教学设计_解直角三角形(第3课时)_2

28.2解直角三角形（3）
教学目标：
1.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。

2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。

3.培养学生用数学的意识，渗透数形结合的思想和方法。

教学重点：
理解坡度和坡角的概念。

教学难点：
利用坡度和坡角解决有关实际问题。

教学过程：
一、新知引入
你觉得哪幅图的坡更好爬？为什么？（教师展示ppt ）
我们知道坡越陡，倾斜的角度越大，那与我们直角三角形有什么联系呢？我们一起来探索吧！
二、新知讲解
知识1：基本概念：
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示。

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，用字母i 表示，则i=l h = tan 如图，坡度通常写成i=h:l 的形式。

※注意：①(坡度等于坡角的正切值)坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.
②坡度的结果不是一个度数，而是一个比值，不要与坡角相混淆．
巩固练习：试一试，你最棒！
1、斜坡的坡度是1：3，则坡角α=______度。

（答案：30）
2、斜坡的坡角是450
，则坡比是_______。

（答案：1:1）
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。

（答案：1：3）
知识2：如何解决实际生活中的坡度、坡角问题？
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，如，我们要测量如图所示大坝的高度h 时，只要测出仰角a 和大坝的坡面长度l ，就能算出h=lsina ，但是，当我们要测量如图所示的山高h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l 1，测出相应的仰角a 1，就可以算出这段山坡的高度h 1=l 1sina 1.
在每小段上，都构造直角三角形，利用上面的方法算出各段山坡的高度h 1,h 2,…,h n ,然后我们再“积零为整”，把h 1,h 2,…,h n 相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，它在数学中有重要地位。

（教师展示PPT ，让学生理解就可以！）
三、例题讲解
例1、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD （图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），根据图中数
据求：（1）坡角a和β;
（2）斜坡AB的长（保留根号）
巩固练习：
1.如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡AB的水平宽度BE=33m，
那么斜坡AB长为_________m．(答案：1.6)
2.某建筑物门口有一无障碍通道，通道的斜坡长为a m，通道的最高点距水平地面b m，若a：b=37：1，该通道
的坡比是________.(答案：1:6)
1题 2题 3题 4题
3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面2 m高的B处，
则物体从A到B所经过的路程为（）(答案：C)
A.6 m
B. m
C.2 m
D.3 m
4.如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD，DA=CB，DC∥AB，DA=5，DC=4，AB=9，则斜坡DA
的坡角为_________°.(答案：60)
5.如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度
是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A 处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( )(答案：D)
A．10.8米 B．8.9米 C．8.0米 D．5.8米
5题 6题 7题
6.某住宅小区为了美化环境,增加绿地面积,决定在坡上的甲楼和乙楼之间建一块斜坡草地,如图,已知两楼的水平
距离为15米,距离甲楼2米(即AB=2米)开始修建坡角为300的斜坡,斜坡的顶端距离乙楼4米(即CD=4米),则斜坡BC的长度为_______米.(答案：63)
7.如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已
知原斜坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？
（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（精确到0.01,参考数据：2≈1.414，3≈1.732，4≈2.449）
●总结：解类似的直角三角形时常用到的思想和方法
1．数形结合思想.
2．方程思想.
3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
四、拓展提高
例2、 如图，海岛A 四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B 处见岛A 在北偏西60˚，航行24海里到C ，见岛A 在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
应用提高：
1.已知东西海岸线上有相距7 km 的A 、B 两个码头，灯塔P 距A 码头13 km ，在B 码头测得灯塔P 在北偏东45°方向，则灯塔P 到海岸线的距离为________km.(答案：5或12)
2.一只兔子沿OP （北偏东30°）的方向向前跑．已知猎人在Q （1，3）点挖了一口陷阱，问：如果 兔子继续沿原来的方向跑，________ （填“有”或“没有”）危险？(答案：有)
2题 3题 4题 5题
3.如图所示，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500 m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB ＝ 400 m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
解：依题意得：∠AMN ＝30°，∠ABN ＝45°，过点A 作AC ⊥MN 于点C ，在Rt △
ABC 中，tan ∠ABC ＝AC BC
，∴BC ＝AC ，由MB ＝MC －BC ，得3AC －AC ＝400，∴AC ＝200(3＋1)≈546＞500，∴不改变方向，输水路线不会穿过居民区．
4.如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ，B 两船相距100(3＋1)海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A 与C ，A 与D 之间的距离AC 和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)．
(2)已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
解：(1)过C 作CE ⊥AB ，由题意得：∠ABC ＝45°，∠BAC ＝60°，设AE ＝x 海里，
在Rt △AEC 中，CE ＝AE·tan60＝3x ；在Rt △BCE 中，BE ＝CE ＝3x.∴AE ＋BE ＝x ＋3x
＝100(3＋1)，解得：x ＝100，AC ＝2x ＝200，在△ACD 中，∠DAC ＝60°，∠ADC ＝75°，
则∠ACD ＝45°，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，设AF ＝y ，则DF ＝CF ＝3y ，∴AC ＝y ＋3y
＝200，解得：y ＝100(3－1)，∴AD ＝2y ＝200(3－1)
(2)由(1)可知，DF ＝3AF ＝3×100(3－1)≈127，∵127＞100，所以巡逻船A 沿直线AC
航线，在去营救的途中没有触暗礁危险
5.如图，一扇窗户垂直打开，即OM ⊥OP ，AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A 处，另一端在OP 上滑动，将窗户OM 按图示方向向内旋转35°到达ON 位置，此时，点A ，C 的对应位置分别是点B ，D.测量出∠ODB 为25°，点D 到点O 的距离为30 cm.
(1)求B 点到OP 的距离；
(2)求滑动支架的长．
(结果精确到1cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)
解：(1)在Rt △BOE 中，OE ＝BE tan55°，在Rt △BDE 中，DE ＝BE tan25°，则BE tan55°＋BE tan25°
＝30，解得BE ≈10.6cm.故B 点到OP 的距离大约为10.6cm
(2)在Rt △BDE 中，BD ＝BE sin25°≈25.2cm.故滑动支架长25.2cm
五、课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．。