复变函数复习要点

复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。

5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。

第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；P z是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。

第三章复习要点1、熟悉复积分的定义，复积分与实部、虚部两个二元实函数的实积分的关系；2、熟悉复积分的基本运算性质（线性性，曲线可加性，沿正向积分与负向积分的关系，估值性）；3、熟练掌握复积分的基本计算法（即参数方程法），熟练掌握复积分的牛顿—莱布尼茨公式；4、熟悉柯西积分定理的三种常用形式（基本形式、推广形式、一般形式），并能熟练运用柯西积分定理简洁地计算某些复积分和某些实积分；能用柯西积分定理解决解析函数的原函数的存在问题；5、熟悉几个典型积分的值（如：）6、熟练掌握柯西积分公式，并能利用该公式简洁地计算某些复积分和实积分；7、熟练掌握解析函数的无穷可微性（包括解析函数的高阶导数公式，以及利用高阶导数公式简洁计算某些复积分和实积分）和解析函数的积分定义法；8、熟练掌握柯西不等式，并能用柯西不等式解决关于整函数的刘维尔定理；9、掌握刘维尔定理以及刘维尔定理的应用（如判断整函数为常函数，证明代数学基本定理）。

第四章复习要点1、能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛、条件收敛等概念．掌握复级数收敛的必要条件（例如，通项的极限为零）和充要条件（例如，级数收敛的柯西收敛准则；复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系），特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题。

例如：利用复级数的和求实级数的和的问题等，如利用11n n q q∞==-∑， 其中1q <，i q re θ=，求实级数cos nn rn θ∞=∑和1sin sin nn n n r n r n θθ∞∞===∑∑，的和。

2、了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质，比如：收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；两指标级数,,1n mn m A∞=∑的求和法则，即在,11()n mn m A∞∞==∑∑，,11()n m m n A ∞∞==∑∑以及,,1n mn m A∞=∑，都是同号级数或至少有一个绝对收敛的条件下，有,,,11,111()()n mn mn m n m n m m n AAA ∞∞∞∞∞=======∑∑∑∑∑，成立。

注意：上面所列的性质中，乘积性和两指标级数的求和法则也是今后求有些复杂解析函数的幂级数展式或洛朗展式的完整形式时经常用的技巧，而这样的技巧往往是传统数学分析教材中忽略的。

3、了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭一致收敛的含义；掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛；掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性。

下面关于复函数项级数在区域内（内闭）一致收敛的几个结论是数学分析中忽略或没有的：●1()n n f z ∞=∑在区域D 内内闭一致收敛⇔对任意a D ∈，存在a 的某邻域()U a D ⊂，使得1()n n f z ∞=∑在()U a 内一致收敛（称为内闭一致收敛的局部判别法）；【此结论的必要性显然，充分性利用柯西准则和有限覆盖定理即可证明】注意：在数学分析中，我们也可建立类似的平行结论。

● 设解析函数项级数1()n n f z ∞=∑在区域D 内收敛，则1()n n f z ∞=∑在区域D 内内闭一致收敛⇔1()n n f z ∞='∑在区域D 内内闭一致收敛⇔对任意整数1k ≥，()1()k n n f z ∞=∑在区域D 内内闭一致收敛；● 设D 为有界区域，CD =∂，每一项函数()n f z 在D 内解析，在D D C =⋃上连续，若1()n n f z ∞=∑在C 上一致收敛，则1()n n f z ∞=∑在D 上一致收敛，进而在D 内一致收敛。

注意：上面的两个结论是解析函数项级数特有的，对数学分析中的可微函数项级数，上面的两个结论一般不成立。

4、熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法：记0()()nnn f z a z z ∞==-∑，l =1z 是()f z 的不解析点中距0z 最近的点，则幂级数的收敛半径有下面两个常用的计算公式：利用系数计算的公式：1R l=（常规公式，也称柯西—阿达玛公式）。

利用和函数的计算公式：10R z z =-（技巧性公式，前提是要知道和函数）。

5、熟练掌握同类幂级数的运算性质。

比如：设有两个同类幂级数00()()nn n f z a z z ∞==-∑，00()()n n n g z b z z ∞==-∑其收敛半径分别为1R ，2R ，不妨设12R R ≤，则在它们收敛的公共圆域01z z R -<内● 加、减性：00()()()()nnn nnnn n n n a z z b z z ab z z ∞∞∞===-±-=±-∑∑∑。

● 乘积性：00000(())(())()()()()nnnnnn n n n k k k n k n n n k n k a z z b z z a b z z a b z z ∞∞∞∞--======-⋅-=⋅-=⋅-∑∑∑∑∑∑。

注意：（1）在用乘积性时，级数不能缺项，若缺项需要将所缺项补齐后，再用乘积性。

（2）缺奇数项或偶数项幂级数的两种补项技巧：● 对形如2200()nn n az z ∞=-∑的级数可借用因子11(1)2n ⎡⎤+-⎣⎦的取值特点进行补项得： 220001()1(1)()2nn nn n n n a z z a z z ∞∞==⎡⎤-=+--⎣⎦∑∑；对形如212101()n n n az z ∞--=-∑的级数可借用因子11(1)2n⎡⎤--⎣⎦的取值特点进行补项得： 21210011()1(1)()2n n n n n n n a z z a z z ∞∞--==⎡⎤-=---⎣⎦∑∑。

● 对形如2200(1)()nnn n a z z ∞=--∑的级数可借用正弦值()(1),2sin 120,21k n kn n k π⎧-=+=⎨=+⎩的取值特点进行补项得：()22000(1)()sin1()2nnn n n n n a z z n a z z π∞∞==--=+-∑∑；对形如1212101(1)()n n n n a z z ∞---=--∑的级数可借用正弦值10,2sin(1),212k n k n n k π-=⎧=⎨-=-⎩的取值特点进行补项得：12121001(1)()sin()2n n n n n n n n a z z a z z π∞∞---==--=-∑∑。

6、熟练掌握幂级数和函数的如下性质： 设0()()nnn f z a z z ∞==-∑的收敛半径0R >，则在其收敛圆0z z R -<内● 逐项积分性：10000()d ()d ()1z znn nn z z n n a f a z z z n ξξξξ∞∞+===-=-+∑∑⎰⎰。

● 逐项微分性：1001()()(1)()n n n n n n f z na z z n a z z ∞∞-=='=-=+-∑∑。

● 收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，即00()nn n a z z ∞=-∑，101()n n n na z z ∞-=-∑（逐项微分），100()1n nn a z z n ∞+=-+∑（逐项积分） 这三个幂级数具有相同的收敛半径，从而有相同的收敛圆和收敛圆周。

注意：对收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，只要注意到下面的上极限等式立即可得== ● 以上第5和6两个要点是求解析函数幂级数展式的间接法的基础之一。

7、掌握泰勒定理的条件和结论，了解解析函数的（幂）级数定义法，从而理解为什么只有当函数在一点解析时，函数在这一点才能展开成幂级数。

熟练掌握如何将解析函数在指定的解析点展开成幂级数的方法（常用的有三种：直接法，间接法和利用解析函数的惟一性的方法）和技巧，并牢记如下几个主要初等解析函数的幂级数展开式（称为基本展式）：① 01!znn e zn ∞==⋅∑，z <+∞。

② 211210111sin (1)(1)(21)!(21)!nn n n n n z z z n n ∞∞+--===-⋅=-⋅+-∑∑，z <+∞； 201cos (1)(2)!nn n z z n ∞==-⋅∑，z <+∞。