力学 第3章 动量与角动量

mv1y = P2y- P 1y
t2
t1
Fy dt = mv2 y
例：逆风行舟
u

v
f
f
f||
v
m
V
尤骨
pi
v
pf
好船家会使八面风
p
[ 例1 ] 质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方 落下，且不反弹。它与工件的碰撞时间τ=0.01s, 求：打击的平均冲力。
解：对碰撞过程应用动量原理
m
N
m
v 0 = 2gh
I = FΔ t
2. 变力的冲量
I = F 1Δ t1 + F 2Δ t 2 + ti t2 t1
+ F nΔ t n = Σ F i Δ t i
注意：冲量 I 的方向和瞬时力 F 的方向不同!
当力连续变化时 I = t 1 F d t I x=
t2 t2
Fx
t1
t2
F x dt 0 t1
N
f
t 0 v1 0
F
t 3 v2 ?

3
0
F合 dt m dv
0
v
先求开始运动时刻
3秒时物是否被拉起？
mg F sin 1.12 3 0.6 2 N 所以3秒时物末被拉起。 Fx F cos (mg F sin ) F cos sin mg
第 3章
动量与角动量
主讲人:丁
S/n:123456
E-mail:dwp02@163.com
万 平
E-mail:dwp12345678@yahoo.com.cn
S/n:123456
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与动量定理
§3.2 质点系的动量
§3.3 动量守恒定理 §3.4 火箭飞行原理（介绍） §3.5质心（介绍） §3.6质心运动定理（介绍）
x
例6：光滑轨道上有一长为 L，质量为 M的板车，车上 有一质量为 m的人，若人从车的一端走到另一端，则 人和车对地各走多远 ？ Y 解：水平方向系统不受力， 该方向动量守恒。
x2
2
1
mvc 恒 0
质心位置不变
X
M ( L / 2 x2 ) mx 2 mL ML / 2 xc xc m M m M
x2 x
o
质心坐标:
( x c , yc )
例5：半径为 R的均匀半圆形铁丝的质心 y 解：取质量元 dq dL=Rdq R q y x
dm
dm dL
单位长度质量为 m /( 2R)
yc
ydm m
2

0
R sinq Rdq m
2R
2R / m

xc 0
§3.7质点的角动量
§3.8角动量守恒定律 §3.9质点系的角动量定理（自学） §3.10质心参考系中的角动量（自学）
§3动量守恒定律
§3.1动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。
一、动量
运动质点的质量与速度的乘积。
i
同理对 y 和 z 分量 yc
m y
i 1 i
m
i
m
zc
m z
i 1
N
i i
m
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
xc
x m
i 1 i
N
i
m
xdm m
例1：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
mx 1 mx 2 x1 x2 xc 3m 3 my 1 y1 yc 3m 3
90 x m2 v 由动量守恒定律得： 2 m 1 v1cos + m 2 v2cos (900 ) m 3 v3 = 0 0 m 1 v1sin m 2 v2sin(90 ) = 0 m v cos + m v sin 2m v3 = 0 m v sin m v cos = 0 解得： v 3 = v sin = 21.2m/s = 450
即质点系的总动量等于它的总质 P m总vc m i v i 量与它的质心的运动速度的乘积 i dvc dP d ( m总vc ) F合 m总 m总ac 质心运动定理 dt dt dt
左式表明:一个质点系的质心的运动,就如同这样一个质 点的运动了,该质点质量等于整个质点系的质量集中在质 心,而此质点所受的力是质点系所受的所有外力之和 .
dt
例1：煤车以 v
=3m/s从煤斗下通过，每秒落入车厢煤 m=5000kg ，若使车速不变，牵引力F为多大？ F
解：设煤车质量为M，t 时刻落入 煤车内煤的质量为 m(t)
Fdt [ M m(t dt )]v (t dt ) [ M m(t )]v (t ) [m(t dt ) m(t )]v(t ) dmv (t )
p mv
n
单位：kg· m· s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
p pi mi vi
i 1 i 1
n
P = mv
瞬时性（状态量）、相对性（与参照系 有关）、矢量性（与速度方向一致）
二、冲量
1. 常力的冲量
F2Δ t 2
F1Δ t 1 I
FiΔ t i FnΔ tn
§3.4火箭飞行原理（见CD19） §3.5 质心(物体的质量中心 center of mass) N N N个粒子系统，可定义质量中心 m i ri m i ri 1 z rc i N i 1 m mi mi
rc
i 1 N
ri
y
N
o
x
xc
m x
i 1 i

解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V 炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
m M arctg[ tgq ] m
0
v1 = v2 = v m 3 =2 m m 1 = m 2 =m
v3 m 3 o

[例4]炮车以仰角 q 发射一炮弹，炮车和炮弹的 质量分别为M和m，炮弹的出口速度的大小为v， 不计炮车与地面之间的摩擦。 试求：炮车的反冲 速度V及炮弹出口后其速度与水平面的夹角。
q
v
V
v sinq
v cosq V
三、动量定理
F = m dv = d ( mv ) dt dt
F dt = d ( mv ) = dP
此式为动量定理的微分形式。两边积分后得到动 量定理的积分形式：

t2 F d t t1
=
v2 v1
d ( mv ) = mv 2 mv 1 = P 2 - P 1
t
t2
1
Fx dt = mv 2 x mv 1x = P2x - P 1x
F12
1
F13
F31
3
( F1 + F 13+ F12 ) d t = d ( m 1v 1 ) F3 ( F2 + F 23+ F 21) d t = d ( m 2 v 2 ) + ) ( F 3 + F 31+ F32 ) d t = d ( m 3 v 3 ) ( F 1+ F 2 + F 3 ) d t = d (m 1v 1+ m 2 v2 + m 3 v 3 ) Σ F i dt = d (Σ m i v i )
§3.6质心运动定理 z'
z
rc
mi
mi ri
i 1 N
N
rc
x' O ri
r'i
m
i 1

N
mi ri
i 1
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i
m总
将此式求导 :
i
y'
dri mi drc i 1 dt vc dt m总 y
mi vi m总
F ma c
vx 0.62m / s
[ 例3 ] 一小球与地面碰撞 m = 2 ×1 0 kg 0 -1 , . = 60 v = v = 5.0m s 碰撞时 间 t = 0.05s 求:平均冲力。
3
N xΔ t = mv sin mv sin ( N y mg )Δ t = Mv’ cos
dm 4 F v (t ) 15 . 10 N dt
问题：若 V(t)常 如何求 F ？
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
mv1 M v2 0 x1 v1dt
x2 v 2dt
v1人对地
1
v 2车对地
2
X
x1 x2 L
M x1 L Mm
x2
m x2 L Mm
x1
[ 例2] 已知 M，m，h 。 绳子拉紧瞬间绳 子与m ,M 之间的相互作用时间为Δ t 。 求：绳子拉紧后，M 与 m 的共同速度。
Ny
N Nx
( mv cos ) Nx = 0 N y = 2mv cos + mg Δt = 2.0 + 0.2 ( N )
v
mg Y
v X

§3.2 质点系的动量
F1 F 21
2
外力 F1 ， F2， F3 ， F1 2 2对1的作用 F 2 内力 ... F 12， F 21， F 13， 应用动量定理的微分形式：
解： ( T Mg )Δ t = M v 0 m ( T mg )Δ t = mv ( mv 0 ) M h v 0 = 2gh M m v = mv 0 g t v0 Δ M +m M +m T T v M m m 所组成的系 问题：由M、 v Mg mg 统动量是否守恒？
[例3] 一静止的物体爆炸成三块，其中两块具有相同的质 量，且以相同的速率 v1=v2=30m/s沿相互垂直的方向飞 开，第三块的质量等于这两块质量之和。试求：第三块的 速度。 y v1 解：根据已知条件，设 m1
xc xc
M x1 L x2 L Mm
m x2 L Mm
§3.7 质点的角动量 一、角动量（描述质点定点转动状态） 定义：
Lrp
v r

m
角动量方向： 右手螺旋法则确定（见下图）
角动量大小
L
L mvr sin mvd
o
d
r
p
特点：瞬时性、矢 量性、相对性。 单位:
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
例1：光滑轨道上有一长为 L，质量为 M的板车，车上 有一质量为 m的人，若人从车的一端走到另一端，则 人和车对地各走多远 ？ v 1人对地 Y 解：水平方向系统不受力， 1 v 2车对地 2 该方向动量守恒。
Ix
t2
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9s
I x 0.62Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3 1.9
I x mvx 0 0.62Kgm / s

Kgm / s
2
二、力对质点的力矩
定义:
M r F
力
M F d F r sin
+
t2 t
I y = t 1 Fy d t
冲量的几何意义：冲量 I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
平均冲力 ：
t
Fx
t2
1
Fx dt = F x ( t 2 t 1)
(中学知识）
Fx
t
0
t1
t
2
用平均冲力表示的动量定理为： F x ( t 2 t 1) = mv 2 x mv 1x F y ( t 2 t 1) = mv2 y mv 1y
F23 F 32
Σ F i dt = d (Σ m i v i ) (Σ m i v i ) d Pi d Σ Fi =
dt
mi vi 第i个质点的动量
Pi 系统的动量
此式的意义是：作用在系统上外力的矢量和等于 系统的总动量随时间的变化率。称为质点系的动 量定理。
Fi 系统的合外力
(N mgτ) = 0 ( m v0 ) + mg
h
v
0
N =
m 2gh
6 6 . . = 1 66 × 10 + 0 03 × 10 ( N )
τ
m 工件
mg
例2、m=1kg静止在水平桌面上，现受一力F=1.12t作用， 0.2 求t=3s时物体的速度。 37 F 解：1. m为对象 m 2.分析受力。3.初末态