4 部分相干理论
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去掉实信号的负频成分，加倍实信号的正频成 分 单色复信号是只有正频分量的单边谱
实函数解析表示法步骤
1、将实函数进行傅里叶变换 2、去掉负频率部分，正频率部分振幅加倍 3、对正频率部分进行傅里叶逆变换
二、多色信号的复表示
前提： u r t U r v
~
~r u t 2U v exp j 2vtdv
0 0
exp j 2 v vt dt v v
利用δ函数的筛选性
互相干函数
~ G12 t G12 v exp j 2vt dv
0
互谱密度
~ ~ U T P , v U T P 2 , v ~ 1 G12 v lim T 2T
自相干函数 功率谱密度 即光强频谱
~ Gt G v exp j 2vt dv
~ U P, v 2 ~ ~ U T P, v U T P, v T ~ G v lim lim T T 2T 2T
r
1 u (t ) Aexp j v0t exp j v0t 2
r
欧拉公式 多负频率 振幅减半
1 ~ U r (t ) AeLeabharlann Baidup j v v0 exp j v v0 2
~ F u (t ) A exp j v v0
~ 2 I1 Q I 2 Q V 12 t I1 Q I 2 Q
I max I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q 12 t
I min I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q 12 t
实验上调整 I1 I 2 ，测量条纹对比度来测量 单色点光源
12 (t )
~ 2 I1 Q I 2 Q V I1 Q I 2 Q
|γ12 (t ) |
的物理意义： 在Q点附近的干涉条纹的可见度达到了
P1和P2完全相干时的多大程度
a12 (t )
光波从P1和P2点到达Q点所引进的相位延迟，与光
0
实函数的复数表示 解析信号与原实信 号之间的关系
~ u t U r v exp j 2vt dv
r 0
~ ~ U r v exp j 2vt dv U r v exp j 2vt dv
0
~ r ~r U v exp j 2vt dv U v exp j 2vt dv 0 0 ~ r Re 2U v exp j 2vt dv 0
I Q I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q 12 t cos12 t
与光源性质有关 与光源性质无关
0 12 (t ) 1
部分相干
~ 干涉条纹可见度 V I max I min I max I min
讨论：窄带光
G12 t G12 t exp j2v t 12 t
12 t 12 t exp j2v t 12 t
I Q I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q 12 t cos12 t 2v t
1
希尔伯特变换的 一种表示方式
（法
1 ~ u i (t ) H u r t
u r ( ) t d
~ 1 u i (t ) H u r t u r (t ) t
Hilbert T. 可以看成是一个线性平移不变系统，该系统的点扩散函数为
解析信号频谱与实函 数频谱之间的关系 标准傅里叶变换形式
~ U (v) 1 sgn(v)U r (v)
u t
1 sgn(v)U r (v) exp j 2vt dv
解析信号的计算 ~ 1 ~ ~ 1 ~ r ~ 1 ~r u (t ) F U v F U v F sgn(v)U v ~ 1 ~ 1 ~ r r u (t ) F sgn(v) F U v
1 h(t ) t
j u (t ) (t ) u r (t ) t
系统传递函数
~ 1 H v F j sgnv t
虚部频谱
~i ~r U v j sgnv U (v)
例1 求 (t ) 的 HT。 例2 求 cos 2 v 0 t 的HT。
~r u P , t U T P , v 1 1
r T
~ uT P , t U T P , v 1 1
t T t T
~ uT ( P , t ) U T ( P , v) exp( j 2vt )dv 1 1
0
P1点解析函数 P2点解析函数
~ uT ( P2 , t ) U T ( P2 , v) exp( j 2vt )dv
源性质无关。
由光源面上各点发出的光场在P1和P2点造成的位相 差，与光源性质有关，称为有效相位延迟。
21 12 t z /d
强度相等时
12 t 1 2 z/d
~ 12 t V
二、互相干函数的谱表示
时间有限光场
u ( P , t ), 1 uT ( P , t ) 1 0,
4.2 互相干函数
光场中两个子光源发出的光，在空间另
外一点引起的振动等于，这两点分别对该点
引起振动的叠加。这种叠加情况的分析就是 这两点互相干性的分析。
一、互相干函数
时刻t：
P1 : u( p1 , t )
P2: u( p2 , t )
Q点t时刻：
u (Q, t ) K1u P , t t1 K 2u P2 , t t2 1
K1、K2：传播因子，与r1和r2成反比，与针孔大小，P1、 P2点入射角和衍射角有关
t t2 t1
光强
I Q u (Q, t )u (Q, t )
1 f t 2T
T
T
f (t )dt
互相干函数
2 I Q K12 u P , t t1 u P , t t1 K 2 u P2 , t t 2 u P2 , t t 2 1 1
u P , t u P , t G11 0 1 1
单孔P1和P2分别在Q点产生的光强为
（
I1 Q K12G110 K12 I1
2 2 I 2 Q K 2 G22 0 K 2 I 2
I Q I1 Q I 2 Q K1K 2 G12 t G12 t
G12* (t )
当p1和p2重合时，该点光振动的自相干函数
u P , t t u P , t G11 t 1 1
u P2 , t t u P2 , t G22 t
如果
t 0
u P2 , t u P2 , t G22 0
j u (t ) u r (t ) t j u r ( ) u r (t ) d t
r
j F sgn v t
柯西积分 希尔伯特变换
t u r ( ) u r ( ) 1 u r ( ) t d lim0 t d t t d
~r ~r U (v) U (v)
结果表明是信号是解析信号实部
解析信号的频谱分析 令
~r u t 2U v exp j 2vt dv
0
不是傅里叶变换形式
2U r (v), ~ U (v ) 0,
v0 其它
2U r (v), r ~ U (v) U (v)， 0,
0
互相干函数的频谱
1 G12 t u P , t t u P2 , t lim 1 T 2T
uT P , t t uT P2 , t dt 1
1 lim T 2T
~ ~ dt U T ( P , v)U T ( P2 , v) exp j 2 v vt exp j 2vt dvdvdt 1
12
0 12 t 1
平稳光场的普遍干涉规律（具有一定带宽的扩展光源）
I Q I1 Q I 2 Q K1K 2 G12 t G12 t
I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q ReG12 t
第四章 部分相干理论 （Partial coherent theory）
理想相干光源：单色点光源
光源相干性的量度：干涉条纹的对比度。 完全相干，形成干涉条纹最清晰 完全不相干，不能形成干涉条纹 实际：部分相干光 本章讨论部分相干光的描述方法和传播规律, 方法是统计理论
4.1多色光场的解析信号表示
0
复相干度
12 t G12 v exp j 2vt dv
0
~ ˆ
归一化互谱密度
~ ~ G12 v ˆ G12 v 12 G110G22 0
v0 v0 v0
傅里叶变换积分是从负无穷到 可以表示成标准傅里叶变换 正无穷，但解析信号的频率只 形式。但不好看，也不好用 有正半部分。需要构建一个新 以下重新规范，以便计算 的频谱函数，使其积分满足傅 里叶变换积分要求，又只有在 v 1, 正半轴有意义。 0 sgn(v) 0， v 0 1, v 0
I1 Q I 2 Q 2 K1K 2 ReG12 t
光强为实数
归一化互相干函数（复相干度）：
G12 t G12 t 12 t 12 G110G22 0 I1I 2
G12 t G11 0 G22 0
实际的光场信号是是函数，实函数的傅里叶变换 结果会多出一个负频率。在信息光学中主要从频域的
角度处理信息，多出的负频率给信息的处理带来很多
的不便，为了便于频域信号的处理，构建一个与实函 数对应的复函数（其傅里叶变换只有一个正频率）， 来代替原来的实函数。即是信号的解析表示
一、单色信号的复表示
u (t ) A cos(2v0t ) u (t ) A exp[ j (2v0 t )] 复振幅 A A exp( j )
K1 K 2 u P , t t1 u P2 , t t 2 1 K1 K 2 u P , t t1 u P2 , t t 2 1
G12 (t )
u P , t t u P2 , t 1
u P , t t u P2 , t 2 1
实函数解析表示法步骤
1、将实函数进行傅里叶变换 2、去掉负频率部分，正频率部分振幅加倍 3、对正频率部分进行傅里叶逆变换
二、多色信号的复表示
前提： u r t U r v
~
~r u t 2U v exp j 2vtdv
0 0
exp j 2 v vt dt v v
利用δ函数的筛选性
互相干函数
~ G12 t G12 v exp j 2vt dv
0
互谱密度
~ ~ U T P , v U T P 2 , v ~ 1 G12 v lim T 2T
自相干函数 功率谱密度 即光强频谱
~ Gt G v exp j 2vt dv
~ U P, v 2 ~ ~ U T P, v U T P, v T ~ G v lim lim T T 2T 2T
r
1 u (t ) Aexp j v0t exp j v0t 2
r
欧拉公式 多负频率 振幅减半
1 ~ U r (t ) AeLeabharlann Baidup j v v0 exp j v v0 2
~ F u (t ) A exp j v v0
~ 2 I1 Q I 2 Q V 12 t I1 Q I 2 Q
I max I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q 12 t
I min I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q 12 t
实验上调整 I1 I 2 ，测量条纹对比度来测量 单色点光源
12 (t )
~ 2 I1 Q I 2 Q V I1 Q I 2 Q
|γ12 (t ) |
的物理意义： 在Q点附近的干涉条纹的可见度达到了
P1和P2完全相干时的多大程度
a12 (t )
光波从P1和P2点到达Q点所引进的相位延迟，与光
0
实函数的复数表示 解析信号与原实信 号之间的关系
~ u t U r v exp j 2vt dv
r 0
~ ~ U r v exp j 2vt dv U r v exp j 2vt dv
0
~ r ~r U v exp j 2vt dv U v exp j 2vt dv 0 0 ~ r Re 2U v exp j 2vt dv 0
I Q I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q 12 t cos12 t
与光源性质有关 与光源性质无关
0 12 (t ) 1
部分相干
~ 干涉条纹可见度 V I max I min I max I min
讨论：窄带光
G12 t G12 t exp j2v t 12 t
12 t 12 t exp j2v t 12 t
I Q I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q 12 t cos12 t 2v t
1
希尔伯特变换的 一种表示方式
（法
1 ~ u i (t ) H u r t
u r ( ) t d
~ 1 u i (t ) H u r t u r (t ) t
Hilbert T. 可以看成是一个线性平移不变系统，该系统的点扩散函数为
解析信号频谱与实函 数频谱之间的关系 标准傅里叶变换形式
~ U (v) 1 sgn(v)U r (v)
u t
1 sgn(v)U r (v) exp j 2vt dv
解析信号的计算 ~ 1 ~ ~ 1 ~ r ~ 1 ~r u (t ) F U v F U v F sgn(v)U v ~ 1 ~ 1 ~ r r u (t ) F sgn(v) F U v
1 h(t ) t
j u (t ) (t ) u r (t ) t
系统传递函数
~ 1 H v F j sgnv t
虚部频谱
~i ~r U v j sgnv U (v)
例1 求 (t ) 的 HT。 例2 求 cos 2 v 0 t 的HT。
~r u P , t U T P , v 1 1
r T
~ uT P , t U T P , v 1 1
t T t T
~ uT ( P , t ) U T ( P , v) exp( j 2vt )dv 1 1
0
P1点解析函数 P2点解析函数
~ uT ( P2 , t ) U T ( P2 , v) exp( j 2vt )dv
源性质无关。
由光源面上各点发出的光场在P1和P2点造成的位相 差，与光源性质有关，称为有效相位延迟。
21 12 t z /d
强度相等时
12 t 1 2 z/d
~ 12 t V
二、互相干函数的谱表示
时间有限光场
u ( P , t ), 1 uT ( P , t ) 1 0,
4.2 互相干函数
光场中两个子光源发出的光，在空间另
外一点引起的振动等于，这两点分别对该点
引起振动的叠加。这种叠加情况的分析就是 这两点互相干性的分析。
一、互相干函数
时刻t：
P1 : u( p1 , t )
P2: u( p2 , t )
Q点t时刻：
u (Q, t ) K1u P , t t1 K 2u P2 , t t2 1
K1、K2：传播因子，与r1和r2成反比，与针孔大小，P1、 P2点入射角和衍射角有关
t t2 t1
光强
I Q u (Q, t )u (Q, t )
1 f t 2T
T
T
f (t )dt
互相干函数
2 I Q K12 u P , t t1 u P , t t1 K 2 u P2 , t t 2 u P2 , t t 2 1 1
u P , t u P , t G11 0 1 1
单孔P1和P2分别在Q点产生的光强为
（
I1 Q K12G110 K12 I1
2 2 I 2 Q K 2 G22 0 K 2 I 2
I Q I1 Q I 2 Q K1K 2 G12 t G12 t
G12* (t )
当p1和p2重合时，该点光振动的自相干函数
u P , t t u P , t G11 t 1 1
u P2 , t t u P2 , t G22 t
如果
t 0
u P2 , t u P2 , t G22 0
j u (t ) u r (t ) t j u r ( ) u r (t ) d t
r
j F sgn v t
柯西积分 希尔伯特变换
t u r ( ) u r ( ) 1 u r ( ) t d lim0 t d t t d
~r ~r U (v) U (v)
结果表明是信号是解析信号实部
解析信号的频谱分析 令
~r u t 2U v exp j 2vt dv
0
不是傅里叶变换形式
2U r (v), ~ U (v ) 0,
v0 其它
2U r (v), r ~ U (v) U (v)， 0,
0
互相干函数的频谱
1 G12 t u P , t t u P2 , t lim 1 T 2T
uT P , t t uT P2 , t dt 1
1 lim T 2T
~ ~ dt U T ( P , v)U T ( P2 , v) exp j 2 v vt exp j 2vt dvdvdt 1
12
0 12 t 1
平稳光场的普遍干涉规律（具有一定带宽的扩展光源）
I Q I1 Q I 2 Q K1K 2 G12 t G12 t
I1 Q I 2 Q 2 I1 Q I 2 Q ReG12 t
第四章 部分相干理论 （Partial coherent theory）
理想相干光源：单色点光源
光源相干性的量度：干涉条纹的对比度。 完全相干，形成干涉条纹最清晰 完全不相干，不能形成干涉条纹 实际：部分相干光 本章讨论部分相干光的描述方法和传播规律, 方法是统计理论
4.1多色光场的解析信号表示
0
复相干度
12 t G12 v exp j 2vt dv
0
~ ˆ
归一化互谱密度
~ ~ G12 v ˆ G12 v 12 G110G22 0
v0 v0 v0
傅里叶变换积分是从负无穷到 可以表示成标准傅里叶变换 正无穷，但解析信号的频率只 形式。但不好看，也不好用 有正半部分。需要构建一个新 以下重新规范，以便计算 的频谱函数，使其积分满足傅 里叶变换积分要求，又只有在 v 1, 正半轴有意义。 0 sgn(v) 0， v 0 1, v 0
I1 Q I 2 Q 2 K1K 2 ReG12 t
光强为实数
归一化互相干函数（复相干度）：
G12 t G12 t 12 t 12 G110G22 0 I1I 2
G12 t G11 0 G22 0
实际的光场信号是是函数，实函数的傅里叶变换 结果会多出一个负频率。在信息光学中主要从频域的
角度处理信息，多出的负频率给信息的处理带来很多
的不便，为了便于频域信号的处理，构建一个与实函 数对应的复函数（其傅里叶变换只有一个正频率）， 来代替原来的实函数。即是信号的解析表示
一、单色信号的复表示
u (t ) A cos(2v0t ) u (t ) A exp[ j (2v0 t )] 复振幅 A A exp( j )
K1 K 2 u P , t t1 u P2 , t t 2 1 K1 K 2 u P , t t1 u P2 , t t 2 1
G12 (t )
u P , t t u P2 , t 1
u P , t t u P2 , t 2 1