总体均数的区间估计和假设检验

u =
X −µ
σ
=
X −µ
X
σ
n
实际工作中由于理论的标准误往往未 知，而用样本的标准误作为的估计值， 此时就不是u变换而是t变换了，即下式：
X −µ X −µ t= = SX S n
二、t分布曲线的特征
t分布曲线是单峰分布，以0为中心，左右两侧对
称， 曲线的中间比标准正态曲线（u分布曲线）低，两 侧翘得比标准正态曲线略高。 t分布曲线随自由度υ而变化，当样本含量越小 （严格地说是自由度υ =n-1越小），t分布与u分 布差别越大；当逐渐增大时，t分布逐渐逼近于u 分布，当υ =∞时，t分布就完全成正态分布。 t分布曲线是一簇曲线，而不是一条曲线。 T界值表。
表3-2
样本均数所代表的未知总体均数 与已知总体均数的比较
目 的 H0 H1
双侧检验
是否 µ ≠ µ 0 是否 µ > µ 0 是否 µ < µ 0
µ = µ0 µ = µ0 µ = µ0
µ ≠ µ0 µ > µ0 µ < µ0
单侧检验
表3-3 两样本均数所代表的未知总体均数 的比较
目 的 H0 H1
t分布于1908年由英国统计学家 W.S.Gosset以“Student”笔名发表， 故又称“Student t”分布
正态变量X采用u＝(X－μ)/σ变换，则一般的 正态分布 N (μ,σ)即变换为标准正态分布 N (0,1)。 又因从正态总体抽取的样本均数服从正态分布 N(μ, ),同样可作正态变量的u变换,即
例3.2 上述某市120名12岁健康男孩身高 均数为143.07cm，标准误为0.52cm，试估 计该市12岁康男孩身高均数95%和99%的可 信区间。
95% 的 可 信 区 间 为 143.07±1.96×0.52 ， 即 （142.05，144.09）。 99%的可信区间为 143.07±2.58×0.52, 即 （141.73，144.41）。
Hale Waihona Puke Baidu
sample1 sample2
Population
sample3
μ
sample4 sample5
标准误计算公式
σ已知： σ未知：
σ
X
=
σ
n
S n
S
X
=
实例：如某年某市120名12岁健康男孩， 实例：如某年某市120名12岁健康男孩， 120 岁健康男孩 已求得均数为143.07 标准差为5.70 已求得均数为143.07cm，标准差为5.70cm，按 公式计算，则标准误为： 公式计算，则标准误为：
第五节
均数的u检验
一、样本均数与总体均数比较的u检验
国外统计书籍及统计软件亦称为单样本u 单样本 检验（one 检验（one sample u-test）。 test 样本均数与总体均数比较的u检验适用于：
①总体标准差σ已知的情况； ②样本含量较大时，比如 n>100时。对于后者， 是因为 n 较大，υ也较大，则 t 分布很接近 u 分 布的缘故。
第3章 总体均数的区间估计 和假设检验
目 录 第一节 均数的抽样误差与标准误
第二节 t 分布 第三节 总体均数的区间估计 第四节 假设检验的意义和基本步骤 第五节 均数的 u 检验 第六节 均数的 t 检验 第七节 两总体方差的齐性检验和t＇检验 ＇ 型错误和Ⅱ 第八节 Ⅰ型错误和Ⅱ型错误 第九节 应用假设检验应注意的问题
u 值的计算公式为：
总体标准差σ已知 时，不管n的大小。
u =
X − µ0
σ0 /
n
总体标准差σ未知 时，但n>100时。
u =
X − µ0 S/ n
例3.4 某托儿所三年来测得21～24月龄的 47名男婴平均体重11kg。查得近期全国九 城市城区大量调查的同龄男婴平均体重 11.18kg，标准差为1.23kg。问该托儿所男 婴的体重发育状况与全国九城市的同期水 平有无不同？（全国九城市的调查结果可 作为总体指标）
t 分布示意图
t分布曲线下双侧或单侧尾部合计面积
我们常把自由度为υ的t分布曲线下 双侧尾部合计面积或单侧尾部面积为指 定值α时，则横轴上相应的 t 界值记为
tα,υ。
如 当 υ=20 ， α=0.05 时 ， 记 为 t0.05, 20 ；当 υ =22， α =0.01时，记为t0.01, 22。对于tα, υ值，可根 据α和υ值，查附表，t界值表。
双侧检验
是否µ1 ≠ µ2 是否µ1 > µ2
µ1 = µ2 µ1 = µ2 µ1 = µ2
µ1 ≠ µ2
µ1 > µ2 µ1 < µ2
单侧检验
是否µ1 < µ2
2.确定检验水准
检验水准(size 检验水准 (size of a test)亦称显著性水 test) 显著性水 准 (significance level)，符号为α 。它是 level) 判别差异有无统计意义的概率水准，其大小应 根据分析的要求确定。通常取α= 0.05。
例3.1 为了了解某地1岁婴儿的血红蛋白浓度，从 该地随机抽取了1岁婴儿25人，测得其血红蛋白的 平均数为123.7g/L，标准差为11.9g/L。试求该地1 岁婴儿的血红蛋白平均值95％的可信区间。
95%的可信区间为123.7±2.064×2.38， 即（118.79, 128.61）。故该地1岁婴儿血红 蛋白平均值95％的可信区间为118.7～128.61 （g/L）。
t分布是t检验的理论基础。由公式可 知，│ t│值与样本均数和总体均数之差
成正比，与标准误成反比。 在t分布中│t│值越大，其两侧或单 侧以外的面积所占曲线下总面积的比重就 越小 ，说明在抽样中获得此│t│值以及 更大│ t│值的机会就越小，这种机会的 大小是用概率P来表示的。 │ t│值越大，则 P 值越小；反之， │t│值越小，P值越大。根据上述的意义， 在同一自由度下，│ t│≥ tα ，则 P≤ α ； 反之，│t│＜tα，则P＞α。
P值是指在H0所规定的总体中作随机抽样，
大于现有统计量的概率是小概率，根据小概率事件 原理，现有样本信息不支持 H0 ，因而拒绝 H0 ，结论 为：按所取检验水准拒绝 H0 ，接受 H1 ，即差异有统 计学意义。如例3.3 认为两总体脉搏均数有差别。 ②当 P>α时，表示在 H0 成立的条件下，出现等于及 大于现有统计量的概率不是小概率，现有样本信息 还不能拒绝 H0 ，结论为按所取检验水准不拒绝 H0 ， 即差异无统计意义，如例3.3 尚不能认为两总体脉 搏均数有差别。
SX =
5.70 120
= 0.52
二、标准误的应用
1.表示抽样误差的大小 1.表示抽样误差的大小 ； 2.进行总体均数的区间估计 进行总体均数的区间估计； 2.进行总体均数的区间估计； 3.进行均数的假设检验等 进行均数的假设检验等。 3.进行均数的假设检验等。
第二节 一、t 分布的概念
t 分布
1-α（如95％）可信区间的含义是：总体均数 被包含在该区间内的可能性是1-α，即（95 ％），没有被包含的可能性为α，即（5％）。
总体均数的可信区间的计算
1.未知σ且n较小(n<100) 按t分布的原理
σ
X ± t α ,ν S X X ± uα S X
2.已知σ 2.已知σ或σ 未知但n较 已知 大(n≥100) 按u分布的 原理
学习要求
掌握：抽样误差的概念和计算方法 掌握：总体均数区间的概念，意义和计算方法 掌握：假设检验的基本步骤及思路 掌握：u检验和t检验的概念，意义，应用条件和计 算方法 熟悉：第一类错误和第二类错误的概念和意义 熟悉：假设检验的注意问题
第一节 均数的抽样误差与标准误
一、标准误的意义及其计算 统计推断( 统计推断(statistical inference) ：根据样本信息 inference) 来推论总体特征。 来推论总体特征。 由抽样引起的样本均数与总体 均数的抽样误差 ：由抽样引起的样本均数与总体 均数的差异称为均数的抽样误差 称为均数的抽样误差。 均数的差异称为均数的抽样误差。 标准误(standard error)：反映均数抽样误差大 标准误(standard error)：反映均数抽样误差大 的指标。 小的指标。
此法计算简便，但由于存在抽样误差，通 过样本均数不可能准确地估计出总体均数大小， 也无法确知总体均数的可靠程度。
二、区间估计
区间估计是按一定的概率（1-α）估计 区间估计 包含总体均数可能的范围，该范围亦称 总 体 均 数 的 可 信 区 间 （ confidence interval，缩写为CI）。 1-α 称 为 可 信 度 ， 常 取 1-α 为 0.95 和 0.99，即总体均数的95%可信区间和99% 可信区间。
5.作出推断结论 ①当P≤α时，表示在H0成立的条件下，出现等于及
下结论时的注意点：
P ≤α ，拒绝H0，不能认为H0肯定不成立，因 为虽然在H0成立的条件下出现等于及大于现有
统计量的概率虽小，但仍有可能出现； 同理，P >α ，不拒绝H0，更不能认为H0肯定 成立。 由此可见，假设检验的结论是具有概率性的， 无论拒绝H0或不拒绝H0，都有可能发生错误， 即第一类错误或第二类错误
第三节 总体均数的区间估计 参数估计:用样本指标（统计量）估 参数估计 计总体指标（参数）称为参数估计。
估计总体均数的方法有两种，即： 点值估计（point estimation ） 区间估计（interval estimation）。
一、点值估计
点值估计：是直接用样本均数作 点值估计： 为总体均数的估计值。
3.选定检验方法和计算统计量
根据研究设计的类型和统计推断的目的要 求选用不同的检验方法。如完全随机设计中， 两样本均数的比较可用t检验，样本含量较大 时（n>100）,可用u检验。不同的统计检验方 法，可得到不同的统计量，如t值和u值。
4.确定概率P值
获得等于及大于（或小于）现有统计量的概率。 │ t│≥ tα,υ ,则 P≤ α ；│ t│< tα,υ, 则P > α。
S n
2.计算总体均数的可信区间，如： （ X ± 1.96S X ）。 3.可对总体均数的大小作出初步的判断。 4.用于进行假设检验。
表3 - 1
标准差和标准误的区别
第四节 假设检验的意义和基本步骤 假设检验（hypothesis test） 假设检验（hypothesis test）亦称显著 显著 性检验（significance test） 性检验（significance test），是统计 推断的重要内容。它是指先对总体的参数 或分布作出某种假设，再用适当的统计方 法根据样本对总体提供的信息，推断此假 设应当拒绝或不拒绝。
注
意
点
标准误愈小， 标准误愈小，估计总体均数可信区间的范围也愈 说明样本均数与总体均数愈接近， 窄，说明样本均数与总体均数愈接近，对总体均 数的估计也愈精确； 数的估计也愈精确； 反之，标准误愈大， 反之，标准误愈大，估计总体均数可信区间的范 围也愈宽，说明样本均数距总体均数愈远， 围也愈宽，说明样本均数距总体均数愈远，对总 体均数的估计也愈差。 体均数的估计也愈差。
假设检验的一般步骤
1.建立检验假设
一种是无效假设（null hypothesis）符号为H0； 无效假设（null hypothesis） 一种是备择假设（alternative hypothesis）符号为H1。 备择假设（alternative hypothesis）
H0: µ = µ 0
H1: µ ≠ µ 0
标 准 差（S） 1.表示个体变量值的变异度大小，即原始变量值的
标 准 误( S X ) 1.表示样本均数抽样误差的大小， 即样本均数的离散程 度。公式为： S X =
Σ( X − X ) 2 离散程度。公式为： S = n −1
2.计算变量值的频数分布范围，如： （ X ± 1.96S ）。 3.可对某一个变量值是否在正常值范围内作出初步 判断。 4.用于计算标准误。
例3.3 根据调查，已知健康成年男子脉搏的均数为72次/分 钟，某医生在一山区随机测量了25名健康成年男子脉搏数， 求得其均数为74.2次/分钟，标准差为6.5次/分钟，能否认为 该山区成年男子的脉搏数与一般健康成年男子的脉搏数不同？ 本例两个均数不等有两种可能性： ①山区成年男子的脉搏总体均数与一般健康成年男子的脉搏 总体均数是相同的，差别仅仅由于抽样误差所致； ②受山区某些因素的影响，两个总体的均数是不相同的。 如何作出判断呢？按照逻辑推理，如果第一种可能性较大时， 可以接受它，统计上称差异无统计学意义 差异无统计学意义； 如果第一种可能性较小时，可以拒绝它而接受后者，统计上 称差异有统计学意义 差异有统计学意义。