构造，所以在上单调递增.若，则对称轴，解得；若，则在上单调递增，满足题意；若，则对称轴恒成立.综上所述，.故选D.8.【参考答案】A【解题思路】设，.因为，所以在上单调递增.当时，；当时，.因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.由题意可得，，则当时，；当时，，所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当时等()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()tan 2x g x =()f x ()g x (),ππ-()f x ()g x ()tan2xg x =(),ππ-tan 124g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭5122ππ<()f x ()g x (),ππ-(),ππ-()()22f x g x ax x -+-=-+()f x ()g x ()()22f x g x ax x -+=-+()()()()222,2,f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩()22g x ax =+1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--()()121233g x g x x x -<-+()()112233g x x g x x +<+()()2332h x g x x ax x =+=++()232h x ax x =++()1,2x ∈0a <0322x a =-≥304a -≤<0a =()32h x x =+()1,2x ∈0a >0312x a =-≤3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭()1f x ax =-()21g x x bx =+-0a >()f x ()0,+∞10x a <<()0f x <1x a>()0f x >()g x ()01g =-()0g x =()g x ()0,+∞()()0f x g x ≥10x a <<()0g x ≤1x a >()0g x ≥1a210x bx +-=2110b a a +-=1b a a=-0a >544b a a a +=+≥=2a =号成立.故选A.9.【参考答案】ACD【解题思路】由图象可得，，，故，代入点，易得，所以.因为，所以当时函数取得最小值，即直线为函数的一条对称轴，故A 正确；由对称性可知，在上单调递减，上单调递增，故B 错误；为奇函数，故C 正确；将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D 正确.故选ACD.10.【参考答案】AD【解题思路】因为，即，所以，所以，所以的图象关于（0，-2）对称，故A 正确；当时，且，故B 错误；当时，，而，所以在（0，1）上单调递减，所以，故C 错误；，，所以在区间，上，即单调递增；在区间（-1，1）上，即单调递减，，，，画出的大致图象如图.因为当时，，所以由图可知，的最大值为，故D 正确.故选AD.11.【参考答案】ACD【解题思路】令，得；令，得.因为为奇函数，所以，则，故A 正确；因为为奇函数，所以为偶函数，则求2A =4312T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2ω=,212π⎛⎫⎪⎝⎭3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭521232πππ⎛⎫⋅-+=- ⎪⎝⎭512x π=-()f x 512x π=-()f x ()f x 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()22sin 22sin23f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭()f x 2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1130f a -=-++=2a =-()()()233212f x x x x x =--=+-()()4f x f x +-=-()f x ()()()2120f x x x =+-<1x ≠-2x <01x <<201x x <<<()2330f x x =-<'()f x ()()2f x f x >()332f x x x =--()()()233311f x x x x =-=+-'(),1-∞-()1,+∞()0f x '>()f x ()0f x '<()f x ()10f -=()14f =-()24f -=-()f x [],x m n ∈()[]4,0f x ∈-n m -()224--=4x =()()422f g +-=4x =-()()462f g -+=()f x ()()f x f x =--()()264g g -+=()f x ()f x '不出，故B 错误；因为，所以.又，所以，则关于中心对称.因为，所以结合函数图象平移可得，关于点中心对称，故C 正确；由为偶函数，点为对称中心，得的周期为2，且，.又，所以，所以.因为，所以，所以，故D 正确.故选ACD.12.【解题思路】由题意知，，所以.13.【参考答案】【解题思路】设小万从这8道题中任选1道题且作对为事件，选到能完整做对的4道题为事件，选到有思路的3道题为事件，选到完全没有思路的题为事件，则，，.由全概率公式，得.14.【参考答案】【解题思路】因为，所以，.因为，，所以.因为在上单调递增，所以，，，所以.又因为，所以，所以.()00f '=()()22f x g x +-=()()20f x g x '--='()()12f x g x '++='()()122g x g x '++-='()g x '3,12⎛⎫⎪⎝⎭()2(1)f x g x '=-+'()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x '()()12f x f x '+-='11122f f ''⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12g x f x +='-'()()21g x f x =-'-'2025202520251112140501222k k k k k k g f f ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''∑∑∑()()41111014222k k f f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''∑202512025202311450612024202420252222k k f f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯+-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎭'⎝'⎭⎝∑2025120252k k g =⎛⎫= ⎪'⎝⎭∑()()()()33133333331112i i i i i z i i i i ------====-++-131z i +=-+=2532A B C D ()4182P B ==()38P C =()18P D =()()()()()()()132112512838432P A P B P A B P C P A C P D P A D =++=⨯+⨯+⨯=∣∣∣ln2-1e2x y x +=-'010e 2x x +=01x >11e n a n a ++=2303a a x +=021120000e 32e x a a x x x x +++==+=+1e x y x +=+R 20a x =302a x =120ln 1ln 1a a x =-=-12300ln 1a a a x x +-=--010e 2x x +=0001ln2ln2ln x x x +==+12300ln 1ln2a a a x x +-=--=-15.解：（1）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生12416女生9514合计21930零假设为：学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关，……5分依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关.……6分（2）由题意可知，的取值可能为0，1，2，3，……7分则，，，，……11分故的分布列如下：0123.……13分16.（1）证明：因为，，，即，所以，即.因为平面，平面，面面，所以，……3分所以.因为，，所以平面，所以.……6分（2）解：因为底面，，底面，所以，.又，所以，以点为原点，以，所在的直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示.令，则，，，，，，，.设平面的法向量为，0H ()223012549200.4082 2.072.161421949K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯0.15α=0H 0H X ()35395042CP X C ===()12453910121C C PX C ===()2145395214C C P X C ===()34391321CP X C ===X X P5421021514121()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2AC =1BC =AB =222BC AB AC +=90ABC ∠=BC AB ⊥AD ∥PBC AD ⊂ABCD ABCD PBC BC =AD BC ∥AD AB ⊥AD PA ⊥PA AB A = AD ⊥PAB PB AD ⊥PA ⊥ABCD CD AD ⊂ABCD PA CD ⊥PA AD ⊥AD CD ⊥CD ==D DA DC x y D PA z PA t =)A)Pt ()0,0,0D ()C ()AC =()0,0,AP t = DC =)DP t =ACP ()1111,,n x y z =所以即令，则，，所以.……9分设平面的法向量为，所以即令，则，，所以.……11分因为二面角，二面角为锐角，，解得，所以.……15分17.解：（1）由正弦定理可知，，所以，所以，即.由余弦定理，所以.……4分（2）因为，所以等号两边同时平方可得，.又由（1）知，所以，即，所以，所以的周长为.……7分（3）由正弦定理可得，，即，110,0,n AC n AP ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅1110,0,tz ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x =11y =10z =()11,1,0n =CPD ()2222,,n x y z =220,0,n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⋅⎩⋅ 2220,0,tz +==2z =2x t =-20y =(2n t =-A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===2t =2PA =sin sin sin a b cA B C==()()sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a cπ+--====++++-222a acbc -=-222a cb ac +-=2221cos 222a c b ac B ac ac +-===3B π∠=3BA BC += 229a c ac ++=223a c ac +-=226a c +=3ac =a c ==ABC △a b c ++=2sin sin BC ACABCθ∠===2sin BC θ=，即.因为四边形的内角和为，且，所以，所以.……11分（可以有多种表达形式，化简正确都得分），记，令，则.因为在中，所以，所以，所以当时，恒成立.当，即时，；当，即时，，则……15分18.解：（1）由题意可知，直线的斜率必存在.当垂直于轴时，点，，此时，即，所以抛物线的方程为.……5分（2）设直线的方程为，，.联立得，所以，，则.将代入直线，得，则的中点.因为，所以，则直线的方程为，即.同理可得，直线的方程为，所以，，所以.因为，则，所以，此时，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以2sin sin CD ACADCθ∠===2sin CD θ=ABCD 2πABC ADC ∠∠π+=2BCD πθ∠-=()211sin 2sin 2sin sin 22sin sin222S BC CD BCD ∠θθπθθθ=⋅=⨯⨯⨯-=⨯()22sin sin21cos2sin2sin2sin2cos2S θθθθθθθ=⨯=-=-2x θ=()sin sin cos f x x x x =-()()()()222cos cos sin 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x =-'-=-++=+-+ACD △03πθ<<203x π<<1cos 12x -<<1cos 12x -<<()0f x '>1cos 2x =-23x π=23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭cos 1x =0x =()00f =()0f x <<0S <<l AB y ,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭24AB p ==2p =C 24x y =l 1y kx =+()11,A x y ()22,B x y 21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=124x x k +=124x x =-2Q x k =2Q x k =1y kx =+221Q y k =+AB ()22,21Q k k +24x y =2x y '=PA ()1112x y y x x -=-2111124y x x x =-PB 2221124y x x x =-()2212121211442122P x x x x x k x x -+===-21212111112244P x x x x y x x +=⋅-==-()2,1P k -4P x =24k =2k =()4,9Q ()4,1P -PQ 4x =24x y =4y =()4,4E.……10分（3）由（2）知，，，所以直线的方程为，代入，得，所以，所以为的中点.因为抛物线在点处的切线斜率，所以抛物线在点处的切线平行于.又因为为的中点，所以.因为直线的方程为，所以.又到直线的距离.，当且仅当时取“”，所以，所以四边形的面积的最小值为3.……17分19.（1）解：当时，恒成立，即恒成立，只需即可.令，，则.令，，则，当时，恒成立，即在上单调递增，所以，所以在上恒成立，即在上单调递增，所以，945QE =-=()22,21Q k k +()2,1P k -PQ 2x k =24x y =2y k =()22,E k k E PQ C E 22ky k '==C E AB E PQ 34ABP ABNM S S =△四边形AB 1y kx =+()()()2121212112444AB y y p kx kx k x x k =++=++++=++=+()2,1P k -AB h 1122ABP S AB h =⋅=△()()322244414kk +⋅=+≥0k ==334ABP ABNM S S =≥△四边形ABNM 1x ≥213ln 022x x ax +-+≥ln 1322x a x x x ≤++min ln 1322x a x x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭()ln 1322x g x x x x =++1x ≥()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x -'--=+-=()22ln 1h x x x =--1x ≥()22222x h x x x x-=-='1x ≥()0h x '≥()h x [)1,+∞()()10h x h ≥=()0g x '≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()min 12g x g ==所以，即实数的最大值为2.……5分（2）证明：因为当时，，，所以，即在上单调递增.又，，且，所以不妨设.要证，即证明.因为在上单调递增，即证.因为，即证.设，，令，，则，.因为，所以，即在（0，1）上单调递增，所以，即，所以成立，所以.……11分（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，且.由，得，即.令，则，即，所以，，，，，相加得.……17分2a ≤a 2a =()21ln 22f x x x x =+-0x >()()21120x f x x x x-=+-=≥'()f x ()0,+∞()312f =-()()123f x f x +=-12x x ≠1201x x <<<122x x +>212x x >-()f x ()0,+∞()()212f x f x >-()()123f x f x +=-()()1123f x f x +-<-()()()()()()221123ln 2ln 2222322F x f x f x x x x x x x =+-+=+-+-+---+=()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-+-+=---+⎣⎦⎣⎦01x <<()2t x x =-01t <<()ln 1t t t ϕ=-+()111tt t tϕ-=-='01t <<()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ<=()()()230F x f x f x =+-+<()()1123f x f x +-<-122x x +>2a =()f x ()1,+∞()()312f x f >=-213ln 2022x x x +-+>22ln 430x x x +-+>()22ln 21x x +->1n x n +=2112ln 21n n n n ++⎛⎫+-> ⎪⎝⎭2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭22112ln 111-⎛⎫+> ⎪⎝⎭23122ln 122-⎛⎫+> ⎪⎝⎭24132ln 133-⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 2112ln 1n n n n +-⎛⎫+> ⎪⎝⎭()2112ln 1ni i n n i =-⎛⎫++> ⎪⎝⎭∑。
辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期中Ⅰ考试 数学含答案
2024-2025学年度上学期高三年级期中I 考试数学科试卷（答案在最后）命题人：第I 卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数1z 、2z在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为()A.15-B.15C.1i5- D.1i 52.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（）A.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件C.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件D.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件3.函数()()e 1sin e 1xxx f x -=+，则=的部分图象大致形状是（）A.B.C. D.4.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0ektM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h5.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718+-B.718- C.18-D.18-6.已知ABC V 是边长为点P 是ABC V 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.837.已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c<<8.设函数()32||()e 1x f x x x=+-（44x -<<），若(21)(2)(12)f x f f x ++<-，则x 的取值范围是（）A.31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知220,0,1a b a b ab >>+-=，下列不等式恒成立的是（）A.112a b+≥ B.2a b +≥ C.332a b +≤ D.0323b <≤10.已知函数()()πsin 0,04f x A x B A ωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭（）A.若()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则0ω<≤B.将函数()y f x =的图像向左平移π2个单位得到曲线C ，若曲线C 对应的函数为偶函数，则ω的最小值为13C.若函数()y f x =在区间()0,π上恰有三个极值点，则91344ω<≤ D.关于x 的方程()22f x A B=+在()0,π上有两个不同的解，则522ω<≤11.已知()f x 是定义在R 上连续的奇函数，其导函数为()g x ，()()424f x f x =-，当[]2,1x ∈--时，()0g x '>，则（）A.()g x 为偶函数B.()f x 的图象关于直线12x =对称C.4为()g x 的周期D.()g x 在2026x =处取得极小值第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.已知向量()1,2a =-，()1,b λ= ，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.13.设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为______.14.若存在正实数x ，使得不等式()2ln 2ln 00axa x a ⋅⋅-≤>成立，则a 的最大值为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5c 5c s os o a CA cb -=.（1）求c ；（2）若7b =，π3B =，点M 在线段BC 上，5AM =，求MAC ∠的余弦值.16.已知函数()()212ln 0af x x a x=-->．（1）当4a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()f x 的极大值为()M a ，求证：()11M a a+≤．17.已知函数()()2ln 2f x x a x a x =+-+，()ln 1g x x x x a =--+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.已知数列{}n a 满足递推关系，()2*1231n n n n a a ma n N a +++=∈+，又1=1a .（1）当1m =时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；（3）当31m -≤<时，证明12111111112nn a a a +++≥-+++ .19.对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}na 是“优分解”的．（1）证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．（2）记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N，，证明：如果数列{}na 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷命题人：第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.【12题答案】【答案】1(,2)(2,)2∞--⋃-【13题答案】【答案】15##0.2【14题答案】【答案】1e ln 2四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）5；（2）1314.【16题答案】【答案】（1）690x y --=（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）(,0]-∞.【18题答案】【答案】（1）21nn a =-；（2）3m ≥-；（3）证明见解析.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）122n n a -=+。
2023-2024学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣13．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√21212．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 ．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f(x+5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD＝2CD＝2，AA1=A1D=√5，A1C=√6．（1）证明：平面AA1D1D⊥平面ABCD；（2）求二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD （道路的宽度忽略不计），已知CD 把三角形空地分成两个区域，△ACD 区域为儿童娱乐区，△BCD 区域为休闲健身区．经测量，AC ＝BC ＝100米，AB =100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元． （1）若∠ADC =π4，求景观道路CD 的长度；（2）求∠ADC 为何值时，口袋公园的造价最低？21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{S 2n +15a n}的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围； （3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为a →=（1，k ），b →=（2，1），且a →∥b →，所以2k ﹣1＝0，解得k =12．故选：A ．2．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣1解：“∃x ∈R ，sin x ＜a ”，故a ＞（sin x ）min ，a ＞﹣1． 故选：D ．3．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，当a +2＝3，即a ＝1时，集合A 不满足元素的互异性，舍去， 当a +2＝a 2，即a ＝2或a ＝﹣1，当a ＝2时，A ＝{1，3，4}，B ＝{1，4}，满足题意， 当a ＝﹣1时，集合B 不满足元素的互异性，舍去， 综上所述，a ＝2，故满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为1． 故选：B ．4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π解：由题意得，S 侧＝π（3+4）×√32+(4−3)2=7√10π，V =13π×（42+32+4×3）×3＝37π．故选：C ．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d 不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66， 故S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=66，解得a 6＝6，故{a 6=6a 52=a 4⋅a 7，整理得{a 1+5d =6(a 1+4d)2=(a 1+3d)(a 1+6d)，解得{a 1=−4d =2，故a 7＝a 1+6d ＝8． 故选：D ．6．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a =20.5=√2，c =log 410=log 2√10＜log 25，所以b ＞c ，c =log 410=log 2√10＞log 22√2=32＞√2，所以 c ＞a ，所以a ＜c ＜b ．故选：B ．7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：令t ＝f （x ），则方程f （f （x ））＝0，即f （t ）＝0， 当t ≤0时，t +1＝0，∴t ＝﹣1； 当t ＞0时，√t −1=0，∴t ＝1；当t ＝﹣1时，若x ≤0，则x +1＝﹣1，∴x ＝﹣2，符合题意； 若x ＞0，则√x −1=−1，∴x ＝0，不合题意； 当t ＝1时，若x ≤0，则x +1＝1，∴x ＝0，符合题意；若x ＞0，则√x −1=1，∴x ＝4，符合题意，即方程f （f （x ））＝0的实根个数为3． 故选：B ．8．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17解：cos(π4−α)=35，∵α∈(π4，3π4)，∴π4−α∈（−π2，0），∴sin （π4−α）=−√1−cos 2(π4−α)=−45，sin （α−π4）=45，cos α＝cos[（α−π4）+π4]＝cos （α−π4）cos π4−sin （α−π4）sin π4=35×√22−45×√22=−√210，则sin α=√1−(√210)2=7√210，则tan α=sinαcosα=−7， sin(5π4+β)=−1213，∵β∈(0，π4)，∴5π4+β∈(5π4，3π2)， ∴cos （5π4+β）=−√1−sin 2(5π4+β)=−513，sin β＝sin [(5π4+β)−5π4]=sin(5π4+β)cos 5π4−cos(5π4+β)sin 5π4=−1213×(−√22)−513×√22=7√226，cos β=√1−(7226)2=17√226，则tan β=sinβcosβ=717，则tanαtanβ=−7717=−17． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面解：如图，当l 为BB 1，m 为BC ，n 为CD 时，满足直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，l ，m ，n 两两相交且垂直，当l 为A 1B ，m 为B 1C 1，n 为AC 时，三条直线两两异面，故ACD 正确； 三条直线不可能两两平行，若l ∥n ，则l ∥AB ∥n ，而AB 与平面BCC 1B 1相交，则AB 与M 不平行，故B 错误． 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z解：由题意g （x ）＝2sin[2（x +π3）+π3]＝2sin （2x +π）＝﹣2sin2x ，A 中，可得g （x ）为奇函数，所以A 正确；B 中，函数g （x ）的对称轴方程满足2x =π2+k π，k ∈Z ， 解得x =π4+k 2π，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−π4，所以函数g （x ）的图象关于x =−π4对称，所以B 正确； C 中，x ∈[0，π2]，则2x ∈[0，π]，显然g （x ）不单调，所以C 不正确；D 中，令g （x ）≤0，则2k π≤2x ≤π+2k π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤π2+k π，k ∈Z ，即x ∈[k π，π2+k π]，k ∈Z ，所以D 不正确． 故选：AB ．11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√212解：因为已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根， 所以Δ＝64﹣8m ≥0，即m ≤8，又因为m ＞0，所以0＜m ≤8， 由韦达定理可得：a +b ＝4，ab =m2＞0，所以a ＞0，b ＞0． 对于选项A ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：a 2+b 2≥8，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于选项B ，由a +b ＝4≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故B 不正确；对于选项C ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：√a+√b2≤√a+b 2，即√a +√b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于选项D ，1a+2+12b =（1a+2+12b）[（2a +4）+2b ]×112=112（2+2b a+2+a+2b +1）≥112（3+2√2b a+2⋅a+2b ）=112（3+2√2），当且仅当2b a+2=a+2b，即a =√2b ﹣2时等号成立，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k解：由a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，可得a 1=a 22a 2+1=1，解得a 2=1+√52（负的舍去），故A 错误；由a n +1﹣a n =na n+12+a n+1−na n+12na n+1+1=a n+1na n+1+1＞0，即a n +1＞a n ，则{a n }是递增数列，故B 正确；由a n+1na n+1+1−1n+1=a n+1−1(n+1)(na n+1+1)＞0，则a n +1﹣a n ＞1n+1，故C 正确；由a n+1na n+1+1−1n=−1n(na n+1+1)＜0，则a n +1﹣a n ＜1n ，所以a n +1＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n +1﹣a n ）＜1+1+12+...+1n，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 （1，﹣2） ．解：点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2后等于OB →，则OA →=（2，1），OB →=（1，﹣2），则点B 的坐标为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 12 ． 解：由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为d ＝83，首项为a 1＝1740的等差数列，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1740+83（n﹣1）＝83n+1657，令2023≤a n≤3000，即2023≤83n+1657≤3000，解得36683≤n≤134383，又n∈N*，所以n＝5、6、 (16)所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16﹣5+1＝12次．故答案为：12．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣1．解：f（x+2）是奇函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）且f（2）＝0，因为f（x）为偶函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数周期为8，因为f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），故f（3）+f（1）＝0，f（4）+f（0）＝0，即f（4）＝﹣1，f（5）＝﹣f（1），f（6）＝﹣f（2）＝0，f（7）＝﹣f（3），f（8）＝f（0）＝1，故f（1）+f（2）+…+f（8）＝0，f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣f（8）＝﹣1．故答案为：﹣1．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为2π；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为√63．解：把平面展开图还原为空间几何体为正八面体，如图所示：球表面积最小，则正八面体的八个顶点在球面上，∴正八面体外接球的球心为正方形ACFD的中心O，半径R＝OA=12AF=12√12+12=√22，∴S表＝4πR2＝4π×12=2π；∵平面ABC∥平面DEF，∴异面直线AB与DE的距离为平面ABC与平面DEF的距离，又∵O到平面ABC的距离与O到平面DEF的距离相等，∴直线AB与DE的距离为O到平面ABC的距离2倍，∵V O﹣ABC＝V B﹣AOC，∴13S△ABC•h=13S△AOC•OB，∴√34h=12×√22×√22×√22，∴h=√66，∴异面直线AB与DE的距离为√6 3．故答案为：2π；√6 3．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．解：（1）F（x）为偶函数；证明：∵f(x)=log12x，由{x+1＞01−x＞0，得x∈（﹣1，1），∴F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）=log12(x+1)+log12(1−x)的定义域为（﹣1，1），又F（﹣x）=log12(1−x)+log12(x+1)=F（x），∴F（x）为偶函数；（2）∵F（x）=log12(x+1)+log12(1−x)=log12(1−x2)≥log121=0，∴|F（x）|≤1⇔0≤F（x）=log12(1−x2)≤1，∴1≥1﹣x2≥12，解得−√22≤x≤√22，∴原不等式的解集为[−√22，√22]．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f(x +5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．解：（1）由图知A =3−02=32，B =3+02=32， 且{ω⋅(−π3)+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ω⋅π2+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，|φ|＜π2，解得ω=65，φ=−π10， 所以f （x ）=32sin （65x −π10）+32； （2）y ＝f （x +5π12）+f （x ）=32sin[65（x +5π12）−π10]+32+32sin （65x −π10）+32=32[sin （65x −π10+π2）+32sin （65x x −π10）+3=32 [cos （65x x −π10）+sin （65x x −π10）]+3=3√22 s in （65x x −π10+π4）+3=3√22 s in （65x x +3π20）+3， 因为x ∈[−π3，π2]，所以65x +3π20∈[−π4，3π4]， 所以sin （65x +3π20）∈[−√22，1]， 所以y ∈[3√22•−√22+3，3√22×1+3]＝[32，3√22+3]． 即函数y 的值域为[32，3√22+3]． 19．（12分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2CD ＝2，AA 1=A 1D =√5，A 1C =√6．（1）证明：平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A 1﹣CD ﹣D 1的余弦值．（1）证明：取AD 的中点O ，连接OC ，因为AA 1=A 1D =√5，得A 1O ⊥AD ，因为A 1D =√5，OD ＝1，所以A 1O ＝2，又OD ＝DC ＝1，所以OC =√2，在△A 1OC 中，OC =√2，A 1C =√6，A 1O ＝2，所以A 1C 2=A 1O 2+OC 2，故△A 1OC 为直角三角形，A 1O ⊥OC ，因为OC ∩AD ＝O ，故A 1O ⊥平面ABCD ，因为A 1O ⊂平面AA 1D 1D ，所以平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以O 为坐标原点，分别以DC →，OD →，OA 1→的正方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系：故A 1（0，0，2），C （1，1，0），D （0，1，0），D 1（0，2，2），则CD →=(−1，0，0)，A 1C →=（1，1，﹣2），DD 1→=(0，1，2)，设平面A 1CD 的一个法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅CD →=−x 1=0m →⋅A 1C →=x 1+y 1−2z 1=0，令y 1＝2，则m →=（0，2，1），设平面CDD 1C 1的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅CD →=x 2=0n →⋅DD 1→=y 2+2z 2=0，令y 2＝2，则n →=（0，2，﹣1），所以cos ＜m →，n →＞=|m →⋅n →||m →||n →|=3√5×√5=35， 由图可知二面角A 1﹣CD ﹣D 1为锐角，所以二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值为3 5．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD（道路的宽度忽略不计），已知CD把三角形空地分成两个区域，△ACD区域为儿童娱乐区，△BCD区域为休闲健身区．经测量，AC＝BC＝100米，AB=100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC=π4，求景观道路CD的长度；（2）求∠ADC为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在△ABC中，AC＝BC＝100，AB＝100√3，所以AC2+AB2﹣BC2＝1002﹣（100√3）2﹣1002＝30000，则cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=√32，A∈（0，π），所以A=B=π6，在△ACD中，∠ADC=π4，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsinA，即CD=AC⋅sinAsin∠ADC=10Osinπ6sinπ4=50√2，所以景观道路CD的长度为50√2米．（2）设∠ADC=θ(π6＜θ＜5π6)，在△ACD中，CD=50sinθ，所以S△ADC=12AC⋅CD sin∠ACD=12×100×50sin(5π6−θ)sinθ=2500sin(5π6−θ)sinθ，又S△ABC=12AC⋅AB•sin A=12×100×100√3×12=2500√3，所以S△BCD＝2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ，所以投资总额y＝2500CD+100S△ACD+50S△BCD＝2500×50sinθ+100×2500sin(5π6−θ)sinθ+50[2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50[√3+1+sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50（3√32+2+cosθ2sinθ），因为2+cosθ2sinθ=3cos2θ2+sin2θ24sinθ2cosθ2=34tanθ2+tanθ24≥2√34tanθ2⋅tanθ24=√34，当且仅当tan θ2=√3，即θ=2π3时取等号， 此时y 取得最小值，即公园造价最低，所以∠ADC =2π3，口袋公园的造价最低． 21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n }的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132． （1）解：当n ＝1时，a 1＝S 1=32−32=3； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=3n+1−32−3n−32=3n ， 因为a 1＝3满足上式，所以a n ＝3n ．（2）解：S 2n +15a n =32n+1−32+153n =32n+1+272⋅3n =32•（3n +93n ）≥32•2√3n ⋅93n =9， 当且仅当3n =93n ，即n ＝1时，等号成立， 所以m ＝1． （3）证明：b n =2a n (a n −2)2=2⋅3n(3n −2)2， 当n ＝1时，b 1=2⋅31(31−2)2=6； 当n ≥2时，b n =2⋅3n 32n −4⋅3n +4＜2⋅3n 32n −4⋅3n +3=2⋅3n (3n −1)(3n −3)=3n 3n −3−3n 3n −1=11−3−n+1−11−3−n ， 所以T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＜6+（11−3−1−11−3−2）+（11−3−2−11−3−3）+…+（11−3−n+1−11−3−n ）＝6+11−3−1−11−3−n =152−11−3−n ＜152−1=132，命题得证． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝e x ﹣2ln （x +1），可得f ′(x)=e x −2x+1，此时f′(0)=e0−21=−1，又f（0）＝e0﹣2ln1＝1，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）易知f′(x)=e x+ax+1(x＞−1)，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f′(x)=e x−a(x+1)2＞0，所以当a＜0时，f′（x）在定义域上单调递增，又f′(a2)=e a2+aa2+1，因为aa2+1≥−12，e a2＞1，所以f′（a2）＞0；当a＜﹣1时，易知f′（0）＝1+a＜0，所以函数f（x）在（0，a2）上存在极值点；当a＝﹣1时，f′(x)=e x−1x+1，易知f′（0）＝0，所以x＝0为f（x）的极值点；当﹣1＜a＜0时，f′(a2−1)=e a2−1+1 a ，因为e a2−1＜1，1a＜−1，所以f′（a2﹣1）＜0，则函数f（x）在（a2﹣1，a2）上存在极值点，综上所述，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，0）；（3）若f（x）≥1﹣sin x恒成立，即sin x+e x+aln（x+1）≥1恒成立，不妨设g（x）＝sin x+e x+aln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），可得g′(x)=cosx+e x+ax+1，不妨设h（x）＝cos x+e x+ax+1，函数定义域为（﹣1，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+e x−a(x+1)2，若a＝﹣2，当x∈（﹣1，0]时，cosx+e x≤2，−2x+1≤−2，所以g'（x）≤0，当x∈[0，+∞）时，e x≥1，h′（x）≥0，所以g′（x）≥g′（0）＝cos0+e0﹣2＝0，则x＝0时，函数g（x）在x∈（﹣1，+∞）上取得唯一极小值点，此时g（x）≥g（0）＝1，所以a＝﹣2时，f（x）≥1﹣sin x恒成立；若a＜﹣2，易知e x﹣sin x＞0，−a(x+1)2＞0，所以h′（x）＞0，即函数g'（x）单调递增，又g′(−a)=e−a+cos(−a)+a−a+1＞e2−1−1＞0，因为g'（0）＝2+a＜0，所以存在x1∈（0，﹣a），使得g'（x1）＝0，当0＜x＜x1时，g′（x1）＜0，g（x）单调递减，所以g（x1）＜g（0）＝1，不符合题意；若﹣2＜a＜0，由（2）知g′（x）单调递增，当﹣1＜x＜﹣1−a2＜0时，ax+1＜−2，g′(x)＜1+1+ax+1＜0，又g′（0）＝2+a＞0，所以存在x2∈（﹣1，0），使得g′（x2）＝0，当x2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x2）＜g（0）＝1，不符合题意；若a≥0，易知cos x+e x＞0，ax+1≥0，所以g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1，所以当﹣1＜x＜0时，g（x）＜g（0）＝1，不符合题意，综上所述，满足条件的a的值为﹣2．。
山西省太原市期中考试2025届高三数学答案
2024-2025年第一学期高三年级期中试题参考答案及评分建议一．选择题：D B C A B C A B二．选择题：9.BC10.AC 11.BCD 三．填空题:12.14513.)1,21(14.33四．解答题：15.解：（1）由题意得}21|{≤<=x x A ，}0|{>=∴y y B ，]2,1(=∴B A ；………6分（2）由题意得xxax f 22)(+=的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，01)0(=+=∴a f ，1-=∴a ，xx x f 212)(-=∴，………9分x x x f 212)(-= 在]2,1(上单调递增，23)1(=f ，415)2(=f ，∴当B A x ∈时，)(x f 的值域为]415,23(.………13分16.解（1）设}{n a 的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧===-=-,8,12)1(2132124q a a q q a a a 解得⎩⎨⎧==2,21q a 或⎪⎩⎪⎨⎧-==21,321q a （舍去），)(2*N n a n n ∈=∴；………6分（2）由（1）可得)N (2)4(*∈⨯-=n n b nn ，n n n n n S 2)4(2)5(2)2(2)3(12⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=∴- ，①1322)4(2)5(2)2(2)3(2+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-=∴n n n n n S ，②①-②，整理得102)5(1+⨯-=+n n n S ，………10分所以对于任意的*N ∈n ，不等式102)4(102)5(1+⨯-≤+⨯-+n n n n λ恒成立，即不等式0)410()2(≥-+-λλn 对于任意的*N ∈n 恒成立，………12分⎩⎨⎧≥-+-≥-∴,04102,02λλλ解得382≤≤λ，∴实数λ的取值范围是]38,2[.………15分17.解：（1）由题意得)62sin(2cos 212sin 23)(π-=-=x x x x f ，………3分1)62sin()(=-=∴πA A f ，20π<<A ，65626πππ<-<-∴A ，3π=∴A ，C B sin 3sin 2= ，由正弦定理可得c b 32=，即c b 23=，………5分7=a ，由余弦定理得747cos 22222==-+=c A bc c b a ，2=∴c ，3=b ；………7分（2）由题意得x x x f x g 2cos )22sin()3()(=+=+=ππ，………9分02cos )(==∴B B g ，20π<<B ，π<<∴B 20，4π=∴B ，………10分n m ⋅∴C A C A sin sin cos cos +=)cos(C A -=432cos(π-=A ，………13分24ππ<<A，44324πππ<-<-∴A ，1)432cos(22≤-<∴πA ，n m ⋅∴的取值范围为]1,22(.………15分18.（1）证明：连接OA ，P A AB = ，︒=∠60P AB ，∴△P AB 是正三角形，P A AB PB ==∴，同理可得AB PC =，PC PB =∴，O 是BC 的中点，BC OP ⊥∴，………2分AC AB = ，BC OA ⊥∴，AC AB ⊥ ，BC OB OA 21==∴，BC OP ⊥ ，222OB OP PB +=∴，222222OA OP OB OP PB P A +=+==∴，OA OP ⊥∴，………4分O BC OA = ，⊥∴OP 平面ABC ；………6分（2）由（1）得OA OP ⊥，OB OP ⊥，OB OA ⊥，以O 为原点，OP OB OA ,,所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2=AB ，则)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)0,1,0(-C ，)1,0,0(P ，AP BQ = ，)1,1,1(-∴Q ，显然)1,0,0(=OP 是平面ABC 的一个法向量，………8分设),,(z y x m =是平面BCQ 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,BQ m BC m ⎩⎨⎧=+-=-∴,0,02z x y 取1=z ，则0,1==y x ，)1,0,1(=∴m ，………10分2221||||,cos ==>=<∴OP m OP m OP m ，∴二面角Q BC A --的大小为︒135；……12分（3）假设存在点M ，设)10(≤≤=λλBQ BM ，则),0,(λλλ-==BQ BM ，QPBCAzOyxM),1,1(λλ--=+=∴BM AB AM ，………13分直线AM 与平面BCQ 所成角的正弦值为77，71|1)1(21||||||||,cos |22=+++-==><∴λλAM m AM m AM m ，………15分21=∴λ或23-=λ（舍去），21=∴BQ BM .………17分19.（1）证明：由题意得曲线)(x f y =在点))(,(n n a f a 处的切线方程为))(()(n n n a x a f a f y -'=-，即)(n a a a x e e y n n -=-，令0=y ，解得1-=n a x ，则11-=+n n a a ，即11-=-+n n a a )(*N n ∈，所以数列}{n a 是以1a 为首项、1-为公差的等差数列；………5分（2）由（1）可得11-=-+n n a a )(*N n ∈，所以ee af a f n n a a n n 1)()(11==-++，所以数列)}({n a f 是以)(1a f 为首项、e1为公比的等比数列，其前4项的和为1)1(431---e e e a )1)(1(231++=-e e e a )1)(1(2++=e e ，所以实数31=a ；………10分（3）原不等式等价于23121xe x x m x-++≥在),0(+∞上恒成立，令23121)(x e x x x h x-++=，0>x ，则322)222)(2()(x e x x x x h x -++-='，令xe x x x t 222)(2-++=，0>x ，则0)1(2)(<-+='xe x x t ，所以)(x t 在),0(+∞上递减，所以0)0()(=<t x t ，令0)(<'x h ，则2>x ；令0)(>'x h ，则20<<x ，所以)(x h 在)2,0(上递增，在),2(+∞上递减，所以47)2()(2e h x h -=≤，所以实数m 的取值范围为),47[2+∞-e .………17分注：以上各题其它解法请酌情赋分.。
上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷
上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知复数2iiz -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为.2．函数()ln f x x 的定义域为3．若直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-垂直，则实数m ＝．4．已知集合{}1A x a x a =≤≤+，{40}B x x =-≤<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是.5．等比数列{}n a 满足11a =，23520a a a +=，则1i i a +∞==∑.6．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是.21136830224455941113367895024558897．二项式82x ⎛⎝的展开式的常数项是．8．已知()()000,01P x y x <<是曲线1C =上一点，作曲线C 在点P 处的切线l ，l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，则OA OB +=.9．如图（1），在长方体ABCD EFGH -中，2AB BC ==，1AE =，O 为上底面EFGH 的中心.现将矩形EFGH 绕点O 在原平面内顺时针旋转π(0)4θθ<≤角，连接AE 、DE 、AF 、BF 、BG 、CG 、CH 、DH ，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球M的球面上，则球M 的表面积是.10．已知())(0,02π)f x x ωϕωϕ+><<，函数()y f x =的部分图像如图所示，已知点A 、D 为()y f x =的图像与x 轴的交点，其中1,03D ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 、C 分别为()y f x =的图像的最高点和最低点，且212AB DC AB ⋅=-，则ϕ=.11．已知k 为常数，若关于x 的不等式21()e ex kx k -≤对任意的(0,)x ∈+∞都成立，则实数k 的取值范围为.12．从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点0,0向椭圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆1C 、2C ，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为1e 、2e ，2C 在1C 内，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为M l ，若原点O 到直线M l 的距离为定值1，则2212e e -的最大值为.二、单选题13．已知a 、b 是非零实数，若a b <，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b <B ．22ab a b<C ．2211ab a b<D ．b a a b>14．已知事件A 与B 相互独立，且()()01P A P B <<，则下列选项不一定成立的是（）A ．()()()()1P B A B A P P =- ；B ．()()()P A B P A P B =+ ；C ．()()()P A B P P B A = ；D ．()()()P A B P B A P A B =⋂.15．已知圆锥S O -的底面半径为2，高为4，点P 为圆锥底面上任意一点，点Q 为圆锥侧面（点Q 异于顶点S 且不在底面圆周上）上任意一点，则OP SQ ⋅的取值范围为（）A ．(8,8)-B ．[0,8)C ．[4,4]-D ．(4,4)-16．已知数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足对任意正整数n ，都有()()110n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是{}n a 的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{}n a ，不存在等差数列{}n b ，使得{}n b 是{}n a 的交错数列；②对任意给定的等比数列{}n a ，都存在等比数列{}n b ，使得{}n b 是{}n a 的交错数列.下列结论正确的是（）A ．①与②都是真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①与②都是假命题.三、解答题17．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；(2)若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.18．已知()sin ()f x x x x =+∈R .(1)是否存在正数m ，使得()()f x f m x =-对x ∈R 都成立？若存在，求出m 的一个值，若不存在，请说明理由；(2)写出函数()y f x =的一个周期，并求函数()y f x =的值域.19．2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A 和B ，已知A 和B 烧制成功率分别为80%和90%，烧制成功一个A ，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个B ，盈利80元，否则亏损20元.(1)设X 为烧制一个A 和一个B 所得的利润之和，求随机变量X 的分布和数学期望；(2)求烧制4个A 所得的利润不少于80元的概率；(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表.[)75,80[)80,85[)85,90[)90,95[)95,100年龄低于45岁61442317年龄不低于45岁4647358根据调查数据完成下列22⨯列联表，并依据显著性水平0.05α=的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？非常满意满意合计年龄低于45岁年龄不低于45岁合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++，2()P k χα≥≈，α与k 的若干对应数值见下表：α0.250.050.005k1.3233.8417.87920．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>A 、B 分别为椭圆Γ的左、右顶点.过点(1,0)C 作斜率为()110k k ≠的动直线l 交椭圆Γ于M 、N 两点；当1k 变化时，ABM 面积的最大值为2.(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)当11k =时，求AMN 的面积；(3)如图，设M 关于原点O 的对称点为P ，直线AP 、BN 交于点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，试探究21k k 是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.21．函数()y f x =的导函数为()y f x '=，令()()()g x f x f x '=，称()y g x =是()y f x =的特征函数.若()0g x ≥对一切(,)x m n ∈恒成立，则称函数()y f x =是(,)m n 上的绝对增函数.(1)已知()e x f x x =，判断函数()y f x =是否是(0,)+∞上的绝对增函数，并说明理由；(2)已知()sin()f x x θ=+，函数()y f x =是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的绝对增函数，求θ的值；(3)函数()y f x =是(,)m n 上的绝对增函数，其特征函数()y g x =在(,)m n 上有唯一的零点0x ，求证：0x 是函数()y f x '=的极值点.。
江西省萍乡市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
江西省萍乡市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足1i1i z-=+，则z =（）ABC ．1D ．22．已知集合401xA x x ⎧⎫-=>⎨⎬-⎩⎭，(){ln 2}B x y a x ==-∣，若{}|12A B x x ⋂=<<，则a =（）A ．6B ．4C ．6-D ．4-3．已知直线a ，b 与平面α满足b α⊂，a α⊄，对于下列两个命题：①“a b ”是“a αP ”的充分不必要条件；②“a b ⊥”是“a α⊥”的必要不充分条件.判断正确的是（）A ．①，②都是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①，②都是假命题4．函数()2cos 1ln e e x x xf x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭的部分图象大致为（）A ．B．C．D ．5．已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4sin 5α=，()2cos 3αβ+=-，则sin β=（）A ．83515-B．815C．1215-D．8156．已知平面向量(),3a m = ，()1,2b =- ，m ∈R ，若()-⊥a b b r r r ，则b 在a上的投影向量为（）A ．(1,2)B ．(1,3)C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知函数()3log ,0,3,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩若函数()()()()2224g x f x m f x m ⎡⎤=-++⎣⎦恰有5个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,1]B ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．[1,)+∞D ．3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．已知数列{}n a 是等比数列，且12a =，24a ，32a ，4a 成等差数列．若()21nn n b a =+⋅-，且1n n b b λ+<对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（）A ．（0，1）B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．已知实数a ，b ，c 满足01c b a <<<<，则（）A ．a b c c >B ．c c a b >C ．12log b <D ．tan tan c b<10．若函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<图像的两相邻对称轴间的距离为π2，且图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将()f x 的图像向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图像，则（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()g x 在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上有两个极值点C ．()f x 的图像与()g x 的图像关于直线π6x =-对称D ．直线220x y +=是曲线()y f x =的切线11．已知函数()5323f x x x x =++，函数()g x 的定义域为R ，且()g x 在区间(,0]-∞上单调递减，若()2g x +的图像关于直线2x =-对称，则（）A ．()()g f x 的图像关于y 轴对称B ．()()f g x 的图像关于原点对称C ．若()()()()2232g f x x g f a ++>-恒成立，则0a <或4a >D ．)()()()2ln 3f gf g >三、填空题12．已知正数,a b 满足131a b+=，则ab 的最小值为．13．用铁水灌注上、下底面的边长分别为2cm 和6cm 的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为cm ，则所需铁水的体积为．（灌注过程中铁水无额外损耗）14．设π02θ<<，且()()22cos sin cos sin cos sin 1m θθθθθθ++-=++，则实数m 的取值范围是．四、解答题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点．(1)证明：E ，B ，F ，1D 四点共面；(2)求平面1EBFD 与平面ABCD 夹角的正弦值．16．如图，在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，33CD AD ==，=BC cos B =(1)求四边形ABCD 的周长；(2)求四边形ABCD 的面积．17．已知首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211n n n a S S ++=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n a b -=，记数列的前n 项和为n T ，证明：94nT <．18．已知函数()1ln 1f x x x=--+．(1)证明：()f x 的图象与x 轴相切；(2)设()()()e 1xa g x f x a x=+-∈R ．（i ）当0a >时，求函数()g x 的单调区间；（ii ）若()11g x x x≤--在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．19．定义：多面体M 在点P 处的离散曲率为()1223111Φ12πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -=-∠+∠++∠+∠ ，其中P 为多面体M 的一个顶点，i Q （1,2,,i k = ，3k ≥且*k ∈N ）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ 、平面23Q PQ 、L 、平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体M 的所有以P 为公共点的面．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2CD =，DP =(1)求四棱锥P ABCD -在顶点C 处的离散曲率；(2)求四棱锥P ABCD -内切球的表面积；(3)若Q 是棱PB 上的一个动点，求直线CQ 与平面ABCD 所成角的取值范围．。
山东省德州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
山东省德州市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =-≤，{}28xB x =<，则A B = （）A ．[]2,4-B ．(]2,4-C ．[]2,3-D ．[)2,3-2．以下有关不等式的性质，描述正确的是（）A ．若a b >，则11a b<B ．若22ac bc <，则a b <C ．若0a b c <<<，则a a cb b c+<+D ．若0a >，0b >，4a b +<，4ab <，则2a <，2b <3．已知向量()1,2a =- ，(),1b m = ，若a b +与3a b - 平行，则m =（）A ．12-B ．14-C ．32D ．724．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3136a a +=，1517a =，则22S =（）A ．180B ．200C ．220D ．2405．已知p ：x a ≤，q ：1202xx -≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．2a <-B ．2a ≤-C ．12a <D ．12a ≤6．已知关于x 的函数()212log 1y x ax a =++-在[]3,2--上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．4a ≤B ．4a <C ．3a ≤D ．3a <7．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若方程()12f x =在区间()0,2π上恰有3个实数根，则ω的取值范围是（）A ．2531,2424⎛⎫⎪⎝⎭B ．3137,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3147,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3161,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数()122ln ,282x f x x x ≤<=⎨⎪≤≤⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．ln 21,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ln 21,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 21,22e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．ln 21,2e ⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．1cos 2cos x x+≥B ．()0,3x ∀∈，()934x x -≤C ．若0x >，0y >，2x yy x +≥D[)2,+∞10．已知函数()()221f x x x =-，则（）A ．函数()f x 有两个零点B ．13x =是()f x 的极小值点C ．11,55f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心D ．当34x <<时，()()123f x f x +>-11．已知数列{}n a 的各项均为负数，其前n 项和n S 满足()11,2,4n n a S n ⋅==⋅⋅⋅，则（）A．214a =B ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C ．{}n a 为等比数列D ．{}n a 存在大于11000-的项三、填空题12．已知正三角形ABC 的边长为2，O 为BC 中点，P 为边BC 上任意一点，则AP AO ⋅=.13．设()2π2sin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()13f x =-，则cos 2x =.14．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()113f x f x f -++=，()22f x -+为偶函数，且312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20251112k k f k =⎛⎫+-=⎪⎝⎭∑.四、解答题15．已知ABC V 中的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足sin cos a B A =.(1)求A ；(2)若A 的角平分线AD 交BC 于D ，2AD =，求ABC V 面积的最小值.16．某企业计划引入新的生产线生产某设备，经市场调研发现，销售量()q x （单位：台）与每台设备的利润x （单位：元，0x >）满足：()25252250,225x q x a x x <≤=-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩（a ，b 为常数）.当每台设备的利润为36元时，销售量为360台；当每台设备的利润为100元时，销售量为200台.(1)求函数()q x 的表达式；(2)当x 为多少时，总利润()f x （单位：元）取得最大值，并求出该最大值.17．在数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且()()1111n n n n nS S n S a ----=-+（2n ≥且*n ∈N ）.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足213n n n b a ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，其前n 项和为n T ，若()()23931n n n T n n λ-≤+⨯-恒成立，求实数λ的取值范围.18．已知函数()()()12ln 1e x f x x ax a +=+-∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a <时，求()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 存在正零点0x ，求a 的取值范围.19．已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、…第m i 项()12m i i i <<⋅⋅⋅<，顺次排列构成数列{}k b ，其中k k i b a =，1k m ≤≤，则称新数列{}k b 为{}n a 的长度为m 的子列.规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的子列.(1)写出2，8，4，7，5，6，9的三个长度为4的递增子列；(2)若数列{}n a 满足31n a n =-，*n ∈N ，其子列{}k b 长度4m =，且{}k b 的每一子列的所有项的和都不相同，求12341111b b b b +++的最大值；(3)若数列{}n a 为等差数列，公差为d ，0d ≠，数列{}k b 是等比数列，公比为q ，当1a d为何值时，数列{}k i 为等比数列.。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷（答案在最后）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合35,122M x x N x x ⎧⎫⎧⎫=>-=∈-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ，则M N = （）A.312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.{}2,1,0-- C.{}1,0- D.{}0,12.若复数z 满足2025i 2i z =-，则z 的实部与虚部之和为（）A.12i-+ B.12i-- C.1D.3-3.已知等差数列{}n a 的前6项和为60，且12315a a a ++=，则5a =（）A.5B.10C.15D.204.在平面直角坐标系中，若α∠的终边经过点()2,1P ，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.31010-B.10-C.1010D.105.如图，四边形O A C B ''''表示水平放置的四边形OACB 根据斜二测画法得到的直观图，2O A ''=，4B C ''=，O B ''=//O A B C ''''，则AC =（）A.B. C.6D.6.若曲线e x y a =+的一条切线方程是1y x =-，则a =（）A.2- B.1C.1- D.e7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如()()()112122nnn n a n n n +=+⋅=-+⋅--⋅，故数列{}n a 的前n 项和()()()()()1223112302121222122n n n n S a a a a n n +=++++=⨯--⨯+-⨯--⨯++-+⋅--⋅ 12n n +=⋅．记数列2{}2n n 的前n 项和为n T ，利用上述方法求306T -=（）A.305132 B.305132-C.295132 D.295132-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量1e ，2e 的夹角为π3，且121e e == ，若122a e e =- ，12b e e =+ ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥B.a与b 可以作为平面内向量的一组基底C.a =D.a在b 上的投影向量为12b- 10.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，D 为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（）A.ABC V 为钝角三角形B.ABC V 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D .若ABD CBD ∠=∠，则:5BD AC =11.设数列的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且21232482nn b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A.72364a =-B.设数列的前n 项积为n T ，则n T 有最大值，无最小值C.数列{}n S 中没有最大项D.若对任意*n ∈N ，2504n m m S --≥成立，则1m ≤-或94m ≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若3sin 5α=，且α为第二象限角，则sin 2α=___________.13.已知函数2()()(2)f x x a x x =--在x a =处取得极大值，则a =_________．14.已知数列满足12,2,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，10a =，则10a =______；设数列的前n 项和为n S ，则2024S =______．（第二个空结果用指数幂表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0g x 的解集．16.数列{}n a 满足1111,202n n n n a a a a a ++=+-=．（1）求数列{}n a 通项公式．（2）设()cos 1π2n nn b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos ,3cos b c Ca a A-==．（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．18.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11x x x+>+（3）若数列满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．19.定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】2425-##0.96-【13题答案】【答案】0【14题答案】【答案】①.60②.()1013322026-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π（2）3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】（1）12n a n=（2）31,,n n n S n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数【17题答案】【答案】（1）π3（2）334【18题答案】【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【19题答案】【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，102ln 23k =-；（2）不存在，理由见解析；（3）102ln 2,23ln 23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。
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六安市田家炳实验中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三数学（文）试卷
时间：120分 总分：150分 命题人：孙石柱 审题人：张青
第一卷
一、选择题（共11题，５５分）
1．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．给出以下四个命题：
①若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2； ②若2≤x ＜3，则(x －2)(x －3)≤0；
③已知x ，y ∈R ，若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0；
④若x ，y ∈N ，x ＋y 为奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数．其中正确的是
A ．①的否命题为真
B ．②的否命题为真
C ．③的逆命题为假
D ．④的逆命题为假 3．在复平面内，复数
1i
i
+对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4.设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是
A.ad －bc =0
B.ac －bd =0
C. ac +bd =0
D.ad +bc =0
5.函数x
y +=11
的大致图像为
６.函数x y x 32+=的零点所在的一个区间是
A. ），（1-2-
B. ），（01-
C. ）（1,0
D. ）（2,1
７.已知角α的终边经过点），（y P 66sin
6π
，且5
4
sin -
=α，则y 的值为
A. 34
B. 34-
C. 3
2- D. 32
８. ABC ∆的内角A 、B 、C 满足C B A sin 20sin 15sin 12==,则B cos =
A.
54 B. 5
4- C. 53 D. 53 ９.已知函数为实数。
其中αα),2sin()(+=x x f 若R x f x f ∈≤对)6
()(π
恒成立。
且
,)()2
(ππ
f f <则)(x f 的单调递增区间是 A. )(6,3
Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+
-
πππ
π B. )(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+πππ C. )(32,6
Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
πππ
π D. )(,2Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-πππ 10.下列说法中，正确的个数是
（1）若a 与b 共线，则存在唯一实数，使λa
=λb ； （2）向量a
与向量b 共线，则它们的方向相同或相反；
（3）如果AB 与CD 共线，则A,B,C,D,四点共线；
（4）如果a 与b 共线，b 与c 共线，则a
与c 共线；
（5）有向线段就是向量，向量就是有向线段。
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
11.已知0是ABC ∆所在平面内一点，且OC OB OA 32+=,则ABC ∆与∆OBC 面积比为 A. 6:1 B. 5:1 C. 4:1 D. 2:1
二．填空题（共4题，20分）
12.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=1
,21
,1)(22
x x x x x x f ，则
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡)2(1f f = 13.化简
=+++α
ααcos 2)
60cos()30sin(00 14.已知
为虚数单位）其中i R b a i b i
bi
a ,,(∈+=+，则=+
b a 15.(]成立，总有对0)(1,013)(3
≥∈+-=x f x x ax x f 则实数a 的取值范围是
六安市田家炳实验中学2012-2013学年度第一学期期中考试
高三数学（文）试卷答题卷
第一卷（共75分）
一.选择题（共11题，５５分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案
二．填空题（共4题，20分）
12. 13.
14 15.
第二卷（共75分）
三．解答题（16、17、18、19题12分， 20题13分，21题14分） 16.已知πθπ
θ<<=
2
,552sin 。
（1）求θtan ；
(2) 求θ
θθθθ222cos sin 3cos sin 2sin ++的值。
17.已知函数2
11ln )(2
处有极值在=+=x x b ax x f （1）求b a ,的值；
（2）判断函数)(x f y =的单调性并求出单调区间。
班级 姓名 考号 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18.已知.2
0,1312)cos(,53cos παββαα<<<=-=
且 （1）求α2tan 的值； （2）求βcos 的值。
19.已知b a x f x x x b x x x a
∙=-=+=)(),cos 2,sin (cos ),sin ,sin 2(cos 设
（1）求函数)(x f 的周期和单调递增区间；
（2）求函数)(x f 的最大值及取最大值时x 的取值集合。
20.已知ABC ∆的角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,。
设向量).sin ,(sin ),,(A B n b a m ==
)1,1(--=a b p。
（1） 若的形状；共线，试判断与ABC n m ∆
（2） 若3
,1,π
==⊥C c p m 边
，求ABC ∆的面积。
21.已知2
1)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2
==-
+=πf f x x b x a x f 且 （1）求)(x f 的最小正周期：
（2）用“五点法”画出)(x f 在一个周期内的图像（按列表、描点、连线的步骤）；
（3）试说明函数)(x f 的图可由函数R x x y ∈=,sin 的图像经过怎样的变换得到。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。