第二讲 通径分析解析

（2—2）
（2—2）式中b0为常数项，b1 ，b2 分别为y对x1 ，x2 的偏回归系数，e为与各变 量相互独立的误差项（或剩余项）。x1 ，x2 间存在相关，则（2—2）式的关系可 用图1示之。
图1 通径图
图1中，单箭头表示自变量间存在因果关系，方向由原因到结果，称为通径。双 箭头表示变量间存在平行关系，称为相关线，
S x2 Sy
2
2b1
S x1 Sy
b2
S x2 Sy
COV12 S x 1 S x2
1
（2—7）
（2—7）式中b1 Sx1/Sy，b2 Sx2/Sy为标准偏回归系数，也叫通径系数， 分别记作Py．1 ，Py．2 ，用来表示x1，x2对y影响的相对重要性。由于是 不带单位的相关系数，故可直接用于比较对结果影响的大小。
Py.e d y.e
对于（2—1）式，为求b1，b2可得下列两个方程：
SS1b1+SP12b2=SP1y
（2—11）
SP21b1+SS2b2=SP2y
（2—12）
先对以上两式的各项除以n－1后，（2－11）式再除以Sx1Sy，（2－12）
式除以Sx2Sy可得：
b1
S x1 Sy
S x1 S x1
COV21 S S x1 x2
b1
COV12 S S x1 x2
b2
S x1 Sy
b2
S x2 Sy
S x2 Sy S x2 S x2
COVy1 S x1 S y
COVy2 S x2 S y
即： Py.1 +r12Py.2=r1y
r21Py.1+ Py.2=r2y
（2—13） （2—14）
（2－13）式中，Py.1为x1对y的直接作用；r12Py.2为x1通过x2对y的间接 作用，即x1与y的相关系数r1y可剖分为x1对y的直接作用和x1通过x2对y的 间接作用。类似的（2—14）式也是将x2与 y的相关系数r2y剖分为x2对y 的直接作用Py.2和 x2通过x1对y间接作用r21Py.1 。
通径系数的平方称为决定系数，表示各原因对结果相对的决定程度
即：
d y1
Py21
b1
Sx1 Sy
2
d y2
Py22
b2
Sx2 Sy
2
因为 r12 SP12
SSx1 SSx2
SP12 n 1
SSx1 SSx2 COV12 (n 1)(n 1) Sx1 Sx2
所以（2—7）式可改写成
若不考虑误差项e，（2—2）式可改写成为： y= b0+b1x1+b2x2
（2—3）
其中： b0 y b1 x1 b2 x2 y b0 b1 x1 b2 x2
（2—4）
将（2—3）式减（2—4）式可得：
y y b1 (x1 x1 ) b2 (x2 x2 )
（2—5）
将（2—5）式两边平方后求和，并遍除以n－1，可得：
（2—10）
m
m
d y.i d y.ij 1
i 1
i j
其中
d y.i
P2 y.i
， dy.ij=2Py.i Py.j rij
来自百度文库
（i，j=1，2，…，m，i<j ）
若考虑误差项e，则 ∑dy.i+∑dy.ij≠1，而把 1－∑dy.i－∑dy.ij叫作误差对结 果y的决定系数，记为dy.e。如果dy.e 的绝对值较大，说明可能还有一些 对结果影响较大的原因未被考虑进去。显然，误差项到y的通径系数：
（2—1）
( y y)2 n 1
b12
(x1 x1 )2 n 1
b22
(x2 x2 )2 n 1
2b1b2
( x1
x1 )( x2 n 1
x2 )
即
S
2 y
b12
S
2 x1
b22
S
2 x2
2b1b2COV12
（2—6）式两边同除以
S
2 y
得：
（2—6）
b1
S x1 Sy
2
b2
dy.1+dy.2+2 Py.1 Py.2 r12=1
（2—8）
其中2 Py.1 Py.2 r12可以看成相关原因x1 ，x2 共同对结果y的相对决定程度，称
为相关原因x1 ，x2 共同对结果y的决定系数，记为dy.12 ，所以（2—8）式又可
写成：
dy.1+dy.2+dy.12=1
（2—9）
由（2—9）式可推广到一般，即，如果相关变量x1 ，x2…，xm，y间存在线
第一节 通径分析的基本原理
一、通径分析的基本原理与性质
为叙述方便，先讨论两个原因（自变量）x1 ，x2 及结果（依变量）y三个相 关变量，后再推广至一般。假设x1 ，x2 与y间存在线性关系，则x1 ，x2与y的回 归方程为：
yˆ b0 b1 x1 b2 x2
（2—1）
或 y=b0+b1x1+b2x2+e
性关系，复回归方程为：
y= b0+b1x1+b2x2+…+bmxm 且x1 ，x2，…，xm两两相关，即r12≠0，r13≠0，…，rm-1, m≠0，不考虑e时，则 x1 ，x2…，xm对结果y 的决定系数之和加上两两相关原因共同对结果y的决定系 数等于1，即 ：
dy.1+dy.2+…+dy.m+dy.12+dy.13+…+dy.m-1 m=1 简写为：
第二讲 通径分析
PATH ANALYSIS
❖ 第一节 通径分析的基本原理
❖ 一、通径分析的基本原理与性质 ❖ 二、通径分析的基本步骤
❖ 第二节 实例分析
❖ 一、通径系数的计算 ❖ 二、通径分析的显著性检验 ❖ 三、逐步通径分析
第二讲 通径分析
PATH ANALYSIS
在生物界中，数量性状间的关系往往是彼此相关的。从统计学上讲，研究多 个相关变量间的关系，可根据相关变量间是因果关系或平行关系，采用不同的统 计分析方法。若变量间互为因果而呈平行关系时，多采用相关分析。若变量间因 果分明，多采用多元线性回归分析。如第一讲中因果分明，产蛋率为果，各环境 参数为因。然而，相关变量内的这两种分析方法都存在一定的局限性。如简单相 关系数固然可以用来度量两变量间的相关密切程度。但其中也包含有其他相关变 量对它们的影响。因此，多少包含有虚伪的成分了。尤其在分析原因对结果作用 方面。相关系数无法表明。就此而言，多元回归分析中的偏回归系数，在一定程 度上可指出各原因对结果的直接作用，但因带有不同单位，故不能直接比较各原 因对结果的作用大小，即使单位相同，若各原因（自变量）的变异度（标准差） 不同，也是无法比较的。何况偏回归系数也不能解释与其他相关原因共同对结果 的作用。为此，1921年S·Wright发表了一篇“相关与相关原因”的论文，文中对 相关系数进行剖分，找出了用来表明各原因对结果所起直接作用大小的统计量， 即通径系数。之后，该方法不断得到应用和完善，成为具有直观、精确等特点的 一种重要分析方法。