第三章 协方差传播率及权

离散型：
∞
∑ E ( X ) = xi pi i =1
+∞
∫ 连续型： E( X ) = xf (x)dx −∞
误差理论与测量平差基础
§3-1 数学期望的传播
2.数学期望的传播规律
1 设C为一常数，则
E(C) = C
2 设C为一常数，X为一随机变量，则
E(CX ) = CE( X )
3 设有随机变量X和Y，则
W
s ,1
=
FY+
s , r r ,1
F0
s ,1
求：
DZZ DWW DZW
DWZ
误差理论与测量平差基础
§3-2 协方差传播律
2.多个观测值线性函数的协方差阵
Z
t ,1
=
K
t ,n
X+
n ,1
K0
t ,1
Z1 = k11X1 +k12X2 +"+k1nXn +k10 Z2 = k21X1 +k22X2 +"+k2nXn +k20
=
FY+
s , r r ,1
F0
s ,1
定义Z与W之间的互协方差:
协 方 差 传 播 律 DZW
= E[( Z − E (Z ))(W
− E (W )) T ]
=
K
t.n
DXY
n,r
FT
r,s
DWZ
= E[(W
− E(W ))( Z
− E (Z ))T ]
=
F
s.r
DYX
r,n
KT
n,t
D ZW = DWTZ
又设
Z =k1X1 +k2X2 +"+knXn +k0
K=[k1 k2 ... kn]
Z
1,1
=
K
1,n
X+
n ,1
k0
1,1
则
协 方 差 传 播 律 DZZ
=
σ
2 Z
=
KDXX K T
DZZ
=
σ
2 Z
=
k12σ
2 1
+
k22σ
2 2
+
"
+
kn2σ
2 n
+ 2k1k2σ12
+ 2k1k3σ13 + " + 2k1knσ1n + " + 2kn−1knσ n−1,n
误差理论与测量平差基础
课堂练习
设
Y = 2x1 −x2，Z = −x1 +3x2
,
⎡3 DXX = ⎣⎢1
1⎤ 4⎦⎥
,
求:
σ
2 Y
、
σ
2。
Z
§3-2 协方差传播律
2.多个观测值线性函数的协方差阵
设2个观测值向量：
X
n,1
μX
DXX
Y
μY
DYY
r ,1
若：
Z
t ,1
=
K
t ,n
X+
n ,1
K0
t ,1
= FE[(Y − μY )( X − μ x )T ]K T
=
F D s . r
YX r ,n
KT n ,t
D ZW
=
D
T WZ
课堂练习
在一个三角形中，同精度独立观测得到三 个内角L1、L2、L3，其中误差为σ，将闭合差平 均分配后各角的协方差阵。
设有函数，
Z
t ,1
=
F1
t,n
X+
n,1
F2
t,r
E( X + Y ) = E( X ) + E(Y )
4 若随机变量X和Y互相独立，则
E( XY ) = E( X )E(Y )
误差理论与测量平差基础
第三章 协方差传播律及权
§3-2 协方差传播律
误差理论与测量平差基础
§3-2 协方差传播律
1.观测值线性函数的方差
设观测值向量 X ，其数学期望 μ X ，协方差阵 DXX
第三章 协方差传播率及权
第一节 数学期望的传播 第二节 协方差传播率 第三节 权与定权的常用方法 第四节 协因数与协因数传播率 第五节 由真误差计算中误差及其应用 第六节 系统误差的传播
第三章 协方差传播律及权
§3-1 数学期望的传播
误差理论与测量平差基础
§3-1 数学期望的传播
1.数学期望的定义
−
X
0 1
)
+
(
∂f ∂X
2
)
0
(
X
2
−
X
0 2
)
+
(
∂f ∂X
2
)0
(
X
2
−
X
0 2
)
+"(
∂f ∂X
n
)0
(
X
n
−
X
0 n
)
+
(二次以上项）
∑ Z
=
f
Байду номын сангаас
(X 0, 1
X
0
2
,"
X
0 n
)
+
(
∂f ∂X1
)0
X1
+ ( ∂f ∂X 2
)0
X2
+"( ∂f ∂X n
)0
Xn
−
n i=1
( ∂f ∂Xi
Ws = fs1Y1 + fs2Y2 +"+ fsrY r+ fs0
D ZZ
t ,t
=
K
t,n
D XX
n,n
KT n,t
D WW
s ,s
=
F
s ,r
D YY
r ,r
FT r ,s
误差理论与测量平差基础
§3-2 协方差传播律
3.两个函数的互协协方差阵
Z
t ,1
=
K
t,n
X+
n ,1
K0
t ,1
W
s ,1
Y
r ,1
已知 DXX、 DYY、 DXY
求 DZZ、 DZX、 DZY
作业：P6 3.2.14，
§3-2 协方差传播律
4.非线性函数的情况
设有观测值X的非线性函数： Z = f (X ) = f (X1, X 2," Xn )
已知：
X
n,1
=
[X1,
X
2 ,...X
n
]T
,
DXX
求 ： DZZ
思路：
误差理论与测量平差基础
课堂练习
1，设 Y = 2x1 −x2 ，Z = −x1 +3x2 已知 F = Y + Z ，求
，
⎡3 DXX = ⎣⎢1
1⎤ 4⎦⎥
,
（1）. 令W=(Y Z)T，求W的协方差阵。
（2）. F的方差
σ
2 F
D ZW = E [( Z − E ( Z ))(W − E (W )) T ]
)0
X0 i
令
K
=
(k1 , k 2 ," kn )
=
（[
∂f ∂X
）0 （,
1
∂f ∂X
2
）0
"（
∂f ∂X
n
)
0
]
∑ k 0
=
f
(
X
0,
1
X
0
2
,"
X
0 n
)
−
n i =1
(
∂f ∂X
i
)0
X
0
i
Z = [k1, k2 ,"k n]X + k0 = KX + k0
= E[(KX + K0 − Kμx − K0 )(FY + F0 − FμY − F0 )T ]
= KE[( X − μ x )(Y − μY )T ]F T
=
K
t.n
DXY
n,r
FT
r,s
DWZ = E[(W − E(W ))(Z − E(Z ))T ]
= E[(FY + F0 − FμY − F0 )(KX + K0 − Kμx − K0 )T ]
Z
=
[k
1
,
k
2
,"
kn
]
X
n,1
+
k0
=
KX
+ k0
DZZ = KDXX K T
设：
X 0 = [ X 0 , X 0 ,...X 0 ]T
n,1
1
2
n
误差理论与测量平差基础
非线性函数线性化——泰勒级数展开
将Z按台劳级数在X0处展开：
Z
=
f
(
X
0
1
,
X
0
2
,"
X
0 n
)
+
(
∂f ∂X
1
)0
(
X
1
""""""""""""
Zt = kt1X1 +kt2X2 +"+ktnXn +kt0
W
s ,1
=
FY+
s , r r ,1
F0
s ,1
W1 = f11Y1 + f12Y2 +"+ f1rY r+ f10 W2 = f21Y1 + f22Y2 +"+ f2rYr + f20
"""""""""""""