几何探究性问题

几何探究题

1、如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．①如图1，求证：ABE ADC △≌△；

②探究：如图1，BOC ∠=

； 如图2，BOC ∠=

； 如图3，BOC ∠=

．

（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；

AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．

①猜想：如图4，BOC ∠=

（用含n 的式子表示）；

②根据图4证明你的猜想．

2、已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：

2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，

2222

PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图

（2）证明你的结论．

答：对图（2）的探究结论为____________________________________． 对图（3）的探究结论为_____________________________________．

2、请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=

，探究PG 与PC 的位置关系及PG

PC 的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG

PC 的值；

（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边

AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生

变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<<

αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG

PC 的值（用含α的式子表示）．

4、如图，等腰梯形ABCD 中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；

（2）设CP=x ，问当x 为何值时△PDQ 的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PDQM 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不存在，请说明理由.

D

A

B E

F C

P

G

图1

D

C

G P

A

B

F

图

2

（备用图）

5、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

6、正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F 。如图1，当点P 与点O 重合时，显然有DF ＝CF ．

⑴如图2，若点P 在线段AO 上（不与点A 、O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E 。 ①求证：DF ＝EF ；

②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论；

⑵若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

7、将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，

，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿

AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．

（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；

（2）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边

上的点D 处，求点D 的坐标；

8、（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等， 试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：

① 如图2，点M ，N 在反比例函数x k

y =

（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x

轴，垂足分别为E ，F ． 试证明：MN ∥EF ．

② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 是否平行．

图1

图2

图

3

图1

图 3