离散数学集合的笛卡儿积与二元关系
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离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
同等学力研究生计算机学科离散数学基础第七章二元关系
第七章二元关系§1 有序对与笛卡尔积定义两个元素x与y按一定顺序排列构成的二元组称为一个有序对（或序偶），记为〈x,y〉，称x 为第一元素，y为第二元素。
性质 (1) ,,x y x y y x≠⇒〈〉≠〈〉(2) ,,x y u v x u y v〈〉=〈〉⇔=∧=例25 2,45,242xx x yx y+=⎧〈+〉=〈+〉⇒⎨=+⎩3,2x y⇒==−定义：设A、B为两个集合，称{},x y x A y B〈〉∈∧∈为集合A与B的笛卡尔积，记为A×B。
性质：(1) ,A A×=×=∅∅∅∅(2)笛卡尔积不满足交换律与结合律(3)笛卡尔积对并、交满足分配律×=××∪∪A B C A B A C()()()×=××∪∪B C A B A C A()()()×=××∩∩A B C A B A C()()()×=××∩∩B C A B A C A()()()(4)A C B D A B C D⊆∧⊆⇒×⊆×例A={1,2}，求P(A)×A。
§2 二元关系定义设R是集合，若R=∅或A≠∅且A中元素均为有序对，则称R为一个二元关系。
若〈x,y〉∈R，则称x与y有关系R，记为xRy。
定义：设A与B是两个集合，由A×B的子集定义的二元关系称为A到B的二元关系；当A=B 时，称之为A上的二元关系。
例 设A ={0,1}，则R 1={〈0,0〉,〈1,1〉}，R 2=∅， R 3=A ×A 都是A 上的二元关系。
例 设A 是n 元集，则A ×A 有n 2个元素，于是A ×A 有22n 个子集，由此得A 上有22n 个二元关系。
例 设A 是任一集合① 称∅是A 上的空关系 ② 称A ×A 是A 上的全域关系③ 称{},A I x x x A =〈〉∈是A 上的恒等关系。
4.1 笛卡尔积与二元关系4.2 关系的运算
.
17
包含关系: R={<x,y>| x,y∈A∧={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 除此以外,还可以构成其他关系:
1
26
A上的关系数目为 ,这个数目往往是很大的, 而我们通常关注的是其中少量的有特殊含义的关 系. 如EA,IA,整除,小于等于,包含等 3 关系的表示方法. 1)集合表达式 2)关系矩阵 3)关系图 2 接下来的课程,我们将学习关系的运算,关系的性质等.
27
作业（清华版）
28
7.3 关系的运算
关系矩阵表示从A到B的关系
关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R 是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的 关系或者A上的关系
3)R的域fidR: R的定义域和值域的并集
fldR=domR∪ranR
例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则
domR={1, 2, 4}
ranR={2, 3, 4}
fldR={1, 2, 3, 4}
30
关系的基本运算定义（续）
1)关系的逆 R的记作 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R 求关系的逆就是把其中的有序对颠倒过来 .
离散数学第四章-二元关系和函数
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
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4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
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一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
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例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
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例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
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4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
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一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
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例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
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例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
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例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
:
利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
,
系:简 称全胛 蜮 线序 曳
柙
\宀
:'艹
° Γ ˉ叽
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工 < ′
工 < ′
Ι ⒕
,
、
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I纟
:
轱
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跃
:
h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
离散数学(集合论)
D.M 律
双重否 定
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E
补元律 零律 同一律
AA= A= A=A
AA=E AE=E AE=A
否定
=E
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E=
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
28
3.3 集合中元素的计数
集合的基数与有穷集合 包含排斥原理 有穷集的计数
0 n 1 n n n n
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幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
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空集和全集 空集：不含任何元素的集合,记为
42
文氏图法
求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被 5 和6 整除， 也不能被 8 整除的数有多少个？
43
例2 24名科技人员，每人至少会1门外语. 英语：13； 日语：5； 德语：10； 法语：9 英日：2; 英德：4； 英法：4； 法德：4 会日语的不会法语、德语 求：只会 1 种语言人数，会 3 种语言人数
元素
a A
a A
表示方法：列举法A={a,b,c,d} 描述法 B={x|x∈Z,3<x≤6} …
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集合与元素的关系
Ａ＝｛a，｛b， c｝，d ｝
aA
｛b, c｝ A
b x( x A x B) A
包含 A B x (xA xB)
(4)
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3.1 容斥原理
又 A U A,
离散数学 二元关系
2019/3/20 14
<x,y>R xRy 也称之为x与y有Ｒ关系。 后缀表示 中缀表示
<x,y>R xRy 也称之为x与y没有Ｒ关系。
例3. R是实数集合，R上的几个熟知的关系
≤ ≥ =
y x2+y2=4
x
从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合 (构成线、面)。
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作业 P105 ⑵
2019/3/20 12
4-2 关系及其表示法
相关 按照某种规则，确认了二个对象或多个
对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相 关的。
例1： 大写英文字母与五单位代码的对应关系R1: 令α={A,B,C,D,…Z}
β={30,23,16,22,…,21}是五单位代码集合
β={11000, 10011, 01110, 10010,…, 10001} R1={<A,30>,<B,23>,<C,16>,...,<Z,21>}α×β
2019/3/20
AB (CACB)。
9
5) 设A、B、C、D为非空集合，则 ABCDAC∧BD 证明：首先,由ABCD 证明AC∧BD 任取xA，任取yB，所以 xAyB<x,y>A×B <x,y>C×D (由ABCD ) xCyD 所以, AC∧BD。 其次, 由AC，BD 证明ABCD 任取<x,y>A×B xAyB xCyD (由AC，BD) <x,y>C×D 所以, ABCD 证毕。
2019/3/20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ16
关系的表示方法 枚举法： 即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内。 如R ={ <1,1>,<1,2>,<1,3>, <1,4>, <2,2>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,4>} 。 谓词公式法： 即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间 的关系。例如 R={<x,y>|x<y} 有向图法： RA×B,用两组小圆圈(称为 结点)分别表示A和B 的元素，当<x,y>R时，从x到y引一条有向弧 (边)。这样得到的图形称为R的关系图。
<x,y>R xRy 也称之为x与y有Ｒ关系。 后缀表示 中缀表示
<x,y>R xRy 也称之为x与y没有Ｒ关系。
例3. R是实数集合，R上的几个熟知的关系
≤ ≥ =
y x2+y2=4
x
从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合 (构成线、面)。
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作业 P105 ⑵
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4-2 关系及其表示法
相关 按照某种规则，确认了二个对象或多个
对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相 关的。
例1： 大写英文字母与五单位代码的对应关系R1: 令α={A,B,C,D,…Z}
β={30,23,16,22,…,21}是五单位代码集合
β={11000, 10011, 01110, 10010,…, 10001} R1={<A,30>,<B,23>,<C,16>,...,<Z,21>}α×β
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AB (CACB)。
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5) 设A、B、C、D为非空集合，则 ABCDAC∧BD 证明：首先,由ABCD 证明AC∧BD 任取xA，任取yB，所以 xAyB<x,y>A×B <x,y>C×D (由ABCD ) xCyD 所以, AC∧BD。 其次, 由AC，BD 证明ABCD 任取<x,y>A×B xAyB xCyD (由AC，BD) <x,y>C×D 所以, ABCD 证毕。
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关系的表示方法 枚举法： 即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内。 如R ={ <1,1>,<1,2>,<1,3>, <1,4>, <2,2>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,4>} 。 谓词公式法： 即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间 的关系。例如 R={<x,y>|x<y} 有向图法： RA×B,用两组小圆圈(称为 结点)分别表示A和B 的元素，当<x,y>R时，从x到y引一条有向弧 (边)。这样得到的图形称为R的关系图。
离散数学 二元关系(3)
则a,b∈A，a≠b，且<a,b>∈R，<b,a>∈R，
因R是传递的，∴<a,a>∈R，<b,b>∈R。
与R是反自反的矛盾。
∴R具有反对称性。
西南科技大学
23
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 有关说明: (1). 由反自反性和传递性可以推出反对称性。
(2). 拟序关系具有反自反性，反对称性和传递性。
最大元不存在，极大元是4、6、15。
(3).B3={2,3,4,6,12,30}，则B3 的最大元、最小元均 不存在；极大元是12、30，极小元是2、3。
西南科技大学
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 3、上界、下界、上确界、下确界 定义 设<A,≤>是偏序集，集合BA
系用哈斯图表示。
哈斯图是关系图的简化，其省略方法如下:
西南科技大学
5
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Discrete Mathematics (1). 把所有结点的自回路均省略，只用一个结点
表示A的元素。
(2). 省略所有有向边的方向，通过适当排列A中
元素的位置来确定它们的关系，如a≤b，则a画
在b的下方(向上画)。 (3).如a≤b，b≤c，则必有a≤c。所以，如a到b有 边，b到c有边，则把a到c的有向边省略掉。
④4≤5，5≤4两者均不成立，4、5的位置的高低不 决定两者的序关系。 ⑤该关系图共有14条有向弧，而哈斯图共有6条边， 省略了8条边。 4 6
5 2 1 8 3
西南科技athematics (2).哈斯图为：
(3).A={ａ,ｂ,ｃ}，则包含关系R是ρ(A)上的偏 序关系。则<ρ(A)，R>是偏序集,其哈斯图如下:
离散数学 二元关系与函数
三、二元关系的定义
如果一个集合满足以下条件之一： 定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空 且它的元素都是有序对 ）集合非空, （2）集合是空集 ） 则称该集合为一个二元关系 简称为关系 记作R. 二元关系, 关系， 则称该集合为一个二元关系 简称为关系，记作 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果 ∈ ；如果<x,y>∉R, 则记作 y ∉ 则记作x 实例： 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 是二元关系, 不是有序对时， 不是二元关系 是二元关系 不是有序对时 根据上面的记法， 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
12
1、从A到B的二元关系与 上的二元关系 、 的二元关系与A上 到 的二元关系与
是两个集合， 是笛卡尔乘积 × 的子集，则称R 定义 A和B是两个集合，R是笛卡尔乘积 A×B 的子集，则称 和 是两个集合 为从A到 的一个二元关系 的一个二元关系。 为从 到B的一个二元关系。 例如： 例如：A={a1,a2,a3,a4,a5} ， B={b1,b2,b3} 的二元关系。 若 R={(a1,b1),(a2,b1),(a4,b3)}，那么R就是一个从A到B的二元关系。 ，那么R就是一个从A 也可写作a 并称a 相关。 对于R中的元素（ 相关 对于 中的元素（a1,b1） R ，也可写作 1Rb1 ，并称 1 , b1 以R相关。 中的元素 ∈ 对于不属于R的有序对，如（a5,b2） R，也可写作 5 对于不属于 的有序对， 的有序对 ∉ 也可写作a 并称a 不以R相关 相关。 并称a5 ,b2 不以 相关。 A上二元关系的一般定义： 上二元关系的一般定义： 上二元关系的一般定义 是集合， 定义 A是集合，R1是笛卡尔乘积 A×A 的子集，则称R1为A上的二元关系 × 的子集，则称R 上的二元关系 上的一个二元关系。 例如： ，那么R 上的一个二元关系 例如：A={a,b,c,d,e}，R1 ={(a,b), (c,a), (b,b)}，那么 1是A上的一个二元关系。 ， 由此可知， 的二元关系R就是笛卡尔乘积 × 的一个子集， 由此可知，从A到B的二元关系 就是笛卡尔乘积 A×B 的一个子集， 到 的二元关系 上的二元关系R 而A上的二元关系 1就是笛卡尔乘积 ×A 的一个子集 上的二元关系 就是笛卡尔乘积A× 的一个子集.
离散数学第五版第四章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (3)A×（BC）= (A×B)(A×C） 证明： 对于任意的<x,y> <x,y>A×（BC） xA yBC xA (yB y C) (xAyB) (xAyC) <x,y>A×B <x,y>A×C <x,y>(A×B)(A×C)
A1×A2×……×An ={<x1,x2,……,xn>|x1A1 x2A2 …… xnAn}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例2：设A={1,2}，求P(A)×A 解：P(A)={,{1},{2},{1,2}} P(A)×A={<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
（2）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D) 证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3} (AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>} (A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>} 所以：等式不成立
（3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D) 证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3} (A-B)×(C-D)= (A×C)-(B×D)={<1,2>}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
三、二元关系 2. 集合上元素的关系（定义4.6）
设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系，特别当A=B是则叫做A上的二元关系。 例：A={0,1}、B={1,2,3}，
离散数学第四章 关系
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2010-11-3
定理4.3.1 若R⊆A×B，S⊆B×C，T⊆C×D， 则 (R*S)*T=R*(S*T) 这说明复合运算是可结合的。我们常删去括号 将它们写成R*S*T。 由归纳法易证, 任意n个关系的合成也是可结合 的。在R1*R2*…*Rn中, 只要不改变它们的次序, 不论在它们之间怎样加括号, 其结果是一样的.
4
2010-11-3
定义4.1.2 给定集合A和B，若有序对的第一分 量是A的元素，第二分量是B的元素，所有这些 有序对的集合，称为A和B的笛卡尔积，记为 A×B， A×B={‹x,y›|x∈A∧y∈B}
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2010-11-3
例 设A = {a, b, c}, B = {0, 1}, 则 A × B = {‹a, 0›, ‹a, 1›, ‹b, 0›, ‹b, 1›, ‹c, 0›, ‹c, 1›} B × A = {‹0, a›, ‹0, b›, ‹0, c›, ‹1, a›, ‹1, b›, ‹1, c›} A × A = {‹a, a›, ‹a, b›, ‹a, c›, ‹b, a›, ‹b, b›, ‹b, c›, ‹c, a›, ‹c, b›, ‹c, c›} B × B = {‹0, 0›, ‹0, 1›, ‹1, 0›, ‹1, 1›} 可以看出：A × B ≠ B × A (除非A = ∅或 B = ∅或 A = B,见后面定理) 即笛卡尔积不满足交换律。
18
2010-11-3
例 设A和B分别是学校的所有学生和所有课程的集合。假 设R由所有有序对‹a,b›组成，其中a是选修课程b的学生。 S由所有有序对‹a,b›构成，其中课程b是a的必修课。什么 是关系R∪S，R∩S，R⊕S，R-S和S-R？ 解：关系R∪S由所有的有序对‹a,b›组成，其中a是一个学 生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的必修课。 R∩S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a是一个学生，他选 修了课程b并且课程b也是a的必修课。 R⊕S由所有有序 对‹a,b›组成，其中学生a已经选修了课程b，但课程b不是 a的必修课，或者课程b是a的必修课，但a没有选修它。 R-S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a已经选修了课程b但 课程b不是a的必修课。S-R是所有有序对‹a,b›的集合，其 中课程b是a的必修课，但a没有选它。
2010-11-3
定理4.3.1 若R⊆A×B，S⊆B×C，T⊆C×D， 则 (R*S)*T=R*(S*T) 这说明复合运算是可结合的。我们常删去括号 将它们写成R*S*T。 由归纳法易证, 任意n个关系的合成也是可结合 的。在R1*R2*…*Rn中, 只要不改变它们的次序, 不论在它们之间怎样加括号, 其结果是一样的.
4
2010-11-3
定义4.1.2 给定集合A和B，若有序对的第一分 量是A的元素，第二分量是B的元素，所有这些 有序对的集合，称为A和B的笛卡尔积，记为 A×B， A×B={‹x,y›|x∈A∧y∈B}
5
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例 设A = {a, b, c}, B = {0, 1}, 则 A × B = {‹a, 0›, ‹a, 1›, ‹b, 0›, ‹b, 1›, ‹c, 0›, ‹c, 1›} B × A = {‹0, a›, ‹0, b›, ‹0, c›, ‹1, a›, ‹1, b›, ‹1, c›} A × A = {‹a, a›, ‹a, b›, ‹a, c›, ‹b, a›, ‹b, b›, ‹b, c›, ‹c, a›, ‹c, b›, ‹c, c›} B × B = {‹0, 0›, ‹0, 1›, ‹1, 0›, ‹1, 1›} 可以看出：A × B ≠ B × A (除非A = ∅或 B = ∅或 A = B,见后面定理) 即笛卡尔积不满足交换律。
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2010-11-3
例 设A和B分别是学校的所有学生和所有课程的集合。假 设R由所有有序对‹a,b›组成，其中a是选修课程b的学生。 S由所有有序对‹a,b›构成，其中课程b是a的必修课。什么 是关系R∪S，R∩S，R⊕S，R-S和S-R？ 解：关系R∪S由所有的有序对‹a,b›组成，其中a是一个学 生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的必修课。 R∩S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a是一个学生，他选 修了课程b并且课程b也是a的必修课。 R⊕S由所有有序 对‹a,b›组成，其中学生a已经选修了课程b，但课程b不是 a的必修课，或者课程b是a的必修课，但a没有选修它。 R-S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a已经选修了课程b但 课程b不是a的必修课。S-R是所有有序对‹a,b›的集合，其 中课程b是a的必修课，但a没有选它。
《离散数学》 二元关系
数据结构、情报检索、数据库、算法分析、计算机理论等计算机学科很好的数
学工具。
3
第 4章 二元关系
1
历史人物
学习要求
内容导航
CONTENTS
4.1
二元关系及其表示
4.2
关系的运算
4.3
关系的性质
4.4
关系的闭包
4.5
关系的应用
4.6
作业
4
历史人物
第 4章 二元关系
5
1868-1942，德国数学家，
20
定义4.5 设A,B为两个非空集合，称A×B的任何子集R为从A到B的二元关系，简称
关系(Relation)，记作R：A→B；
如A＝B，则称R为A上的二元关系，记作R：A→A。
若<x,y>∈R，则记为xRy，读作“x对y有关系R”；
若<x,y>R，则记为xRy，读作“x对y没有关系R”。
解题小贴士—给定集合是否为从A到B的一个关系的判断方法
所以
（1）S1不是A×B的子集，从而S1不是A到B上的一个关系。
（2）S2是A×B的子集，从而S2是A到B上的一个二元关系。
第 4章 二元关系
4.1.2 关系的定义
例4.4 设A = {1,2}，试判断下列集合是否为A上的关系。
（1）T1＝ Φ ；
是，空关系
（2）T2＝A×A；
是，全关系
（3）T3＝{<1，1>，<2，2>}；
（2）序偶中的两个元素具有确定的次序。即<a,b>≠<b,a>，但{a,b}={b,a}。
定义4.2 给定序偶<a,b>和<c,d>，
离散数学课件第四章二元关系习题
闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
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反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
05
习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。
两个关系笛卡尔积
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质(略) 4.7 函数的复合和反函数(略)
1
4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
10
从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有2 个 n2 . 所以 A上有 2n2个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
3). 真.可由等量代入的原理证得. 4). 真.当A = 时, 有: A A A成立.
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质(略) 4.7 函数的复合和反函数(略)
1
4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
10
从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有2 个 n2 . 所以 A上有 2n2个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
3). 真.可由等量代入的原理证得. 4). 真.当A = 时, 有: A A A成立.
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
离散数学中二元关系性质判定论文
离散数学中二元关系的性质判定【摘要】关系的性质是关系中的基本内容，对理解关系有着重要的意义。
文中对二元关系性质的四种判定方法进行了分析和探讨，即，根据定义判定、根据定理判定、根据关系图判定、根据关系矩阵判定。
以加深学生理解，方便灵活运用。
【关键词】离散数学；二元关系；性质；判定【中图分类号】g64 【文献标识码】a 【文章编号】2095-3089（2013）4-0-02离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学的理论基础和核心课程。
关系是离散数学中非常重要的一个基本概念，关系的概念在计算机科学是也是最基本的，它在形式语言、编译程序设计、信息检索、数据结构、算法分析、数据库和有限自动机等方面起着重要作用。
关系是一个使用得很频繁的词，如数集上大于关系、小于关系；平面集上的直线平行关系、三角形相似关系；人群集合上的父子关系、同乡关系等，这些都是离散数学中的关系研究的范畴。
所以，离散数学中的关系是一个抽象的概念，定义为笛卡尔积a1×a2×…×an的任意一个子集。
二元关系是我们讨论的重点内容，定义为笛卡尔积a1×a2的任意子集。
关系的性质是关系的基本属性，是认识和分析关系的关键。
关系的基本性质主要包括自反、反自反、对称、反对称以及传递性。
如何判定关系的性质是我们必须要掌握的方法。
关系基本性质的判定主要有四种方法：第一是直接根据定义判定；第二是根据定理判定；第三是根据关系图判定；第四是根据关系矩阵判定。
本文将对这四种方法进行讨论。
1 根据定义判定定义：设ρ是集合a上的二元关系，1）若对于所有的a∈a，有（a，a）∈ρ，则称ρ是自反的。
否则，称ρ是非自反的。
2）若对于所有的a∈a，有（a，a）?ρ，则称ρ是反自反的。
3）对于所有的a，b∈a，若每当有（a，b）∈ρ时就有（b，a）∈ρ，则称ρ是对称的。
否则，称ρ是非对称的。
4）对于所有的a，b∈a，若每当有（a，b）∈ρ和（b，a）∈ρ时，就必有a=b，则称ρ是反对称的。
离散数学第四章二元关系和函数
例题
• 例题4.8:下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的 定义域和值域.
– R1={<x,y>|x,yZxy}; – R2={<x,y>|x,yZx2+y2=1};
• domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>}
关系实例
• 设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LA={<x,y>|x,yA,xy}.
• 例4.4 设A={a,b},R是P(A)上的包含关系, R={<x,y>|x,yP(A),xy}, 则有 P(A)={,{a},{b},A}. R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,A>, <{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}.
– 例如:A={a,b},B={0,1,2},则 AxB={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}; BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}.
– 如果A中的元素为m个元素，B中的元素为n个元素， 则AxB和BxA中有mn个元素．
0100 1010 . 0001 0000
离散数学 集合的笛卡儿积与二元关系
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例题
例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.
二元关系的表示
2
有序对
定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作<x,y> 实例：平面直角坐标系中点的坐标< 3,4 > 有序对性质 1） 有序性 <x,y><y,x> （当x y时） 2）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=u y=v 例1 <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
18
关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}， R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 关系图：若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R 的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
5
笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBA (AB, A, B) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
例题
例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.
二元关系的表示
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有序对
定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作<x,y> 实例：平面直角坐标系中点的坐标< 3,4 > 有序对性质 1） 有序性 <x,y><y,x> （当x y时） 2）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=u y=v 例1 <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
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关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图 关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}， R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 关系图：若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R 的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
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笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBA (AB, A, B) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
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n 维向量是有序 n元组. 当 n=1时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组.
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笛卡儿积
定义 设A, B为集合，用A中元素为第一个元素， B中元素为第二个元素，构成有序对. 所有这样 的有序对组成的集合叫做 A与B 的笛卡儿积 记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA yB }
当A1=A2 =…=An时，可将它们的n阶笛卡尔积记作An 例如：A={a,b},则 A3={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>,<b,a,a>,<b,a,b
>,<b,b,a>,<b,b,b>}
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二元关系：集合中两个元素之间的某种关系
例1 甲、乙、丙3个人进行乒乓球比赛，任何两个人之间都要比赛一场。 假设比赛结果是乙胜甲，甲胜丙，乙胜丙。 比赛结果可表示为： {<乙,甲>， <甲,丙 >， <乙,丙>}，其中<x,y>表示x 胜y，它表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关系.
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
1
4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
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(2)(AB)(C D)=(AC)(B D) 解：不成立，若A=D= B=C= {1} 则有： (AB)(C D)= B C={<1,1>}
(3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD) 解：不成立， A=B={1} C={2} D={3} (A-B)(C-D)= (AC)-(BD) = {<1,2>} {<1,3>}={<1,2>}
8
例4 (1) 证明 A B C D AC BD (2) AC BD是否推出 A B C D
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD
(2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=
(4)(AB)(CD)=(AC)(BD) 解：A={1} B= C= D={1} (AB)(CD)={1,1} (AC)(BD)=
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设A1,A2, … ,An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡尔积记
作A1A2 … An,其中A1A2 … An={<x1,x2, … ,xn> ︱x1A1, x2 A2 , …,xnAn}.
例1 <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
3
有序 n 元组
定义 一个有序 n (n3) 元组 <x1, x2, …, xn> 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即
<x1, x2, …, xn> = < <x1, x2, …, xn-1>, xn> 实例 ：空间直角坐标系中的坐标 <3，5，－6>
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,
<a,3>, <b,3>,<c,3>} A={}, P(A)A={<,>, <{},>}
5
笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBபைடு நூலகம் (AB, A, B)
不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.
A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
6
性质的证明
证明 A(BC)=(AB)(AC) 证 任取<x,y>
<x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C)
2
有序对
定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作<x,y>
实例：平面直角坐标系中点的坐标< 3,4 > 有序对性质
1） 有序性 <x,y><y,x> （当x y时）
2）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=u y=v
例2 有A、B、C3个人和四项工作G1、 G2、 G3、 G4，已知A可以从事 工作G1和G4，B可以从事工作G3，C可以从事工作G1和G2. 那么，人和工作之间的对应关系可以记作
9
例5 设A、B、C、D为任意集合，判断以下等式是否成立， 说明为什么。
(1) (AB)(C D)=(AC)(B D) (2) (AB)(CD)=(AC)(B D) (3) (A-B)(C-D)=(AC)-(BD) (4) (AB)(CD)=(AC)(BD) 解： (1)成立，因为对任意的<x,y> <x,y> (AB)(C D) xA B y C D xA x B y C y D <x,y> AC <x,y> BD
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
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例题
例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC
xB yD <x,y>BD
(2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.
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笛卡儿积
定义 设A, B为集合，用A中元素为第一个元素， B中元素为第二个元素，构成有序对. 所有这样 的有序对组成的集合叫做 A与B 的笛卡儿积 记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA yB }
当A1=A2 =…=An时，可将它们的n阶笛卡尔积记作An 例如：A={a,b},则 A3={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,b,a>,<a,b,b>,<b,a,a>,<b,a,b
>,<b,b,a>,<b,b,b>}
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二元关系：集合中两个元素之间的某种关系
例1 甲、乙、丙3个人进行乒乓球比赛，任何两个人之间都要比赛一场。 假设比赛结果是乙胜甲，甲胜丙，乙胜丙。 比赛结果可表示为： {<乙,甲>， <甲,丙 >， <乙,丙>}，其中<x,y>表示x 胜y，它表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关系.
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
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4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
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(2)(AB)(C D)=(AC)(B D) 解：不成立，若A=D= B=C= {1} 则有： (AB)(C D)= B C={<1,1>}
(3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD) 解：不成立， A=B={1} C={2} D={3} (A-B)(C-D)= (AC)-(BD) = {<1,2>} {<1,3>}={<1,2>}
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例4 (1) 证明 A B C D AC BD (2) AC BD是否推出 A B C D
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD
(2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=
(4)(AB)(CD)=(AC)(BD) 解：A={1} B= C= D={1} (AB)(CD)={1,1} (AC)(BD)=
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设A1,A2, … ,An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡尔积记
作A1A2 … An,其中A1A2 … An={<x1,x2, … ,xn> ︱x1A1, x2 A2 , …,xnAn}.
例1 <2, x+5> = <3y 4, y>，求 x, y. 解 3y 4 = 2, x+5 = y y = 2, x = 3
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有序 n 元组
定义 一个有序 n (n3) 元组 <x1, x2, …, xn> 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即
<x1, x2, …, xn> = < <x1, x2, …, xn-1>, xn> 实例 ：空间直角坐标系中的坐标 <3，5，－6>
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,
<a,3>, <b,3>,<c,3>} A={}, P(A)A={<,>, <{},>}
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笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBபைடு நூலகம் (AB, A, B)
不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集.
A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
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性质的证明
证明 A(BC)=(AB)(AC) 证 任取<x,y>
<x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C)
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有序对
定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作<x,y>
实例：平面直角坐标系中点的坐标< 3,4 > 有序对性质
1） 有序性 <x,y><y,x> （当x y时）
2）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=u y=v
例2 有A、B、C3个人和四项工作G1、 G2、 G3、 G4，已知A可以从事 工作G1和G4，B可以从事工作G3，C可以从事工作G1和G2. 那么，人和工作之间的对应关系可以记作
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例5 设A、B、C、D为任意集合，判断以下等式是否成立， 说明为什么。
(1) (AB)(C D)=(AC)(B D) (2) (AB)(CD)=(AC)(B D) (3) (A-B)(C-D)=(AC)-(BD) (4) (AB)(CD)=(AC)(BD) 解： (1)成立，因为对任意的<x,y> <x,y> (AB)(C D) xA B y C D xA x B y C y D <x,y> AC <x,y> BD
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
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例题
例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC
xB yD <x,y>BD
(2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.