数学：30.2样本估计总体

让我们仍以上一节300名学生的考试成 绩为例，考察一下抽样调查的结果是 否可靠。上一节中，老师选取的一个 样本是：
随机数 (学号） 成绩 111 80 254 86 167 66 94 91 276 67
它的频数分布直方图、平均 成绩和标准差分别如下：
另外，同学们也分别选取了一些样本， 它们同样也包含五个个体，如下表：
小结:
一般来说，用样本估计总体时， 样本容量越大，样本对总体的估计 也就越精确，相应地，搜集、整理、 计算数据的工作量也就越大，因此， 在实际工作中，样本容量既要考虑 问题本身的需要，又要考虑实现的 可能性和所付出的代价的大小。
随机抽样是经过数学 证明了的可靠的方法，它 对于估计总体特征是很有 帮助的。
随着样本容量（样本中包含的个体 的个数）的增加，由样本得出的平均数 往往会更接近总体的平均数，数学家已 经证明随机抽样方法是科学而可靠的. 对于估计总体特性这类问题，数学上的 一般做法是给出具有一定可靠程度的一 个估计值的范围 .
3、加权平均数的求法 问题1：在计算20个男同学平均身高时， 小华先将所有数据按由小到大的顺序 排列，如下表所示：
解:
(1)
1 x= ( 6 + 3. + 2. + 1. + 2. + 1. + 1. + 2. 3. + 1. 0. 7 2 5 8 7 2 1+ 2 0)= Hale Waihona Puke Baidu. 0 10
所以,该县1999年消耗一次性筷子为2×600×350=420000（盒） (2)设平均每年增长的百分率为x，则2（1+X）2=2.42 解得X1=0.1=10%，X2=－2.1（不合题意，舍去） 所以,平均每年增长的百分率为10%． (3)可以生产学生桌椅套数为 0. 005×2. 42×100×600×350 = 7260 （套） 3
(2)2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样 调查，调查的结果是10个样本饭店，每个饭店平均每天使用一次性 筷子2.42盒．求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平 均每年增长的百分率（2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999 年相同）；
(3)在(2)的条件下，若生产一套学生桌椅需木材0.07m3，求该县 2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅． 计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g， 所用木材的密度为0.5×103kg/m3; (4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量， 如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．
(1)在这个问题中，总体、个体、 样本和样本容量各是什么？ (2)求出这20颗手榴弹的杀伤半 径的众数、中位数和平均数， 并估计这批手榴弹的平均杀伤 半径．
解: (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体； 个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取 的20颗手榴弹的杀伤半径；样本容量是20． (2)在20个数据中，10出现了6次，次数最多，所以 众数是10（米）． 20个数据从小到大排列，第10个和第11个数据是 最中间的两个数，分别为9（米）和10（米）， 所以中位数是9.5 （米）．样本平均数9.4（米）
判断下面这些抽样调查选取样本的方法是否 合适，若不合适，请说明理由． (1)为调查江苏省的环境污染情况，调查了长 江以南的南京市、常州市、苏州市、镇江市、 无锡市的环境污染情况． (2)从100名学生中，随机抽取2名学生，测量 他们的身高来估算这100名学生的平均身高． (3)从一批灯泡中随机抽取50个进行试验， 估算这批灯泡的使用寿命． (4)为了解观众对中央电视台第一套节目的收 视率，对所有上英特网的家庭进行在线调查．
解: (1)不合适．因为调查对象在总体中必须有代表性 ，现在所调查的这些地方的环境污染情况仅仅代表 了长江以南地区，并不能代表整个江苏省的环境污 染情况． (2)不合适．因为抽样调查时所抽取的样本要足够 大，现在只抽取了2名学生的身高，不能用来估算 100名学生的平均身高． (3)合适． (4)不合适．虽然调查的家庭很多，但仅仅增加调查 的数量不一定能够 提高调查质量，本题中所调查的仅代表上英特网的家 庭，不能代表不 上英特网的家庭，因此这样的抽样调查不具有普遍代 表性．
132 随机数 （学号） 成绩 78 73 76 69 75 245 5 98 89 随机数 （学号） 成绩 90 167 86 275 54 72 86 83 82 82
同样，也可以作出这两个样本的频 数分布直方图、计算它们的平均成 绩和标准差，如下图所示：
样本平均成绩为 74.2分， 标准差为3.8分
0. 5×10 ×0. 07
(4)先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县 （或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性筷子 的用量．
练习3：
在一个班的40学生中，14岁 的有5人，15岁的有30人，16 岁的有4人，17岁的有1人， 求这个班级学生的平均年龄。
练习4：
专家提醒，目前我国儿童青少年的健 康存在着五个必须重视的问题：营养不 良和肥胖、近视、龋齿、贫血以及心理 卫生．你认为这是用普查还是抽样调查 得到的结果？设计一份调查卷和一个抽 样调查方案，了解我们学校学生是否普 遍存在这五个健康问题，是否严重？
当样本中个体太少时， 样本的平均数、标准差往往 差距较大，如果选取适当的 样本的个体数，各个样本的 平均数、标准差与总体的标 准差相当接近。
北京在这30天的空气污染指数及质量 级别，如下表所示：
2、体会用样本估计总体的合理性 经比较可以 发现，虽然 从样本获得 的数据与总 体的不完全 一致，但这 样的误差还 是可以接受 的，是一个 较好的估计。
样本平均成绩 为80.8分， 标准差为6.5分
从以上三张图比较来看，它们之间存在明显 的差异，平均数和标准差与总体的平均数与 标准差也相去甚远，显然这样选择的样本不 能反映总体的特性，是不可靠的。
2、选择恰当的样本个体数目
样本平均成绩为 75.7分， 标准差为10.2分
样本平均成绩为 77.1分， 标准差为10.7分
练习2：
为估计一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低 档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别 为： 0.6、3.7、2.2、1.5、2.8、1.7、1.2 、2.1、3.2、1.0 (1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗了多少盒一次性筷子 （每年按350个营业日计算）；
用样本估计总体
在上节课中，我们知道在选 取样本时应注意的问题，其一是 所选取的样本必须具有代表性， 其二是所选取的样本的容量应该 足够大，这样的样本才能反映总 体的特性，所选取的样本才比较 可靠.
随机抽样调查是了解总体情 况的一种重要的数学方法，抽样 是它的一个关键，上节课介绍了 简单的随机抽样方法，即用抽签 的方法来选取样本，这使每个个 体都有相等的机会被选入样本．
然后,他这样计算这20个学生的平均身高：
小华这样计算平均数可以吗？为什么？
问题2：假设你们年级共有四个班级， 各班的男同学人数和平均身高如表所示.
小强这样计算全年级男同学的平均身高：
161 .2＋ .3＋ .8＋ .7 162 160 160 4
小强这样计算平均数可以吗？为什么？
练习1：
为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽 取了其中20颗做试验，得到这20颗手 榴弹的杀伤半径，并列表如下：