第三讲-无理数与实数
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20．一个数是它的倒数的4倍，则这个数是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
21．已知 ，则 。
22． =。
C 组
23．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的。
24．若 = ，则 =。
25．若a=5，b= ，则 。
26．比较下列各组实数的大小：
（1） ； （2）
（3） （4）
27．已知 ，求
6．下列命题中，正确的个数是（ ）
①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数；
③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数；
⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
7．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
①带根号的数是无理数；（ ）
例4 设a、b互为相反数，但不为0，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，化简 的结果是。
例5 试比较下列各组数的大小；
① 和 ② ， ，
例6 （1）实数a、b、c在数轴上的位置如下图，化简
（2）当 时， 、 、 的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
例7 （1）已知 、 为实数，且 ，求 的值。
（2）若 ，求 的值。
（C）都是无理数 （D）是有理数还是无理数不能确定
34．已知实数 满足 ，那么 的值是（ ）
（A）1991 （B）1992 （C）1993 （D）1994
35．若 ，则 。
36．如果实数 满足 那么 =。
【趣数什锦】
第一次数学危机
公元前五百多年，在古希腊出现了一个毕达哥拉斯学派，那是一个集政治、宗教、学术于一体的组织，它的领导人是毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572～公元前497年）。
例2（1）下列说法中，正确的是（ ）
A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数
C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数
（2）下列说法正确的是（ ）
A．若a为实数，则a大于－aB．实数m的倒数一定是
C．若实数x、y，有 ，则x=yD．任何负数的倒数都小于它的相反数
例3 的绝对值与 的相反数之和的倒数的平方为。
勾股定理的发现，给毕达哥拉斯学派带来了极大的荣誉，可是乐极生悲，正是这一定理的发现，给毕达哥拉斯学派的信仰带来了致命的打击，原来毕达哥拉斯学派所说的“万物皆数”指是都是整数或分数（两整数之比）。但是根据勾股定理，如果设一个正方形各边的长度为1，那么它的对角线长的平方就等于2。什么样的数的平方等于2呢毕达哥拉斯学派找不到这样的整数和分数，既然如此简单的正方形的对角线之长都不能用数来表示，还谈什么“万物皆数”呢
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
3．实数的几个有关概念：
①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。a+b=0 a、b互为相反数。
②倒 数：若 ，则 称为a的倒数，0没有倒数。 、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即
【典型例题】
例1在实数， ， ， ， ，…，π， 中，哪些是有理数，哪些是无理数
毕达哥拉斯学派据说还发现并证明了勾股定理，勾股定理在我国称为商高定理：“直角三角形两直角边（长的直角边叫股，短的直角边叫勾）的平方和等于斜边的平方”。这是数学中一个十分重要的定理。当毕达哥拉斯发现这一定理后，马上预见到它的重要性，欣喜若狂。当即下令杀了100头牛，举行“百牛大祭”，来感谢神的启示，并庆祝自己的成功。
16． 是有理数时，一定有（ ）
A． 是完全平方数 B． 是负有理数
C． 是一个完全平方数的相反数 D． 是一个负整数
17．－3的负倒数是（ ）
A．3 B．－3 C． D．
18．已知 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．±1 C．5 D．±5
19．已知a为有理数，b为无理数，则a+b为（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
毕达哥拉斯学派继承和发展了泰勒斯的数学思想，认识到数学是以演绎推理为特点的，演绎推理所得到的结果常常与由观察得到的结果相符合，并且有些由观察难以得出的结论却可以由演绎推理得出，还注意到有些本质上完全不同的现象却表现出相同的数学性质，毕达哥拉斯学派无法解释这种现象，从而把它神秘化，产生了一种幻觉，认为数是万物的本原，即所谓“万物皆数”。宇宙中的一切事物，都可以通过数来表达。不过，他们所说的“数”，指的是整数和分数。即我们今天所接触的正有理数。
A． B． C． D．
10． ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
B 组
11． ， ，，， , 中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．a为正的有理数，则 一定是（ ）
A．有理数 B．正无理数 C．正实数 D．正有理数
13．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．倒数等于本身的数只有1 B．绝对值等于本身的数只有0
根式计算（二）
——无理数与实数
【知识要点】
1．无理数：
定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…， ，
－…，都是无理数。
注意：
①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；
②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；
③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如 、 等。
C．相反数等于本身的数只有0 D．算术平方根等于本身的数只有1
14．下列说法不正确的是（ ）
A．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B．整数可以看成是分母为1的分数
C．有理数都可以化为分数 D．无理数是开方开不尽的数
15．代数式 ， ， ， 中一定是正数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
② 一定没有意义；（ ）
③绝对值最小的实数是0；（ ）
④平方等于3的数为 ；（ ）
⑤有理数、无理数统称为实数；（ ）
⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ）
⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ）
⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ）
8．已知 = ，则x等于（ ）
A． B．1.414 C． D．
9．已知实数x满足 ，则（ ）
例8 已知 ， ，求a+b的最小值。
【练 习】
A 组
1．小数，叫做Fra Baidu bibliotek理数。
2．大于 的负整数是。
3． 的相反数是，绝对值是，倒数是。
4．比较大小：－7－4 （填“＞”，“＜”或“＝”）
5．在数 ， ， ， ， ， ，…（两个3之间依次多一个2）中无理数的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
毕达哥拉斯的一个学生希伯斯指出“这个数不是整数，也不是分数，而是一种人们尚未认识的新数”。希伯斯一语中的，石破天惊，这一下彻底动摇了“万物皆数”的神秘哲学的基础。毕达哥拉斯大为震骇，下令封锁这一发现，并声称谁胆敢泄露这一机密给局外人，就要将他处以极刑。
可是，严刑重罚从来就禁锢不住真理，这一事实很快被公之于众，宣布了“万物皆数”的破产，引发了数学史上所谓的“第一次数学危机”，从而导致了实数理论的诞生。据说，毕达哥拉斯的弟子希伯斯等人因为坚持真理，违背了毕达哥拉斯的禁令，公布了事实的真象，因而遭到同伴的杀害，被抛尸大海，葬身鱼腹。
28．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数。求： 的值。
29．化简
30．已知 与 互为相反数，求 和 的值。
D 组
31．已知 、 是实数，且 与 互为相反数。求：实数 的负倒数。
32．已知 ，求 的算术平方根。
33．若 都是有理数，那么 和 （ ）
（A）都是有理数 （B）一个是有理数，另一个是无理数
A．4 B．±4 C．2 D．±2
21．已知 ，则 。
22． =。
C 组
23．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的。
24．若 = ，则 =。
25．若a=5，b= ，则 。
26．比较下列各组实数的大小：
（1） ； （2）
（3） （4）
27．已知 ，求
6．下列命题中，正确的个数是（ ）
①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数；
③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数；
⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
7．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
①带根号的数是无理数；（ ）
例4 设a、b互为相反数，但不为0，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，化简 的结果是。
例5 试比较下列各组数的大小；
① 和 ② ， ，
例6 （1）实数a、b、c在数轴上的位置如下图，化简
（2）当 时， 、 、 的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
例7 （1）已知 、 为实数，且 ，求 的值。
（2）若 ，求 的值。
（C）都是无理数 （D）是有理数还是无理数不能确定
34．已知实数 满足 ，那么 的值是（ ）
（A）1991 （B）1992 （C）1993 （D）1994
35．若 ，则 。
36．如果实数 满足 那么 =。
【趣数什锦】
第一次数学危机
公元前五百多年，在古希腊出现了一个毕达哥拉斯学派，那是一个集政治、宗教、学术于一体的组织，它的领导人是毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572～公元前497年）。
例2（1）下列说法中，正确的是（ ）
A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数
C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数
（2）下列说法正确的是（ ）
A．若a为实数，则a大于－aB．实数m的倒数一定是
C．若实数x、y，有 ，则x=yD．任何负数的倒数都小于它的相反数
例3 的绝对值与 的相反数之和的倒数的平方为。
勾股定理的发现，给毕达哥拉斯学派带来了极大的荣誉，可是乐极生悲，正是这一定理的发现，给毕达哥拉斯学派的信仰带来了致命的打击，原来毕达哥拉斯学派所说的“万物皆数”指是都是整数或分数（两整数之比）。但是根据勾股定理，如果设一个正方形各边的长度为1，那么它的对角线长的平方就等于2。什么样的数的平方等于2呢毕达哥拉斯学派找不到这样的整数和分数，既然如此简单的正方形的对角线之长都不能用数来表示，还谈什么“万物皆数”呢
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
3．实数的几个有关概念：
①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。a+b=0 a、b互为相反数。
②倒 数：若 ，则 称为a的倒数，0没有倒数。 、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即
【典型例题】
例1在实数， ， ， ， ，…，π， 中，哪些是有理数，哪些是无理数
毕达哥拉斯学派据说还发现并证明了勾股定理，勾股定理在我国称为商高定理：“直角三角形两直角边（长的直角边叫股，短的直角边叫勾）的平方和等于斜边的平方”。这是数学中一个十分重要的定理。当毕达哥拉斯发现这一定理后，马上预见到它的重要性，欣喜若狂。当即下令杀了100头牛，举行“百牛大祭”，来感谢神的启示，并庆祝自己的成功。
16． 是有理数时，一定有（ ）
A． 是完全平方数 B． 是负有理数
C． 是一个完全平方数的相反数 D． 是一个负整数
17．－3的负倒数是（ ）
A．3 B．－3 C． D．
18．已知 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．±1 C．5 D．±5
19．已知a为有理数，b为无理数，则a+b为（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
毕达哥拉斯学派继承和发展了泰勒斯的数学思想，认识到数学是以演绎推理为特点的，演绎推理所得到的结果常常与由观察得到的结果相符合，并且有些由观察难以得出的结论却可以由演绎推理得出，还注意到有些本质上完全不同的现象却表现出相同的数学性质，毕达哥拉斯学派无法解释这种现象，从而把它神秘化，产生了一种幻觉，认为数是万物的本原，即所谓“万物皆数”。宇宙中的一切事物，都可以通过数来表达。不过，他们所说的“数”，指的是整数和分数。即我们今天所接触的正有理数。
A． B． C． D．
10． ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
B 组
11． ， ，，， , 中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．a为正的有理数，则 一定是（ ）
A．有理数 B．正无理数 C．正实数 D．正有理数
13．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．倒数等于本身的数只有1 B．绝对值等于本身的数只有0
根式计算（二）
——无理数与实数
【知识要点】
1．无理数：
定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…， ，
－…，都是无理数。
注意：
①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；
②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；
③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如 、 等。
C．相反数等于本身的数只有0 D．算术平方根等于本身的数只有1
14．下列说法不正确的是（ ）
A．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B．整数可以看成是分母为1的分数
C．有理数都可以化为分数 D．无理数是开方开不尽的数
15．代数式 ， ， ， 中一定是正数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
② 一定没有意义；（ ）
③绝对值最小的实数是0；（ ）
④平方等于3的数为 ；（ ）
⑤有理数、无理数统称为实数；（ ）
⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ）
⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ）
⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ）
8．已知 = ，则x等于（ ）
A． B．1.414 C． D．
9．已知实数x满足 ，则（ ）
例8 已知 ， ，求a+b的最小值。
【练 习】
A 组
1．小数，叫做Fra Baidu bibliotek理数。
2．大于 的负整数是。
3． 的相反数是，绝对值是，倒数是。
4．比较大小：－7－4 （填“＞”，“＜”或“＝”）
5．在数 ， ， ， ， ， ，…（两个3之间依次多一个2）中无理数的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
毕达哥拉斯的一个学生希伯斯指出“这个数不是整数，也不是分数，而是一种人们尚未认识的新数”。希伯斯一语中的，石破天惊，这一下彻底动摇了“万物皆数”的神秘哲学的基础。毕达哥拉斯大为震骇，下令封锁这一发现，并声称谁胆敢泄露这一机密给局外人，就要将他处以极刑。
可是，严刑重罚从来就禁锢不住真理，这一事实很快被公之于众，宣布了“万物皆数”的破产，引发了数学史上所谓的“第一次数学危机”，从而导致了实数理论的诞生。据说，毕达哥拉斯的弟子希伯斯等人因为坚持真理，违背了毕达哥拉斯的禁令，公布了事实的真象，因而遭到同伴的杀害，被抛尸大海，葬身鱼腹。
28．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数。求： 的值。
29．化简
30．已知 与 互为相反数，求 和 的值。
D 组
31．已知 、 是实数，且 与 互为相反数。求：实数 的负倒数。
32．已知 ，求 的算术平方根。
33．若 都是有理数，那么 和 （ ）
（A）都是有理数 （B）一个是有理数，另一个是无理数